四川省达州市达州铁路中学2024-2025学年高二上学期11月期中检测数学试卷含答案

达州铁路中学2024年秋季学期高2023级11月期中数学（试题卷）一.单选题（一个5分）1.已知空间向量，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用空间向量的加法运算求解.因为空间向量，，所以，故选：A2.已知{}为空间的一组基底，对下列向量也能作为空间的一组基底的是（）A.，， B.，，C.，， D.，，【答案】B【解析】【分析】由基底概念逐项判断即可对于A：，不能构成基底，故错误；对于C：，不能构成基底，故错误；对于D：，不能构成基底，故错误；对于B：令，可得，因为{}为空间的一组基底，所以不存在使得等式成立，B正确故选：B3.若圆锥的轴截面是面积为的等边三角形，则该圆锥的表面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】设圆锥的底面半径为r，根据轴截面面积求出r，结合圆锥侧面积公式，即可求得答案.设圆锥的底面半径为r，由于圆锥的轴截面是等边三角形，则该圆锥的高为，母线长为2r，又轴截面面积为，故，则该圆锥的表面积为，故选：B4.已知，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，下列说法正确的是（）A.若，，，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，，则【答案】D【解析】【分析】根据空间中直线与平面，以及平面与平面的关系，即可结合选项逐一求解.对于A，若，，，则或者异面，故A错误，对于B，若，，且与，的交线垂直，才有，否则与不一定垂直，故B错误，对于C，若，，则或者，故C错误，对于D，若，，则，D正确，故选：D5.在空间中，设，为两条不同直线，，为两个不同平面，则下列命题正确的是（

）A.若且，则B.若是异面直线，，则C.若，，，则D.若，，，则【答案】B【解析】【分析】A中或；B中结合线面平行的性质定理与面面平行的判定定理即可；C中，可能平行、相交或异面；D中或.对于A，若且，则或，故A错误；对于B，若是异面直线，，，则在直线上任取一点，过直线与点确定平面，设，又，则，，，所以，又，，，，所以，故B正确；对于C，若，，，则，可能平行、相交或异面，故C错误；对于D，若，，，则或，故D错误.故选：B.6.如图，在正四棱台中，，则该正四棱台的体积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】作出截面，过点作，结合等腰梯形的性质得到高，再计算体积即可.过作出截面如图所示，过点作，垂足为，易知为正四棱台的高，

因为，所以由勾股定理得，又，则在等腰梯形中，，所以，所以所求体积为.故选：.7.已知三棱柱中，侧面底面，则“”是“”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】由面面垂直的性质定理可证明“”是“”的必要条件，由底面为正三角形的直三棱柱模型，可知“”不是“”的充分条件.①已知侧面底面，且侧面底面，又平面，若，则由面面垂直的性质定理可得平面，平面，则，所以则“”是“”的必要条件；②若三棱柱是直三棱柱，底面是正三角形，则底面，平面，则满足条件侧面底面.又平面，则，但与不垂直.所以“”不是“”的充分条件.综上所述，“”是“”的必要不充分条件.故选：B.8.已知三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，，，，，平面，则球O的表面积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，求出外接圆半径，球心到平面的距离，再利用球的截面圆性质计算即可.在三棱锥中，球心在棱的中垂面上，由平面，得平面，则球心到平面的距离为，在中，由余弦定理得：，因此外接圆半径，球的半径，所以球O的表面积.故选：C二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.若向量，，则（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】根据空间向量夹角公式判断A，根据空间向量垂直的坐标表示判断B，根据空间向量平行的坐标关系判断C，根据空间向量的模的公式判断D．详解】由已知，，D正确；，与不垂直．B错误；，A正确；设，则，，，满足条件的不存在，因此与不共线，C错误；故选：AD．10.已知是空间内两条不同的直线，是空间内两个不同的平面，则下列命题为假命题的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则【答案】BD【解析】【分析】根据空间线线，线面，面面的位置关系判断.对于A，因为是两个不同平面，是两个不同的直线，，则，故A为真命题；对于B，若，则与可能平行，相交，异面，故B为假命题；对于C，若，则，故C为真命题；对于D，若，则与可能平行，相交，故D为假命题.故选：BD.11.在三棱锥中，两两垂直，平面于点，设的面积分别为，下列命题中正确的是（）A.可能为直角三角形 B.点为的垂心C. D.【答案】BCD【解析】【分析】假设，，，求出，，，根据长度和三角形形状的关系判断A选项，根据垂心的定义判断B选项，根据海伦公式求出判断C选项，求出和、、的关系判断D选项.假设，，，所以，，，因为任何两边的平方和大于第三边的平方，所以是锐角三角形，故A选项错误；由两两垂直易证平面，所以，因为，所以易证平面，所以，同理可得，，所以点为的垂心，故B选项正确；设的面积为，因为四面体体积为，所以，等式两边平方可得，由海伦公式可得，其中，所以，所以代回可得，故C选项正确；，，，，因为，所以，所以，因为，，，所以，故D选项正确.故选：BCD.【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据海伦公式求出判断C选项，求出和、、的关系判断D选项.第Ⅱ卷（非选择题，共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12.已知向量，，若，则______.【答案】2【解析】【分析】由题意可得，由向量的数量积公式求解即可.因，所以，即，所以，解得.故答案为：13.已知点关于坐标平面的对称点为，点关于坐标平面的对称点为，点关于轴的对称点为，则______．【答案】【解析】【分析】依次写出，，，利用空间两点间距离公式求出答案.由题意得，，，故.故答案为：14.把正方形ABCD沿对角线AC折成的二面角，E、F分别是BC、AD的中点，O是原正方形ABCD的中心，则的余弦值为_________．【答案】##【解析】【分析】根据空间向量的夹角公式，结合数量积的运算即可求解.由于,所以,不妨设正方形的边长为2，则,,,所以,故,所以,故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.如图，在平行六面体中，底面是边长为的正方形，侧棱的长度为，且．设，求：（1）用基底表示向量，并求向量的长度；（2）求异面直线与所成角的余弦值．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据题意可得，结合数量积运算求模长；（2）根据题意可得，根据数量积运算结合夹角公式求异面直线夹角.【小问1详解】由题意可知：，因为，则，即，所以的长度为.【小问2详解】因为，可得，且，，设直线与所成角为可得，所以直线与所成角的余弦值为．16.棱长为2的正方体中，分别是的中点，在棱上，且是的中点.建立适当的空间直角坐标系，解决下列问题：（1）求证：；（2）求直线与所成的角的余弦值；（3）求的长.【答案】（1）证明见详解；（2）（3）【解析】【分析】（1）以为坐标原点建立空间直角坐标系，首先求出相应点的坐标，再证明即可;（2）求出的坐标，再根据cos<EF→（3）转化为求即可.【小问1详解】如图，以为原点，分别为轴,建立空间直角坐标系则因为,所以所以,故;【小问2详解】原卷是求所成的角，但是算出来不是特殊值，所以麻烦审核老师看到后核对一下，麻烦把这句话删了，谢谢.因为，所以,因为,且,所以cos<所以直线与所成角的余弦值为.【小问3详解】因为是的中点，所以,又因为,所以即.17.三棱柱中，底面，且各棱长均相等，为的中点．F为AB的中点.（1）证明：平面平面；（2）证明：平面平面．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）根据面面平行的判断定理，转化为证明两组线面平行；（2）根据面面垂直的判断定理转化为证明线面垂直，即可证明平面.【小问1详解】如图，连结，因为点分别是和的中点，所以，且，所以四边形是平行四边形，所以，且平面，平面，所以平面，因为，且，所以四边形是平行四边形，所以，且平面，平面，所以平面，且，平面所以平面平面【小问2详解】因为平面，且平面，所以平面平面，平面平面，因为是等边三角形，且点是的中点，所以，且平面，所以平面，且平面，所以平面平面.18.如图，正方体的棱长为，为的中点，点在上.再从下列三个条件中选择一个作为已知，使点唯一确定，并解答问题.条件①：；条件②：；条件③：平面.（1）求证：为的中点；（2）求点到平面的距离.（3）求直线与平面所成角的大小；【答案】（1）选择条件②或③，证明见解析；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）分别选条件①②③，结合线面平行位置关系的判定定理和性质定理，即可得证.（2）以为原点，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量为，再利用点到平面距离的向量求法求解.（3）求出向量，再利用向量的夹角公式求解.【小问1详解】选条件①，，由正方体的对称性，知点可为上的任意一点，不唯一.选条件②，，连接，在正方体中，由平面，平面，得，又，，则，而平面，于是，又为的中点，所以为的中点.选择条件③：平面，连接，平面，平面平面，则，而为的中点，所以为的中点．【小问2详解】在正方体中，直线两两互相垂直，以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图，则，，设平面的法向量为，则，令，得，所以点到平面的距离.【小问3详解】由（2）知，平面的法向量，，设直线与平面所成角为，则，所以直线与平面所成角的大小为.19.如图所示，直角梯形中，，四边形为矩形，，平面平面．（1）求证：平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值；（3）在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的余弦值为，若存在，求出线段的长度，若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）（3）存在；2【解析】【分析】（1）根据条件先判定垂直关系再建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量判定线面关系即可；（2）利用空