四川省广安市友实学校2024−2025学年高二上学期第一次月月考数学试题含答案

四川省广安市友实学校2024−2025学年高二上学期第一次月月考数学试题一、单选题（本大题共8小题）1．已知点关于z轴的对称点为B，则等于（

）A． B． C．2 D．2．从1，2，3，4，5这五个数中任取两个不同的数，则这两个数都是奇数的概率是（

）A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.63．在空间四边形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，则（

）A． B． C． D．4．已知点，，，若A，B，C三点共线，则a，b的值分别是（

）A．，3 B．，2 C．1，3 D．，25．已知向量，，，若，，共面，则（

）A．4 B．2 C．3 D．16．在所有棱长均为2的平行六面体中，，则的长为（

）A． B． C． D．67．一个盒子里装有除颜色外完全相同的四个小球，其中黑球有两个，编号为1，2；红球有两个，编号为3，4.从中不放回的依次取出两个球，A表示事件“取出的两球不同色”，B表示事件“第一次取出的是红球”，C表示事件“取出的两球同色”，则下列说法错误的是（

）A．A与C互斥 B．A与B相互独立 C． D．8．一平面截正四棱锥，与棱的交点依次为，已知，则的值为（

）A． B． C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．下列说法不正确的是（

）A．甲、乙二人比赛，甲胜的概率为，则比赛场，甲胜场B．某医院治疗一种疾病的治愈率为，前个病人没有治愈，则第个病人一定治愈C．随机试验的频率与概率相等D．用某种药物对患有胃溃疡的名病人治疗，结果有人有明显疗效，现有胃溃疡的病人服用此药，则估计其会有明显疗效的可能性为10．已知向量，则下列结论正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．的最小值为 D．的最大值为411．布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案，如图，把三片这样的达·芬奇方砖拼成组合，把这个组合再转换成空间几何体．若图中每个正方体的棱长为1，则下列结论正确的是（

）A． B．点到直线的距离是C． D．异面直线与所成角的正切值为4三、填空题（本大题共3小题）12．在深圳中考体育科目中，分为必考项目和选考项目，其中男生的必考项目为在200米和1000米项目中二选一：女生的必考项目为在200米、800米项目中二选一，小明（男生）、小花（女生）（两人选择每个项目的可能性一样）所选的必考项目不同的概率是13．已知向量，满足，，且.则在上的投影向量的坐标为.14．已知斜三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，与都成角，则异面直线与所成角的余弦值为.四、解答题（本大题共5小题）15．已知，，，，，(1)若、共线，求实数；(2)若向量与所成角为锐角，求实数的范围．16．如图，在三棱柱中，D，E分别为和AB的中点，设，，.(1)用表示向量；(2)若，，，求.17．如图，从参加环保知识竞赛的学生中抽出名，将其成绩（均为整数）整理后画出的频率分布直方图如下：观察图形，回答下列问题：

(1)这一组的频数､频率分别是多少？(2)估计这次环保知识竞赛成绩的平均数､众数､中位数.(3)从成绩是分以上（包括分）的学生中选两人，求他们在同一分数段的概率.18．甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为·在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响，求（1）“星队”在两轮活动中猜对2个成语的概率;（2）“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率;（3）“星队”在两轮活动至少中猜对1个成语的概率;19．如图，在四棱柱中，侧棱平面ABCD，，，，，E为棱的中点，M为棱CE的中点．(1)证明：；(2)求异面直线BM与AD所成角的余弦值；(3)求点到平面的距离．

参考答案1．【答案】A【分析】由点关于某坐标轴对称的点的特征以及两点距离公式即可求解.【详解】点关于z轴的对称点为B，所以.故选A.2．【答案】C【解析】根据题中条件，列举出总的基本事件，以及满足条件的基本事件，基本事件的个数比即为所求概率.【详解】从1，2，3，4，5这五个数中任取两个数，包含的基本事件有：，，，，，，，，，，共个；则这两个数都是奇数包含的基本事件有：，，，共个；所以这两个数都是奇数的概率是.故选：C.3．【答案】C【详解】在空间四边形ABCD中，E为BC的中点，则，所以.故选：C4．【答案】D【分析】由A，B，C三点共线，得与共线，然后利用共线向量定理列方程求解即可.【详解】因为，，，所以，，因为A，B，C三点共线，所以存在实数，使，所以，所以，解得.故选D.5．【答案】D【详解】因为，，共面，所以存在两个实数、，使得，即，即，解得.故选：D6．【答案】C【分析】先将用表示，然后再结合数量积的运算律即可得解.【详解】因为，所以，从而，即的长为．故选C.7．【答案】C【详解】A，事件A包含，事件C包含，显然，故A与C互斥，A正确；B，从中不放回的依次取出两个球为，共12种情况，故，事件B包含，共6种情况，故，事件AB包含，共4种情况，故，由于，故A与B相互独立，B正确；C，包含，共9种情况，故，C错误；D，事件包含，由于事件A包含，故包含事件，共4种情况，，D正确.故选：C8．【答案】B【分析】连接相交于点，连接，以为原点，分别以所在的直线为轴正方向建立空间直角坐标系，设，求出，求出平面的一个法向量，利用可得答案.【详解】如图，在正四棱锥中，连接相交于点，连接，则平面，且，以为原点，分别以所在的直线为轴正方向建立空间直角坐标系，设，由，可得，则，，设为平面的一个法向量，则，令，则，，可得，所以，解得.故选：B.【点睛】关键点点睛：解题的关键点是建立空间直角坐标系，利用平面的法向量和向量的数量积为零求解.9．【答案】ABC【详解】概率只是说明事件发生的可能性大小，其发生具有随机性，则A，B是错的.频率受试验次数的影响，不稳定，但当试验次数较多时频率会稳定在概率附近，则C错误，D正确.故选：ABC.10．【答案】AC【分析】对于A，利用共线定理列方程求解判断，对于B，由，得求解，对于CD，表示出后利用二次函数性质求最值判断.【详解】对于A，若，且，则存在唯一实数使得，即，则，解得，故A正确；对于B，若，则，即，化简得，因为，所以无实数解，故B错误；对于CD，，故当时，取得最小值为，无最大值，故C正确，D错误.故选AC.11．【答案】ABC【详解】依题意得，故A正确；如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，，对于BC，，所以，设，则点到直线的距离，故BC正确；对于D，因为，所以，所以，所以异面直线与所成角的正切值为，故D错误．故选：ABC．12．【答案】/【分析】先列表求出所有等可能结果数和两个人选择每个项目一样的结果数，然后运用概率公式求解即可.【详解】记事件“小明选择200米项目”为，事件“小明选择1000米项目”为，事件“小花选择200米项目”为，事件“小花选择800米项目”为，故所有基本事件有，，，，共有4种情况，小明、小花所选的必考项目不同的基本事件有，，，共有3种情况，所以小明、小花所选的必考项目不同的概率为.故答案为：/.13．【答案】【详解】两边平方化简得：，①因为，所以，又，代入①得：，解得：，所以在上的投影向量坐标为.故答案为：14．【答案】【详解】设，因为底面是等腰直角三角形，，与都成角，所以，又，所以，，所以，故答案为：.15．【答案】(1)(2)【详解】（1）解：因为，，，，，则，可得，，解得，所以，，所以，，因为，所以，解得．（2）解；由（1）知，，，因为向量与所成角为锐角，所以，解得，又当时，，所以实数的范围为．16．【答案】(1)(2)【详解】（1）根据题意可得；（2）易知，且，显然，；所以.17．【答案】(1)，(2)，，(3)【详解】（1）根据题意，的这一组的频率为，的这一组的频率为，的这一组的频率为，的这一组的频率为，的这一组的频率为，则这一组的频率为，其频数为；（2）这次竞赛的平均数为，一组的频率最大，人数最多，则众数为，分左右两侧的频率均为，则中位数为；（3）记“取出的人在同一分数段”为事件，因为之间的人数为，设为､､､，之间有人，设为､，从这人中选出人，有、、、､、、、、、、､、、、，共个基本事件，其中事件E包括、、、、、、，共个基本事件，则.18．【答案】（1）；（2）；（3）.【分析】令{M0，M1，M2}、{N0，N1，N2}表示第一轮、第二轮猜对0个、1个、2个成语的事件，{D0，D1，D2，D3，D4}表示两轮猜对0个、1个、2个、3个、4个成语的事件，应用独立事件乘法公式、互斥事件加法公式求P(M0)=P(N0)、P(M1)=P(N1)、P(M2)=P(N2).（1）（2）应用独立事件乘法、互斥事件加法求两轮活动中猜对2个成语的概率;（3）对立事件的概率求法求两轮活动至少中猜对1个成语的概率.【详解】设A，B分别表示甲乙每轮猜对成语的事件，M0，M1，M2表示第一轮甲乙猜对0个、1个、2个成语的事件，N0，N1，N2表示第二轮甲乙猜对0个、1个、2个成语的事件，D0，D1，D2，D3，D4表示两轮猜对0个、1个、2个、3个、4个成语的事件.∵P(A)=，P()=1-=，P(B)=，P)=1-=，∴根据独立性的假定得：P(M0)=P(N0)=P()=P()P()==，P(M1)=P(N1)=P()=P()+P()=+=，P(M2)=P(N2)=P(AB)=P(A)P(B)==，（1）P(D2)=P(M2N0+M1N1+M0N2)=P(M2N0)+P(M1N1)+P(M0N2)=.+.+.=.（2）P(D3)=P(M1N2+M2N1)=P(M1N2)+P(M2N1)=.+.=.（3）P(D1+D2+D3+D4)=1-P(D0)=1-=.19．【答案】(1)证明见解析；(2)；(3).【分析】（1）建立适当的空间直角坐标系，求出相关点的坐标，利用空间位置关系的向量证明推理即得.（2）求出异面直线与的方向向量，由向量的夹角公式即可得解.（3）求出平面的法向量，再利用点到平面的距离公式求解即得.【详解】（1）由底面，平面，得，而，即直线两两垂直，以点为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图，则，，，显然，即，