2024高考数学二轮复习重难点专题《导数解答题之零点问题八大题型》题型突破及解析

重难点专题11导数解答题之零点问题八大题型汇总

题型1一个零点问题...................................................1

题型2两个零点问题...................................................2

题型3三个零点问题...................................................3

题型4判断零点个数...................................................4

题型5最值函数的零点问题............................................5

题型6同构法解零点问题...............................................6

题型7零点差问题.....................................................7

题型8割线法切线法与零点............................................8

题型1一个零点问题

【例题1】（2024秋•重庆•高三校联考阶段练习）已知函数

Ax）（A£R）

（i）讨论Hx）的单调性；

⑵若函数烈力二武力’;在区间（工+8）上恰有一个零点，求珀勺取值范围.

【变式1-111.（2023•河北保定•河北省唐县第一中学校考二模）己知函数

贝力二铲+/*M其中常数3£人已是自然对数的底数.

⑴若"7,求犬了）的最小值：

⑵若函数式力二★力-&00】恰有一个零点，求a的值.

【变式『1]2.（2023秋•江西•高三统考开学考试）已知函数

jfx）二式Inj）-ar（aG用.

（1）当3二弓时，求曲线V二代外在点U,处的视线方程；

⑵若Hx）在（2/8）上仅一个零点，求日的取值范围.

【变式1-1]3.（2023春•江西赣州-高三校联考阶段练习）已知函数

=/-2aLnx-/*.

（1）当己二7时，若真切的最小值为Z求实数8的值；

（2）若存在每£上，炭|,使得函数H》）恰有一个零点，求实数》的取值范围.

【变式（2023•河南开封•统考模拟预测）已知函数W"）二铲一疗.

(1)若函数Ax)的图象与直线夕二X一1相切，求实数Z的值；

⑵若函数式力二Hx)-x+i有且只有一个零点，求实数Z的取值范围.

题型2两个零点问题

【例题2](2023秋•全国-高三校联考阶段练习)已知函数A*)=

(a£/).

(1)若Ax)W困0,+8)上恒成立，求a的取值范围：

(2)设式力二七为函数用x)的两个零点，证明：x.x,<1.

【变式2-1]1.(2023秋•湖南长沙-高三长郡中学校联考阶段练习)证明下

面两题：

(1)证明：当时，L)/；

⑵当°。时，证明函数x力二三有2个不同零点.

【变式2-1]2.(2022秋•广东东莞-高三校考阶段练习)已知函数

力力二3铲TnG+力+lna7.

(1)若3二7,求函数的单调区间及极值；

⑵若函数fS)有且仅有两个零点，求实数后的取值范围.

【变式2-113.(2023秋・贵州贵阳・高三贵阳一中校考开学考试)已知函数

/(J0-Inx-a>1,

(1)若函数N力在x二1处的切线的斜率为7-e,求实数a的值(e是自然对数的

底数)；

(2)若函数X*)有且仅有两个零点，求实数a的取值范围.

【变式2-114.(2023秋•安徽合肥•高三合肥一中校联考开学考试)已知函

数«幻-ae'-j(e是自然对数的底数).

(1)讨论函数犬工)的单调性；

⑵若用力二比'(X-D-In"f(x)有两个零点，求实数d的取值范围.

题型3三个零点问题

【例题3](2023春・重庆九龙坡-高三重庆市育才中学校考开学考试)已知

/(x)二力ogjxl0月aHL.

(i)试讨论函数Nx)的单调性；

(2)当7时，若H＞)有三个零点小，打

①求a的范围;

②设，＜打＜打，求证：3『，+20+年〉2匕-[

【变式3-1]1.(2023春-重庆沙坪坝-高三重庆八中校考阶段练习)设函数

fW=a)flnx-Ina)-/，其中a)0.

(1)若求不等式fGJ2£的解集；

⑵求证：匕w(2,+8),函数/Yi庸三个零点"£，＜x7＜xJ,且"

"七成等比数列.

【变式3-1]2.(2023秋•重庆-高三重庆一中校考开学考试)设函数

Hi)-J-asiru,¥£(。〃工烈x)二--i-Zaxlru,且Hx)有唯一零点.

(1)求a的取值范围；

(2)证明：式力存在三个零点；

(3)记H*)的零点为p,半由最小的零点为q,证明：。/门,其中e是自然对

数的底数.

【变式3-113.(2023•山东•山东省实验中学校联考模拟预测)已知函数

*

找力二三一】nx_ln&7有三个零点

⑴求如勺取值范围；

(2)设函数火力的三个零点由小到大依次是"匕.证明：配"订＞e.

【变式3T】4.(2023•广东深圳•校考二模)己知函数打'二三-Mm

(1)当3二1时，求勺单调区间；

(2)①当时，试证明函数^^恰有三个零点；

②记①中的三个零点分别为r，,丸，xi,且石＜刀＜七，试证明

M(l-xj〉匕

题型4判断零点个数

【例题4](2022秋•广东珠海・高三珠海市第一中学校考阶段练习)已知函数

，

/(x)=7(1•a)x-InX^•W0)

(1)讨论函数Wx)的单调性；

(2)当a♦1时，判断函数式x)二(x7)lnx-"1-的零点个数.

【变式4-1]1.(2023秋•广东-高三校联考阶段练习)已知曲线C：

不力二siMx+ae*-x(3GR)

(1)若曲线C过点一刀，求曲线C在点P处的切线方程；

⑵当户7时，求真力在[°，子上的值域；

⑶若0W],讨论虱X)二武力.去。5热.d力的零点个数.

【变式4-112.(2023•四川成都•校联考模拟预测)设函数汽“二三.

(1)求X力的单调区间：

(2)设函数4力二Hx)-以求爪X)在|0,班|的零点个数.

【变式4-113.(2023秋-黑龙江哈尔滨-高三哈尔滨德强学校校考开学考试)

己知函数=其中dWE.

⑴讨论函数C零点个数；

(2)求证：-W

【变式4T】4.(2023•河南•统考模拟预测)设函数

/(x)二三一•l)x+Inj

⑴当a*时,讨论函数Hx)的单调性；

⑵当e二一1时，判断函数式才二的零点个数，并说明理由.

题型5最值函数的零点问题

【例题5](2023•全国-高三专题练习)已知函数力>>=GR)

g(i)-x-J.

(1)若直线y=g(x)与曲线y二力(%)相切，求a的值；

⑵用min｛爆加表示m,n中的最小值，讨论函数方⑨=nin?力的零点个

数.

【变式5-1]1.（2021秋・广东深圳・高三红岭中学校考期末）已知函数

fix）-Ini

（1）讨论函数用，）二五6.。9WR）的单调性；

⑵①证明函数..二■=«为自然对数的底数）在区间内有唯一的零

点；

②设①中函数网力的赛点为此，记刀刀二粒〃"'“曰（其中min6,人表示a乂

中的较小值），若成力二〃彷£川在区间（2+00）内有两个不相等的实数根

力，[”,（七），证明：x，+x,〉2也

【变式5-1]2.（2023•广东-高三专题练习）已知函数？/二-ln1，

3

g（x）-x•aeF

（1）若函数gGJ存在极值点Xh且式X；）二g（x,），其中，声得求证：x,+2xc=C；

⑵用nin&H表示m,n中的最小值，记函数方/二min&①，t（x）]（x>0）,

若函数万（不有且仅有三个不同的零点，求实数a的取值范围.

【变式5-113.（2023•四川南充・统考三模）已知函数

f（x）-xsinx>COSTt17arg（i）=

（1）当d=6时，求函数f&J在%叫上的极值；

⑵用max益揖表示心篇中的最大值,记函数力⑴=maxAYx^gGZ7G）以讨

论函数力在⑥+8）上的零点个数.

【变式5-1]4.（2023•四川南充・统考三模）已知函数«"）=三

烈工）二10其中e为自然对数的底数.

⑴当a力时,求函数/（a的极值;

⑵用max｛珥力表示n,/中的最大值，记函数用力二maxtfl»,ajr）｝6r>0人当

己是（时，讨论函数A（力在（。/8]上的零点个数.

题型6同构法解零点问题

【例题6]（2022秋-重庆沙坪坝-高三重庆市凤鸣山中学校考阶段练习）1.己

知函数iW二况”Tn（"0+lna-g

（1）若Hx）在x=0处取得极值，求日的值及函数的单调区间；

（2）请在下列两问中选择一问作答，答题前请标好选择.如果多写按第一个计分.

①若Hx）2的成立，求日的取值范围.

②若Hx）仅有两个零点，求后的取值范围.

【变式6-111.（2021秋•重庆渝中•高二重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知

函数0X）=-/（¥WR.

（1）选择下列两个条件之一：铲=：；②^二人判断乂力在区间0♦叼是否存

在极小值点，并说明理由；

（2）已知酬24设函数式力二双力・皿1110111）•若在区间9+8]上存在零点，

求实数笈的取值范围.

【变式6-1]2.（2020秋•湖南•高三校联考阶段练习）已知函数

f（x）-&铲TnG+力+Ina-J

（1）若3二，求函数的极值；

（2）若函数力,有且仅有两个零点，求a的取值范围.

【变式6-1]3.（2021秋・重庆南岸-高三重庆市第十一中学校校考阶段练习）

已知H0=xln"牙

⑴若函数仅力二以力打cosx-sin¥-xln”战（“事上有i个零点，求实数&

的取值范围.

⑵若关于，的方程尸/"二Hx）有两个不同的实数解，求日的取值范

围.

【变式6-1】4.（2021春•江苏-高三专题练习）己知函数"

（1）若函数V二Ax）在（〃口上单调递减，求d的取值范围；

（2）若函数V=手（1）在定义域内没有零点，求石的取值范围.

题型7零点差问题

【例题7】（2023秋•河南-高三校联考开学考试）H了）

有两个零点口F乂几(匕).

(1)3=0时，求加勺范围；

⑵6=7且#=时，求证：x,<2>[7T4.

【变式7-1]1.(2023秋•河北衡水-高三校考开学考试)已知函数

/(x)-ln(x*J),*x)=HJT)+丸:其中aEj.

(1)求过点(-1，-八且与函数a%)的图象相切的直线方程；

⑵①求证：当储。时，

②若函数俱X)有两个不同的零点"七，求证：%一"“后写T

【变式7-1】2.(2022•全国-高三专题练习)设“6”.+而又为乙

(1)如果g3>二£仆1-劣一1在^二2处取得最小值-£求FGJ的解析式；

⑵如果加“<加加/£〃人力力的单调递减区间的长度是正整数，试求万和元的

值.

【变式7-113.(2023秋•河南・高三河南省实验中学校考开学考试)已知函

数f3)-1就-2x+7+In住+力能//

⑴求曲线C；y二f在点尸”,刀处的切线方程；

(2)求证：函数力力存在单调递减区间乙,6」,并求出单调递减区间的长度，二6-a

的取值范围.

【变式7-1]4.(2023春・上海黄浦・高三格致中学校考开学考试)已知关于

X的函数夕二与力+b优b£⑼在区间D上恒有

f(x)h(x)N.

(1)若/(力二/*20“jr)h/+2r,D=(…，，⑴，求h(x)的表达式；

(2)若"x)=F7+1,h(i)=ki-ktD=(Q,+⑼,求k的取

值范围；

(3)若

f(i)-x/-2tfg(x);&万⑨二4(N-W6)»

D-|jan\U[-、反方，求证：门-mWC.

题型8割线法切线法与零点

【例题8]（2020•安徽合肥・高三统考阶段练习）已知函数二一（e为自

然对数的底数）.

（1）求函数的零点孔，以及曲线/二在X二九处的切线方程；

⑵设方程灯/二次（用）”有两个实数根丸，打,求证：同一方।《2-水1”）.

【变式8-111.（2020•湖北武汉•统考二模）己知函数Hx）=（L-x）lm"为

自然对数的底数）.

（1）求函数汽1）的零点，以及曲线/二孔》）在其零点处的切线方程；

（2）若方程Hx）二M加土⑦有两个实数根"求证：1肛一七|<…T.

【变式87】2.（2017•山西临汾•统考一模）已知函数=

（1）求曲线K=f㈤在原点处的切线方程;

（2）若打力一打+u2（恒成立，求实数日的取值范围；

（3）若方程二m彷W另有两个正实数根右广，求证：万/<"加".

[变式8-1]3.（2021秋•山东泰安•高三统考期中）已知函数

Hx）=（x-7）ln（"7）,曲线y^f{x}在点（Z。处的切线方程为

y=kx+b〈k,b£R）.

（1）求兑方的值；

⑵证明：力力?kx+b；

（3）若函数用力二Hx）+成而GR）有两个零点七，七，证明：।乃一町IW7-郡-4.

【变式8T】4.（2022•江西・校联考模拟预测）已知函数贝外二（了+】）（-一刀.

（1）求«x）在点（-，«-/））处的切线方程；

（2）若方程立力二峭两个实数根土，毛，且小（以证明孙一孙岩+£.

1.（2023•湖北黄冈・黄冈中学校考三模）己知函数

真力-xsinx*cos"己耳云JT）-jin-

⑴当时，求函数Hx）在I-nJ穴1上的极值；

（2）用max的力表示血力中的最大值，记函数A（力二讨论

函数加力在+8）上的零点个数.

2.（2023-河南•校联考模拟预测）已知函数Hx）=加2a.

⑴求曲线V=f（力在点"痛处的切线方程；

⑵讨论函数用了）=IHx）-H--的零点个数.

3.（2023•广东揭阳•校考二模）已知函数五»二lnx-以

（1）讨论火幻的单调性；

（2）若三，xj,（x：（七）是的两个零点.证明:

⑴孙♦“片

、4

（ii）外一

4.（2021•山东潍坊・统考三模）设函数=xlnx.

（1）求曲线V二f"）在点（夕2,川夕明处的切线方程；

（2）若关于5的方程力力~有两个实根，设为无，毛（不《々），证明:

2

Xj-Xi<1+2a+e'.

5.（2022•全国•统考高考真题）已知函数二〃

（1）当d=6时，求的最大值；

⑵若fW恰有一个零点，求a的取值范围.

6.（2022•全国•统考高考真题）己知函数=

（1）若«x）认求a的取值范围；

（2）证明：若W力有两个零点七,元,则，打（7.

7.（2022•全国•统考高考真题）已知函数Nx）=ln（1fX）♦d"-'

（1）当3=7时，求曲线V二f（x）在点（。咒如处的切线方程;

⑵若★*）在区间各恰有一个零点，求a的取值范围.

8.（2021•全国•统考高考真题）已知函数二G

（1）讨论力篦的单调性；

(2)从下面两个条件中选一个，证明：打刀只有一个零点

①:“与46)2a；

②。《己心bW2a

9.(2020♦浙江•统考高考真题)已知】＜aW2,函数Hx)=其中

e=2.71828…为自然对数的底数.

(I)证明：函数V=f(力在0，+8)上有唯一零点；

(II)记x0为函数P二武力在自，+R)上的零点，证明：

(i)\a-1WxjW1八

(ii)xj(户)孑I)e.

10.(2020•全国•统考高考真题)设函数"幻二/"x+c,曲线/二7色1在点

(1f&)处的切线与y轴垂直.

(1)求b.

(2)若盾一个绝对值不大于1的零点，证明：所有零点的绝对值都不

大于1.

11.(2020•全国•统考高考真题)已知函数

(1)讨论力力的单调性；

(2)若力力有三个零点，求/的取值范围.

【答案】(1)详见解析；(2)©一.

【分析】(1)fG)=3/-A,9分kW(和42C两种情况讨论即可；

(2)fGJ有三个零点，由(I)知且【f©〈。,解不等式组得到4的

范围，再利用零点存在性定理加以说明即可.

12.(2019•江苏・高考真题)设函数f3*二(x-a)(X-b)(X-c)t瓦"CER,

尸①为f(x)的导函数.

(1)若a=b=c,f(4)=8,求a的值;

(2)若aWb,b=c,且f(x)和f"’的零点均在集合中，求f(x)

的极小值；

(3)若a=0,0(bZc-J,且f(x)的极大值为M,求证:

参考答案与试题解析

重难点专题11导数解答题之零点问题八大题型汇总

题型1一个零点问题...................................................1

题型2两个零点问题...................................................2

题型3三个零点问题...................................................2

题型4判断零点个数...................................................3

题型5最值函数的零点问题............................................4

题型6同构法解零点问题...............................................5

题型7零点差问题.....................................................6

题型8割线法切线法与零点............................................8

题型1一个零点问题

【例题1】(2024秋•重庆•高三校联考阶段练习)已知函数

*x)-r£R)

(1)讨论Hi)的单调性；

⑵若函数烈力二武力在区间a+8)上恰有一个零点，求如勺取值范围.

【答案】(1)答案见解析

⑵a<-u

【分析】(1)讨论参数a,利用导数研究函数单调性；

(2)问题化为㈤铲人在(，・8)上仅有一个解，构造

雄但"Mnj-c利用导数研究其在E・8)的单调性，结合零点存在性判

断区间零点个数，即可求参数范围.

【详解】(1)由，⑶二：♦。二V,且xe(Q,+8),

当a>19则f⑶M此时W力在S,.8)上递增;

当则°<刀<-%寸，，(公)0,即Hx)在e上递增；

nV时，/（X）<6,即立尸）在上递减；

综上，a"Hx）在像，8）上递增；

a”,Hx）在e一上递增，在'吃・8）上递减.

eJ

（2）由题设爪X）二alM-；*二二0在E+8）上仅有一个解，

所以"lrLr-e+铲二碓（1，・8）卜仅有一个解，

令&W-5xlnx-e+巴则（x）-a（\x\x^l）ie.

当a24时，/30。恒成立，此时@仆1递增，旦e3b雄⑴二G,

所以@㈤二。在"*8］上无解.；

当时，令二。6d二aln"e”,a,贝彼G）二三~,

令h（x）=a+xB”,则百/二G+"e”0,即力⑴递增，则方力①二a+c,

i.当・eW“C时,h（x）〉G,即O'3Ms亘成立，即03二。‘如递增，

所以6'⑴=e+aM,故小①递增，此时@.二。在（/，8）上无解;

ii.当3<-e时，h⑴=a+e",片趋向正无穷时力.趋向正无穷，则

3xcE亿，8/1使方二Q

亿"上微"4即©31“。出递减；

（力+8）上方/，。即。'⑴乂，♦⑨递增;

由。；Jr"<&x趋向正无穷时巾"，趋向正无穷，

所以。在（L尸/恒负，在（x>，8）上存在一个零点工，

故2上。G）=⑴《0,0①递减；

，8）上。出）=递增；

由于@夕）二。x趋向正无穷时/仆1趋向正无穷，

所以。W在2Xj上恒负，（玉，+8）上仅有一个零点，此时满足题设；

综上，a<-e.

【点睛】关键点点睛：第二问，问题转化为"】mr-e+铲二。在。・8）上仅有一

个解，构造中间函数并应用导数研究零点.

【变式1-111.（2023•河北保定•河北省唐县第一中学校考二模）已知函数

Wx）二（,"为广+厂:犯其中常数3G人已是自然对数的底数.

⑴若”7,求*力的最小值;

⑵若函数式力二Kx）-&os】恰有一个零点，求a的值.

【答案】（1H

⑵kJ

【分析】（1）根据题意，求导得令"x）=f'（x）,然后分尸与尸>-：讨

论，即可得到结果；

（2）根据题意，由条件可得0是函数烈刀）的一个零点，构造网力二g'（x）,分

3+a","a〉G以及""闷论，再结合（1）中的结论，即可得到结果.

【详解】（1）当尸7时，犬力=（"为贝

f。工、

记用力-/（J）,则5（j）二

①当尸W-J时，（"9e*W£,2x-3W-«,可得f（幻”，可知函数犬》）在区

间58,上单调递减；

②当时，（"4QM,万（x））0,可知函数用力单调递增，又由灰。二C,

可知当-3<x<，时，A（x）<0；

当不乂时，用力乂，可知函数升工）在区间上单调递减，在区间'8）上

单调递增，

由①②知函数汽力的减区间为（-8,仍，增区间为（0,+00］，故有

A^）am~-^（0二2；

（2）因为函数用力二武力一次osjf合有一个零点，

且烈。二。0是函数用》）的一个零点，又g'（x）二（"①。〜2""2siru,

不妨设汽x）=g'（x）,函数定义域为力，贝附7x）=（"4把"2+%。"，

当x>-4时，x+4〉G,又u"0,2+2cosx26,

所以（"介er2d2cosx）给（-£，8）1亘成立，

则函数在（-£+8）上单调递增，即函数g'（x）在L4,，8）上单调递增，

又g（6=3+%

当时，可得g'（。“，且刀一・8时，g'a）乂，

则存在Q£（。*8）,使得g'（。）力,此时在（〃勿上，有屋（外”，

在（上，g'（外，0,故烈X）在上为减函数，在（aJ8］上为增函数,

故当不。）时，用X）＜式6=0,而刀一,8时，烈力一，8,

故式方在/8）上存在一个零点，

则此时函数式力至少存在两个零点，乂因为0是函数式力的唯一零点，故不符合

题意；

当时，可得g'（0乂，又g'（一分=-eT-8-"%ina0,

所以在区间（一名①上存在一点乱使得g'（6）M

故当在（6,0上，有♦⑶*,在（-46）上，有3"）“

故俱工）在（氏功上为增函数，在（-4,6）上为减函数，

故当不£（瓦。时，俱力而当不一一8时，Hx）一/8,

故此时函数仪X）在（-8,仍上至少存在一个零点，

又因为0是函数以X）的唯一零点，故不符合题意；

当二，时，即d二时，由（1）知，当时，函数用力取得最小值，

最小值爪0=R0-&os。=Q

当尸H£时，因为烈J）符合题意.

综上，满足条件的&值为一：.

【点睛】思路点睛：知道函数零点的个数，要求参数的取值范围，需结合导致的

符号和函数的单调性来处理，分类讨论时注意利用已有的确定零点来确定一段范

围上的函数值的符号

【变式1T】2.（2023秋•江西•高三统考开学考试）已知函数

Hx）=x（"Inx）-ax"（ae吊.

⑴当3二弓时，求曲线y二f（x）在点（七汽力）处的立线方程；

（2）若H*）在+8）上仅一个零点，求a的取值范围.

【答案】⑴=0

⑵（。力.

【分析1（1）由a=6得到«x）=Gru,利用导数的几何意义求解：

（2）将问题转化为"Inx-"二。在（1/8）上仅有一个实数解，设

9jJ—.

a

烈x）-Inx-ax*a（x>2）,求导g⑶=；-~~f，分aW&3》,，0<a（J讨

论求解.

【详解】（1）解:当己二C时，XJT）-Hru,所以五乃二。，即切点为（Z0

又则H力二Ini+1二7,

故曲线V二/'（力在«力力）处的切线方程为V-。二」（工一4，

（2）由题意知，方程X/lnjr）—-二6在"+8】上仅有一个实数解，

则方程J’Inz-四二〃t（J,，8）上仅有一个实数解.

设烈力-lnx-ax/a（j>2］,则g⑶二；打二一，

当aW4时，g'Cr）>0,所以式x）在（，*8）上单调递增，

又二ln】・"a=。所以O时［力乂,则式x）在（L+8］上没有零点；

当时，时，则g'（x）”，所以式力在"+8）上单调递减，

又对力二。所以"力”，则d外在（L+8）上没有零点；

当时，PA当X*（工3时，g'cr）》4当X*8+8）时，厂⑶女,

所以式力在（Z=）上单调递增，在・8）上单调递减，

则g（3"g（7）=4所以式X）在（上口上无零点.

设用工）二铲-成工20）,则方'（>）=所以从工）〉卜助二1,

则u”凡所以

设火力0）,则&'（外二e”-2凡

令成工）=e*-2r（x>0）,贝加（x）=e*-2,

当不£（。1必，/（X）（0,

所以戚工）在（〃ln9上单调递减，在（InZ，8）上单调递增，

则减X）学“In历=2一且02=1口,乂，即”（幻，6,

所以e3在（。/8）上单调递增，

又雄（。二。所以&（力乂，则尸-1＞广，所以怎一八三贝"■云♦：,

又入（；"8）则g同―・比:，―（-乡，卬,

又烈工）在G+8）上单调递减，且g（：”q

所以虱力在尼，♦8）上有且仅有一个零点.

综上可知，己的取值范围为力.

【点睛】方法点睛：代力在"+8）上仅一个零点，即方程乂在

（，,8）上仅有一个实数解，构造函数用了）二lnx-a"8aX）,求导

g（x）-；-J-分iW4,a10＜a＜1,讨论函数的图象在"+8）上与

X轴有唯一的交点而得解.

【变式1-1]3.（2023春•江西赣州•高三校联考阶段练习）已知函数

Hx）=/-2Mnx一戒.

（1）当时,若0＞）的最小值为Z求实数》的值；

⑵若存在a三卜，a|,使得函数大外恰有一个零点，求实数力的取值范围.

【答案】⑴七二7

⑵卜』,4

【分析】（1）利用导数可求得式外的单调性，由此确定最值点，利用最小值可构

造方程求得如勺值；

（2）利用导数可求得«x）的单调性，结合"外仅有一个零点可构造关于&妁勺方

程，采用分离变量的方式，将问题转化为°二—有解；构造函数

式司二手（。WaW＞」）,利用导数可求得用®的单调性和最值，由此可确定用团

的取值范围，从而得到结果.

【详解】（1）当己二7时，Hx）='-Nru-，，

:'Hx）的定义域为（，+8）,f'a）二a一二二与二半三，

•:当不£（。刀时，/（X）＜0.当Xe（z+8）时，/（J）^0；

•:Hx）在（，力上单调递减，在JJ8］上单调递增，

二H,解得：b二-工

⑵当a・［e川时,f&）为Y=M伫"W

•:当x£（ay）时，/（X）（Q.当4£（北*8）时，，（外）4

・：代外在（。、团上单调递减，在（乃+8］上单调递增；

・：?（x）BXB-f{yja）=a-2tHn«-/6二a-alna-t^L

若Hx）恰有一个零点，则«力.十二4

.：6二二要二号在ae［e,e4时有解，

设山）二弓GWaWe。则/（a）二上野二号，

,:当3£|e,e。时，g\a）＜6；当时，g'（a），0；

•:g（亦4匕。7）上单调递减，在炭|上单调递增，

•:烈=£（刁-^Jr-T,式力二1二max屈电水叽

z\/-1&•//n/-lw,3

又水）二丁二，M功二-^二一3•:g（x）z=4

・：gU）e|-id•:实数上的取值范围为|・％4

【点睛】思路点睛：本题考查根据函数最值求解参数值、利用导数解决函数零点

个数的问题；根据零点个数求解参数范围的基本思路是通过导数确定函数的单调

性，进而根据零点个数确定最值与零的大小关系，由此构造方程或不等式来求解.

【变式1T】4.（2。23•河南开封•统考模拟预测）已知函数贝X）二1一”.

（1）若函数胃X）的图象与直线夕二工一」相切，求实数的勺值；

⑵若函数用力二式力一］♦［有且只有一个零点，求实数&的取值范围.

【答案】（1）今；

【分析】(1)设切点坐标，根据导数的几何意义求出切线的斜率，进而列出关于

石的方程组，解之即可：

(2)由题意可得二。只有一个根，易知xH，，可转化为v;与与

・“一■力

川力二寸的图象只有一个交点，根据导数研究函数用力的单调性，数形结合即

可求

【详解】(1)设直线y=x一1与函数Hx)的图象相切于点“乃匕)，

因为，(x)=

e“。2"o=l①

夕.二孙一咫

Iy-,由②③可得二%一额，易知七声，.

©%一。七•/9

由①得"五，代入④可得铲"工.

gp2^-10--2,即(2-xo)e町二%-£解得x°=2

x/fi*xo-2x0

故”WT.

(2)令式x)=Hx)-J+7=C,可得u“-4*-"[=C,

由题意可得e,-a/-"7二♦只有一个根.

易知x二0不是方程二C的根，所以

所以由二“可得&二一^.

设/丫)二三；，则y二与与父工)二三；的图象只有一个交点.

当x£(-8,0时,h⑶〉0,函数A(力单调递增;

当尸£(。?时，A^x)<0,函数杈%)单调递减；

当刀£(2,8)时，分(力乂，函数A(x)单调递增.

设，(x)二铲一"7,贝，(x)二17,

当xE(-8,。时，八幻”，函数f(x)单调递减;

当x£(。+8)时，/⑺乂，函数？(x)单调递增.

所以fCr)2，(。二2

所以2）二手,4

又以？二二一，F—你t用力一+8,不一.8时，*力一’8,

画出函数与工）的图象如图所示：

由图可知，若夕二3与公力二手的图象只有一个交点，

则0"咛

所以实数如勺取值范围是（°宁）.

题型2两个零点问题

【例题2]（2023秋•全国-高三校联考阶段练习）已知函数Hx）=Nnx+町

（3―）.

⑴若Hx）W（在）8）上恒成立，求a的取值范围：

（2）设烈外二r，,后为函数景外的两个零点，证明：xMl.

【答案】⑴卜8,T

⑵证明见解析

【分析】（1）参变分离，将问题转化为函数最值问题，利用导数求解可得；

（2）将方程聚力入化为/・三^・户4构造函数,*）二/-r-2,利用导数

讨论其单调性，可知x：“<孙,构造差函数可证.

_Tlu

【详解】（1）若HDW7在,8）上恒成立，即aW-丁，

令“力——,所以U⑶----------k，

所以当0<x<e时，u（x）<£,当邙寸，炉⑶乂，

所以认X）在（。切上单调递减，在（a/8）上单调递增，

所以认X）皿〜⑹

.

所以即a的取值范围是（・8.T.

（2）令用力二。即N^・^二，

令苗力二人手，，则/⑴必-修二吟二，

令Xx）=/*】nxr,所以r"）二3/1乂，所以《外在.8止单调递增,

又X乃二Q所以当。“（时，Xx）〃，所以方'⑶

当X”时，耳力乂，所以方7打乂,

所以用力在（。力上单调递减，在（I,+8）上单调递增.

不妨设心"，则0＜刀＜】＜以0＜7,＜2.

因为丛小）二方（孙）二G,

所以也一㈢"）-啕•叫-导软，

=（，"?）-（"-/2n功

设函数0（*）"-＞痴（1〃），贝“⑶4TY二呼乂在（小8）上恒

成立，

所以03在QJ8）上单调递增，

所以'⑷=%-3-0n36⑴=。,

所以A（%）-也）叫即“盯）〉》（9

又函数Mx）:三--1・£在（〃7）上单调递减，

所以"勺＜£",所以

【点睛】难点点睛：本题属于极值点偏移问题，本题难点主要在于构造差函数

*盯）-»（3,然后利用导数讨论其单调性，利用单调性可证.

【变式2-1】1.（2023秋•湖南长沙•高三长郡中学校联考阶段练习）证明下

面两题：

（1）证明：当时，eJ>?；

（2）当°2。时，证明函数七）二三3（lnxr）有2个不同零点.

【答案】（1）证明见解析

⑵证明见解析

【分析】（1）首先设函数式力二1一）,利用导数判断函数的单调性，以及函数

的最小值，即可证明；（2）首先求函数的导数'⑶=Ur）仁七），并且判断函

数的单调性和最值，并结合零点存在性定理，即可证明零点个数.

【详解】（1）令烈x）二铲-V,其中则g'（x）=l-2,

令火力二『-2九则。

所以雄（力在JJ8］上单调递增，所以

所以烈x）在（1,+8］上单调递增，g（x）故当时，

（2）函数代力的定义域为（。+8）,

住7）=孑。・

因为a”。，三七）。,令，⑶乂，得。<工"，令"幻"，得d,

所以«x）在（。力上单调递增，在*8］上单调递减，

所以H*）有最大值二:・£.

当。时，真力乂，

令A（力二lnx-"Z则力'（X）=:，二U则岚力在（。力上单调递增,

在（1J8）上单调递减，所以力/3二方⑺-6,所以*x）-Inx-x^JWC,

因此当°1时，Ina-aj,Ha）二三七Qn"a）弓一户打仁-力

因为所以e"Z于是

又*力在（。力上单调递增，W力乂，且°

所以H*）在（。为上有唯一零点.

（如沁二士・・-alna-j

由⑴因为沁X,所以炉乂3,即方",

/（-）-A-alna-1＜a-alna-j

所以.7^

由Inx—x+JWl,得＜4即—Ina—：+7＜。，得a-血na_/（C,

于是也）＜。

又w力＞4:Mw力在a♦8）上单调递减,

所以Hx）在a,+8]上有唯一零点.

故°时，代力有两个零点

【点睛】思路点睛：本题考查利用导数证明不等式，以及零点问题，第一问需求

二次导数，结合函数的单调性和最值，即可证明：第二问的难点是利用零点存在

性定理证明",需构造函数.

【变式2-1]2.（2022秋•广东东莞-高三校考阶段练习）已知函数

f（x）-atJ-In（xH）♦Ina-J.

（1）若d二，求函数，’力的单调区间及极值；

⑵若函数fGJ有且仅有两个零点，求实数砧勺取值范围.

【答案】（D单调递减区是为＜一1a,单调递增区间为@+8）,极小值

f（o）=ot无极大值

⑵0d.

【分析】（1）运用导数研究函数的单调性及极值.

（2）f（x）^0naerina=ln6r♦力♦/•=＞aex*ln（aejrJ-ln（jr*7^*6r+〃

构造函数力〃，二r+lnl研究其单调性可得弟*二刀+2在.8/上有

两个交点，再运用导数研究$自）二三（刀”一力的单调性进而可得图象即可求得

结果.

【详解】⑴当&二】时,心力7,定义域为r-z+8，,

则/⑷:铲-9，

显然在，7,上单调递增，且f(Q)二Q,

所以当时，F(x)<Of/YiJ单调递减；当时，f(i)>Gy/Y#单

调递增.

所以广外的单调递减区为单调递增区间为⑥+8人

打刀在尸。处取得极小值打力二6,无极大值.

(2)因为函数有两个零点，即ffx)二C有两个解，即无“+ln。二】+7

有两个解，

所以无”=lnCx*I)+jr，7有两个解，即

x1^ln(aex?-In(x^l)+”有两个解，

设”“Flnl,则力'〃"］七，4所以方⑴在他+8)上单调递增,

犹"="7(X>-J)有两个解，即k三(X2一］)有两个解.

令S(x)二三(x〉-l),则s⑴:一3,

当XWf-工勿时，S(2)>Q,sG单调递增；当Xw(0,+8)时，s'⑴(0,

$(川单调递减.

又因为=4S(O)=1,当X趋近于正无穷时，sGJ趋近于零，

所以S「#图象如图所示，

-1OX

所以。<a".

【点睛】同构法的方法点睛：

①乘积型，如比'Wbl址可以同构成况'W(InB九:叱进而构造函数二X1；

②比商型，如二W4可以同构成三W±,进而构造函数力/二三；

③和差型，如1±dWb土1由，同构后可以构造函数f⑨二『土"或

f(x)=x±lnj

【变式2-1］3.(2023秋・贵州贵阳-高三贵阳一中校考开学考试)已知函数

-lnx-/ln^,a>1,

（1）若函数h力在x二1处的切线的斜率为7-e,求实数a的值（e是自然对数的

底数）；

（2）若函数Hx）有且仅有两个零点，求实数a的取值范围.

【答案】⑴

（2）（Le*）

【分析】（1）利用导数的几何意义求得尸二e,两边取对数结合换元法得

m♦力rw=7,构造函数，利用复合函数研究单调性，从而求解即可；

（2）把问题转化为Inx-/Ina=（有且仅有两个大于1的实数根，构造函数

网力二xlru,利用函数单调性得，二儿即Ina二二，构造函数，利用导数研究函

数的单调性，从而求解参数的范围.

【详解】⑴因为*力:所以f'（x）=，/（lna）j

又f'（力二1--e,所以“所以ln[4na）z]=lne,

gplna^^,n（lnd）-2,令m二Inz,则用21rwi?=1,

又因为gfW=疥+列ru在（。+8]上单调递增，旦gd）二L所以加二1,

所以In"，即a=e.

（2）因为函数Hx）有且仅有两个零点，

所以Inx-囚二。有且仅有两个大于o的实数根，

又力。&二111九则xyina=xlru,即jHndrlru,

令网x）=xlru,则r'（，）=Inx1,

由F'Cr）=0得尸=由个"）儡由得

所以汽X）在i°：）上单调递减，在（J・8）上单调递增，

又汽/二月（功力），内为”'（力二4所以kr,贝

即1na=3,令认*）=三,则0'（力=手，

由0'（x）=G得刀二e,由0'（x）”0得。（尸由0'（幻"得

所以函数ax）在上单调递增，在（a«8）上单调递减，税口二：

当X无限趋近于0且为正数时，口力无限趋向于负无穷大，

当X无限趋向于正无穷大时，口力无限趋向于0,

所以。所以故实数a的取值范围为（1，司.

【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：

（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根

据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出

导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；

（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；

（3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题军价转化为直线与函数的图象的

交点问题

【变式2-1]4.（2023秋・安徽合肥・高三合肥一中校联考开学考试）已知函

数二死是自然对数的底数）.

（1）讨论函数的单调性；

⑵若式力二无%x.。-ln*f（x）有两个零点，求实数d的取值范围.

【答案】（1）答案见解析

⑵0＜勺

【分析】（1）求得,但，对日进行分类讨论，由此求得Hx）的单调区间.

（2）原题意等价于a二；有两个不同的实数解，构造函数，利用导数判断函数

的单调性和极值，数形结合即可求解.

【详解】（1）因为Hx）二兆,-1，所以f（x）=

当aW4时，，⑶（0,所以Hx）在R上单调递减；

当时，令Fer）20得x2-1na；令"得x＜一】n&

所以Hx）在（-8,-In却上单调递减，在（-Ina+8）上单调递增.

综上，当aW（时，HXMER上单调递减，无增区间；当3”。时，真》）在（・8,-Ind）

上单调递减，在Lina，8）上单调递增.

（2）由题意式力二况生*-。Tnjr，f（jr）-axe1-Inx-1-weJ-IntieOU>0]

有两个零点，

令公则，=（"x）d乂在，8）上恒成立，所以xxe“在，8）

上单调递增，

故”0,所以用x）二*”一3（此为两个零点等价于7（。-Lin用两个零点,

ini工/]_mi

等价于8二二有两个不同的实数解，等价于y:&与力有两个交点,

则力⑴二一，方'⑴）0得。（t<七夕⑴<0得于e,

所以方〃）二二在（。。）上单调递增,在（a*50）上单调递减，又方色，二?三,

h⑴二0,

当t趋向于0且为正时，趋向于负无穷大，当I趋向于正无穷大时，h《担

向于0,如图：

由图可知，要使y二5与方〃）二%两个交点，则

所以实数石的取值范围为°<&<：

题型3三个零点问题

【例题3]（2023春・重庆九龙坡-高三重庆市育才中学校考开学考试）已知

扎1）二力ogJH-upG）0且aH1/,

（1）试讨论函数Hx）的单调性；

（2）当all时，若真刀）有三个零点与，打九

①求石的范围；

②设与（必5,求证：3二+2力十月>%T.

【答案】（1）答案见解析

⑵①】②证明见解析

【分析】（1）去绝对值符号，