2024年高考数学（必修）必背知识点：第8章 立体几何初步（公式、定理、结论图表）高考数学必背知识手册

第八章立体几何初步（公式、定理、结论图表）

现实世界中的物体It?钱:台」球的结构特速

空间几何体立体图形的直观图

一柱、锥、台、球的表面积和体积

［平面的基本性质

空间中亶线与直线的位置关系

空间点、直线、空间中直线、平面的平行

平面的位置关系

空间中直线与平面的位置关系_

空间中直线、平面的垂直

空间中平面与平面的位置关系

空间平行、垂直关系之间的转化

-I判定厂1判定

直线与直线平行♦-----1直段与平面平行YA平面与平面平行

-I一"r-」性质-T-

【知识梳理

1.多面体的结构特征

名称棱柱棱桂棱台

图形

AABaAB

底面互相平行且全等多边形互相平行且相似

侧棱互相平行且相等相交于一点,但不一定相等延长线交于一点

侧面形状平行四边形三角形梯形

2.正棱柱、正棱锥的结构特征

(1)正棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱.反

之，正棱柱的底面是正多边形，侧棱垂直于底面，侧面是矩形.

(2)正棱锥：底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱维叫做正棱

锥.特别地，各棱均相等的正三棱锥叫正四面体.

3.旋转体的结构特征

名称圆柱圆锥圆台球

会

图形③

31

互相平行且相长度相等且相交

母线延长线交于一点

等，垂直于底面于一点

全等的等腰三角

轴截面全等的矩娶全等的等腰梯形圆

爱

侧向展开图矩形扇形扇环

旋转图形矩形直角三角形直角梯形半圆

4.三视图

C)几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图,分别是从几何体的正前方、正左方和正

上方观察几何体画出的轮廓线.

(2)在画三视图时，重叠的线只画一条，挡住的线要画成虚线.

(3)三视图的长度特征：

“长对正、高平齐、宽相等”，即正俯同长、正侧同高、俯侧同宽.

5.空间几何体的直观图

空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是:

(1)原图形中X轴、了轴、Z轴两两垂直，直观图中，f轴，y'轴的夹角为45。或135。,z'

轴与『轴和y'轴所在平面垂直.

(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴;平行于x轴和z轴的线段在

直观图中保持原长度不变;平行于y轴的线段在直观图中长度为原来的一半.

6.多面体的表(侧)面积

因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是

侧面积与底面面积之和.

7.圆柱、圆锥、圆台的恻面展开图及侧面积公式

8.柱、锥、台和球的表面积和体积

名称

表面积体积

几何体

V=Sh

柱体(棱柱和圆柱)S表面枳=5例十2s底

V=\sh

锥体(棱锥和圆锥)

S表面积=5情+S底3-

台体(棱台和圆台)S表面枳=5御+S上+S卜v4s上+s】、+V?^)/?

4

2

球S=4nR3--

9.平面的基本性质

(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内.

(2)公理2：过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面.

(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有•条过该点的公共直

线.

(4)公理2的三个推论

推论I：经过,条直线和这条直线外的•点，有且只有•个平面.

%

两平斜交aC\p=l

面相有一条公共直线

交aa邛且

垂直/a7

於______/aC\p=a

12.线面平行的判定定理和性质定理

符号语

文字语言图形语言

言

・・・/〃〃,

平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该

aUa,IQ

判定定理直线与此平面平行（简记为“线线平行=＞线面平一

a,

行”）

：.l//a

・・•/〃a,

一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平IUB，

性质定理面与此平面的交线与该直线平行（简记为“线面平aC\S=

行今线线平行”）h,

：.l//h

13.面面平行的判定定理和性质定理

文字语言图形语言符号语言

一个平面内的两条相交直

线与另一个平面平行，则aQb=P.

判定定理

这两个平面平行（简记为口aUa,bua,

“线面平行"面面平行”）：.a//fi

如果两个平行平曲1可时和

性质定理第三个平面相交，那么它/m,

们的交线平行」：.a//b

14.直线与平面垂直

（1）定义：如果直线/与平面a内的任意一条直线都垂直,则直线/与平面a垂直.

（2）判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条交直线都垂直，则该直线与此平面垂直.

⑶推论：如果在两条平行育线中，有一条垂育干一个平面，那么另一条也垂育干这个平面.

(4)直线和平面垂直的性质：

①垂直于同一个平面的两条直线为£.

②直线垂直于平面，则垂直于这个平面内的任二直线.

③垂直于同一条直线的两平面的

15.直线和平面所成的角

(1)平面的一条斜线和它在于面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角.

(2)当直线与平面垂直和平行(或直线在平面内)时，规定直线和平面所成的角分别为90。和

02.

(3)直线和平面所成角的范围是0。-W90。.

16.二面角的有关概念

(1)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.

(2)二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两

条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.

(3)二面角的范围是0。一代180。.

17.平面与平面垂直

(1)定义：如果两个平面所成的二面角是直酒鱼，就说这两个平面互相垂直.

⑵平面与平面垂直的判定定理与性质定理

文字语言图形语言符号语言

判定定一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面/J_a

理垂直/u划"

a邛、

口

性质定两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直

线与另一个平面垂直

理l-La-

ILa

〈常用结论》

I.特殊的四棱柱

底面为平行侧梭垂直直平行底面为

四棱柱

平行四边形六面体于底面六面体矩形

长方体I**1正四棱柱H磊禁，区于雨

上述四棱柱有以下集合关系：［正方体｝会｛正四棱柱;呈

｛长方体｝会｛直平行六面体｝会｛平行六面体卜呈｛四棱

柱L

2.球的截面的性质

(1)球的任何截面是回重.；

(2)球心和截面(不过球心)圆心的连线垂直于栈面；

(3)球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r的关系为r=yjR2—d1.

3.按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形面积的关系如下：

S衣相相=*^£敖图格,S取出舟产2y/^5：忖.

4.正四面体的表面积与体积

棱长为4的正四面体，其表面积为镉鼠，体积为*

5.几个与球有关的切、接常用结论

(1)正方体的棱长为〃，球的半径为R,

①若球为正方体的外接球，则2R=#g：

②若球为正方体的内切球，则2R=a;

③若球与正方体的各棱相切，则2人=啦

(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为Ac,外接球的半径为R,则2/?=扉?+从+苦.

(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3：1,棱长为a的正四面体，其内切球半径

"邛a,外接球半径尺外=乎&

6.异面直线的判定定理

经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线.

^/VWWV*W*VaV*W*>*W>W\/\ZW\ZVlWIV«'

7.等角定理的引申

(1)在等南定理中，若两角的两边平行且方向相同或相反，则这两个角相等.

(2)在等角定理中，若两角的两边平行且方向一个边相同，一个边相反，则这两个角互补.

8.唯一性定理

(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行.

(2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直.

(3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.

(4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直.

9.线、面平行的性质

(1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面.

(2)夹在两个平行平面间的平行线段长度相等.

(3)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面土红.

(4)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例.

(5)如果两个平面分别和第三个平面平行，那么这两个平面互相平行.

(6)如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平

面平行.

(7)垂直于同一条直线的两个平面型£.

(8)垂直于同一平面的两条直线平行.

1().若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.

11.一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这条直线与另一个平面也逵直.

12.两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面.

13.过一点有且只有一条直线与已知平面垂直.

14.过一点有且只有一个平面与已知直线垂直.

〈解题方法与技巧》

一、空间几何体概念辨析题的常用方法

|紧扣定义，由已知构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关

定义法

系或增加线、面等基本元素，根据定义进行判定

通过反例对结构特征进行辨析，即要说明一个结论是错误的，只要举出一个反

典例h下列结论正确的是()

A.各个面都是三角形的几何体是三棱锥

B.以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转

形成的曲面所围成的几何体叫圆锥

C.棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥

D.圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线

D[A错误.如图1所示，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各面都是

三南形，但它不是棱锥.

图1图2

B错误,如图2,若△ABC不是直角三角形或是直角三角形，但旋转轴不是直角边所在直

线，所得的几何体都不是圆锥.

C错误.由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长.D正确.]

二、识别三视图的步骤

(1)弄清几何体的结构特征及具体形状、明确几何体的摆放位置；

(2)根据三视图的有关定义和规则先确定正视图，再确定俯视图，最后确定侧视图；

(3)被遮住的轮廓线应为虚线，若相邻两个物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线；

对于简单的组合体，要注意它们的组合方式，特别是它们的交线位置.

典例2：(1)如图是一个正方体，A,B,C为三个顶点，。是棱的中点，则三棱锥A-8CO

的止视图、俯视图是(注：选项中的上图为止视图，卜图为俯视图)()

(2)中国古建筑借助桦卯将木构件连接起来.构件的凸出部分叫桦头，凹进部分叫卯眼，图

中木构件右边的小长方体是桦头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,

则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是()

H匚EOM

ABCD

(1)A(2)A[(1)正视图和俯视图中棱AO和。。均看不见，故为虚线，易知选A.

(2)由题意可知，咬合时带卯眼的木构件如图所示，其俯视图为选项A中的图杉.]

三、由三视图确定几何体的步骤

定底面F根据俯视图判断出底面形状

二二二二二二二二二二二二二.

藐藐g同一.据正、侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征

嬴彳下注意三视图中虚线和实线变化，确定几何体形状

典例3:(1)某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为()

A.1B.2C.3D.4

(2)某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如图所示.圆柱表面上的点M在正视图上

的对应点为A,圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为从则在此圆柱侧面上，从M到N

的路径中，最短路径的长度为()

(1)C(2)B[(1)在正方体中作出该几何体的直观图，记为四棱锥QA6C。，如图，由图乎

知在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为3,故选C.

（2）先画出圆柱的直观图，根据题图的三视图可知点M,N的位置如图1所示.

图1图2

圆柱的侧面展开图及M,N的位置（N为。尸的四等分点）如图2所示，连接MN,则图中

MN即为M到N的最短路径.ON=[x16=4,0M=2,

：・MN=yjOM?+ON?=72?+4?=2邓.故选B.]

四、由几何体的部分视图确定剩余视图的方法

解决此类问题，可先根据已知的一部分视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其

剩下部分视图的可能形式.当然作为选择题，也可将选项逐项代入检验.

典例4：如图是一个空间儿何体的正视图和俯视图，则它的侧视图为（）

A[由正视图和俯视图可知，该几何体是由一个圆柱挖去一个圆锥构成的，结合正视图的

宽及俯视图的直径可知侧视图应为A,故选A.]

五、空间几何体的直观图

1.用斜二测画法画直观图的技巧

在原图形中与x轴或y轴平行的线段在直观图中与,轴或〈轴平行，原图中不与坐标

轴平行的直线段可以先画出线段的端点再连线.

2.原图形与直观图面积的关系

按照斜二测画法得到的平面图形的直观图与原图形面积的关系：(1)S五饵=^S原图形；(2)S

原图彩=2、/2s直观图.

典例5：(1)已知等腰梯形ABC。，CD=l,AD=CB=6,AB=3,以AB所在直线为工轴,

则由斜二测画法画出的直观图A'BrC1Df的面积为()

A.小B坐C.坐D.2^2

(2)如图，矩形O'A'B'C是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O'A'=6cm,

O'C=2cm,则原图形是()

A.正方形

C.菱形D.一般的平行四边形

(1)C(2)C[(1)法一(作图求解)：如图，取A3的中点O为坐标原点，建立平面直角坐标

系，y轴交0c于点E,O,E在斜二测画法中的对应点为O',七,，过E'作£F'Lx'

轴，垂足为F',

因为OE=q陋)2-0=1,

所以0，Ef=1,E'/=半.

所以直观图A'B'CD'的面积为

S'=；X(1+3)X坐等,

故选C.

法二(公式法)：由题中数据得等腰梯形ABCD的面积S=5X(1+3)义1=2.

由S负,现18=原的彤,

得S立现图=WX2=W,故选C.

(2)如图，在原图形。ABC中，应有。。=20'D'=2X2^2=4^2(001),CD=CDf=

2cm.

所以0C=70=2+C£>2=5(4啦)2+22=6(cm),

所以0A=0C,由题意得QA^BC,故四边形。A8C是菱形，故选CJ

六、求解几何体表面积的类型及求法

求多面体的表

先求各个面的面积，再相加即可

面积

求旋转体的表可以从旋转体的形成过程及其几何特征入手，将其展开后求表面积，但要

面积搞清它们的底面半径、母线长与对应侧面展开图中的边长关系

求不规则几何通常将所给几何体分割成基本的柱体、锥体、台体，先求出这些基本的柱

伍的表面积时体、锥体、台体的表面积，再通过求和或作差，求出所给几何体的表面积

典例6：(1)若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是()

2J2

侧视图

A.48+兀B.48—兀

C.48+271D.48-2n

(2)已知圆柱的上、下底面的中心分别为Oi,Ch,过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面

是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为()

A.12吸兀B.1271

C.8加兀D.1071

(1)A(2)B[(1)该几何体是正四棱柱挖去了一个半球，正四棱柱的底面是正方形(边长为

2),高为5,半球的半径是1,那么该几何体的表面积为S=2X2X2+4X2X5-JIX12+2TCX12

=48+兀，故选A.

(2)因为过直线01。2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，所以圆柱的高为

2吸，底面圆的直径为2•，所以该圆柱的表面积为2X;rX(也y+2兀X也X2啦=12兀]

七、求体积的常用方法

直接法对于规则的几何体，利用相关公式直接计算

首先把不规则的几何体分割成规则的几何体，然后进行体积计算；或者把不规

割补法

则的几何体补成规则的儿例体，不熟悉的儿何体补成熟悉的儿例体，便于计算

等体积选择合适的底面来求几何体体积，常用于求三棱锥的体积，即利用三棱锥的任

法一个面可作为三棱锥的底面进行等体积变换

典例7：(1)某几何体的三视图如图所示(单位：cm),则该几何体的体积(单位：5户)是()

A.^+IB.5+3

C亨+1D.¥+3

(2)如图，已知正方体ABCD-481aoi的棱长为1,则四棱锥4-88QQ的体积为

(1)A(2)|[(1)由三视图可知该几何体是由底面半径为1,高为3的半个圆锥和三棱锥S

-ABC组成的,

如图，三棱锥的高为3,底面AABC中，AB=2t。。=1,AB_L0C故其体积V=1x1

II71

X加*12乂3+§乂］乂2乂1*3=1+1.故选A.

(2)四棱锥AI-BBIDIQ的底面BBiDi。为矩形，其面积S=1X也=也,又四棱维的高为点

4到平面330。的距离，郎h=%C=*,所以四棱锥的体积V=《X&X*=：]

八、空间几何体与球接、切问题的求解方法

(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化

为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解.

(2)若球面上四点P,4,B,C构成的三条线段以，PB,PC两两互相垂直，且附PB

=。，PC=c,一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4改=/+〃+»求解.

典例8：(1)设A,B,C,。是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且

其面积为973,则三棱锥。/BC体积的最大值为()

A.1273B.18小

C.24/D.54^3

(2)已知直三棱柱ABC-AiBiCi的6个顶点都在球。的球面上，若AB=3,AC=4,AB1AC,

A4=12,则球。的半径为()

A3yB.2\[\0

C，vD.3®

(1)B(2)C[(1)如图，E是AC中点，M是△ABC的重心，。为球心，连接BE,0M,

00,B0.因为SAABC=、^AB2=9小,所以AB=6,创/=孤=|^而二而=2由易知0加_1_

平面ABC,所以在RtZ\08M中，OM=7OB2—BM2=2,所以当。，0,M三点共线且OM=

OD+OM时，三棱锥Q-A3C的体积取得最大值，且最大值匕尔=太乂羽义(4+0河)=3*9小

X6=18小.故选B.

⑵如图所示，由球心作平面ABC的垂线,

则垂足为BC的中点M.因为A3=3,4C=4,AB±ACf所以BC=5.

15OM=%4=6,

又AM=2^C=y

所以球O的半径R=OA

2

13

+62=­,故选C.]

九、共点、共线、共面问题的证明方法

(1)证明点共线问题：①公理法：先找出两个平面，然后证明这些点都是这两个平面的公共

点，再根据基本公理3证明这些点都在交线上；②同一法：选择其中两点确定一条直线，然后

证明其余点也在该直线上.

(2)证明线共点问题：先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过该点.

(3)证明点、直线共面问题：①纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面

内；②辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面a,再证明其余元素确定平面从最后证明

平面a,0重合.

典例9：(1)以下命题中，正确命题的个数是()

①不共面的四点中，其中任意三点不共线；

②若点A,B,C,。共面，点A,B,C,E共面，则A,B,C,D,E共面；

③若直线〃，力共面，直线mc共面，则直线4c共面；

④依次首尾相接的四条线段必共面.

A.0B.1C.2D.3

(2)如图，正方体中,E,歹分别是AB和A4的中点.求证:

①E,C,Di,厂四点共面;

②CE,DiF,DA三线共点.

(1)B[①正确，可以用反证法证明，假设任意三点共线，则四个点必共面，与不共面的四

点矛盾；②中若点A,B,C在同一条直线上，则A,B,C,D,E不一定共面，故②错误；③

中，直线〃，c可能是异面直线，故③错误；④中，当四条线段构成空间四边形时，四条线段

不共面，故④错误.]

(2)[证明]①如图，连接CDi,AiB.

VE,一分别是AB,AAi的中点，

：.EF//BAi,

又・・・48〃QC,:.EF〃CD\,

：.EtC,Di,产四点共面.

②，：EF〃CD\,EF<CD\,

・・・CE与DF必相交,设交点为P,

则由PW直线CE,CEU平面ABCD,

得尸e平面A3cD

同理PW平面A。。山.

又平面4BCDG平面AQD/i=D4,

・・・P£直线DA,:,CE,DiF,DA三线共点.

十、空间两条直线的位置关系

空

同

1两

线

位

置

关

系

典例10：(1)已知mb,c为三条不同的直线，且。U平面处SU平面从aCB=c,给出

下列命题：

①若。与〃是异面直线，则C至少与。，方中的一条相交;

②若a不垂直于c,则〃与/?一定不垂直;

③若。〃江则必有。〃c.

其中真命题有.（填序号）

（2）如图，G,H,M,N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线G",MN是

异面直线的图形有（填上所有正确答案的序号）.

⑴①③（2）②©KD对于①，若c与。，b都不相交，则。〃a,c//b,从而Q〃A,这与

〃与〃是异面直线矛盾，故①正确.

对于②，。与人可能异面垂直，故②错误.

对于③，由〃〃匕可知〃〃人又an夕=C,从而a〃c,故③正确.

（2）图①中，直线GH〃MM图②中，G,H,N三点共面，但M住平面G4V,因此直线GH

与MN异面；图③中，连接MG（图略），GM〃HN,因此G〃与MN共面；图④中，G,M,N

共面，但照平面GMN,因此G"与MN异面，所以在图②④中，GH与MN异面.]

十一、平移法求异面直线所成角的步骤

一平移的方法一般有二种类型：（1）利用图中已有的平行线平移：（2）利用特殊点（线段

的端点或中点）作平行线平移；（3）补形平移（一作）

W--证明所作的角是异面直线所成的角或其补角（二证）

i+I在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之（三计算）

因为异面直线所成用。的取值范围是0。＜。490。，所以所作的角为钝角时，应取

它的补角作为异面直线所成的角（四取舍）

典例11：⑴在正方体ABCD-A必CA中，E为棱CG的中点，则异面直线力后与0。所

成角的正切值为（）

（2）在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖懦.如

图，在鳖HA8CQ中，AB_L平面BCD,且AB=BC=CD,则异面直线4c与BD所成角的余

弦值为()

A

11

A.5B.

2

c也D.

2

⑴C(2)A[(1)如图，连接BE,

因为AB〃CD,所以异面直线AE与C。所成的角等于相交直线AE与AB所成的角，即

/£48.不妨设正方体的棱长为2,则CE=1,BC=2,由勾股定理得8七=下.又由A81.平面

BCCiBi可得AB工BE,所以tanNE4B=^=建.故选C.

(2)如图，分别取AB,ADfBC,BD的中点、E,F,G,0,连接石尸，EG,OG,FO,FG,

0'1EF//BD,EG//AC,所以/FEG为异面直线4c与BO所成的角.易决口因为AK_L

平面BCD,所以/。_L平面BCD,所以FOA.OG,设A8=2〃，则EG=EF=®,FG=yla2+a2

=、&,所以N庄C=60。，所以异面直线AC与80所成角的余弦值为:，故选A.]

十二、判定线面平行的四种方法

(1)利用线面平行的定义(无公共点)；

(2)利用线面平行的判定定理(Mcc,bUa,a//b^a//a)；

(3)利用面面平行的性质定理(a〃夕，4Ua=a〃0；

(4)利用面面平行的性质(a〃夕，Ha,aQR,a//a=^a//fl).

典例12：如图，在四棱键P-A8c。中，AD//BC,AB=BC=2ADfE,F,“分别为线段

ADfPC,CQ的中点，AC与3E交于O点，G是线段。尸上一点.

(1)求证：AP〃平面6EB

(2)求证：GH〃平面R1D

［证明］⑴连接EC,

因为AO〃BC,BC=^ADt石为A。中点，

所以BC—'AEf

所以四边形4BCE是平行四边形，所以。为AC的中点.

又因为尸是PC的中点，

所以FO//AP,

因为FOU平面BEF,A因平面BEF,

所以A尸〃平面BEF.

(2)连接尸以，0H,

因为£”分别是PC,CO的中点，

际以、FH〃PD,因为“朋平面以。，尸OU平面%/),所以五〃〃平面以D

又因为。是8E的中点，〃是CO的中点，

所以。“〃4。，因为。印平面以O,AOU平面布£).所以0月〃平面以D

又FHCOH=H,所以平面OHF〃平面PAD.

又因为GHU平面OHF,

所以GH〃平面PAD.

十三、判定平面与平面平行的四种方法

(1)面面平行的定义，即证两个平面没有公共点(不常用)；

(2)面面平行的判定定理(主要方法)；

(3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行(客观题可用)；

(4)利用平面平行的传递性，两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行(客观

题可用).

注意：谨记空间平行关系之间的转化

性质

I在原性度I

判定

典例13：已知空间几何体ABCDE中，2BCD与2CDE均为边长为2的等边三角形，

△A8C为腰长为3的等腰三角形，平面CZ)E_L平面3CD,平面平面8C。，M,N分别

为DB,DC的中点.

⑴求证：平面EMN〃平面ABC；

(2)求三棱锥A-ECB的体现.

［解］(1)证明：取8。中点〃，连接

•・・ZVIBC为等腰三角形，

；・AH_LBC,

又平面4BC_L平面BC7),平面ABCG平面灰?。=以7,

・・.4"_L平面BC。，同理可证EN_L平面BCD,

：.EN//AH,

•；ENG平面ABC,AH3面ABC,

:・EN〃平面ABC,

又M,N分别为30,中点，

:・MN〃BC,

〈MN。平面ABC,BCU平面ABC,

・・・MN〃平面ABC,

大MNCEN=N,

・•・平面EMN〃平面ABC.

(2)连接OH,取C〃中点G,连接NG,

则NG〃DH,由(1)知硒〃平面ABC,

所以点E到平面ABC的距离与点N到平面A8C的距离相等，

又△8C。是边长为2的等边三角形，

:.DH1BC,

又平面48C_L平面8c。，平面A8CG平面8C3=8C,DHU平面BCD,

・・・O"J_平面ABC,・・・NGJ_平面ABC,：・DH=5

又N为CD中点，・・・NG=牛，

又AC=A3=3,BC=2,

1r-

・・・SA48C=引3aH”|=2、2,

VE-ABC=VXM8c：=(S"8<?|NG|=坐.

十四、证明直线与平面垂直的常用方法

(1)利用线面垂直的判定定理.

(2)利用“两平行线中的一条与平面垂直，则另一条也与这个平面垂直”.

(3)利用“一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则与另一个也垂直”.

(4)利用面面垂直的性质定理.

典例14：如图，在斜三棱柱A3C-A归iG中，底面ABC是边长为2的正三角形，M为棱

BC的中点，BBi=3,48=丽，ZCBBi=60°.

AiG

By

⑴求证:AM_L平面BCGB；

(2)求斜三棱柱ABC-451G的体积.

［解I(1)证明：如图，连接

因为底面ABC是边长为2的正三角形，且M为棱BC的中点，所以AM_L3C,且AM=

小,

因为85=3,NCBBi=60。,BM=1,

所以BIM2=12+32-2X1X3XCOS60°=7,

所以BTM=①

又因为48=也，

所以A/W+BIM2=10=A疥，

所以

又因为BiMABC=M,

所以AM_L平面BCC\B\.

(2)设斜二棱柱A8GA山Ci的体积为V,则

V=3VBi-ABC=3VA-B}BC

=3X：S△囱3cHM

=1x2X3Xsin60。义小

9

2,

9

所以斜三棱柱ABC-48ICI的体积为了

十五、证明面面垂直的两种方法

(1)定义法：利用面面垂直的定义，即判定两平面所成的二面角为直二面角，将证明面面垂

直问题转化为证明平面角为直角的问题.

(2)定理法：利用面面垂直的判定定理，即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线，

把问题转化成证明线线垂直加以解决，

注意：三种垂直关系的转化

|线线垂直谱等|线面垂匐蓍^面面垂直

典例15：(1)如图，点N为正方形48CO的中心，△ECD为正三角形，平面ECD_L平面

ABCD,M是线段EO的中点，贝女)

A.BM=EN,且直线BM,E7V是相交直线

B.BM于EN,且直线8M,EN是相交直线

C.BM=EN,且直线BM,硒是异面直线

D.BM力EN,且直线BM,EN是异面直线

B［取CO的中点F,。尸的中点G,连接Er，FN,MG,GB,BD,BE.

•・•点N为正方形A8CD的中心,

:•点、N在BD上,且为8。的中点.

:•△ECO是正三角形，:.EF工CD.

•・•平面ECO_L平面A8CD,

・・・EF工平面ABCD.

：.EF±FN.

不妨设48=2,则月V=l,EF=小,

；・EN=qFN2+EF?=2.

,:EM=MD,DG=GFf:.MG//EF,

・・・MG1.平面ABC。，：.MGA.BG.

•；MG=；EF=^,

BG=yjCG2-\-BC2既+2?=|,

；・BM=yJMG?+BG?=3.

:・BMREN.

■:BM,EN是ADBE的中线,:.BM,EN必相交.

故选B.］

(2)如图，四棱锥尸-A8C。中，△PCD为等边三角形：CD=AD=2AB,E,5,T,。为CD,

PA,PB,A。的中点，NABC=NBCD=/PEA=90。,平面S7RQG平面ABCO=RQ.

①证明：平面出£J_平面S7RQ；

②若AB=1,求三棱锥0-8C7的体积.

［解］①证明：因为E为CO的中点，CD=2A&NA3C=NBCQ=90。，所以四边形A3CE

为矩形，所以AE_LCD

由已知易得RQ〃CO,所以RQ_LA£

因为NPEA=90。,PECCD=E,

故AE_L平面PCD,

又因为AEU平面ABCD

古攵平面尸CDJ_平面ABC7).

因为PELCD,所以尸EJ_平面ABCD.

因为RQU平面ABCO,所以RQ-LPE.

又PECAE=E.所以RQ_L平面3E.

所以平面力E_L平面STRQ.

②由①可知，PE_L平面4BCO,又7是PB的中点,

・••点丁到平面BCQ的距离为上石=坐,

易知S&BCQ=

故三棱锥Q-BCT的体枳y=^x4x2=l

十六、求点到平面的距离(高)的两种方法

(1)定义法：求几何体的高或点到面的距离，经常根据高或距离的定义在几何体中作出高或

点到面的距离.其步骤为：一作、二证、三求.如何作出点到面的距离是关键，一般的方法是

利用辅助面法，所作的辅助面，一是要经过该点，二是要与所求点到面的距离的面垂直，这样

在辅助面内过该点作交线的垂线，点到垂足的距离即为点到面的距离.

(2)等体积法：求棱锥的高或点到平面的距离常常利用同一个三棱锥变换顶点及底面的位

置，其体积相等的方法求解.

典例16:(1)已知NAC8=90。，P为平面ABC外一点，PC=2,点。到NAC8两边AC,BC

的距离均为小，那么P到平面ABC的距离为.

也[如图，过点尸作PO_L平面ABC于0,则尸0为P到平面ABC的距离.

再过。作。EJ_AC于旦。产J_8C于居

连接PC,PE,PF,则PEJ_AC,PFA.BC.

文PE=PF=®所以0E=0/，

所以CO为/ACB的平分线，

即ZACO=45°.

在RtZ\PEC中，PC=2,PE=小,所以CE=1,

所以OE=1,所以＜0=]/序-0炉=、(市)2-[2=啦」

(2)如图，在三棱锥P-A8C中，AB=BC=2吸,PA=PB=PC=AC=4f。为AC的中点.

①证明：。。_1平面48。；

②若点M在棱8C上，且MC=2M8,求点。到平面P0M的距离.

［解］①证明：因为AP=CP=AC=4,。为AC的中点，

所以0P_LAC,且0P=2小.

连接0及因为A8=8C=阴C,所以△A8C为等腰直角三角形，JLOBVAC,0B=^AC=

由0产+082=尸82知，。户_L。及

由OPLOB,0P1AC,0BU平面ABC,ACU平面ABC,0BQAC=0,知尸。1平面ABC.

②作CHJ_0M,垂足为

又由①可得OPJ_C〃，OPU平面尸0M,0MU平面POM,OPCOM=O,所以C”_L平面

POM.

故。〃的长为点C到平面POM的距离.

由题设可知0C=1AC=2,CM=|BC=毕，NAC8=45。，

2ROCMC-sinZACB4^5

所以OM=U~,CH

~0M=5•

4、万

所以点C到平面POM的距离为七.

十七、求直线和平面所成角的步骤

(1)寻找过斜线上一点与平面垂直的直线；

(2)连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求

的角；

(3)把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角.

典例17:(1)在长方体中,A4=5C=2,AG与平面30GC所成的角为30。，

则该长方体的体积为()

A.8B.6^2

C.8啦D.8s

C［如图，连接AG,BQ,AC.

•・・48_L平面BBiCiC,

・•・NAC由为直线AG与平面BBiCC所成的角,

2

••・NAGB=30。.又AB=BC=2,在RlZVlBG中，AG=、-m。=4.

在RtZ\ACG中，CG=5。彳—CG=:42-⑵+*)=2事,

/.V长方体=ABX3CXCG=2义2X2啦=8啦.］

(2)如图，在四面体人3。中，△A3C是等边三角形，平面A5C_L平面人3D,点M为棱

AB的中点，AB=2,AD=28ZBAD=90°.

①求证：AD1BC.

②求异面直线8C与M。所成角的余弦值；

③求