【中考数学】相似三角形：真题专项突破冲刺提分60题（含答案解析）

中考真题精编汇总

【中考数学】类似三角形：精选真题专项打破冲刺提分60题

(含答案解析)

【

中

一、解答题(共65小题)

考1.(2014•淄博)如图，四边形ABCD中，AC1BD交BD于点E,点F,M分别是AB,BC的中

数点，BN平分/ABE交AM于点N,AB=AC=BD.连接MF,NF.

<1)判断aBNlN的外形，并证明你的结论；

学

(2)判断AMFN与ABDC之间的关系，并阐明理由，

】

精

选

真

题

专

项

2.(2014•岳阳)如图，矩形ABCD为台球桌面，AD=260cm,AB=130cm.球目前在E点地位,

突

AE=60cm.如果小丁瞄准BC边上的点F将球打过去，反弹后，球刚好弹到D点地位.

破(1)求证：ABEF^ACDF；

冲(2)求CF的长.

刺

提

分

6

。

题3.(2014•永州)如图，D是AABC的边AC上的一点，连接BD,已知/ABD=/C,AB=6,AD=4,

(求线段CD的长.

今

县

晏

木

解

析4.(2014•营口)如图，在平面直角坐标系中，aABC的三个顶点坐标分别为A

)1,4),C(-3,2).

(1)画出AABC关于y轴对称的图形△AiBCi,并直接写出Ci点坐标：

(2)以原点0为位似，位似比为1：2,在y轴的左侧，画出aABC放大后的图形4A2B2c2,并直

接写出C2点坐标：

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相交于点P.

(1)若AE=CF；

①求证：AF=BE,并求NAPB的度数：

②若AE=2,试求AP・AF的值；

(2)若AF=BE,当点E从点A运动到点C时，试求点P的路径长.

6.(2014•扬州)已知矩形ABCD的一条边AD=8,将矩形ABCD折卷，使得顶点B落在CD边上

的P点处.

(1)如图1,已知折痕与边BC交于点0,连结AP、OP、OA

①求证：△OCPS^PDA；

②若40CP与4PDA的面积比为1：4,求边AB的长；

(2)若图1中的点P恰好是CD边的中点，求/OAB的度数:

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（3）如图2,在（1）的条件下，擦去折痕A0、线段0P,连结BP.动点M在线段AP上（点

■•••••

M与点P、A不重合），动点N在线段AB的延伸线上，且BN=PM,连结MN交PB于点F,作

ME1BP于点E.试问当点M、N在挪动过程中，线段EF的长度能否发生变化？若变化，阐明理由;

若不变，求出线段EF的长度.

7.（2014•烟台）如图，AB是的直径,延伸AB至P,使BP=OB,BD垂直于弦BC,垂足为

点B,点D在PC上.设/PCB/a,ZPOC=p.

8.（2014•湘西州）如图，在8x8的正方形网格中，ACAB和4DEF的顶点都在边长为1的小正方

形的顶点上，AC与网格上的直线相交于点M.

（1）填空：AC=,AB=.

（2）求NACB的值和tan/1的值；

（3）判断ACAB和ADEF能否类似？并阐明理由.

9.（2014•武汉）如图,AB是。0的直径,C,P是AB上两点，AB=13,AC=5.

（1）如图（1）,若点P是瓶勺中点，求PA的长;

（2）如图（2）,若点P是砧向中点，求PA的长.

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10.(2014•铜仁地区)如图所示，AD,BE是钝角aABC的边BC,AC上的高，求证：岖区.

BEBC

11.(2014•泰安)如图，在四边形ABCD中，AB=AD,AC与BD交于点E,ZADB=ZACB.

求证:普

(1)

四边形ABFD是菱形.

12.(2014♦绥化)已知:△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A(0,3)、B(3,4)、

C(2,2)(正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度).

(1)画出aABC向下平移4个单位长度得到的△ABiG,点。的坐标是；

(2)以点B为位似，在网格内画出4A2B2c2,使AA2B2c2与AABC位似，且位似比为2；1,点

C1的坐标是;

13.(2014•绍兴)课本中有一道作业题:

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有一块三角形余料ABC,它的边BC=120mm,高AD=80mm.要把它加工成正方形零件，使正方形

的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB,AC上.问加工成的正方形零件的边长是多少mm?

小颖解得此题的答案为48mm,小颖善于反思，她又提出了如下的成绩.

（1）如果原题中要加工的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成，如图1,

此时，这个矩形零件的两条边长又分别为多少mm?请你计算.

（2）如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图2,这样，此矩形零件的两条边长就不能确定,

但这个矩形面积有值，求达到这个值时矩形零件的两条边长.

14.（2014・上海）已知：如图，梯形ABCD中，AD〃BC,AB=DC,对角线AC、BD相交于点F,

点E是边BC延伸线上一点，MZCDE=ZABD.

（1）求证：四边形ACED是平行四边形：

（2）连接AE,交BD于点G,求证：圣典.

GBDB

15.（2014•陕西）某，小明和小亮来到一河边，想用遮阳帽和皮尺测量这备河的大致宽度，两人在

确保无隙患的情况下，先在河岸边选择了一点B（点B与河对岸岸边上的一棵树的底部点D所确定

的直线垂直于河岸）.

①小明在B点而向树的方向站好，调整帽檐，使视野经过帽檐正好落在树的底部点D处，如图所示,

这时小亮测得小明眼睛距地面的距离AB57米；

②小明站在原地转动180。后蹲下，并保持原来的观察姿态（除身体重心下移外，其他姿态均不变），

这时视野经过帽檐落在了DB延伸线上的点E处，此时小亮测得BE=9.6米，小明的眼睛距地面的距

离CBT.2米.

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16.(2014•黔南州)如图，AB是。O的直径，弦CD1AB于点G,点F是CD上一点，且满足落』,

连接AF并延伸交00于点E,连接AD、DE,若CF=2,AF=3.

(1)求证：AADF^AAED：

(2)求FG的长：

(3)求证：tanNE=―-

4

17.(2014•宁夏)在RtZXABC中，NC=90。，P是BC边上不同于B、C的一动点,过P作PQ1AB,

垂足为Q，连接AP.

(1)试阐明不论点P在BC边上何处时，都有aPBQ与AABC类似；

(2)若AC=3,BC=4,当BP为何值时，4AQP面积，并求出值：

(3)在RtAABC中，两条直角边BC、AC满足关系式BC4AC,能否存在一个入的值，使RtAAQP

既与RtZkACP全等，也与RtZ\BQP全等.

18.(2014•南通)如图，点E是菱形ABCD对角线CA的延伸线上任意一点，以线段AE为边作一

个菱形AEFG,旦菱形AEFGs菱形ABCD,连接EB,GD.

(1)求证：EB=GD；

(2)若NDAB=60。，AB=2,AG=A/5,求GD的长.

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19.(2014•梅州)如图，在RtAABC中，ZB=90Q,AC=60,AB=30.D是AC上的动点，过D作

DF_LBC于F,过F作FE〃AC,交AB于E.设CD=x,DF=y.

(1)求y与x的函数关系式；

(2)当四边形AEFD为菱形时，求工的值；

(3)当ADEF是直角三角形时，求K的值.

F

20.(2014•眉山)如图,在Rt^ABC中，/C=90。,RtZsBAP中，ZBAP=90%己知NCBO=NABP,

BP交AC于点0,E为AC上一点，且AE=OC.

(1)求证：AP=AO：

(2)求证：PE1AO：

(3)当AE=2AC,AB=10时，求线段BO的长度.

8

21.(2014•泸州)如图,四边形ABCD内接于。0,AB是00的直径,AC和BD相交于点E,且

DC2=CE«CA.

(1)求证：BC=CD；

(2)分别延伸AB,DC交于点P,过点A作AF1CD交CD的延伸线于点F,若PB=OB,CD=2调

求DF的长.

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22.(2014•柳州)如图，正方形ABCD的边长为1,AB边上有一动点P,连接PD,线段PD绕点

P顺时针旋转90。后，得到线段PE,且PE交BC于F,连接DF,过点E作EQ_LAB的延伸线于点

Q.

(1)求线段PQ的长；

23.(2014•柳州)如图，在△ABC中,NBAC的角平分线AD交BC于E,交AABC的外接圆如0

于D.

(1)求证；AABESAADC；

(2)请连接BD,OB,OC,OD,且OD交BC于点F,若点F恰好是OD的中点.求证：四边形

24.(2014•乐山)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O.M为AD中点，连

接CM交BD于点N,且ON=1.

(1)求BD的长：

(2)若ADCN的面积为2,求四边形ABNM的面积.

25,(2014•福州)如图1,点O在线段AB上，AO=2,OB=1,OC为射线，且NBOC=60。,动点P

以每秒2个单位长度的速度从点。出发，沿射线OC做匀速运动，设运动工夫为t秒.

(1)当t=^时，则OP=,%ABP=;

(2)当AABP是直角三角形时，求I的值：

(3)如图2,当APnAB时，过点A作AQ〃BP,并使得/QOP=/B,求证：AQ,BP=3.

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26.(2014•防城港)如图，在正方形ABCD中，点M是BC边上的任一点，连接AM并将线段AM

绕M顺时针旋转90。得到线段MN,在CD边上取点P使CP=BM,连接NP,BP.

(1)求证：四边形BMNP是平行四边形；

(2)线段MN与CD交于点Q,连接AQ,若△MCQs^AMQ,则BM与MC存在怎样的数量关

27.(2014・东营)【探求发现】如图1,Z^ABC是等边三角形，ZAEF=60SEF交等边三角形外角

平分线CF所在的直线于点F,当点E是BC的中点时，有AE=EF成立：

【数学考虑】某数学兴味小组在探求AE、EF的关系时，运用“从到普通‘隹数学思想，经过验证得

出如下结论：

当点E是直线BC上(B,C除外)任意一点时(其它条件不变)，结论AE=EF仍然成立.

假如你是该兴味小组中的一员，请你从“点E是线段BC上的任意一点”；“RE是线段BC延伸线上

的任意一点”：“点E是线段BC反向延伸线上的任意一点”三种情况中，任选一种情况，在备用图1

中画出图形，并证明AE二EF.

【拓展运用】当点E在线段BC的延伸线.上时，若CE=BC,在备用图2中面出图形，并运用上述结

论求出S.ABC；S.AEF的值.

图1备用图1备用图2

28.(2014•大庆)如图，等腰AABC中，AB=AC,ZBAC=36°,BC=1,点D在边AC上且BD平

分/ABC,设CD=x.

(1)求证：AABC^ABCD；

(2)求x的值；

(3)求cos360・cos72。的值.

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29.(2014•郴州)在13x13的网格图中，已知aABC和点M(1,2).

(1)以点M为位似，位似比为2,画出AABC的位似图形△A，B，C；

(2)写出△A，B，C的各顶点坐标.

J'八

x

30.(2014•巴中)如图，在平面直角坐标系xOy中，ZXABC三个顶点坐标分别为A(-2,4),B

(-2,1),C(-5,2).

(1)请画出^ABC关于x轴对称的△AIBICI.

(2)将△AiBiCi的三个顶点的横坐标与纵坐标同时乘以-2,得到对应的点A2,B2,C2,请画出

△A282c2.

(3)求AAiBiCi与AA2B2c2的面积比，WSAABc；SAA(不写解答过

111222

程，宜接写出结果).

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31.（2013•益阳）如图,在AABC中,AB=AC,BD二CD,CE1AB于E.求证:AABD^ACBE.

32.（2013•铜仁市）为了测量旗杆AB的高度,甲同窗画出了表示图1,并把测量结果记录如3

BA_LEA于A,DC1EA于C,CD=a,CA=b,CE=c：乙同窗画出了表示图2,并把测量结果记录

如下，DE_LAE于E,BA1AETA,BA1CD于C,DE=m,AE=n,ZBDC=a.

（1）请你协助甲同窗计算旗杆AB的高度（用含a、b、c的式子表示）；

（2）请你协助乙同窗计算旗杆AB的高度（用含m、n、a的式子表示）.

图1图2

33.（2013•汕头）如图，矩形ABCD中，以对角线BD为一边构造一个矩形BDEF,使得另一边EF

过原矩形的顶点C.

（1）设RtACBD的面积为Si,RtABFC的面积为S2,RtADCE的面积为S3,则SiS2+S3

（用“〉”、心”、“V”填空）：

（2）写出如图中的三对类似三角形，并选择其中一对进行证明，

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D

F

34,(2013•莆田)定义；如图1,点C在线段AB上，若满足AC2=BC・AB,则称点C为线段AB

的黄金分割点，

如图2,如ABC中,AB=AC=2,NA=36。，BD平分/ABC交AC于点D.

(1)求证：点D是线段AC的黄金分割点：

(2)求出线段AD的长.

35.(2013•宁夏)如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(-1,2),

B(-3,4)C(-2,6)

(1)画出AABC绕点A顺时针旋转90。后得到的AAIBICI

(2)以原点0为位似，画出将△AIBICI三条边放大为原来的2倍后的AA2B2c2.

X

36.(2013・佛山)网格图中每个方格都是边长为1的正方形.若A,B,C,D,E,F都是格点,

试阐明AABCSADEF,

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（1）如果像高MN是35mm,焦距是50mm,拍摄的景物高度AB是4.9m,拍摄点离景物有多远?

（2）如果要残缺的拍摄高度是2m的景物，拍摄点离景物有4m,像高不变，则相机的焦距应调整

为多少？

38.（2013•滨州）某高中学校为高一重生设计的先生板凳的正面视图如图所示，其中BA=CD,

BC=20cm,BC、EF平行于地方AD且到地面AD的距离分别为40cm、8cm.为使板髡两腿底端A、

D之间的距离为50cm,那么横梁EF应为多长？（材质及其厚度等暂忽略不计）.

39.（2012•武汉）已知aABC中，AB/2强AC-475-BO6

（1）如图1,点M为AB的中点，在线段AC上取点N,使AAMN与aABC类似，求线段MN的

长；

（2）如图2,是由100个边长为1的小正方形组成的10x1。的正方形网格，设顶点在这些小正方形

顶点的三角形为格点三角形.

①请你在所给的网格中画出格点△AIBICI与AABC全等（画出一个即可，不需证明）

②试直接写出所给的网格中与△ABC类似且面积的格点三角形的个数，并画出其中一个（不需证明）.

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图1图2

40.(2012•上海)己知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD,NBAF=NDAE,

AE与BD交于点G.

(1)求证:BE=DF：

(2)当叽旭k，求证：四边形BEFG是平行四边形.

FCDF

41.(2012•陕西)如图，正三角形ABC的边长为3十西

(1)如图①，正方形EFPN的顶点E、F在边AB上，顶点N在边AC上，在正三角形ABC及其内

部，以点A为位似，作正方形EFPN的位似正方形EFPNI且使正方形EFPN，的面积(不要求写

作法);

(2)求(1)中作出的正方形EFPN的边长；

(3)如图②，在正三角形ABC中放入正方形DEMN和正方形EFPH,使得DE、EF在边AB上，

点P、N分别在边CB、CA上，求这两个正方形面积和的值和最小值，并阐明理由.

图①图②

42(2012•南京)下框中是小明对一道标题的解答以及老师的批改.

标题；某村计划把造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2；1,在温室内，沿前

侧内墙保留3m的空地，其他三侧内墙各保留1m的通道，当温室的长与宽各为多少时，矩

形蔬菜种植区域的面枳是2ggm2?

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D

解；设矩形蔬形种植区域的宽为xm,则长为2xm,；

根据题意，得x・2x=288.

解这个方程,得xi=72(不合题意，舍去),X2=12

所以温室的长为2x12+3+1=28(m),宽为12+1+1=14(m)

答：当温室的长为28m,宽为14m时，矩形蔬菜种植区域的面积是28亩村.

我的结果也正确！

小明发现他解答的结果是正确的，但是老师却在他的解答中画了一条横线，并打了一个？.

结果为何正确呢？

(1)请指出小明解答中存在的成绩，并补充缺少的过程：

变化一下会怎样…

(2)如图，矩形ABCD，在矩形ABCD的内部，AB〃AB,AD〃AD\£AD；AB=2；1,设AB

与BC与BC\CD与CTX、DA与D，A，之间的距离分别为a、b、c、d,要使矩形AB，CD's

前

侧

空蔬菜种植区域

地

43.(2012•连云港)如图，甲、乙两人分别从A(1,代)、B(6,0)两点同时出发，点。为坐

标原点，甲沿AO方向、乙沿BO方句均以4km/h的速度行驶，th后，甲到达M点，乙到达N点.

(1)请阐明甲、乙两人到达O点前，MN与AB不可能平行：

(2)当t为何值时，△OMNS/^OBA；

(3)甲、乙两人之间的距离为MN的长，设s=MN2,求s与t之间的函数关系式，并求甲、乙两人

之间距离的最小值.

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44.（2012♦锦州）如图所示，图中的小方格都是边长为1的正方形，AABC与是以点0为

位似的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上.

（1）画出位似点0：

（2）直接写出Z^ABC与△A，BC的位似比；

（3）以位似0为坐标原点，以格线所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，画出△ABC关于点0

对称的△A"B"C",并直接写出△A"B"C"各顶点的坐标.

45.（2012•衡阳）如图,A、B两点的坐标分别是（8,0）、（0,6）,点P由点B出发沿BA方

向向点A作匀速直线运动，速度为每秒3个单位长度，点Q由A出发沿AO（0为坐标原点）方向

向点0作匀速直线运动，速度为每秒2个单位长度，连接PQ,若设运动工夫为t（0Vt＜考）秒.解

答如下成绩：

（1）当t为何值时，PQ〃RO?

（2）设AAQP的。积为S,

①求S与t之间的函数关系式，并求出S的值：

②若我们规定：点P、Q的坐标分别为（xi，yi）,（X2,y2）,则新坐标（乂2-xi，y2-yi）称为响

量PQ”的坐标.当S取值时，求“向量PQ”的坐标.

46.（2012•薄泽）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，^ABC和ADEF的顶点都在格点

上，Pi,P2,P3,P4,P5是ADEF边上的5个格点，请按要求完成下列各题：

（1）试证明三角形AABC为直角三角形：

（2）判断AABC和ADEF能否类似，并阐明理由；

（3）画一个三角形，使它的三个顶点为Pi,P2,P3,P4,P5中的3个格点并且与AABC类似（要

求：不写作法与证明）.

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47.(2012•河北)如图，点E是线段BC的中点，分别以BC为直角顶点的4EAB和AEDC均是等

腰二角形，且在BC同侧.

(1)AE和ED的数量关系为；AE和ED的地位关系为；

(2)在图1中，以点E为位似，作4EGF与ZkEAB位似，点H是BC所在直线上的一点，连接GH,

HD.分别得到图2和图3.

①在图2中，点F在BE上，4EGF与ZXEAB的类似比1：2,H是EC的中点.求证：GH二HD,

GH1HD.

②在图3中，点F在的BE延伸线上，4EGF与4EAB的类似比是k：1,若BC=2,请直接写CH

的长为多少时，恰好使GH=HD且GH_LHD(用含k的代数式表示).

48.(2012•桂林)如图，△ABC的顶点坐标分别为A(1,3)、B(4,2)、C(2,1).

(1)作出与AABC关于x轴对称的△AiBiQ,并写出Ai、Bi、。的坐标；

(2)以原点O为位似，在原点的另一侧画出AA2B2c2,使-土

A2B22

49.(2012•恩施州)如图，用纸折出黄金分割点：裁一张正方的纸片ABCD,先折出BC的中点E,

再折出线段AE,然后经过折叠使EB落到线段EA上，折出点B的新地位因此EB三EB.类似

地，在AB上折出点B"使AB"=ABl这时B〃就是AB的黄金分割点.请你证明这个结论.

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50.(2012•丹东)己知：AABC在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A(0,3),B(3,4),

C(2,2).(正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度)

(1)画出aABC向下平移4个单位得到的△AiBiCi,并直接写出Ci点的坐标；

(2)以点B为位似，在网格中画出△A2BC2，使△AzBC?与aABC位似，且位似比为2：I,并直

接写出C2点的坐标及△A2BC2的面积.

51.(2012•常州)在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC和ADEF的顶点坐标分别为A(1,0)、

B(3,0)>C(2,1)、D(4,3)、E(6,5)、F(4,7).

按下列要求画图：以0为位似，将aABC向y轴左侧按比例尺2:1放大得AABC的位似图形AAIBICI，

并处理下列成绩：

(1)顶点Ai的坐标为,Bi的坐标为，。的坐标为；

(2)请你利用旋转、平移两种变换，便△AiBiC］经过变换后得到AA2B2c2,且4A2B2c2恰与4DEF

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52.(2011•徐州)如图①.在AABC中，AB=AC>BC=acm>ZB=30°.动点P以lcm/s的速度从

点B出发，沿折线B-A-C运动到点C时中止运动.设点P出发xs时，APBC的面积为ycm2.已

知y与x的函数图象如图②所示.请根据图中信息，解答下列成绩：

(1)试判断aDOE的外形，并阐明理由；

(2)当a为何值时，Z\DOE与aABC类似？

53.(2011•泰安)已知：在梯形ABCD中，AD/7BC,ZABC=90°,BC=2AD,E是BC的中点,

连接AE、AC.

(1)点F是DC上一点，连接EF,交AC于点0(如图1),求证：△A0ES2\C0F：

(2)若点F是DC的中点，连接BD,交AE与点G(如图2),求证；四边形EFDG是菱形.

54.(2011•南平)如图，ZkABC三个顶点坐标分别为A(1,2),B(3,1),C(2,3),以

原点0为位似，将aABC放大为原天的2倍得△APG.

(1)在图中象限内画出符合要求的△ABC；(不要求写画法)

55.(2011・南宁)如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，AABC的顶点

都在格点上，建立平面直角坐标系，

(1)点A的坐标为,点C的坐标为.

(2)将AABC向左平移7个单位，清画出平移后的△AIBICI.若M为aABC内的一点，其坐标

为(a,b),则平移后点M的对应点Mi的坐标为.

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（3）以原点0为位似，将AABC减少，使变换后得到的AA2B2c2与AABC对应边的比为I：2.请

56.（2011•聊城）如图，在矩形ABCD中,AB=12cm,BC=8cm.点E、F、G分别从点A、C

三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向挪动.点E、G的速度均为2cm/s,点F的速度为4cm/s,

当点F追上点G（即点F与点G垂合）时，三个点随之中止挪动.设挪动开始后第1秒时，4EFG

的面积为S（cm2）

（1）当t=l秒时，S的值是多少？

（2）写出S和t之间的函数解析式，并指出自变量I的取值范围；

（3）若点F在矩形的边BC上挪动，当t为何值时，以点E、B、F为顶点的三角形与以点F、C、G

为顶点的三角形类似？清阐明理由.

57.（2011•来宾）如图，在ZiABC中,ZABC=80%ZBAC=40°,AB的垂直平分线分别与AC、

AB交于点D、E.

（O用圆规和直尺在图中作出AB的垂直平分线DE,并连接BD；

（2）证明：AABCSABDC.

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58.（2011♦河北）如图,在6x8网格图中,每个小正方形边长均为1,点0和aABC的顶点均为小

正方形的顶点.

（1）以O为位似，在图中作△A，BC,使△AB，C和aABC位似，且位似比为1：2；

（2）连接（1）中的AAI求四边形AACC的周长.（结果保留根号）

59.（2011・常德）如图，己知四边形ABCD是平行四边形.

（1）求证；AMEFs^MBA；

（2）若AF、BE分别是/DAB,/CBA的平分线，求证：DF=EC.

60.（2011•安徽）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，按要求画出△AIBIG

和AA262c2；

（1）把AABC先向右平移4个单位：再向上平移1个单位，得到△AiBiCi；

（2）以图中的O为位似，将△AiBiCi作位似变换且放大到原来的两倍，得到aAzB2c2，

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中考数学提分冲刺真题精析，类似三角形

参考答案与试题解析

一、解答题(共65小题)

1.(2014•淄博)如图，四边形ABCD中，AC_LBD交BD于点E,点F,M分别是AB,BC的中

点，BN平分/ABE交AM于点N,AB=AC=BD.连接MF,NF.

(1)判断ARMN的外形，并证明你的结论；

(2)判断△MFN与aBDC之间的关系，并阐明理由.

考点；类似三角形的判定与性质；等腰直角三角形；三角形中位线定理.

专题：几何综合题：压轴题.

分析：(1)根据等腰三角形的性质，可得AM是高线、顶角的角平分线，艰据直角三角形的性

质，可得/EAB+/EBA=90。，根据三角形外角的性质，可得答案；

(2)根据三角形中位线的性质，可得MF与AC的关系，根据等量代换，可得MF与BD

的关系，根据等腰直角三角形，可得BM与NM的关系，根据等量代换，可得NM与BC

的关系，根据同角的余角相等，可得NCBD与NNMF的关系，根据两边对应成比例且夹

角相等的两个三角形类似，可得答案.

解答；《1)答：△BMN是等腰直角三角形，

证明：；AB=AC,点M是BC的中点,

AAM1BC,AM平分NBAC.

：BN平分/ABE,

ZEBN=ZABN.

VAC1BD,

ZAEB=90°,

.,.ZEAB+ZEBA=90°,

AZM=ZNAB+ZABN=-i(ZBAE+ZABE)=45。.

2

/.△BMN是等腰直角三角形；

(2)答：ZXMFNSABDC.

证明：••,点F,M分别是AB,BC的中点，

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，FM〃AC,FM=-=AC.

2

VAC=BD,

•••△BMN是等腰直角三角形，

・・・NM=BM」BC,即典」

2BC2

.FM_NM

,♦丽施.

VAM1BC,

.\ZNMF+ZFMB=90°.

•.'FM〃AC,

AZACB=ZFMB.

VZCEB=90%

:.ZACB+ZCBD=90°.

AZCBD+ZFMB=90o,

AZNMF=ZCBD.

/.△MFN^ABDC.

点评：本题考看了类似三角形的判定与性质,利用了锐角是45。的直角三角形是等腰直角三角形,

两边对应成比例且夹角相等的两个三角形类似.

2.(2014•岳阳)如图，矩形ABCD为台球桌面,AD=260cm,AB=130cm.球目前在E点地位,

AE=60cm.如果小丁瞄准BC边上的点F将球打过去，反弹后，球刚好弹到D点地位.

(1)求证：ABEF^ACDF：

(2)求CF的长.

考点：类似三角形的运用.

专题：几何综合题.

分析；(1)利用“两角法''证得这两个三角形类似；

(2)由(1)中类似三角形的对应边成比例来求线段CF的长度.

解答：(1)证明：如图，在矩形ABCD中：/DFO/EFB,/EBF=NFCD=90。,

AABEF^ACDF；

(2)解：:•由(1)知,ABEF^ACDF.

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.BE_BFFin70-260-CF

CDCF130CF

解得：CF=169.

即：CF的长度是169cm.

点评：本题考查了类似三角形的运用.此题利用了“类似三角形的对应边成比例”推知所求线段

CF与已知线段间的数量关系的.

3.(2014•永州)如图，D是aABC的边AC上的一点，连接BD,已知/ABD=/C,AB=6,AD=4,

求线段CD的长.

考点：类似三角形的判定与性质.

专题：计算题.

分析：由已知角相等，加上公共角，得到三角形ABD与三角形ACB类似，由类似得比例，将

AB与AD长代入即可求出CD的长.

解答：解：在AABD和AACB中，ZABD=ZC,ZA=ZA,

AAABD^AACB,

・ABAD

,•而屈'

VAB=6,AD=4,

则CD=AC-AD=9-4=5.

点评：此题考查了类似三角形的判定与性质，纯熟掌握类似三角形的判定与性质是解本题的关

键.

4.(2014•营口)如图，在平面直角坐标系中，^ABC的三:个顶点坐标分别为A(-2,1),B(-

1,4),C(-3,2).

(1)画出aABC关于y轴对称的图形△AIBICI,并直接写出C］点坐标：

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(2)以原点0为位似，位似比为1：2,在y轴的左侧，画出AABC放大后的图形AA2B2c2,并直

接写出C2点坐标：

(3)如果点D(a,b)在线段AB上，请直接写出(2)的变化后点D的对应点D2的坐标.

考点：作图-位似变换：作图-轴对称变换.

专题：作图题.

分析；(1)利用关于y轴对称点的性质得出各对应点地位，进而得出答案;

(2)利用位似变换的性质得出对应点地位，进而得出答案；

(3)利用位似图形的性质得出D点坐标变化规律即可.

解答：解.：(I)如图所示：△AiBiG,即为所求，

C1点坐标为;(3,2)；

(2)如图所示：AA2B2C2,即为所求,

C2点坐标为：(-6,4)；

(3)如果点D(a,b)在线段AB上，(2)的变化后D的对应点D2的坐标为；(2a,

2b).

点评：此题次要考查了轴对称变换以及位似变换以及位似图形的性质，利用，’立似图形的性质得出

对应点变化规律是解题关键，

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5.(2014•义乌市)等边三角形ABC的边长为6,在AC,BC边上各取一点E,F,连接AF,BE

相交于点P.

(1)若AE=CF；

①求证；AF=BE,并求/APB的度数；

②若AE=2,试求AP・AF的值：

(2)若AF=BE,当点E从点A运动到点C时，试求点P的路径长.

考点：类似二角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质.

专题：证明题；压轴题；动点型.

分析：(1)①证明△ABEgACAF,借用外角即可以得到答案；②利用勾段定理求得AF的长

度，再用平行线分线段成比例定理或者三角形类似定理求得等J比值，即可以得到答窠.

(2)当点F靠近点C的时分点P的路径是一段弧，由标题不难看出当E为AC的中点的

时分，点P弧AB的中点，此时AABP为等腰三角形，继而求得半径和对应的圆心角的

度数，求得答案.点F靠近点B时，点P的路径就是过点B向AC做的垂线段的长度；

解答：(1)①证明：•二△ABC为等边三角形，

.'.AB=AC,ZC=ZCAB=60°,

XVAE=CF,

在4ABE和4CAF中，

定二AC

«NBAE:NACF，

AE二CF

/.△ABE^ACAF(SAS),

；・AF=BE,ZABE=ZCAF.

又：ZAPE=ZBPF=ZABP+ZBAP,

:.ZAPE=ZBAP+ZCAF=60°.

:.ZAPB=1800-ZAPE=120°.

②；/C=/APE=60。，ZPAE=ZCAF,AAAPE^AACF,

即期二，所以AP・AF=12

ACAF6AF

(2)若AF=BE,有AE=BF或AE=CF两种情况.

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①当AE=CF时，点P的路径是一段弧，由标题不难看出当E为AC的中点的时分，点P

弧AB的中点，此时4ABP为等腰三角形，且/ABP=/BAP=30。，

AZAOB=120%

又；AB=6,

AOA=2Vi

点P的路径是J兀420兀・2e泰兀

1801803

②当AE=BF时，点P的路径就是过点C向AB作的垂线段的长度：由于等边三角形ABC

的边长为6,所以点P的路径为：762-32=3V3-

所以，点P的路径长为华兀或3

0

点评：本题考查了等边三角形性质的综合运用以及类似三角形的判定及性质的运用，解答本题的

关健是留意转化思想的运用.

6.(2014♦扬州)已知矩形ABCD的一条边AD=8,将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上

的P点处.

(1)如图1,已知折痕与边BC交于点0,连结AP、OP、OA.

①求证：△OCPs^PDA：

②若aocp与aPDA的面积比为1：4,求边AB的长；

(2)若图1中的点P恰好是CD边的中点，求/OAB的度数；

(3)如图2,在(1)的条件下，擦去折痕AO、线段OP,连结BP.动点M在线段AP上(点

M与点P、A不重合)，动点N在线段AB的延伸线上，且BN=PM,连结MN交PB于点F,作

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ME_LBP于点E.试问当点M、N在挪动过程中，线段EF的长度能否发生变化？若变化，阐明理由:

若不变，求出线段EF的长度.

考点；类似形综合题；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的

性质：角的三角函数值，

专题：综合题；压轴题；动点型；探求型.

分析：(1)只需证明两对对应角分别相等即可证到两个三角形类似，然后根据类似三角形的性

质求出PC长以及AP与0P的关系，然后在RtaPCO中运用勾股定理求出0P长，从而

求出AB氏.

(2)由DP=」DC=」AB」AP及ND=90。，利用三角函数即可求出NDAP的度数，进而

222

求出/OAB的度数.

(3)由边相等常常联想到全等，但BN与PM所在的三角形并不全等，且这两条线段的

地位很不协调，可经过作平行线构造全等，然后运用三角形全等及等腰三角形的性质即可

推出EF是PB的一半，只需求出PB长就可以求出EF长.

解答：解：(1)如图1,

①‘•'四边形ABCD是矩形，.'.AD=BC,DC=AB，NDAB=NB=NC=ND=900.

由折叠可得；AP=AB，PO=BO，ZPAO=ZBAO,ZAPO=ZB.

:.ZAPO=90°.

:.ZAPD=900-ZCPO=ZPOC.

VZD=ZC,/APD=/POC.

•'•△OCPsZsPDA.

②;△OCP与4PDA的面积比为1：4,

.OCOLCLri

.'.PD=2OC,PA=2OP,DA=2CP.

VAD=8,；,CP=4,BC=8,

设OP=x,则OB=x,CO=8-x.

在RtAPCO中，

VZC=90°,CP=4,OP=x,CO=8-x,

.*.x2=(8-x)2+42.

解得；x=5.

.\AB=AP=2OP=10.

・••边AB的长为10.

(2)如图1,

：P是CD边的中点，

ADP-DC.

2

VDC=AB,AB=AP,

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，DP」AP.

2

VZD=90%

np1

AsinZDAP=-

AP2

AZDAP=30°.

VZDAB=90°,ZPAO=ZBAO,ZDAP=30%

:.ZOAB=30°.

・•・NOAB的度数为30。,

图1

《3》作MQ〃AN,交PB于点Q,如图2.

；AP=AB,MQ〃AN,

AZAPB=ZABP,ZABP=ZMQP.

AZAPB=ZMQP.

・'.MP=MQ.

VMP=MQ,ME1PQ,

；・PE=EQ=』Q.

VBN=PM,MP=MQ,

ABN=QM.

VMQ/7AN,

；・/QMF=/BNF.

在aMFQ和aNFB中，

'NQMF二NBNF

<NQFM=NBFN.

QM=BN

AAMFQ^ANFB.

；・QF=