【高考数学 题型方法解密】专题02“三招九型”轻松破解函数零点问题(原卷及答案)-高考数学常考点 重难点复习攻略（新高考专用）

专题02“三招九型。轻松破解函数零点问题

目录

一重难点题型方法.....................................................1

〈第一招：数形结合〉.......................................................1

题型一：求函数零点及零点所在区间.........................................1

题型二：求函数零点或方程根的个数.........................................3

题型三：根据零点个数求参数范围（不分参型）..............................4

题型四：比较零点的大小关系...............................................5

题型五：求函数零点的和...................................................6

＜第二招：分离参数〉.......................................................7

题型六：根据零点个数求参数范围（分参型）.................................7

题型七：根据函数零点分布求零点代数式的取值范围..........................8

〈第三招：转化化归〉.......................................................9

题型八：嵌套函数的零点个数...............................................9

题型九：根据嵌套函数零点个数求参数......................................10

二针对性巩固练习....................................................11

重难点题型方法

＜第一招：数形结合）

题型一：求函数零点及零点所在区间

【典例分析】

典例1-1.(2022・河北・邢台一中高一阶段练习)已知/(x)在定义域上为单调函数，

对Vxe(0,4<o),恒有/(/(刈-嚏21)=1,则函数/(x)的零点是()

A.2B.1C.yD.

典例1-2.(2022•天津市南开中学滨海生态城学校高一阶段练习)已知函数

〃x)=L-log/,在下列区间中，包含/(“零点的区间是()

X

A.(0,1)B.(2,3)C.(3收)D.(1,2)

典例13(2022・贵州遵义・高一期中)若函数/(x)=/+x+/〃的零点在区间(1,2)内，

则〃?的取值范围为()

A.[-6,-21B.(-6,-2)

C.(9,-6]5-2,y)D.(^c,-6)U(-2,+oo)

【方法技巧总结】

1.零点存在性定理:如果函数y=/(x)在区间[〃封上的图象是连续不断的一条曲线,

并且有/(a)./S)<0,那么函数y=/(x)在区间处〃)内有零点，即存在c&(u,b)，使

得/(c)=0,这个c也就是方程的根。

2.注意：①不满足/⑷./sx。的函数也可能有零点.②若函数/(x)在区间[。回上的

图象是一条连续曲线，则/(幻./(勿<。是/(X)在区间回内有零点的充分不必要条

件.

【变式训练】

广+21rW0

1.（2022•河南・温县第一高级中学高三阶段练习（文））已知函数f（x）=1J切；式，

则函数g（x）=/（l-M-1的零点个数为（）.

A.1B.2C.3D.4

2.（2022•北京市海淀区仁北高级中学高一阶段练习）函数/（"=V+5x-7的零点所

在的区间可以是（）

A.（0,1）B.（1,2）C.（2,3）D.（3,4）

3.（2022•天津市南开区南大奥宇培训学校高三阶段练习）函数

/（"=勿咋2工+々4+3在区间6J）上有零点，则实数〃的取值范围是（）

A.a<——B.a<——C.——<a<---D.a<——

22224

题型二：求函数零点或方程根的个数

【典例分析】

典例2-1.（2022・广东・惠州一中高一期中）函数〃］匚巴仙乂-2的零点个数为（）

A.0B.1C.2D.3

典例2-2.（2021•陕西省神木中学高三阶段练习（文））已知函数/（x）是定义在R上

的偶函数,且〃x+2）=/（x）,当OKxKl时，f（x）=xt设函数廉司=/'（"—瓶国，

则函数武”的零点个数为（）

A.6B.8C.12D.14

典例2・3.（2022・黑龙江・哈尔滨三中高一阶段练习）若函数/（"的定义域为&/"-1）

为偶函数，当时，=则函数；的零点个数为（）

A.0B.1C.2D.4

【方法技巧总结】

1.核心：函数的零点。方程的根。函数图象与x轴交点的横坐标。两函数交点的横

坐标

2.流程：利用函数图象交点的个数：①画出函数/（x）的图象，函数"X）的图象与工轴

在给定区间上交点的个数就是函数人制的零点个数；②将函数”外拆成两个图象易

得的函数/心）和g（x）的差，即/。）=0等价于/心）=g（x）,则所求的零点个数即为函

数y=/心）和）,=g（x）的图象在给定区间上的交点个数.

3.注意：若能确定函数的毡调性，则其零点个数不难得到；若所给函数是周期函数，则只

需求在一个周期内零点的个数.

【变式训练】

e'x>0

1.（2023・陕西西安・高三期末（理））已知函数/（切=:一八，若函数

-3x,x<0

g（r）=/（r）-/（x）,则函数g（x）的零点个数为（）

A.IB.3C.4D.5

2.（2022・安徽・高三阶段练习）已知定义域为R的偶函数/"）的图象是连续不断的

曲线，且〃x+2）+/（x）=/⑴J（x）在［0,2］上单调递增，则/（“在区间［-100,100］上

的零点个数为（）

A.100B.102C.200D.202

3.（2022•山东青岛•高三期中）已知偶函数AM的定义域为（Y>,0）U（0,y）,对任意

x>0,都有.=/且当xc［L2）时，/（x）=sinxv,贝U函数g（x）=/（%）-Jog2以I+1

的零点的个数为（）

A.8B.10C.12D.14

题型三：根据零点个数求参数范围（不分参型）

【典例分析】

典例3-1.（2022.广东•海珠外国语实验中学高一阶段练习）已知函数

/（K）=i0g/-41a>（）且“1）在上无零点，在惇1）上有零点，则实数4的取值

范围为（）

A.（。，］B.（>\（1，+8）C.（。』D.（'）

典例3-2.（2022•黑龙江・牡丹江市第三高级中学高三阶段练习）设函数

Inx-

---yX>0

Y

/W=Z/有4个不同零点,则正实数。的范围为（）

sin169X+—1,-7C<X0

「913、n(913、厂（9131e「913-

AA.[1京B.匕力C.D.-^―

【方法技巧总结】

L技巧：分类讨论参数的不同取值情况，研究零点的个数或取值。核心思想还

是数形结合，需结合带参讨论。

【变式训练】

1.(2021.河南•安阳一中高一期末)已知定义在R上的奇函数，满足/(2-力+/(x)=0,

当时，/(x)=-log2x,若函数尸(x)=〃x)-sin(7D：),在区间[-1,向上有10个

零点，则〃?的取值范围是()

A.[3.5,4)B.(3.5,4]C.(5,5.5]D.[5,5.5)

(x-2)ln(x+1),-1<x<加,

2.(2022•江西•高三阶段练习(理))已知〃?>0,函数/*)=，L吟,

cos3x+—,〃？<工4兀，

I4J

恰有3个零点，则m的取值范围是()

7i5兀)F_3nA「7c57iAF_3兀]—5nY3兀1一f_5兀)3n

A

-[k五JBIJB.[谈五卜[2,不仁.I。，FJp彳)D.12，Tj

题型四：比较零点的大小关系

【典例分析】

典例4-1.(2022・全国•高三专题练习)已知函数

/(1)=2'+2X送(6=108/+2乂〃(1)=3'+21的零点分别为.也(',则a,〃,c的()

A.h>c>aB.b>a>cC.c>a>bD.a>b>c

典例4-2.（2022•福建泉州•高一阶段练习）设正实数。也。分别满足

ar=/?10g3/?=cl0g2C=l,则4,1C的大小关系为（）

A.a>b>cB.b>c>aC.c>b>aD.a>c>b

【方法技巧总结】

L技巧：观察所属函数，并画出函数图象，根据图象交点横坐标的大小进而判

断所求数的大小关系。

【变式训练】

1.（2022・全国•高三专题练习）已知函数/（x）=x+V,g（x）=x+3,,/z（x）=x+log3x

的零点分别为玉，巧，当，则为，4，看的大小顺序为（）

A.x,>>x}B.x3>x2>C.X,>x2>x3D.x,>>x2

2.（2023・全国•高三专题练习）若实数。也。满足2-“=1n（a+l）2=log.",2Y=lnc,则

（）

A.c<b<ciB.a<c<bC.c<a<bD.b<a<c

题型五：求函数零点的和

【典例分析】

典例5-1.（2022•江西・上高二中高二阶段练习（文））函数）（月二小以心升一、，则

X—1

）可（"的图象在（-2,4）内的零点之和为（）

A.2B.4C.6D.8

典例5-2.(2022•江苏•常熟中学高三阶段练习)定义在R上的函数/(“满足

/(-x)+/(x)=0,/(-A)=/(X+2)；且当xe[0,l]时,f(x)=xi-x2+x.则方程

”0+2=()所有的根之和为()

A.6B.12C.14D.10

【方法技巧总结】

1.零点之和需要掌握的方法：

(1)函数的性质运用：根据条件中函数满足的关系式推导函数的奇偶性、对称

性、周期性和在区间内的单调性，并运用性质求零点和；

(2)数形结合：根据给定区间的函数解析式作图，再根据函数的性质补全剩余

图象；

【变式训练】

1.(2022•福建省福州第二中学高二期末)函数/(M=sinG-ln|2.L3|的所有零点之

和为()

A.9B.6C.4.5D.3

2.(2022•云南云南•模拟预测)已知定义在R上的偶函数/(x)满足/(©=/(2r),当

xw[0,1]时,/(幻=x.函数g(x)=<x<3),则f3与g(x)的图像所有交点的横

坐标之和为()

A.3B.4C.5D.6

＜第二招：分离参数）

题型六：根据零点个数求参数范围（分参型）

【典例分析】

典例6-1.（2021.天津.高一期末）定义在R上的函数/（幻满足+=且

当L1）时，/⑶”：廿J：）一"""。，若在区间。5]上函数g）=/（力-〃恰

有4个不同的零点，则实数〃?的取值范围为（）

A.B,[-00,C.D.（H

3）\5\5J135yl

典例6-2.（2022•黑龙江•宾县第二中学高一期中）已知函数尸工，若函

,川41

数g（x）="r）一«有3个零点，则实数%的取值范围为（）

A.（0,+8）B.（0,1）C.[1,+oo）D.[1,2）

【方法技巧总结】

1.已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：

（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；

（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；

（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角

坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.

【变式训练】

1.(2022.北京•高三阶段练习(文))已知函数/⑸二;二，或\若函数g(x)=f&)-a

存在两个零点，则实数。的取值范围是()

A.(F,O)B.(-co,l)C.(0.1)D.(1,-w)

2.(2021•陕西・安康市教学研究室一模(理))己知函数/(幻=，21；。："："。，若函

e-l,x<0

数8(力=/@)-眉刈(壮阳恰有3个零点,则攵的取值范围是()

A.(L2)B.[1,2JC.(0,2)D.(-U)

3.(2022•四川省德阳中学校高二开学考试)定义在R上的偶函数/")满足对任意

的xeR,都有/(l+x)=/(3-x),当工«(),2］时，/(6=”^了，若函数y=/(H-依

在xe(0,+00)上恰有3个零点，则实数攵的取值范围为()

'屈姮]「叵巫

A・博用行'7T•宝’TT

\/L

题型七：根据函数零点分布求零点代数式的取值范围

【典例分析】

典例7-1.(2022.浙江・温州市第八高级中学高一期中)设函数盛

若关于x的方程/（X）=，有四个实根%,9,不，兀1（X<玉〈当<Z），则N+占+2上+-x4的

最小值为（）

1917

A.yB.yC.10D.9

sin7TX,0<x<1

典例7-2.（2022•贵州•凯里一中高一开学考试）已知函数/⑺=若

.4

有3个不相等的实数。、b、c,且/（a）=/（〃）=/（c）,则a+Hc的取值范围是（）

【方法技巧总结】

1.技巧：解决此题的关键是作出函数的图象，将问题转化为函数的零点转为方

程的根进而转化为函数与函数图象交点的个数，再根据利用二次函数的对称性

及对数的运算性质及不等式的性质即可求解.

【变式训练】

log,.x,(x>0)

1.（2021・安徽•高一阶段练习）已知函数/"）=且玉<x2<x3〈天时,

/+2缶+3,(%4。)

小）=/（6/⑹“）则之吞泮取值范围为（

)

1

A.-,8B.[2,-KO)C.(4,北)D.[-64,Y)

14.

Iior|0<r<10

2.（2。22•安徽省怀宁县第二中学高三阶段练习）已知函数/（］）=■=。,若

a，b,c互不相等,且f(a)=/®=〃c),则出的取值范围是()

A.(MO)B.(Ml)C.(10,11)D.(10,+oo)

<第三招：转化化归)

题型八：嵌套函数的零点个数

【典例分析】

典例8-1.(2022・安徽•六安一中高一期中)若函数。则关于x的方

-x-,x<0

程2[/37+/(x)-1=0有()实根.

A.6个B.4个C.3个D.2个

【方法技巧总结】

L分类：嵌套函数分为：“二次嵌套型“y二a[f[x)]2+bf(x)+c与“自嵌套

型“

2.技巧：利用换元的思想将函数转化为内外函数，并画出内外函数的图象，利

用数形结合，将问题化归为单个函数的图象交点问题。需注意的是内外函数的

自变量的区别与关系。

【变式训练】

1.(2023・全国•高三专题练习)已知函数/("=丁-3凡则函数/?(x)=/[/(x)]-c,

cw[-2,2]的零点个数()

A.5或6个B.3或9个C.9或10个D.5或9个

题型九：根据嵌套函数零点个数求参数

【典例分析】

x2ev,x<1

r

典例9-1.（2022・安徽♦合肥一中高三阶段练习）已知函数〃工）=[e3，若关于x

的方程［/（力了-2好"）=0有两个不相等的实数根，则实数〃的取值范围是（）

x+2a,x<0,

典例9-2.（2020•安徽省泗县第一中学模拟预测（理））已知函数/*）=

x2-av,x>0.

若函数g（x）=/（/。））恰有8个零点，则。的值不可能为（）

A.8B.9C.10D.12

【方法技巧总结】

1.技巧：通过分解为内外函数，配合数形结合的思想求解参数范围，遇见难的

函数可以配合求导完善图象。

【变式训练】

1.（2022.广西.桂林市第五中学高三阶段练习（文））己知定义在R上的函数y=f（x）

2sin—^,0<x<1

9

是偶函数，当XNO时，/"）二门、X,若关于X的方程

⑴-+-2,X>1

[”力了+/（\）+〃=。（。，此2，有且仅有6个不同实数根，则实数〃的取值范围是（）

A.卜,4B.

X4-I,X<0

2.（2023・重庆・高三阶段练习）已知函数/"）=1八，若关于x的方程

x——,x>0

x

/2（X）+（〃L4）/（X）+2（2-⑼=0有五个不同的实数根，则实数〃?的取值范围是（）

A.[1,3）B.（0,2）C.[1,2）D.（0,1）

针对性巩E3练习

练习一：求函数零点及零点所在区间

1.（2022•浙江省杭州学军中学高一期中）已知“X）是定义域为（0,转）的单调函数,

若对任意的工«0,切），都有/卜（“-1鸣刃=3,贝J函数1y=2小）-1的零点为（）

A.：B.C.2D.3

23

2.（2022・广东・广州市第九十七中学高一阶段练习）函数"x）=lgx+2x-5的零点所

在的区间是（）

A.(OJ)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

3.（2021•江苏省镇江中学高一阶段练习）函数y=2内+〃-】在（0,1）上存在零点,

则实数。的取值范围是（）

A.0<«<1B.。<。或C.a>ID.或。>0

练习二：求函数零点或方程根的个数

4.（2022・陕西・渭南市瑞泉中学高三阶段练习（理））函数/0）=sin（x+£|-|lgx|零点

的个数为（）

A.2B.3C.4D.5

5.（2022・河南•新安县第一高级中学高三开学考试｛文））已知定义域为R的偶函数

Ax）的图像是连续不间断的曲线,且f（x+2）+/（x）=/（l）,对任意的否.占eJ2,0L

西,占，/（%）］〃占）>0恒成立,则“X）在区间［TOOJOO］上的零点个数为（）

%一%

A.100B.102C.200D.202

6.（2022.上海市七宝中学高三期中）定义域为R的函数/（X）的图象关于直线x=l对

称，当时，f（x）=xt且对任意xeR只有〃x+2）=—/（x）,

则方程履力-g（-）=。实数根的个数为（）

A.2024B.2025C.2026D.2027

练习三：根据零点个数求参数范围（不分参型）

7.（2023・全国•高三专题练习）若函数/。）=不一”：[|恰有2个零点，则。的取值

范围是（）

A.（f，l）B.（0,2）C.（。，+8）D.U，2）

8.（2023・全国•高三专题练习）若方程〃r-x-〃2=0（心。，且加工1）有两个不同实数

根，则“的取值范围是（）

A.（0,1）B.（2,+8）C.（0,1）（2,+oo）D.。，+8）

练习四：比较零点的大小关系

9.（2021・江苏・无锡市市北高级中学高一期中）知函数=7,gM=x-2-（^yf

h（x）=xy-x（x>0）,方程f（x）=0,gM=0,人（x）=0的根分别为a,b,c,则a,b,

c的大小顺序为（）

A.a>b>cB.c>a>bC.b>c>aD.b>a>c

1

10.（2022•山东潍坊•高三期末）已知2"=14丁，=log.b（I]=iog2c,则•）

A.a<b<cB.h<a<cC.c<a<bD.c<h<a

练习五：求函数零点的和

11.（2023.全国•高三专题练习）函数/（司=1-（i）sinx在区间卜冷与上的所有

零点之和为（）

A.0B.2乃C.4万D.6不

12.（2022.北京大兴.高一期中）已知/（6为定义在1t上的奇函数,且/（力=/（2-耳,

当x«O,l］时，f(x)=xt则当3,5］时，/")=』的所有解的和为()

乙

911

A.4B.-C.5D.—

22

练习六：根据零点个数求参数范围（分参型）

\/x-\,x>0,

13.（2022.全国•高一专题练习）已知函数/（'）=i,八若函数8（"=/（工）-k有

—x-+x,x<0.

.4

2个零点，则实数攵的取值范围是（）

A.（0,-HX））B.（0,田）3-1}C.[0,-RX））D.（―1，田）

14.（2022•广西北海•高二期末（文））已知函数/（4）=,若函数

（X-2）3,X<3

g（x）=/（x）+2Z-米恰好有两个零点，则实数k的取值范围是（）

A.（e,0）50J）B.[1,位）C.（1,+制D.（0,1）

练习七：根据函数零点分布求零点代数式的取值范围

15.（2022•吉林・长春市第五中学高二期末）己知函数=[史^乩:黄八，函数

工+4工+1,月,0

P（M=/（X）-匕有四个不同的零点4，々，巧，/，且满足：X1<X2<X3<X4,则下列

结论中不正确的是（）

A.0<Z?<lB.<1C.A-+x2=-4D.=1

16.（2022•河南・郑州十九中高二开学考试）已知函数=若方程

4

/(x)=上有4个不同的根毛，巧，尤3，%，且内<9〈当〈七，贝1」17一犬4(内+工2)的取

X3X4

值范围是()

A.[4x/2,6)B.[2,472)C.(2,4V2]D.[4©9]

练习八：嵌套函数的零点个数

3-x2-2x,x<],

17.(2022・辽宁・昌图县第一高级中学高二期末)已知函数/(x)=4c1则

x+一一2,x>l,

.x

函数y=/(/(x))-3的零点个数为()

A.2B.3C.4D.5

练习九：根据嵌套函数零点个数求参数

18.(2022・安徽・合肥一中高一阶段练习)已知函数小)=匕2}4：若方程

2-Lx>U,

—伍+[“t)+左=0有三个不等的实根，则实数々的取值范围是()

B.XZ=0或攵之;

A.'kk<^-C.42=0或D.'kk<--

3

19.(2022♦江苏•南京师大附中高一阶段练习)设，〃是不为()的实数，已知函数

/(X)=F：T”,2,若函数RX)=2(/“))2-〃〃x)有7个零点，则〃?的取值

x--10x+24,x>2

范围是()

A.(-2,0)o(0,l6)B.(0,16)C.(0,2)D.(-2,0)U(0,-HO)

专题02“三招九型。轻松破解函数零点问题

目录

一重难点题型方法.........................................................1

〈第一招：数形结合〉.......................................................1

题型一：求函数零点及零点所在区间.........................................1

题型二：求函数零点或方程根的个数.........................................5

题型三：根据零点个数求参数范围（不分参型）.............................10

题型四：比较零点的大小关系..............................................14

题型五：求函数零点的和..................................................17

＜第二招：分离参数〉......................................................20

题型六：根据零点个数求参数范围（分参型）...............................20

题型七：根据函数零点分布求零点代数式的取值范围.........................24

〈第三招：转化化归〉......................................................29

题型八：嵌套函数的零点个数..............................................29

题型九：根据嵌套函数零点个数求参数......................................31

二针对性巩固练习........................................................36

重难点题型方法

＜第一招：数形结合）

题型一：求函数零点及零点所在区间

【典例分析】

典例1-1.（2022・河北・邢台一中高一阶段练习）已知/（X）在定义域上为单调函数，

对Vxe（0,4<o）,恒有/（/（刈-嚏21）=1,则函数/（x）的零点是（）

A.2B.1C.yD.

【答案】C

【分析】先根据/W单调，结合已知条件求出/（力的解析式，然后再进一步研究函

数人力的零点.

【详解】解：因为/（'）是定义域为（。，口）的单调函数，且对任意的x<0，yo）,

都有/[/（x）Tog2x]=L

故可设存在唯一的实数。«0，a），使得/（。）=1,

则设f（力Tog2%=%所以f（x）=log2x+at

所以/（a）=log24+4=l,则1。即"一1-4，

由于函数）=log2X在（0，+。）上单调递增，函数y=17在（0,m）上单调递减，

又k>g2]=0=l-l,所以0=1,

故/（x）=log2X+l,再令/（力=噢2工+1=。，xe（0,”），

解得：A=l,故函数/（切的零点是，

故选：C.

典例1-2.（2022.天津市南开中学滨海生态城学校高一阶段练习）已知函数

/（x）=l-log2x,在下列区间中，包含/（“零点的区间是（）

X

A.(0,1)B.(2,3)C.(3,+<»)D.(1,2)

【答案】D

【分析】利用零点存在定理可判断零点所在的区间.

【详解】因为尸工在(0.+8)上为减函数，尸1叫工在(o，y)上为增函数，

故“X)在(0，y)上为减函数，

®/(l)=l-log2l=l>0,/(2)=l-log22=-1<0,

故/(X)的零点在区间(1,2)中，

故选：D.

典例1-3.(2022・贵州遵义•高一期中)若函数/(幻=]2+”+旭的零点在区间(1,2)内,

则〃?的取值范围为()

A.[-6,-2]B.(-6,-2)

C.(9,-6]3-2,内)D.(^c,-6)U(-2,+oo)

【答案】B

【分析】因为/'(力在。，2)上单调递增，由零点的存在性定理知要使在(1,2)上存

在零点，需要满足]；：；；：；，求得”的取值范围.

【详解】因为人力在。，2)上单调递增，且/("的图象是连续不断的，

/(I)=1+1+/n<0

所以《解得-6<〃?<-2.

/⑵=4+2+〃?>0

故选：B.

【方法技巧总结】

1.零点存在性定理:如果函数)，=f(x)在区间[。向上的图象是连续不断的一条曲线,

并且有/(4)•/S)<o,那么函数y=/(X)在区间(&〃)内有零点，即存在cw(a,〃)，使

得八。)=。，这个c也就是方程的根。

2.注意：①不满足/“)./(>)<。的函数也可能有零点.②若函数/(X)在区间［出句上的

图象是一条连续曲线，则f(a)、f(b)<0是/(X)在区间［a,b］内有零点的充分不必要条

件.

【变式训练】

1.(2022・河南・温县第一高级中学高三阶段练习(文))已知函数［训;其，

则函数g(x)=/(l-x)-l的零点个数为().

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】通过解法方程g(x)=。来求得g。)的零点个数.

【详解】由g")=0可得"17)=1.

当xKO时，x2+2x=I=>x=-l-\/2,或4=一1+&(舍去)，

当x>0时，|lgR=l=x=10或x=

故l-x=-l-/nx=24■/是g")的零点，

l-x=10nx=-9是g(x)的零点，

1一-“mnx=历是8(工)的零点.

综上所述，g(x)共有3个零点.

故选：C

2.(2022•北京市海淀区仁北高级中学高一阶段练习)函数/(力=丁+5工-7的零点所

在的区间可以是()

A.(OJ)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

【答案】B

【分析】利用零点存在性定理，可得答案.

【详解】7(0)=-7<0,/(1)=1+5-7=-1<0,/(2)=84-10-7=11>0,

/(3)=27+15-7=35>0,/(4)=64+20-7=77>0,

山/⑴/(2)<0,则函数/(x)的零点存在的区间可以是(1,2),

故选：B.

3.(2022•天津市南开区南大奥宇培训学校高三阶段练习)函数

/(x)=2alo&x+a4+3在区间上有零点，则实数。的取值范围是()

|3

A.a<——B.a<——

22

-31n3

C.—<a<——D.a<——

224

【答案】D

【分析】分析可知函数/W在区间上单调，利用零点存在定理可得出

关于实数〃的不等式，解之即可.

【详解】当斫0时，/(-v)=3,不合乎题意.

当。>0时，由于函数—Mx、y=a♦4'+3在3)上均为增函数，

此时函数/(力在仁/，上为增函数.

当a<0时，由于函数丁=2川。8］、y=a4+3在上均为减函数，

此时函数“可在上为减函数.

因为函数/（X）在区间刖上有零点,则吗卜（1）＜0,

即3（4a+3）v0,解得

故选：D.

题型二：求函数零点或方程根的个数

【典例分析】

典例2-1.（2022.广东・惠州一中高一期中）函数/（6=日1.-2的零点个数为（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【分析】将问题转化为g（x）与〃（弓的图像的交点的个数，作出图像即可得解.

【详解】因为小）=叫回一2,令/（司=0,则叫出一2=0,即|1间二2邛

令g（x）=|lnx|,则g（x）的图像是），=lnx的图像保留］轴上方的图像，同时将1轴下方

的图像沿着x轴向上翻折得到的图像，如图所示，

令/心・）=21，则碎）的图像是），=［的图像的纵坐标扩大2倍，横坐标保持不

变得到的图像，如图所示，

所以g（x）与网力的图像有两个交点，即/（力=。,|1间-2有两个零点.

故选：C.

y

^11

典例2-2.(2021•陕西省神木中学高三阶段练习(文))已知函数“X)是定义在R上

的偶函数,且〃x+2)=/(x),当OKxKl时，/(x)=x,设函数g(x)"(x)Tog7此

则函数晨力的零点个数为()

A.6B.8C.12D.14

【答案】C

【分析】由已知可得函数〃幻的周期，作出两函数与)，=1/7国在(0,依)上的

部分图象，数形结合可得两函数在(。，+划上的交点公式，再根据对称性得答案.

【详解】解：函数/(x)是定义在R上的偶函数，所以/(-)=/(",且〃x+2)=f(%)

所以/(T)=/(X+2),则函数y=/(x)的图象关于”=1对称，

函数8(*)=/(“)-1。8/|乂的零点即为/")=1。8/国的根，

又函数/(%)满足〃"+2)=〃力,则"")的周期为2,

函数广/⑴与)，二唾7凶的图象都关于y轴对称，

作出两函数在(()，+8)上的部分图象如图：

y\

y=f(r)

由图可知，两函数在(。,y)上仃6个交点，根据对称性可得,

g(x)的零点的个数为12.

故选：c.

典例2-3.（2022•黑龙江贻尔滨三中高一阶段练习）若函数/（力的定义域为R/（.r-l）

为偶函数，当xN-l时，/W=|3^-l|,则函数g（x）=〃x）-g的零点个数为（）

A.0B.1C.2D.4

【答案】D

【分析】根据函数的性质作出函数图象，利用数形结合的思想求解零点的个数.

【详解】令37—120解得xWO,令3、一1<0解得x>0,

/(x)=|3--l|=.

所以当xN-I时,

/（X-1）为偶函数，所以/（X-1）的图象关于7轴对称,

所以/（X）的图象关于直线X=-1轴对称，

故作出了（X）的图象如下，

令屋力=〃x）Y=。，即/'（力=白

由图象n].知，/（x）的图象与），=1的图象共有四个交点,

所以函数g（x）=/（x）-g的零点个数为4个.

故选:D.

【方法技巧总结】

L核心：函数的零点。方程的根。函数图象与工轴交点的横坐标o两函数交点的横

坐标

2.流程：利用函数图象交点的个数：①画出函数/(幻的图象，函数/J)的图象与x轴

在给定区间上交点的个数就是函数/(X)的零点个数；②将函数"X)拆成两个图象易

得的函数加幻和g(x)的差，即/*)=0等价于/心)=以幻，则所求的零点个数即为函

数丁=KD和_y=^r)的图象在给定区间上的交点个数.

3.注意：若能确定函数的西调性，则其零点个数不难得到；若所给函数是周期函数，则只

需求在一个周期内零点的个数.

【变式训练】

9r>()

1.(2023•陕西西安・高三期末(理))已知函数/(力二；"八，若函数

-3x,x<0

g(x)=/(-x)-/(x),则函数g(x)的零点个数为()

A.1B.3C.4D.5

【答案】D

3x-e\x>0

【分析】本题首先通过函数奇偶性求出gW=0/=。，再利用导数研究其在

e'+3x,x<0

(0,+动上的零点个数即可.

【详解】当x>0时，f<0,/(-A)=3A

x

当xvO时，T>0,f(-x)=e~

3x-e\x>0

=f(-x)-f(x)=^0,x=0,

ev+3x,x<0

g(T)=/(x)-f(r)=-g*),且定义域为R,关于原点对称，故g(x)为奇函数,

所以我们求出X>()时零点个数即可,

^(x)=3x-ev,x>0,^>(A)=3-e'>0,令，(x)=3-e，>0,解得0<x<1n3,

故g(x)在(01n3)上单调递增，在W3收)单调递减，

且g(In3)=31n3-3>0,而g(2)=6-e?<0,故g(x)在(】n3,2)有1零点，

gg)=l-£<0,故g(/)在g,ln3)上有1零点，图像大致如图所示：

故g(x)在(0,+8)上有2个零点，又因为其为奇函数，则其在(—,0)上也有2个零点，

且g(0)=0,故g(力共5个零点，

故选：D.

2.(2022・安徽♦高三阶段练习)已知定义域为R的偶函数/(引的图象是连续不断的

曲线，且/。+2)+〃力=〃1卜〃力在［0,2］上单调递增，则”彳)在区间1100,100］上

的零点个数为()

A.100B.102C.200D.202

【答案】A

【分析】结合函数的奇偶性、单调性、周期性和零点的知识求得正确答案.

【详解】令4―1,得〃1)+〃-1)=〃1)，即/(-1)=0，

因为/(力为偶函数,所以/⑴=0J(x+2)+〃x)=/⑴=0,

/(A-+2)=-/(^)»〃X+4)=-/(X+2)=〃X),

所以/（X）是以4为周期的函数,

因为/（力在［0,2］上单调递增，则/（x）在［-2,0］上递减,

所以/（“在一个周期内有两个零点,

故/（大）在区间［T00J00］上的零点个数为50x2=100.

故选：A

3.（2022•山东青岛•高三期中）已知偶函数/⑶的定义域为（3,0）11（0,叱），对任意

x>0,都有/*)=/图,则函数g(x)=f(x)一glog,|x|+1

且当xw[1,2)时，f(x)=sin7LV

的零点的个数为（）

A.8B.10C.12D.14

【答案】C

【分析】将问题化为/⑶与y=giog"x|T图象的交点个数，结合偶函数对称性只需

研究“X）与g（x）=glog2X-1在（0,*o）的交点个数，数形结合判断交点个数即可.

【详解】将问题化为/⑴与丁=；1。&1幻-1图象的交点个数，显然5=*“21川-1也是

定义在（F,0）U（0，”）上的偶函数，

所以，只需研究了⑶与8。）=才幅l-1在（0，*°）的交点个数，再乘以2即可得结果.

对应/*）：X€［l,2）时/（x）e［-1,0］,在［1,耳）上递减，（Q,2）上递增；

任意x>0都有/（©=/佶］,易知xc［〃,2〃）上f（x）=sin出在［〃；〃）上递减，

n2

焉〃,2〃）上递增，〃£］<；

又g(x)在。+00)上递增,且g⑴=一1</«)=0,g(8)=0=f(8),

综上，/（x）与g（%）在。（1,8］存在交点,且函数图象如下图:

由图知：xc（l,8］上共有6个交点，根据偶函数的对称性知：共有12个交点,

所以原函数有12个零点.

故选：C

题型三：根据零点个数求参数范围（不分参型）

【典例分析】

典例3-1.（2022・广东•海珠外国语实验中学高一阶段练习）已知函数

小）=噫12（〃>0且.1）在上无零点，在上有零点，则实数〃的取值

范围为（）

B.(；,1卜(1,+8)

A-

c・陷

【答案】D

【分析】将问题转化成研究方程log“x=4i在上无实数根，在上有实数根,

即考查函数9（力=唾内/7（力=41的交点情况,作出函数图像数形结合即可得到答案.

【详解】函数/（%）在（0，］上无零点，在上有