两角差的余弦公式

5.5.1课时1两角差的余弦公式【教学目标】了解两角差的余弦公式的推导过程;熟记两角差的余弦公式的形式及符号特征,并能利用该公式进行求值、计算.【教学活动设计】教学导入师:同学们,前边我们学习了诱导公式,利用它们对三角函数式进行恒等变形,可以达到化简、求值或证明的目的.这种利用公式对三角函数式进行的恒等变形就是三角恒等变换.观察诱导公式,可以发现它们都是特殊角与任意角的和或差的三角函数与任意角的三角函数的恒等关系.同学们思考:如果现在把特殊角换成任意角,那么这两个任意角和的和或差的三角函数与、的三角函数会有什么关系呢?这也就是我们这节课研究的主题:三角恒等变换.首先我们进入两角差的余弦公式学习.【设计意图】以学生学过的诱导公式等知识引出课程主题,让学生形成数学系统,对前后知识进行联系.教学精讲师:同学们,假设我们已知两个任意角和,知道它们的正弦、余弦,能不能推导出的正弦、余弦?可以在单位圆中进行研究分析.【情境设置】通过单位圆分析两角差的余弦公式不妨令.如图,设单位圆与轴的正半轴相交于点,以轴非负半轴为始边作角,它们的终边分别与单位圆相交于点,.师:由平面几何知识,我们可以知道,也就是说,若把扇形绕着点旋转角,则点分别与点重合,根据圆的旋转对称性可以知道,与重合,从而,那如果连接,是不是可以得到?生:与是全等图形,.师:怎样用坐标表示和呢?生:在单位圆中,各点都可以用坐标表示,所以可以利用两点间的距离公式表示出和.师:很好,所以根据两点间的距离公式,可以得到:,化简得.当时,容易证明上式仍然成立.所以可以得到两角差的余弦公式:【要点知识】两角差的余弦公式对于任意角有此公式给出了任意角的正弦、余弦与其差角的余弦之间的关系,称为差角的余弦公式,简记作.【设情境,巧激趣】以问题引出研究的内容,激发学生兴趣点,探求知识的兴趣,又结合之前的知识和单位圆,在熟悉的情境中研究新的内容,培养和发展直观想象、逻辑推理的核心素养.【说明论证能力】启发学生思考,建立对推理问题思考的连贯性,增强对问题情境的认识,提升对知识的说明论证能力.【深度学习】通过师生问答,得到差角的余弦公式,再将公式总结,学生先思考,再总结,实现深度学习.师:由此我们知道,当已知两个任意角和的正弦、余弦,利用公式求出,的余弦.下面我们利用这个公式证明以下诱导公式.【典型例题】差角的余弦公式的应用——简单证明例1利用公式证明:(1).师:这两个式子都是我们很熟悉的诱导公式,现在差角的余弦公式可以给我们提供一种新的证明方法,那也就是把和看作是两个角,所以可得:,所以结果等于.那么第二题用同样的方法,,结果等于.主要还是通过这两个小题,我们要加深对公式的理解和记忆.公式巧记为:两角差的余弦等于两角的同名三角函数值乘积的和,即余·余+正·正.下面我们探究例2题.【典型例题】差角的余弦公式的应用——简单计算例2求下列各式的值:(1).(2).(3).【学生独立思考,独立完成,教师巡视检查并予以点评】师:好的,同学们,看到大家完成得都不错,我们现在来看黑板,关键是熟悉题目计算过程.【典例解析】解:.(2)原式.(3).师:以上是差角的余弦公式的一些简单应用的解法:(1)两特殊角之差的余弦值,利用两角差的余弦公式直接展开求解;(2)含有常数的式子,先将系数转化为特殊角的三角函数值,再利用两角差的余弦公式求解;(3)求非特殊角的三角函数值,把非特殊角转化为两个特殊角的差,然后利用两角差的余弦公式求解.其实这一部分题目除了以上计算以外,还可以细分为两种类型:一是“给值求值”,二是“给值求角”.【情境学习】在具体的问题情境下,学生通过将差角的余弦公式利用在具体问题的证明中,增强对所学知识的认识,学习相关概念,理解运算方法.【以学论教】利用具体问题,练习掌握差角的余弦公式,教师以学生的理解为中心,启发学生思考,活学活用,发展学生逻辑推理等核心素养.【概括理解能力】通过对差角的余弦公式的巧妙记忆,归纳总结,熟练掌握,提升概括理解能力.【典型例题】差角的余弦公式的应用——“给值求值”例3已知是第三象限角,求的值.师:对于差角余弦公式的应用,更多的还是体现在求值上,怎样求值?因为通过公式我们知道,要想求的值,我们要先知道和和,所以可以先根据已知,求得和,请同学分别计算说一下.生由,得 生2:又由是第三象限角,得 师:很好!做这样的题,一定要注意其中角的范围,正负是一定要确定清楚的.得到了和的值,接下来我们利用公式计算,最终计算得到.【分析计算能力】以具体的问题,具体的角度,引导学生结合差角余弦公式解决问题,不查表,快速对所给角度进行拆分,配凑出特殊角,培养学生的分析计算能力.【教师总结】给值求值的解题策略:(1)已知某些角的三角函数值,求另外一些角的三角函数值,要注意观察已知角与所求表达式中角的关系,即拆角与凑角.(2)由于和、差角与单角是相对的,因此解题过程中根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换.常见角的变换有:①;②;③;④.师:一般情况下,对于差角的余弦公式有如下变形:【要点知识】两角差的余弦公式的逆用以及变换使用1.逆用:.2.角变换后使用:.3.移项使用:.4.特殊化使用导出诱导公式:.【分析计算能力】让学生独立完成解题,增强对差角的余弦公式的理解,灵活掌握、应用公式,提升对题目的分析计算能力.【深度学习】在知识、方法的基础上,整理总结相关题型,通过对题型和方法的分类,加深对差角的余弦公式的理解,发展逻辑推理、数学运算核心素养.师:因为涉及差角的余弦公式的计算有很多,所以我们再练习一道补充例题,即“给值求角”.【典型例题】差角的余弦公式的应用——“给值求角”例4已知,且,求的值.【学生独立思考,独立完成,教师巡视检查并予以点评】师:提示一下已知三角函数值求角的解题步骤:(1)界定角的范围,根据条件确定所求角的范围.(2)求所求角的某种三角函数值.为防止增解最好选取在范围内单调的三角函数.(3)结合三角函数值及角的范围求角.注意:由三角函数值求角时,易忽视角的范围,而得到错误答案.那我们接下来看一下黑板上完整的解题步骤.【典例解析】解:由,得.由,得.又∵,【以学定教】教师在学生自主练习之后进行题目点评,总结归纳做题要点,以及结论,以学生的理解为中心,提升逻辑推理、数学运算素养.【以学论教】教师补充给值求角题型练习,使学生建立对知识,方法,题型的全面认识,以学生的理解为中心,加深学生对这一部分的知识和方法上的理解.师:当由三角函数值求角时,一定注意角的范围.解决此类题目的关键是求出所求角的某一三角函数值,而三角函数的选取一般要根据所求角的范围来确定,当所求角范围是或时,选取求余弦值,当所求角范围是或时,选取求正弦值.这道题里涉及了差角的正弦,差角的正弦也是有公式存在的,我们下节课推导后,就可以直接使用公式解题了.接下来,我们再练习几道题目,巩固一下.【巩固练习】两角差的余弦公式1.利用公式证明:(1).(2).2.利用公式求的值.3.已知,求的值.4.已知是第二象限角