新高考数学一轮复习 圆锥曲线专项重难点突破专题05 椭圆中的离心率问题(解析版)

专题05椭圆中的离心率问题限时：120分钟满分：150分一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知椭圆C：SKIPIF1<0的左、右焦点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点P在椭圆C上，且SKIPIF1<0，过P作SKIPIF1<0的垂线交x轴于点A，若SKIPIF1<0，记椭圆的离心率为e，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解析】因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,可得SKIPIF1<0.在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0.由椭圆的定义可得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选:A.

2．已知点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别是椭圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的左、右焦点，点P是椭圆E上的一点，若SKIPIF1<0的内心是G，且SKIPIF1<0，则椭圆E的离心率为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解析】设点G到SKIPIF1<0各边的距离为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，

即SKIPIF1<0，由椭圆定义知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，所以椭圆E的离心率SKIPIF1<0.故选：B3．已知椭圆SKIPIF1<0的左焦点为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上关于原点对称的两点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的离心率为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解析】设椭圆的右焦点为SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，由椭圆的对称性知，四边形SKIPIF1<0为矩形，所以SKIPIF1<0，

由椭圆的定义知，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以离心率SKIPIF1<0．故选：D．4．已知SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是椭圆上关于原点对称的两点，SKIPIF1<0是椭圆上任意一点，且直线SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的斜率分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0(SKIPIF1<0)，若SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0，则椭圆的离心率为SKIPIF1<0（

）.A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解析】设椭圆方程为SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0，显然SKIPIF1<0，

由SKIPIF1<0与SKIPIF1<0，相减得SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0取等号，因此SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，椭圆的离心率为SKIPIF1<0.故选：D5．已知SKIPIF1<0是椭圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的右焦点，点P在椭圆SKIPIF1<0上，线段SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0相切于点SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则椭圆SKIPIF1<0的离心率等于（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解析】设椭圆的左焦点为SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，设圆心为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0，则圆心坐标为SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，半径为SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0线段SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0相切于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0,SKIPIF1<0SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故选：D．

6．设椭圆SKIPIF1<0的左右焦点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是椭圆上不与顶点重合的一点，记SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的内心．直线SKIPIF1<0交SKIPIF1<0轴于SKIPIF1<0点，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则椭圆SKIPIF1<0的离心率为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解析】不妨设点SKIPIF1<0位于第一象限，如图所示，

因为SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的内心，所以SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的角平分线，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，由椭圆的定义可知，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，由余弦定理可得，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故选：B.7．设椭圆SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）的右焦点为F，椭圆C上的两点A、B关于原点对称，且满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则椭圆C的离心率的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解析】如图所示：设椭圆的左焦点SKIPIF1<0，由椭圆的对称性可知，四边形SKIPIF1<0为平行四边形，又SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以平行四边形SKIPIF1<0为矩形，故SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，在直角SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，又由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，因为对勾函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以椭圆离心率的取值范围是SKIPIF1<0.故选：B.8．已知焦点在x轴上的椭圆SKIPIF1<0的内接平行四边形的一组对边分别经过其两个焦点（如图），当这个平行四边形为矩形时，其面积最大，则椭圆离心率的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解析】椭圆C：SKIPIF1<0的焦点在x轴上，设SKIPIF1<0所在直线方程为SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0为椭圆的半焦距.则由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0所在直线方程为SKIPIF1<0，所以直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的距离为：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0要使得SKIPIF1<0最大值，则只需SKIPIF1<0的值最大，即SKIPIF1<0的值最小即可.根据条件当这个平行四边形为矩形时，其面积最大.即当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0有最大值，也即是SKIPIF1<0时SKIPIF1<0最小，由函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，在SKIPIF1<0上单调递增.所以函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，在SKIPIF1<0上单调递增.因为函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，当SKIPIF1<0时取得最小值，则SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，同时除以SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0,故选：A二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.9．若椭圆SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0，则实数SKIPIF1<0的值可能为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．4【解析】因为椭圆SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0，当焦点在SKIPIF1<0轴上时，即SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0；当焦点在SKIPIF1<0轴上时，即SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故选：AD.10．在平面直角坐标系SKIPIF1<0中，椭圆SKIPIF1<0上存在点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率可能为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解析】根据椭圆定义，得SKIPIF1<0.∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.∵SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.又∵椭圆的离心率SKIPIF1<0，∴该椭圆离心率的取值范围是SKIPIF1<0.故符合题意的选项有BCD.故选：BCD.11．设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别是椭圆SKIPIF1<0的左、右焦点，点P在椭圆C上，若线段SKIPIF1<0的中点在y轴上，设SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，e为椭圆的离心率，则下列正确的有（

）A．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0 B．e随着k的增大而增大C．e可能等于SKIPIF1<0 D．e可能等于SKIPIF1<0【解析】线段SKIPIF1<0的中点在y轴上，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，故SKIPIF1<0轴，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，整理得到SKIPIF1<0.对选项A：SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，正确；对选项B：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故e随着k的增大而增大，正确；对选项C：SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，不在范围内，错误；对选项D：SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，满足SKIPIF1<0，正确；故选：ABD12．已知直线SKIPIF1<0与椭圆CSKIPIF1<0）交于A，B两点，线段AB的中点为SKIPIF1<0，则C的离心率可能是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解析】设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，由题意可得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，椭圆C的离心率SKIPIF1<0，所以椭圆离心率范围为SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0与SKIPIF1<0满足要求.故选：BD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13．已知椭圆C的焦点为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，短轴的一个端点为B，且SKIPIF1<0是一个等边三角形，则椭圆C的离心率为.【解析】因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以依据题意可知SKIPIF1<0，从而有SKIPIF1<0.14．已知椭圆SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是长轴的左、右端点，动点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，交椭圆于点SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0为常数，则椭圆离心率为.【解析】由题意设SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0三点共线，所以SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0因为SKIPIF1<0为常数，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以离心率SKIPIF1<0

15．已知椭圆SKIPIF1<0的左、右焦点分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，半焦距为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是椭圆上异于左、右顶点的任意一点，若存在以SKIPIF1<0为半径的圆内切于SKIPIF1<0（SKIPIF1<0的面积满足SKIPIF1<0），则椭圆的离心率的取值范围是．【解析】

如图，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0的内切圆半径为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，因SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，因SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，16．若椭圆SKIPIF1<0上存在一点M，使得SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别为椭圆的左、右焦点），则椭圆的离心率e的取值范围为.【解析】方法一：设点M的坐标是SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.又点M在椭圆上，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故椭圆的离心率e的取值范围是SKIPIF1<0.方法二：设点M的坐标是SKIPIF1<0，由方法一可得SKIPIF1<0消去SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，由②得SKIPIF1<0，此式恒成立.由①得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.综上所述，椭圆的离心率e的取值范围是SKIPIF1<0.方法三：设椭圆的一个短轴端点为P，∵椭圆上存在一点M，使SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，（SKIPIF1<0最大时，M为短轴端点）∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故椭圆的离心率e的取值范围为SKIPIF1<0.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知椭圆SKIPIF1<0的左右焦点分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，M为椭圆上任意一点，SKIPIF1<0的周长为SKIPIF1<0.(1)求椭圆方程和椭圆的离心率；(2)过椭圆的下顶点SKIPIF1<0及右焦点SKIPIF1<0作直线与椭圆的另一个交点为SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的面积.【解析】（1）设椭圆的半焦距为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，因为M为椭圆SKIPIF1<0上一点，由椭圆定义可得SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0的周长为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故椭圆方程为SKIPIF1<0，椭圆SKIPIF1<0的离心率SKIPIF1<0；（2）由(1)可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0，消SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的面积SKIPIF1<0.18．已知椭圆SKIPIF1<0与双曲线SKIPIF1<0，有相同的左、右焦点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若点SKIPIF1<0是SKIPIF1<0与SKIPIF1<0在第一象限内的交点，且SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的离心率分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的取值范围.【解析】设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由椭圆的定义可得SKIPIF1<0，由双曲线的定义可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，由于函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上递增，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0.19．设SKIPIF1<0分别是椭圆SKIPIF1<0的左、右焦点，SKIPIF1<0是椭圆SKIPIF1<0上一点且SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴垂直，直线SKIPIF1<0与椭圆SKIPIF1<0的另一个交点为SKIPIF1<0．(1)若直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0，求椭圆SKIPIF1<0的离心率；(2)若直线SKIPIF1<0在SKIPIF1<0轴上的截距为1，且SKIPIF1<0，求椭圆SKIPIF1<0的方程．【解析】（1）记SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，如图，因为SKIPIF1<0,所以点SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0的上方，即SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0，或SKIPIF1<0（舍去）（2）

记直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴的交点为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0①，SKIPIF1<0SKIPIF1<0轴，垂足为点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0由比例关系可知，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0将SKIPIF1<0的坐标代入椭圆方程得SKIPIF1<0②由①②及SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，所以椭圆的方程为SKIPIF1<0．20．设椭圆SKIPIF1<0的左、右焦点分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上一点，SKIPIF1<0轴，SKIPIF1<0的正切值为SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的离心率SKIPIF1<0；(2)过点SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0两点，若SKIPIF1<0面积的最大值为3，求SKIPIF1<0的方程.【解析】（1）设椭圆C的半焦距c，则SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，不妨点SKIPIF1<0在第一象限，则SKIPIF1<0，于是得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以C的离心率等于SKIPIF1<0.（2）由（1）可设椭圆SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，依题意，设直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，代入椭圆方程，得SKIPIF1<0.设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的面积SKIPIF1<0SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上递减，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故椭圆SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0.

21．设椭圆SKIPIF1<0的左、右焦点分别为SKIPIF1<0是椭圆上的一点，SKIPIF1<0，原点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0.(1)求椭圆SKIPIF1<0的离心率；(2)平面上点B满足SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0与SKIPIF1<0平行的直线交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0两点，若SKIPIF1<0，求椭圆SKIPIF1<0的方程.【解析】（1）由题设SKIPIF1<0及SKIPIF1<0，不妨设SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去），从而SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，原点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0代入整理得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以离心率SKIPIF1<0.（2）由（1）问可设椭圆方程为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0为平行四边形，所以直线SKIPIF1<0过SKIPIF1<0点，则SKIPIF1<0斜率为SKIPIF1<0，则设直线SKIPIF1<0方程为SKIPIF1<0，联立椭圆方程得SKIPIF1<0，显然SKIPIF1<0