811向量数量积的概念课件高一下学期数学人教B版

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数学

必修第三册第八章向量的数量积与三角恒等变换8.1.1向量数量积的概念课标定位素养阐释1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.体会平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握数量积的运算性质,培养直观想象、数学运算素养.自主预习新知导学一、两个向量的夹角1.若F1和F2是作用于同一点的两个力,则此两个力的张角最大是多少?最小是多少?提示:π,0.二、向量数量积的定义1.作用在物体上的力F所做功的大小,取决于哪些因素?提示:力F的大小,物体在力F作用下位移的大小及F与位移夹角的余弦值.2.(1)向量数量积的定义:一般地,当a与b都是非零向量时,称|a||b|cos<a,b>为向量a与b的数量积(也称为内积),记作a·b,即a·b=|a||b|cos<a,b>.两个非零向量a与b的数量积是一个实数.(2)向量数量积的性质:a,b都是非零向量.①|a·b|≤|a||b|;②a2=a·a=|a|2,即|a|=③a⊥b⇔a·b=0;④cos<a,b>=3.两非零向量a,b的数量积一定是一个非负数吗?提示:不一定.三、向量的投影与向量数量积的几何意义

(2)给定平面上的一个非零向量b,设b所在的直线为l,则a在直线l上的投影称为a在向量b上的投影.(3)一般地,如果a,b都是非零向量,则称|a|cos<a,b>为向量a在向量b上的投影的数量.投影的数量与投影的长度有关,但投影的数量既可能是非负数,也可能是负数.【思考辨析】

判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”.(1)两个向量的数量积仍然是向量.(

)(2)若a·b=b·c,则一定有a=c.(

)(3)若向量a,b同向,则a·b=|a||b|.(

)(4)向量a在向量b上的投影的数量一定不等于向量b在向量a上的投影的数量.(

)(5)若a·b=0,则必有a⊥b.(

)××√×√合作探究释疑解惑探究一与数量积有关的概念【例1】

以下五种说法正确的是

.(填序号)

①若a·b=0,则a=0或b=0;②若向量a与b满足a·b<0,则a与b的夹角为钝角;③

在△ABC中,若

=0,则△ABC为直角三角形;④若向量a与b是两个单位向量,则a2=b2;⑤a在b上的投影是一个实数.④正确,∵a,b为单位向量,∴a2=|a|2=1,b2=|b|2=1,∴a2=b2;⑤错,a在b上的投影是一个向量.答案:③④两向量的数量积是一个实数,它由|a|,|b|,cos<a,b>共同决定.a在b上的投影是一个向量,a在b上的投影的数量为|a|cos<a,b>,是一个实数,此实数可正、可负,也可以为0.【变式训练1】

给出下列判断:①若a2+b2=0,则a=b=0;②已知a,b,c是三个非零向量,若a+b=0,则|a·c|=|b·c|;③a,b共线⇔a·b=|a||b|;④|a||b|<a·b;⑤若向量a,b满足a·b>0,则a与b的夹角为锐角;⑥若a,b的夹角为θ,则|b|cosθ表示向量b在向量a方向上的投影长.其中正确的是___________.(填序号)解析:∵a2=|a|2,b2=|b|2,∴a2+b2=|a|2+|b|2=0,∴|a|=|b|=0,∴a=b=0,∴①正确;∵a+b=0,∴a=-b,∴a与b反向.∴|a·c|=|(-b)·c|=|-b|·|c||cos<-b,c>|=|b|·|c|×|cos(π-<b,c>)|=|b||c||cos<b,c>|=|b·c|,∴②正确;当a与b方向相反时,③不正确;④|a||b|≥a·b,∴④不正确;⑤不正确,<a,b>可能为0;⑥不正确,|b|cos

θ是b在a上投影的数量.答案:①②探究二求向量的数量积【例2】

已知|a|=4,|b|=5,当(1)a∥b;(2)a⊥b;(3)a与b的夹角为135°时,分别求a与b的数量积.分析:根据两向量的数量积的定义式求解即可.解:设向量a与b的夹角为θ,(1)当a∥b时,有两种情况:①若a与b同向,则θ=0°,a·b=|a||b|=20;②若a与b反向,则θ=180°,a·b=-|a||b|=-20.(2)当a⊥b时,θ=90°,∴a·b=0.(3)当a与b的夹角为135°时,a·b=|a||b|cos

135°=-10.已知a·b=10,|a|=4,|b|=5,求<a,b>.1.求平面向量数量积的步骤:(1)求a与b的夹角θ,θ∈[0,π].(2)分别求|a|和|b|.(3)求数量积,即a·b=|a||b|cos

θ.2.在a·b=|a||b|cos<a,b>中有四个量a·b,|a|,|b|,cos<a,b>,知道其中三个的值,可以求另外的一个值.【变式训练2】

若向量a·b满足|a|=,|b|=3,a与b的夹角为135°,则a·b+b·b=

.

解析:原式=|a||b|cos

135°+|b|2=6.答案:6探究三求a在b上投影的数量a在b上的投影是一个向量,投影的数量是一个实数,此实数等于|a|cos<a,b>.【变式训练3】

若|a|=1,|b|=2,<a,b>=60°,求a在b上投影的数量及b在a上投影的数量.解:a在b上投影的数量为|a|cos<a,b>=1×cos

60°=;b在a上投影的数量为|b|cos<a,b>=2×cos

60°=1.易错辨析因弄错向量的夹角致错以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何订正?你如何防范?提示:产生错误的原因在于没能正确理解向量夹角的概念.题中

两向量的起点不同,因此∠C不是它们的夹角,而应当是

∠C的补角,其大小为120°.在求两向量的夹角时,先将两向量移到共同起点,再确定其夹角.解:a和b的夹角不是∠ABC,而是∠ABC的补角,因此它们的夹角为120°,同理,b与c,c与a的夹角也都是120°.所以a·b+b·c+c·a随堂练习1.已知|a|=9,|b|=6,a·b=-54,则a与b的夹角θ为(

)A.45° B.135° C.120° D.150°答案:B2.若|a|=1,|b|=2,则|a·b|不可能等于(

)A.0 B. C.2 D.3解析:由向量数量积的性质,可知|a·b|≤|a||b|=2,故选D.答案:D3.若a·b=1,且<a,b>=60°,|b|=1,则|a|=

.

解析:∵a·b=|a||b|cos<a,b>,答案:24.（多选题）设e1,e2是两个平行的单位向量,则下面的结果正确的是(

)A.e1·e2=1 B.e1·e2=-1