山东省泰安市2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

试卷类型：A高二年级考试数学试题2024.11注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．直线在轴上的截距是（）A． B． C． D．2．下列方程所表示的直线中，倾斜角为的是（）A． B．C． D．3．已知点沿着向量的方向移动到点，且，则点的坐标为（）A． B． C． D．4．已知圆，则过点的圆的切线方程为（）A． B．或C． D．或5．已知正方体中，分别为上底面和下底面的中心，则下列与和共面的向量是（）A． B． C． D．6．已知正三棱柱的底面边长为1，侧棱长为为的中点，则与平面所成的角的正弦值为（）A． B． C． D．7．已知点在直线上，若以为圆心，以3为半径的圆与圆有公共点，则的取值范围是（）A． B． C． D．8．已知椭圆的左，右焦点分别为上两动点均位于轴上方，且，若与的交点在轴上，且纵坐标为，则椭圆的离心率为（）A． B． C． D．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知直线，直线，若或，则的值可能为（）A．4 B． C． D．110．已知圆，则（）A．点在圆内B．若点在圆上，则的最大值为C．若圆上恰有三个点到直线的距离为1，则实数的值为D．若点在直线上，点在圆上，，则的最小值为11．在直三棱柱中，底面为等腰直角三角形，且满足，若点满足，其中，则下列说法正确的是（）A．当时，三棱锥的体积为定值B．当时，的面积的最大值为C．当时，有且仅有一个点，使得D．当时，有且仅有一个点，使得平面三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．定义，若向量，向量的模为2，向量与向量的夹角为，则______．13．已知，点满足，则点的轨迹方程为______．14．“若点为椭圆上的一点，为椭圆的两个焦点，则椭圆在点处的切线平分的外角”，这是椭圆的光学性质之一．已知椭圆，点是椭圆上的点，在点处的切线为直线，过左焦点作的垂线，垂足为M，则的最小值为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知点，点关于直线的对称点为．（1）求的外接圆的标准方程；（2）若过点的直线被圆截得的弦长为2，求直线的方程．16．（15分）如图，在三棱锥中，在线段上，且为的中点．（1）证明：；（2）求异面直线所成角的余弦值．17．（15分）已知椭圆的上顶点为，离心率为，左焦点为．（1）求椭圆的方程；（2）若过点的直线与椭圆相交于两点，且的面积为，求直线的方程．18．（17分）如图，在四面体中，平面分别是线段的中点，点在线段上，且．（1）求证：平面；（2）当时，求平面与平面夹角的余弦值；（3）在（2）的条件下，若为内的动点，平面，且与平面所成的角最大，试确定点的位置．19．（17分）定义：若椭圆上的两个点满足，则称为该椭圆的一个“共轭点对”，记作，已知四点，中恰有三点在椭圆上．（1）求椭圆的标准方程；（2）证明：有两个点满足“共轭点对”，并求点的坐标；（3）设（2）中的两个点分别为，设为坐标原点，点在椭圆上，满足且点在直线两侧，求四边形的面积的最大值．

试卷类型：A高二年级考试数学试题参考答案及评分标准2024.11一、单项选择题：题号12345678答案ADCDABBB二、多项选择题：题号91011答案BCBCDAC三、填空题：12．613．14．四、解答题：15．（13分）解：（1）设点点与点关于直线对称解得的中点为的中垂线方程的中点，且直线的斜率不存在的中垂线方程为：圆心满足圆的标准方程为．（2）直线被圆截得的弦长为2圆心到直线的距离当直线斜率存在时，设的方程为即解得此时的方程为当直线斜率不存在时，方程为，满足题意因此，所求直线的方程为或16．（15分）证明：（1）设与均为正三角形．（2）为的中点，为线段靠近的三等分点，中，异面直线所成角的余弦值为17．（15分）解：（1）由题意可知解得．椭圆的方程为（2）设直线的方程为由得恒成立设整理得解得或（舍去）直线的方程为或18．（17分）（1）证明：取中点，连接是的中点，且在线段上取点，使连接且∴四边形为平行四边形又平面平面平面（2）取中点，则，又平面，平面以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，由题意得设平面的法向量为则．设平面的法向量为则即令，解得设平面与平面的夹角为则（3）由（2）知为中点，为中点，连接点为内动点且平面平面平面平面即点在上设设即设平面的法向量为，则设与平面所成角为最大即最大当，即点位于中位线靠近的八等分点的第3个点处时，与平面所成角最大19．（17分）解：（1）由于两点关于轴对称，故由题意知椭圆经过两点，显然不经过点，所以点在上，且的焦点在轴上设的标准方程为因此解得椭圆的标准方程为（2）设“共轭点对”中点的坐标为根据“共轭点对”定义点的坐标满足所以或于是有两个点满足“共轭点对”，且点的坐标为（3）设，则所在的直线的方程为法一：设点，则两式相减得又于是，则所以线段的中点在直线上，即线段被直线平分设点到直线的距离为则四边形的面积又则有设过点且与直线平行的直线的方程为则当与相切时取最大值由