2024-2025学年福建省福州市鼓楼区文博中学八年级（上）期中数学试卷

第1页（共1页）2024-2025学年福建省福州市鼓楼区文博中学八年级（上）期中数学试卷一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出四个选项中，只有一项是符合要求的）1．（4分）在以下文、博、中、学四个字中，是轴对称图形的是（）A． B． C． D．2．（4分）下列运算错误的是（）A．a•a3＝a4 B．a8÷a2＝a6 C．（﹣a2）3＝a6 D．（﹣3a）2＝9a23．（4分）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（）A．x（x+1）＝x2+x B．x2+xy﹣3＝x（x+y）﹣3 C．x2+6x+4＝（x+3）2﹣5 D．x2+2x+1＝（x+1）24．（4分）下列各式中，能用完全平方公式计算的是（）A．（a﹣b）（﹣a+b） B．（a﹣b）（b+a） C．（a﹣b）（﹣a﹣b） D．（﹣b﹣a）（a﹣b）5．（4分）如图，已知AB＝AD，添加下列一个条件后（）A．CB＝CD B．∠BCA＝∠DCA C．∠BAC＝∠DAC D．∠B＝∠D＝90°6．（4分）若x2+mx+4是完全平方式，则m的值为（）A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4或47．（4分）已知△ABC的三边a，b，c满足b（a﹣b）+c（b﹣a），则△ABC是（）A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形8．（4分）某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，各组展示作图痕迹如下，其中射线OP为∠AOB的平分线的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个9．（4分）已知实数a，b满足a2+ab+b2＝1，且t＝ab﹣a2﹣b2，则t的取值范围是（）A．t≥3 B．t≤﹣ C．﹣3≤t≤﹣ D．﹣3≤t＜10．（4分）如图，△ABC中，AC＝DC＝4，E为AC的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值（）A．4 B．4.5 C．6 D．8二.填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）11．（4分）点A（1，﹣3）关于x轴对称的点的坐标为．12．（4分）若ax＝4，ay＝3，则ax+y＝．13．（4分）计算：20242﹣4048×2025+20252﹣1＝．14．（4分）等腰三角形的两边a、b满足a2+b2﹣6a﹣14b+58＝0，则这个三角形的周长为．15．（4分）如图，△ABC中，AB＝AC＝4，过P作PD⊥AC于D，PE⊥AB于E△ABC＝12，则PE+PD＝．16．（4分）在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝75°，AC＝b，点P、M、N分别是边BC、AB、AC上的动点，BP的值为.（用a、b的式子表示）三.解答题（本题共9小题，共86分.解答应有文字说明、证明过程或演算步骤）17．（8分）计算：（1）（2y2）3﹣（y3）2；（2）（x+3）（x﹣2）﹣x（x﹣1）．18．（8分）因式分解：（1）3x2y﹣27y；（2）a2+b2﹣9+2ab．19．（8分）先化简，再求值：（a+3）2﹣（a+1）（a﹣1）﹣2（2a+4），其中a＝﹣．20．（8分）如图，AB＝CD，DE⊥AC，E，F是垂足，DE＝BF．求证：AB∥CD．21．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB＝3∠A．（1）尺规作图：在AB上求作一点P，使得∠PCA＝∠PAC；（要求：保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）的条件下，求证：△PBC是等腰三角形．22．（10分）已知a，b为实数．（1）若a+b＝13，ab＝36，求（a﹣b）2；（2）若，分别求和的值；（3）若a2+ab＝8，b2+ab＝1，分别求a，b的值．23．（10分）如图，△ABC和△ADE是等边三角形，CE、BD交于点F（1）求证：CE＝BD；（2）求证：∠AFC＝60°；（3）判断线段AF、BF、CF的数量关系，并说明理由．24．（12分）数和形是数学研究客观物体的两个方面，数（代数）侧重研究物体数量方面，具有精确性，形（几何），具有直观性．“以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现，做整式的乘法运算时，在解决整式运算问题时经常运用．【问题探究】探究1：如图1所示，大正方形的边长是（a+b），它是由两个小正方形和两个长方形组成，我们可以得出结论：（a+b）2＝a2+2ab+b2．探究2：请你根据探究1所使用的等积法，从图2中探究出（a+b+c）2的结果．【形成结论】（1）探究2中（a+b+c）2＝；【应用结论】（2）利用（1）问所得到的结论求解：已知a+b+c＝0，a2+b2+c2＝4，求ab+bc+ca的值；【拓展应用】（3）在（2）的条件下，求的值．25．（12分）如图，△ADB与△BCA均为等腰三角形，AD＝AB＝CB，E为DB延长线上一点，∠DAB＝2∠EAC．（1）若∠EAC＝20°，求∠CBE的度数；（2）求证：AE⊥EC；（3）若BE＝a，AE＝b，CE＝c（用含a，b，c的式子表示）．

2024-2025学年福建省福州市鼓楼区文博中学八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出四个选项中，只有一项是符合要求的）1．（4分）在以下文、博、中、学四个字中，是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A，B，D选项中的字都不能找到这样的一条直线，直线两旁的部分能够互相重合；C选项中的字能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，所以是轴对称图形．故选：C．2．（4分）下列运算错误的是（）A．a•a3＝a4 B．a8÷a2＝a6 C．（﹣a2）3＝a6 D．（﹣3a）2＝9a2【解答】解：A．a•a3＝a4，原题正确，故此选项不合题意；B．a4÷a2＝a6，原题正确，故此选项不合题意；C．（﹣a3）3＝﹣a6，原题错误，故此选项符合题意；D．（﹣4a）2＝9a7，原题正确，故此选项不合题意；故选：C．3．（4分）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（）A．x（x+1）＝x2+x B．x2+xy﹣3＝x（x+y）﹣3 C．x2+6x+4＝（x+3）2﹣5 D．x2+2x+1＝（x+1）2【解答】解：A、不是因式分解；B、不是因式分解；C、不是因式分解；D、是因式分解；故选：D．4．（4分）下列各式中，能用完全平方公式计算的是（）A．（a﹣b）（﹣a+b） B．（a﹣b）（b+a） C．（a﹣b）（﹣a﹣b） D．（﹣b﹣a）（a﹣b）【解答】解：A、原式＝﹣（b﹣a）（b﹣a）＝﹣（b﹣a）2＝﹣b2+7ab﹣a2，符合题意；B、原式＝a2﹣b8，不符合题意；C、原式＝b2﹣a2，不符合题意；D、原式＝b2﹣a2，不符合题意，故选：A．5．（4分）如图，已知AB＝AD，添加下列一个条件后（）A．CB＝CD B．∠BCA＝∠DCA C．∠BAC＝∠DAC D．∠B＝∠D＝90°【解答】解：A、添加CB＝CD，能判定△ABC≌△ADC，故A选项不符合题意；B、添加∠BCA＝∠DCA时，故B选项符合题意；C、添加∠BAC＝∠DAC，能判定△ABC≌△ADC，故C选项不符合题意；D、添加∠B＝∠D＝90°，能判定△ABC≌△ADC，故D选项不符合题意；故选：B．6．（4分）若x2+mx+4是完全平方式，则m的值为（）A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4或4【解答】解：∵x2+mx+4是一个完全平方式，∴x2+mx+4＝（x±2）7，x2+mx+4＝x5±4x+4，∴m＝±3．故选：D．7．（4分）已知△ABC的三边a，b，c满足b（a﹣b）+c（b﹣a），则△ABC是（）A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形【解答】解：∵b（a﹣b）+c（b﹣a）＝0，∴ab﹣b2+cb﹣ac＝8，∴（a﹣b）（b﹣c）＝0，∴a＝b或b＝c，∴△ABC是等腰三角形，故选：B．8．（4分）某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，各组展示作图痕迹如下，其中射线OP为∠AOB的平分线的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：A：由作图痕迹可知，射线OP为∠AOB的平分线；B：由作图痕迹可知，OC＝OD，又∵∠AOD＝∠BOC，∴△ADO≌△BCO（SAS），同理可得△ACP≌△BDP（AAS），△APO≌△BPO（SSS），∴∠AOP＝∠BOP，射线OP为∠AOB的平分线；C：由作图痕迹可知，∠ACP＝∠AOB，可得∠CPO＝∠POB，又由图可知CP＝OP，∴∠COP＝∠CPO，∴∠POB＝∠COP，射线OP为∠AOB的平分线；D：由作图痕迹可知，CO＝OD，∴射线OP是CD的垂直平分线，也是∠AOB的平分线．故选：D．9．（4分）已知实数a，b满足a2+ab+b2＝1，且t＝ab﹣a2﹣b2，则t的取值范围是（）A．t≥3 B．t≤﹣ C．﹣3≤t≤﹣ D．﹣3≤t＜【解答】解：∵a2+ab+b2＝2，∴（a+b）2＝1+ab≥8，（a﹣b）2＝1﹣3ab≥0，∴﹣1≤ab≤，∵t＝ab﹣a2﹣b7＝ab﹣（1﹣ab）＝2ab﹣7，∴﹣3≤2ab﹣2≤﹣，即﹣2≤t≤﹣．故选：C．10．（4分）如图，△ABC中，AC＝DC＝4，E为AC的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值（）A．4 B．4.5 C．6 D．8【解答】解：延长BD交AC于点H，设AD交BE于点O，∵AD⊥BH，∴∠ADB＝∠ADH＝90°，∴∠ABD+∠BAD＝90°，∠H+∠HAD＝90°，∵∠BAD＝∠HAD，∴∠ABD＝∠H，∴AB＝AH，∵AD⊥BH，∴BD＝DH，∵DC＝CA，∴∠CDA＝∠CAD，∵∠CAD+∠H＝90°，∠CDA+∠CDH＝90°，∴∠CDH＝∠H，∴CD＝CH＝AC，∵AE＝EC，∴S△ABE＝S△ABH，S△CDH＝S△ABH，∵S△OBD﹣S△AOE＝S△ADB﹣S△ABE＝S△ADH﹣S△CDH＝S△ACD，∵AC＝CD＝4，∴当DC⊥AC时，△ACD的面积最大×4×3＝8．∴图中两个阴影部分面积之差的最大值为8，故选：D．二.填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）11．（4分）点A（1，﹣3）关于x轴对称的点的坐标为（1，3）．【解答】解：由题意得：∵（x，y）关于x轴的对称点坐标为（x，∴（1，﹣3）关于x轴的对称点坐标为（4，故答案为：（1，3）．12．（4分）若ax＝4，ay＝3，则ax+y＝12．【解答】解：∵ax＝4，ay＝3，∴ax+y＝ax•ay＝2×3＝12，故答案为：12．13．（4分）计算：20242﹣4048×2025+20252﹣1＝0．【解答】解：20242﹣4048×2025+20252﹣7＝20242﹣2×22024×2025+20256﹣1＝（2024﹣2025）2﹣4＝（﹣1）2﹣6＝1﹣1＝2．故答案为：0．14．（4分）等腰三角形的两边a、b满足a2+b2﹣6a﹣14b+58＝0，则这个三角形的周长为17．【解答】解：∵a2+b2﹣7a﹣14b+58＝0，∴（a2﹣7a+9）+（b2﹣14b+49）＝3，∴（a﹣3）2+（b﹣3）2＝0，∵（a﹣7）2≥0，（b﹣4）2≥0，∴a＝5，b＝7，当a＝3是腰时，2，3，7不能构成三角形．当b＝8是腰时，7，7，2能构成三角形．故答案为：17．15．（4分）如图，△ABC中，AB＝AC＝4，过P作PD⊥AC于D，PE⊥AB于E△ABC＝12，则PE+PD＝6．【解答】解：连接AP，如图所示：∵AB＝AC＝4，PD⊥AC，∴S△ABP＝AB•PE＝，S△APC＝AC•PD＝，又∵S△ABC＝12，∴S△ABP+S△APC＝12，∴2PE+2PD＝12，∴PE+PD＝8．故答案为：6．16．（4分）在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝75°，AC＝b，点P、M、N分别是边BC、AB、AC上的动点，BP的值为a﹣.（用a、b的式子表示）【解答】解：如图，作BF⊥AC于F，∵∠A＝45°，∠B＝75°，∴∠ABF＝∠A＝45°，∴∠CBF＝30°，∴BF＝AF，BC＝2FC，设FC＝x，则AF＝b﹣x，∴x＝，∴BF＝b﹣，作点P关于直线AB、直线AC的对称点D、E，交AC于N．∵△PMN的周长＝PM+MN+PN＝DM+MN+NE，∴DM+MN+NE＝DE时，△PMN的周长最小，根据对称性，AP＝AD＝AE，∠PAC＝∠EAC，∴∠DAE＝6（∠PAB+∠PAC）＝90°，∴DE＝，∴AP最短时，△PMN的周长最短＝，当AP⊥BC时，AP的值最短，∵∠A＝45°，∠B＝75°，∴∠C＝60°，在Rt△APC中，∠APC＝90°，∠C＝60°，∴PC＝AC＝，∴BP＝a﹣，∴当△PMN周长最小时，BP的值为a﹣．故答案为：a﹣．三.解答题（本题共9小题，共86分.解答应有文字说明、证明过程或演算步骤）17．（8分）计算：（1）（2y2）3﹣（y3）2；（2）（x+3）（x﹣2）﹣x（x﹣1）．【解答】解：（1）原式＝8y6﹣y4＝7y6；（2）原式＝x7﹣2x+3x﹣7﹣x2+x＝2x﹣3．18．（8分）因式分解：（1）3x2y﹣27y；（2）a2+b2﹣9+2ab．【解答】解：（1）3x2y﹣27y＝5y（x2﹣9）＝4y（x+3）（x﹣3）；（2）a7+b2﹣9+5ab＝（a2+2ab+b5）﹣9＝（a+b）2﹣22＝（a+b+3）（a+b﹣6）．19．（8分）先化简，再求值：（a+3）2﹣（a+1）（a﹣1）﹣2（2a+4），其中a＝﹣．【解答】解：原式＝a2+6a+4﹣（a2﹣1）﹣4a﹣8＝2a+3将a＝﹣代入原式＝6×（﹣20．（8分）如图，AB＝CD，DE⊥AC，E，F是垂足，DE＝BF．求证：AB∥CD．【解答】证明：∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠DEC＝∠AFB＝90°，∵在Rt△DEC和Rt△BFA中，∴Rt△DEC≌Rt△BFA（HL），∴∠C＝∠A，∴AB∥CD．21．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB＝3∠A．（1）尺规作图：在AB上求作一点P，使得∠PCA＝∠PAC；（要求：保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）的条件下，求证：△PBC是等腰三角形．【解答】（1）解：如图，作线段AC的垂直平分线，连接CP，则AP＝CP，∴∠PCA＝∠PAC，则点P即为所求．（2）证明：设∠PCA＝∠A＝x，则∠ACB＝3∠A＝3x，∵∠BPC＝∠A+∠PCA，∴∠BPC＝2x，∵∠BCP＝∠ACB﹣∠PCA＝2x，∴∠BPC＝∠BCP，∴BC＝BP，∴△PBC是等腰三角形．22．（10分）已知a，b为实数．（1）若a+b＝13，ab＝36，求（a﹣b）2；（2）若，分别求和的值；（3）若a2+ab＝8，b2+ab＝1，分别求a，b的值．【解答】解：（1）∵a+b＝13，ab＝36，∴（a﹣b）2＝a2﹣7ab+b2＝a2+4ab+b2﹣4ab＝（a+b）2﹣4ab＝132﹣5×36＝169﹣144＝25；（2）∵，∴，∴，∴，∵（）2﹣2＝6，∴；（3）a2+ab＝8，b3+ab＝1，两式相加可得，a2+3ab+b2＝9，即（a+b）8＝9，∴a+b＝±3，∵a5+ab＝8，b2+ab＝3，即a（a+b）＝8，当a+b＝3时，6a＝8，∴，，当a+b＝﹣6时，﹣3a＝8，∴，，综上所述，，或，；23．（10分）如图，△ABC和△ADE是等边三角形，CE、BD交于点F（1）求证：CE＝BD；（2）求证：∠AFC＝60°；（3）判断线段AF、BF、CF的数量关系，并说明理由．【解答】（1）证明：∵△ABC和△ADE是等边三角形，∴BA＝CA，AE＝AD，∴∠BAC+∠BAE＝∠EAD+∠BAE，即∠CAE＝∠BAD，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴CE＝BD；（2）证明：如图1，设AB，∵△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ACE＝∠ABD，∵∠CMA＝∠BMF，∴∠BFC＝∠BAC＝60°，∴∠CFD＝120°，过点A作AG⊥CE于G，AH⊥BD于H，∵△CAE≌△BAD，∴AG＝AH，∵AG⊥CE，AH⊥BD，∴AF平分∠CFD，∴∠AFC＝AFD＝60°；（3）解：CF＝AF+BF；理由如下：如图2，在CE上取一点N，连接AN，∵△CAE≌△BAD，∴∠ABD＝∠ACE，在△CAN和△BAF中，，∴△CAN≌△BAF（SAS），∴AN＝AF，由（2）可知：∠CFA＝60°，∴△NAF为等边三角形，∴AF＝AN＝FN，∴CF＝NF+CN＝AF+BF．24．（12分）数和形是数学研究客观物体的两个方面，数（代数）侧重研究物体数量方面，具有精确性，形（几何），具有直观性．“以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现，做整式的乘法运算时，在解决整式运算问题时经常运用．【问题探究】探究1：如图1所示，大正方形的边长是（a+b），它是由两个小正方形和两个长方形组成，我们可以得出结论：（a+b）2＝a2+2ab+b2．探究2：请你根据探究1所使用的等积法，从图2中探究出（a+b+c）2的结果．【形成结论】（1）探究2中（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；【应用结论】（2）利用（1）问所得到的结论求解：已知a+b+c＝0，a2+b2+c2＝4，求ab+bc+ca的值；【拓展应用】（3）在（2）的条件下，求的值．【解答】解：（1）∵等式左边是从整体看大正方形的面积等于边长的平方，∴等式右边应该表示出组成大正方形的各个部分的面积的和．∵组成大正方形的各个部分的面积分别为：a2，ab，ac，b2，bc，ac，c3，∴它们的和为：a2+b2+c8+2ab+2bc+2ac．故答案为：a2+b2+c5+2ab+2bc+3ac；（2）解：∵（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+7bc+2ac∴2（ab+bc+ca）＝（a+b+c）5﹣（a2+b2+c2）．∴ab+bc