苏教版高中数学选择性必修第一册全册教学课件

苏教版高中数学选择性必修第一册全册教学课件第1章直线与方程苏教数学选择性必修第一册如果代数与几何各自分开发展，那么它的进步将十分缓慢，而且应用范围也很有限，但若两者互相结合而共同发展，则会相互加强，并以快速的步伐向着完美化的方向猛进.——拉格朗日现实世界中，到处有美妙的曲线，从飞逝的流星到雨后的彩虹，从古代的石拱桥到现代的立交桥……行星围绕太阳运行，人们可以建立行星运动的轨迹方程，并借助方程进一步认识它的运动规律.在建造桥梁时，我们可以根据要求，首先确定桥拱所对应的曲线的方程，然后进行进一步的设计和施工.曲线可以看成满足某种条件的点的集合.引进平面直角坐标系后，平面内的点可以用坐标(x，y)来表示.根据曲线的几何特征，可以得到曲线上任意一点的坐标(x，y)满足的一个方程F(x，y)＝0；反过来；以方程F(x，y)＝0的解(x，y)为坐标的点也都在曲线上.这样，对曲线性质的研究就可以通过对方程F(x，y)＝0的研究来进行.直线是最常见的几何图形，直线也可以看成满足某种条件的点的集合.在平面直角坐标系中，当点用坐标(x，y)表示后，直线便可用-个方程F(x，y)＝0表示，进而通过对方程的研究来研究直线.MF(x，y)＝0●如何建立直线的方程?●如何利用直线的方程研究直线的性质?1.1直线的斜率与倾斜角第1章直线与方程我们知道，过一点可以画出无数条直线.如图1-1-1，过点P的两条直线PA，PB的区别在于它们的倾斜程度不同.●如何刻画直线的倾斜程度呢?在实际生活中，楼梯或路面的倾斜程度可以用坡度来刻画(图1－1－2).坡度指坡面的铅直高度与水平宽度的比.铁路坡度用千分率(%)表示，公路坡度用百分率(%)表示.可以看出，如果楼梯台阶的高度(级高)与宽度(级宽)的比值越大，那么坡度就越大，楼梯就越陡.在平面直角坐标系中，我们可以采用类似的方法来刻画直线的倾斜程度.

如果x1＝x2(图1－1－3(2))，那么直线l

的斜率不存在.对于与x

轴不垂直的直线，它的斜率也可以看作

例1如图1－1－4，直线l1，l2，l3

都经过点P(3，2)，又l1，l2，l3

分别经过点Q1(－2，－1)，Q2(4，－2)，Q3(－3，2)，试计算直线l1，l2，l3

的斜率.

例2分析要画出直线，只需再确定直线上另一个点的位置.

在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到与直线重合时，所转过的最小正角α

也能刻画直线的倾斜程度，我们把这个角α

称为这条直线的倾斜角(angleofinclination)，并规定：与x

轴平行或重合的直线的倾斜角为0.由定义可知，直线的倾斜角α

的取值范围是{α|0≤α＜π}.

因此，当直线与轴不垂直时，该直线的斜率k与倾斜角α之间的关系为

信息技术在GGB中任画一条直线AB，度量直线AB

的斜率，以及直线AB与x轴形成的倾斜角α

(图1-1-7).拖动点B，观察斜率与倾斜角变化的规律.练习1.分别求经过下列两点的直线的斜率：(1)(2，3)，(4，5)；(2)(－2，3)，(2，1)；(3)(－3，－1)，(2，－1)；(4)(1，0)，(0，－2).

3.设过点A的直线的斜率为k，分别根据下列条件写出直线上另一点B的坐标(答案不唯一)：

解：(1)B(2，6).(2)B(0，－7).(3)B(4，－7).(4)B(3，10).(答案不唯一)

解：如图.5.分别判断下列三点是否在同一直线上：(1)(0，2)，(2，5)，(3，7)；(2)(－1，4)，(2，1)，(－2，5)；(3)(1，2)，(1，3)，(1，－1).习题1.11.1直线的斜率与倾斜角感受·理解1.分别求经过下列两点的直线的斜率：(1)(－3，2)，(2，－1)；(2)(2，0)，(0，－4)；(3)(2，1)，(3，1)；(4)(a，a)，(a－l，a＋3).

2.设x，y

为实数，已知直线的斜率k＝2，且A(3，5)，B(x，7)，C(－1，y)是这条直线上的三个点，求x和y的值.3.(1)当实数m为何值时，经过两点A(－m，6)，B(1，3m)的直线的斜率是12?(2)当实数m为何值时，经过两点A(m，2)，B(－m，－2m－1)的直线的倾斜角是60°?(3)当实数m

为何值时，经过两点A(1，m)，B(m－1，3)的直线的倾斜角是钝角?4.已知直线l上一点向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度后，仍在该直线上，求直线l

的斜率k.

5.设m为实数，若A(1，2)，B(3，m)，C(7，m＋2)三点共线，求m的值.思考·运用6.已知a，b，c

是两两不相等的实数，分别求经过下列两点的直线的倾斜角：(1)A(a，c)，B(b，c)；(2)A(a，b)，B(a，c)；(3)A(b，b＋c)，B(a，c＋a).解：(1)0.(2)90°.(3)45°.7.设m为实数，过两点A(m2＋2，m2－3)，B(3－m－m2，2m)的直线l

的倾斜角为45°，求m

的值.答案：m＝－2.8.经过点P(0，－1)作直线l，且直线l

与连接点A(1，－2)，B(2，1)的线段总有公共点，求直线l

的倾斜角a和斜率k的取值范围.

探究·拓展9.如图，“坡度”常用来刻画道路的倾斜程度，这个词与直线的斜率有何关系?坡度为4%的道路很陡吗?调查一些山路或桥面的坡度，并与同学交流.解：坡度等于直线的斜率的绝对值，坡度为4%的道路不是很陡.与同学交流略.同学们，通过这节课的学习，你有什么收获呢？谢谢大家爱心.诚心.细心.耐心，让家长放心.孩子安心。第1章直线与方程苏教数学选择性必修第一册1.2直线的方程第1章直线与方程在平面直角坐标系中，若已知直线上一点P1(x1，y1)和直线的斜率k，或者已知直线l

上不同的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)则直线乙唯一确定.在上述两种情况下，当点P(x，y)在直线l上运动时，点P

的坐标应该满足某种关系.●如何得到直线l上点P(x，y)的坐标x，y

之间的关系?1.2.1直线的点斜式方程直线l

经过点A(－1，3)，斜率为－2(图1－2－1(1)).如果点P(x，y)在直线l上运动，那么，●

x，y满足什么关系?

因此，以方程2x＋y－1＝0的解为坐标的点(x，y)也都在直线l上.综上，当点P在直线l上时，其坐标(x，y)满足方程2x＋y－1＝0，并且以方程2x＋y－1＝0的解x，y

为坐标的点(x，y)都在直线l上.这时，我们将方程2x＋y－1＝0称为直线l

的方程，也称直线l

为方程2x＋y－1＝0的直线.一般地，当点P在曲线C上时，其坐标(x，y)满足方程F(x，y)＝0，并且以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点(x，y)都在曲线C上.这时，我们将方程F(x，y)＝0称为曲线C的方程，也称曲线C

为方程F(x，y)＝0的曲线.一般地，如果直线l经过点P(x1，y1)，斜率为k，那么，如何建立直线l的方程呢?

因为点P(x1，y1)的坐标也满足方程(*)，所以直线l

上的每个点的坐标都是这个方程的解；反过来，可以验证，以方程(*)的解为坐标的点都在直线l上.因此，方程(*)就是过点P，斜率为k的直线l的方程.方程y－y1＝k(x－x1)叫作直线的点斜式方程

(equationofpointslopeform)).当直线l与x轴垂直时，斜率不存在，其方程不能用点斜式表示，但因为l

上每一点的横坐标都等于x1，所以它的方程是x＝x1.例1已知一直线经过点P(－2，3)，斜率为2，求这条直线的方程.解由直线的点斜式方程，得所求直线的方程为y－3＝2(x＋2)，即2x－y＋7＝0.例2已知直线l

的斜率为k，与y

轴的交点是P(0，b)，求直线l的方程.解由直线的点斜式方程，得直线l的方程为y－b＝k(x－0)，即y＝kx＋b.我们把直线l

与y

轴的交点(0，6)的纵坐标b

称为直线在y

轴上的截距(intercept).这个方程由直线l的斜率和它在y

轴上的截距确定，所以这个方程也叫作直线的斜截式方程(equationofslopeinterceptform).这说明，初中学习的一次函数y＝kx＋6，它的图象确实是一条直线，其中常数k

是直线的斜率，常数b就是直线在y轴上的截距.探究在同一直角坐标系中作出直线y＝2，y＝x＋2，y＝－x＋2，y＝3x－2，y＝－3x＋2，根据图1－2－2(1)，你能推测直线y＝kx＋2

有什么特点吗?尝试用计算器或计算机作出这些直线.在同一直角坐标系中作出直线直线y＝2x，y＝2x＋1，y＝2x－1，y＝2x－4，y＝2x－4，根据图1－2－2(2)，你能推测直线y＝2x－b

有什么特点吗?练习

2.直线y＝k(x＋1)(k＞0)可能是().B4.已知直线l1：y＝－2x＋3.直线l2

过点P(1，2)，且它的斜率与直线l1

的斜率相等.写出直线l2

的方程，并在同一直角坐标系中画出直线l1

和l2.答案：y＝－2x＋4.5.分别写出经过下列两点的直线的方程：(1)P(1，2)，Q(－1，4)；(2)P(1，0)，Q(0，2).答案：(1)x＋y－3＝0.(2)2x＋y－2＝0.6.任一条直线都可以用点斜式方程表示吗?斜截式方程可以改写成点斜式方程吗?解：斜率不存在的直线不能用点斜式方程表示，斜截式方程可以改写成点斜式方程.1.2.2直线的两点式方程若直线l经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则直线l

唯一确定.那么，●如何建立直线l

的方程呢?

还有其他方法可以得到直线的两点式方程吗?当y1＝y2

时，由x1≠x2

知直线l与y

轴垂直，它的方程为y＝y1.如果x1＝x2，那么y1≠y2，直线l

与x

轴垂直，它的方程为x＝x1.

思考

例3已知直线l

经过两点A(a，0)，B(0，b)(图1-2-3)，其中a≠0，b≠0，求直线l的方程.

例4已知三角形的顶点是A(－5，0)，B(3，－3)，C(0，2)(图1-2-4)，分别求这个三角形三边所在直线的方程.

练习1.分别写出经过下列两点的直线的方程：(1)(1，3)，(－1，2)；(2)(2，3)，(0，2)；(3)(3，3)，(3，4)；(4)(－2，3)，(3，3)；(5)(0，3)，(－2，0)；(6)(2，0)，(0，－2).答案：(1)x－2y＋5＝0.(2)x－2y＋4＝0.(3)x＝3.(4)y＝3.(5)3x－2y＋6＝0.(6)x－y－2＝0.2.根据下列条件，分别写出直线的方程：(1)在x

轴、y轴上的截距分别是3，－4；(2)过点P(1，5)，且在y

轴上的截距为6；(3)过点P(－3，4)，日在x轴上的截距为3.答案：(1)4x－3y－12＝0.(2)x＋y－4＝0.(3)2x＋3y－6＝0.3.已知两点A(3，2)，B(8，12).(1)求直线AB的方程；(2)设a

为实数，若点C(－2，a)在直线AB上，求a

的值.答案：(1)2x－y－4＝0.(2)a＝－8.4.回答下列问题：(1)如果两条直线有相同的斜率，但在x

轴上的截距不同，那么它们在y

轴上的截距可能相同吗?(2)如果两条直线在y轴上的截距相同，但是斜率不同，那么它们在轴上的截距可能相同吗?(3)任一条直线都可以用截距式方程表示吗?解：(1)不可能.(2)可能，如当两条直线均过原点时，符合题意.(3)不都可以，当直线过原点或与坐标轴平行时，直线不能用截距式方程表示.1.2.3直线的一般式方程我们已经学习了直线方程的几种特殊形式，它们都是关于，y的二元一次方程，那么，●任意一条直线的方程都是关于x，y

的二元一次方程吗?事实上，在平面直角坐标系中，直线可以分成两类：一类是与x

轴不垂直的直线，另一类是与x轴垂直的直线.当直线与x

轴不垂直时，直线的斜率存在，于是经过点P(x1，y1)，斜率为k

的直线的方程为y－y1＝k(x－x1)，即kx－y1＋y1－kx1＝0，此方程是关于x，y

的二元一次方程.当直线与x轴垂直时，直线的斜率不存在，于是经过点P1(x1，y1)的直线的方程为x＝x1，即x＋0×y－x1＝0，此方程也可看作是关于x，y的二元一次方程.因此，平面直角坐标系中的任意一条直线的方程都可以用关于x，y

的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)来表示.在平面直角坐标系中，动点由横坐标、纵坐标决定，所以方程x＝x1也可以看成二元一次方程.反过来，关于x，y

的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)都表示平面直角坐标系中的一条直线吗?因此，在平面直角坐标系中，任何一个关于，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)都表示一条直线.方程Ax＋By＋C＝0(A，B

不全为0)(*)叫作直线的一般式方程(equationofgeneralform).方程(*)也称为关于x，y

的线性方程.例5求直线l：3x＋5y－15＝0的斜率以及它在x

轴、y

轴上的截距，并作图.

过两点(5，0)，(0，3)作直线，就得到直线(图1-2-5).例6设m为实数，若直线l的方程为x＋my－2m＋6＝0.根据下列条件分别确定m

的值：(1)直线l在x轴上的截距是－3；

(2)直线l的斜率是1.

练习

2.设直线5x－2y－10＝0在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，则().A.a＝2，b＝5B.a＝2，b＝－5C.a＝－2，b＝5D.a＝－2，b＝－5B3.设m为实数，若直线l的方程为mx＋(m－1)y＋3＝0，根据下列条件分别确定m的值：(1)直线

l在y轴上的截距为6；(2)直线l的斜率为2；(3)直线

l垂直于x轴；(4)直线l

经过点(1，3).

4.设A，B，C

为实数，且A，B

不同时为0.若直线l的方程为Ax＋By＋C＝0，根据下列条件，分别求出A，B，C

应满足的条件：(1)直线l过原点；(2)直线l垂直于x轴；(3)直线l垂直于y轴；(4)直线l与两条坐标轴都相交.答案：(1)C＝0.(2)B＝0、A≠0.(3)A＝0、B≠0.(4)A≠0、B≠0.5.写出下列图中各条直线的方程，并化为一般式：答案：(1)x－y＋2＝0.(2)x＋y－1＝0.(3)x＋3y－3＝0.(4)x＋2y＋2＝0.习题1.21.2直线的方程感受·理解1.分别写出下列直线的斜率以及它们在x轴、y轴上的截距：(1)2x＋y－4＝0；(2)3x－6y＋10＝0.

3.写出过点P(3，1)，且分别满足下列条件的直线l的方程：(1)垂直于x

轴；(2)垂直于y

轴；(3)过原点；(4)与直线x＋2y－3＝0的斜率相等.答案：(1)x＝3.(2)y＝1.(3)x－3y＝0.(4)x＋2y－5＝0.4.分别求下列直线与两坐标轴围成的三角形的面积：(1)x＋y－2＝0；(2)2x－3y－6＝0；(3)5x＋3y＋2＝0.

5.一根弹簧挂4kg的物体时，长20cm，在弹性限度内，所挂物体的质量每增加1kg，弹簧伸长1.5cm.试写出弹簧的长度(单位：cm)和所挂物体质量m(单位：kg)之间的关系.答案：l＝1.5m＋14.6.一根铁棒在40℃时长12.506m，在80℃时长12.512m.已知铁棒的长度l(单位：m)和温度t(单位：℃)之间的关系可以用直线方程来表示，试求出这个方程，并根据这个方程求出这根铁棒在100℃时的长度.答案：方程：0.003t－20l＋250＝0.铁棒在100℃时的长度：12.5.15m.7.已知菱形的两条对角线长分别为8和6，以菱形的中心为坐标原点，较长对角线所在的直线为x

轴，建立直角坐标系，求出菱形各边所在直线的方程.答案：AB：3x＋4y＋12＝0；BC：3x－4y－12＝0；CD：3x＋4y－12＝0；DA：3x－4y＋12＝0.8.已知直线l

经过点(3，－1)，且与两条坐标轴围成一个等腰直角三角形，求直线l

的方程.答案：x－y－4＝0；

x＋y－2＝0.思考·运用9.设k为实数，若直线l的方程为2x＋(k－3)y－2k＋6＝0(k≠3)，根据下列条件分别确定k的值：(1)直线l的斜率为－1；(2)直线l

在x

轴、y轴上截距之和等于1.答案：(1)k＝5；(2)k＝2.10.已知点P0(x0，y0)不在直线l1：2x＋3y＋4＝0上，直线l2

过点P0(x0，y0)，且它的斜率与直线的斜率相等，证明：直线l2

的方程可以写成2(x－x0)＋3(y－y0)＝0.

11.已知直线l

过点P(2，3)，根据下列条件分别求直线l的方程：(1)l在x轴、y轴上的截距之和等于0；(2)l与两条坐标轴在第一象限所围成的三角形的面积为16.答案：(1)①3x－2y＝0、②x－y＋1＝0.(2)x＋2y－8＝0或9x＋2y－24＝0.探究·拓展12.设直线l的方程为y－3＝k(x＋2)，当k取任意实数时，这样的直线具有什么共同的特点?解：直线l

过定点(－2，3).13.已知两条直线a1x＋b1y＋1＝0和a2x＋b2y＋1＝0都过点A(1，2)，求过两点P1(a1，b1)，P2(a2，b2)的直线的方程.答案：x＋2y＋1＝0.14.已知点P的坐标(x，y)满足其中x0，y0，

α

是常数，且α∈[0，π).求证：不论t

取何值，点P

总在经过点P0(x0，y0)且倾斜角为α

的直线l

上.答案：不论t

取何值，点P总在经过点P(x0，y0)且倾斜角为α的直线l上.同学们，通过这节课的学习，你有什么收获呢？谢谢大家爱心.诚心.细心.耐心，让家长放心.孩子安心。第1章直线与方程苏教数学选择性必修第一册1.3两条直线的平行与垂直第1章直线与方程在平面直角坐标系中，直线的斜率刻画了直线的倾斜程度，而两条直线平行或垂直的位置关系与它们的倾斜程度密切相关，那么，●怎样通过直线的斜率来判断两条直线平行或垂直的位置关系呢?首先我们研究两条直线平行的情形.当直线l1，l2

的斜率均存在时，设直线l1，l2的斜截式方程分别为l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，它们的倾斜角分别是α1，α2.如果直线l1∥l2(图1-3-1(1))，那么它们的倾斜角相等，即α1＝α2，所以tan

α1＝tanα2，从而k1＝k2.反之，如果k1＝k2，那么tan

α1＝tanα2.因为0≤α1＜π，0≤α2＜π，根据正切函数的性质可知

α1＝α2，从而l1//l2.因此，当两条直线的斜率都存在时，如果它们互相平行，那么它们的斜率相等；反之，如果两条直线的斜率相等，那么它们互相平行.

这里l1，l2，指不重合的两条直线.如果直线l1，l2

的斜率都不存在，那么它们都与x

轴垂直，所以l1∥l2(图1-3-1(2)).例1

分析要证明一个四边形是梯形，即要证明该四边形的一组对边平行，另一组对边不平行.

例2判断下列各组直线是否平行，并说明理由：(1)l1：y＝2x＋1，l2：y＝2x－1；(2)l1：2x－y－7＝0，l2：x－2y－1＝0.解设直线l1，l2

的斜率分别为k1，k2.(1)由直线l1，l2的方程可知

k1＝2，k2＝2，所以k1＝k2.又直线l1，l2在y

轴上的截距分别为1和－1，所以与不重合，从而l1∥l2.

(2)l1：2x－y－7＝0，l2：x－2y－1＝0.例3求过点A(2，－3)，且与直线2x＋y－5＝0平行的直线的方程.解已知直线的斜率是－2，因为所求直线与已知直线平行，所以所求直线的斜率也是－2.根据直线的点斜式方程，得所求直线的方程为y＋3＝－2(x－2)，即2x＋y－1＝0.练习1.分别根据下列各点的坐标，判断各组中直线AB

与

CD是否平行：(1)A(3，－1)，B(－1，1)，C(－3，5)，D(5，1)；(2)A(2，－4)，B(－3，－4)，C(0，1)，D(4，1)；(3)A(2，3)，B(2，－1)，C(－1，4)，D(－1，1)；(4)A(－1，－2)，B(2，1)，C(3，4)，D(－1，－1).答案：(1)平行.(2)平行.(3)平行.(4)不平行.

3.判断下列各组直线是否平行，并说明理由：(1)l1：y＝－x＋1，l2：y＝－x＋3；(2)l1：3x－2y－1＝0，l2：6x－4y－1＝0；(3)l1：2x－5y－7＝0，l2：5x－2y－1＝0；(4)l1：y－2＝0，l2：y＋1＝0.答案：(1)平行.(2)平行.(3)不平行.(4)平行.(理由略)4.分别求过点A(2，3)，且平行于下列直线的直线的方程：(1)2x＋5y－3＝0；(2)4x－y＝0；(3)x－5＝0；(4)y＋6＝0.答案：(1)2x＋5y－19＝0.(2)4x－y－5＝0.(3)x－2＝0.(4)y－3＝0.

你能用其他方法得到这一结果吗?反过来，如果k1k2＝－1，那么可以证明l1⊥l2(注：留作习题1.3第8题).因此，当两条直线的斜率都存在时，如果它们互相垂直，那么它们斜率的乘积等于－1；反之，如果它们斜率的乘积等于－1，那么它们互相垂直.

思考如果两条直线l1，l2

中的一条的斜率不存在，那么何时这两条直线互相垂直?例4(1)已知四点A(5，3)，B(10，6)，C(3，－4)，D(－6，11)，求证：AB⊥CD；(2)已知直线l1：3x＋5y－10＝0，l2：15x－9y＋8＝0，求证：l1⊥l2.

例5如图1-3-4，已知三角形的顶点为A(2，4)，B(1，－2)，C(－2，3)，求BC边上的高AD

所在直线的方程.

例6在路边安装路灯，路宽23m，灯杆长2.5m，且与灯柱成120°角.路灯采用锥形灯罩，灯罩轴线与灯杆垂直.当灯柱高为多少米时，灯罩轴线正好通过道路路面的中线(精确到0.01m)?解

如图1-3-5，记灯柱顶端为B，灯罩顶为A，灯杆为AB，灯罩轴线与道路中线交于点，灯柱的高为hm.以灯柱底端O点为原点，灯柱OB所在直线为y

轴，建立如图所示的直角坐标系.

练习1.分别根据下列各点的坐标，判断各组中直线AB与CD是否垂直：(1)A(－1，－2)，B(1，2)，C(－2，1)，D(2，

－1)；(2)A(0，2)，B(1，0)，C(3，2)，D(5，3)；(3)A(3，4)，B(3，－2)，C(－1，4)，D(1，4)；(4)A(－3，1)，B(1，5)，C(2，4)，D(0，3).答案：(1)垂直.(2)垂直.(3)垂直.(4)不垂直.2.以点A(－1，1)，B(2，－1)，C(1，4)为顶点的三角形是().A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形B

答案：(1)垂直.(2)垂直.(3)不垂直.(4)垂直.

(理由略)

4.分别求过点A(2，3)，且垂直于下列直线的直线的方程：(1)x－y－3＝0；(2)3x－2y－1＝0；(3)x－1＝0；(4)y＋2＝0.答案：(1)x＋y－5＝0.(2)2x－3y＋5＝0.(3)y－3＝0.(4)x－2＝0.5.直线l1，l2

的方程为l1：2x＋3y－2＝0，l2：mx＋(2m－1)y＋1＝0.设m为实数，分别根据下列条件求m的值：(1)l1∥l2；(2)l1⊥l2.

习题1.31.3两条直线的平行与垂直感受·理解

答案：(1)平行.(2)平行.(3)不平行.(4)平行.

(理由略)

答案：(1)垂直.(2)垂直.(3)不垂直.(4)不垂直.

(理由略)

3.分别求满足下列条件的直线的方程：(1)过点A(3，2)，且与直线4x＋y－2＝0平行；(2)过点B(3，0)，且与直线2x＋y－5＝0垂直；(3)过点(5，4)，且与x轴垂直；(4)过点C(2，－3)，且平行于过两点M(1，2)和N(－1，－5)的直线.答案：(1)4x＋y－14＝0.(2)x－2y－3＝0.(3)x＝5.(4)7x－2y－20＝0.4.已知点A(－1，3)，B(3，－2)，C(6，－1)，D(2，4)，求证：四边形ABCD为平行四边形.5.已知三角形的三个顶点是A(4，0)，B(6，7)，C(0，3)，求边AB

上的高所在直线的方程.答案：2x＋7y－21＝0.6.设a为实数，若直线ax＋2ay＋1＝0垂直于直线(a－1)x－(a＋1)y－1＝0，求a的值.答案：a＝－3.思考·运用7.(1)已知直线l：Ax＋By＋C＝0，其中A，B不全为0，且直线l1∥l，求证：直线l1

的方程总可以写成Ax＋By＋C1＝0(C1≠C)；(2)已知直线l：Ax＋By＋C＝0，其中A，B

不全为0，且直线l2⊥l，求证：直线l2

的方程总可以写成Bx－Ay＋C2＝0.答案：证明略.8.证明：如果两条直线斜率的乘积等于－1，那么这两条直线互相垂直.答案：证明略.9.(1)已知直线l

过点P(x0，y0)，且与直线l1：Ax＋By＋C＝0(P不在l1上)平行，其中A，B

不全为0，求证：直线的方程为A(x－x0)＋B(y－y0)＝0；(2)已知直线l过点P(x0，y0)，且与直线Ax＋By＋C＝0垂直，其中A，B不全为0，求证：直线的方程为B(x－x0)－A(y－y0)＝0.答案：证明略.探究·拓展

答案：(1)证明略.(2)θ＝45°.同学们，通过这节课的学习，你有什么收获呢？谢谢大家爱心.诚心.细心.耐心，让家长放心.孩子安心。第1章直线与方程苏教数学选择性必修第一册1.4两条直线的交点第1章直线与方程我们已经知道，在平面直角坐标系中，任何一条直线都可以用方程来表示，那么，●能否用直线方程来研究两条直线的交点问题?设两条直线的方程分别是l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0.如果这两条直线相交，由于交点同时在这两条直线上，交点的坐标一定是这两个方程的公共解；反之，如果这两个二元一次方程只有一个公共解，那么以这个解为坐标的点必是直线l1

和l2

的交点.据此，我们有一组无数组无解直线l1，l2

的公共点一个无数个零个直线l1，l2

的位置关系相交重合平行例1分别判断下列直线与是否相交，若相交，求出它们交点的坐标：(1)l1：2x－y＝7，l2：3x＋2y－7＝0；(2)l1：2x－6y＋4＝0，l2：4x－12y＋8＝0；(3)l1：4x＋2y＋4＝0，l2：y＝－2x＋3.解

因为l1∥l2，所以方程组2x－y－1＝0，3x＋2y－7＝0的解为x＝0，y＝－1，所以直线l1

和l2

相交，且交点坐标为(3，－1).(2)因为方程组2x－6y＋4＝0，4x－12y＋8＝0有无数组解，所以直线和重合.(3)因为方程组4x＋2y＋4＝0，2x－y－8＝0无解，所以l1∥l2.例2设a为实数，直线l1：2x＋3y－1＝0，l2：x＋(a－1)y＋2＝0.若l1∥l2，求a的值.解法1因为l1∥l2，所以方程组2x＋3y－1＝0，①x＋(a－1)y＋2＝0②无解.

例3已知直线l

经过原点，且经过如下两条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0的交点，求直线l

的方程.解因为方程组2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0的解为x＝－1，y＝－2，

思考已知直线l1：2x＋3y＋8＝0，l2：x－y－1＝0，则方程2x＋3y＋8＋λ(x－y－1)＝0(λ为任意实数)表示的直线有什么特点?练习1.与直线2x－y－3＝0相交的直线的方程是().A.4x－2y－6＝0B.y＝2xC.y＝2x＋5D.y＝－2x＋3D2.判断下列各组直线l1

与l2

是否相交.若相交，求出它们的交点.(1)l1：2x＋y－3＝0，l2：x＋2y－3＝0；(2)l1：3x＋4y－1＝0，l2：6x＋8y－3＝0.答案：

(1)相交、(1，1)；(2)不相交.

B4.已知直线l

过两条直线2x＋3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点，且与直线3x＋y－1＝0平行，求直线

l的方程.答案：

15x＋5y＋16＝0.5.已知直线l过两条直线x－y＋2＝0和2x＋y＋1＝0的交点，且与直线x－3y－2＝0垂直，求直线l的方程.答案：

3x＋y＋2＝0.习题1.41.4两条直线的交点感受·理解

2.分别根据下列条件，求直线的方程：(1)斜率为－2，且过两条直线3x－y＋4＝0和x＋y－4＝0的交点；(2)过两条直线x－2y＋3＝0和x＋2y－9＝0的交点和原点；(3)过两条直线x－y＋5＝0和3x＋4y－2＝0的交点，且垂直于直线3x－2y＋4＝0；(4)过两条直线2x＋y－8＝0和x－2y＋1＝0的交点，且平行于直线4x－3y－7＝0.答案：

(1)2x＋y－4－0；(2)x－y＝0；(3)14x＋21y－15＝0；(4)4x－3y－6＝03.设a

为实数，若三条直线ax＋2y＋8＝0，4x＋3y＝10和2x－y＝10相交于一点，求a的值.答案：

a＝－1.4.求两条互相垂直的直线2x＋y＋2＝0与ax＋4y－2＝0的交点坐标.答案：坐标：(－1，0).5.设k为实数，若直线y＝kx＋3与直线y＝－x－5的交点在直线y＝x

上，求k

的值.

6.设m

为实数，已知两条直线l1：(3＋m)x＋4y＝5－3m，l2：2x＋(5＋m)y＝8.当m

为何值时，l1与l2：(1)相交?(2)平行?解：(1)当m≠－1且m≠－7时，l1与l2

相交.(2)当m＝－7时，l1∥l2.思考·运用7.设a为实数，若三条直线x＋y＋1＝0，2x－y＋8＝0和ax＋3y－5＝0共有三个不同的交点，求a满足的条件.

8.设a为实数，若三条直线x＋y－1＝0，2x＋3y－5＝0和x－ay＋8＝0共有两个不同的交点，求a的值.

探究·拓展9.已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不全为0)与直线l2：A2x－B2y＋C2＝0(A2，B2不全为0)相交于点P，求证：过点P

的直线可以写成m(A1x＋B1y＋C1)＋n(A2x＋B2y＋C2)＝0的形式.答案：

证明略.10.直线l1

和l2

的方程分别是A1x＋B1y＋C1＝0和A2x＋B2y＋C2＝0，其中A1，B1

不全为0，A2，B2也不全为0.(1)当l1∥l2时，直线方程中的系数应满足什么关系?(2)当l1⊥l2时，直线方程中的系数应满足什么关系?答案：(1)

A1B2－B1A2＝0，且B1C2－C1B2≠0(或A1C2－C1A2≠0).(2)A1A2＋B1B2＝0.同学们，通过这节课的学习，你有什么收获呢？谢谢大家爱心.诚心.细心.耐心，让家长放心.孩子安心。第1章直线与方程苏教数学选择性必修第一册1.5平面上的距离第1章直线与方程在平面直角坐标系中，我们建立了点与坐标、直线与方程的对应关系，并据此研究了点与直线、直线与直线之间的位置关系，那么，●怎样借助点的坐标和直线的方程，来探求点与点、点与直线以及两平行直线之间的距离?1.5.1平面上两点间的距离●对于平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，如何求这两点间的距离?我们先看一个具体的例子.已知点P1(－1，3)，P2(3，－2)，下面探求P1，P2

两点间的距离P1P2.如图1-5-1，过点P1向x

轴作垂线，过点P，向y轴作垂线，两条垂线交于点Q，则Q点的坐标是(－1，－2)，且QP1＝|3－(－2)|＝5，QP2＝|3－(－1)|＝4.

一般地，如果x1≠x2，y1≠y2，过点P1，P2

分别向y

轴、x

轴作垂线，两条垂线交于点Q(图1-5-2(1))，则点Q

的坐标是(x2，y)，且QP1＝|x2－x1|，

QP2＝|y2－y1|.在Rt△P1QP2中，P1P22＝QP12＋QP22

＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2.(*)x轴上两点P1(x1，0)，P2(x2，0)之间的距离可以表示为P1P2＝|x2－x1|.当点P1

在点P2

的左侧时，P1P2＝x2－x1.如果x1＝x2(图1-5-2(2))，那么P1P2＝|y2－y1|，(*)式也成立.如果y1＝y2，那么P1P2＝|x2－x1|，(*)式也成立.由此，我们得到平面上P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点间的距离公式

能用其他方法得到这一结果吗?例1(1)求A(－1，3)，B(2，5)两点间的距离；(2)设a

为实数，已知A(0，10)，B(a，－5)两点间的距离是17，求a的值.

例2已知△ABC的三个顶点为A(－1，5)，B(－2，－1)，C(4，7)，求BC

边上的中线AM的长和AM所在直线的方程.解如图1-5-3，设点M的坐标为(x，y)，过点B，M，C

向x

轴作垂线，垂足分别为点B′，M′，C′，则点B′，M′，C′的横坐标分别为－2，x，4.

对于平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，线段P1P2

的中点是M(x0，y0)，则

例3在直角三角形ABC中，点M

为斜边BC

的中点，试建立适当的直角坐标系，求证：AM＝－BC.

练习

3.已知两点P(1，－4)，A(3，2)，求点A关于点P

的对称点B

的坐标.答案：(1)B(－1，－10).4.证明：点M(1，1)与点N(5，－1)关于直线l：2x－y－6＝0对称.1.5.2点到直线的距离●对于平面上确定的直线l：Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)和直线l外一点P(x0，y0)，如何求点P到直线l的距离呢?我们先看一个具体的例子.已知点P(2，4)和直线l：5x＋4y－7＝0，下面探求点P到直线l

的距离.如图1-5-5，过点P作PE⊥l，垂足为E，则点P

到直线l

的距离就是线段PE的长.方法1通过求点E

的坐标，用两点间距离公式求PE.

第三步由l和PE所在直线的方程联立方程组5x＋4y－7＝0，4x－5y＋12＝0，

第四步利用两点间距离公式，求出点P到直线l的距离

方法2通过构造三角形，利用面积关系求点P

到直线l

的距离.如图1-5-6，过点P分别作y轴、x轴的垂线，交直线l于点M，N，我们通过计算Rt△PMN

的面积求PE.

还可用两点间距离公式求MN.第四步由三角形面积公式可知

一般地，对于直线l：Ax＋By＋C＝0(A≠0，B≠0)和直线l外一点P(x0，y0)，过点P作PQ⊥l，垂足为Q.过点P分别作y轴、x

轴的垂线，交l

于点M(x1，y0)，N(x0，y1)(图1-5-7).

当A＝0或B＝0时，此式仍然成立.由此，我们得到点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离为

思考你还能通过其他途径求点P到直线l的距离吗?例4分别求点P(－1，2)到下列直线的距离：(1)2x＋y－10＝0；(2)3x＝2.

当A＝0或B＝0时，可直接利用图形性质求出点到直线的距离.例5求两条平行直线x＋3y－4＝0与2x＋6y－9＝0之间的距离.分析

在两条平行直线中的一条直线上任取一点，将两条平行直线之间的距离转化为点到直线的距离.

思考

例6建立适当的直角坐标系，证明：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高.证明设△ABC

是等腰三角形，以底边CA

所在直线为x轴，过顶点B

且垂直于CA

的直线为y轴，建立直角坐标系(图1－5－8).

练习1.分别根据下列条件，求点P

到直线l的距离：(1)P(3，－2)，l：3x＋4y－25＝0；(2)P(－2，1)，l：3y＋5＝0.

3.已知直线

l过原点，且点M(5，0)到直线l

的距离等于3，求直线l的方程.答案：3x－4y＝0或3x＋4y＝0.4.已知△ABC

的三个顶点为A(1，1)，B(3，4)，C(4，－1)，求AB边上高的长.

习题1.51.5平面上的距离感受·理解1.分别根据下列条件，求A，B

两点之间的距离：(1)A(－2，0)，B(－2，－3)；(2)A(0，－3)，B(－3，－3)；(3)A(3，5)，B(－3，3).

2.已知点P(－1，2)，求点P

分别关于原点、x

轴和y轴的对称点的坐标.答案：关于原点的对称点为：P1(1，－2)，关于x

轴的对称点为：P2(－1，－2)，关于y

轴的对称点为：P3(1，2).3.已知点A

在x

轴上，点B

在y

轴上，线段AB

的中点M

的坐标是(2，－1)，求线段AB

的长.

答案：AB＝2.5.已知两点A(2，3)，B(－1，4)，且点P(x，y)到点A，B

的距离相等，求实数x，y

满足的条件.答案：3x－y＋2＝0.6.已知点P(x，y)在直线x＋y－4＝0上，O是坐标原点，求OP

的最小值.

7.分别根据下列条件，求点P

到直线l

的距离：(1)P(2，1)，l：2x＋3＝0；(2)P(－3，4)，l：3x＋4y－30＝0.

8.已知直线到两条平行直线2x－y＋2＝0和2x－y＋4＝0的距离相等，求直线l的方程.答案：2x－y＋3＝0.9.已知直线l在y

轴上的截距是10，且原点到直线

l的距离是8，求直线

l的方程.

答案：(2，－1)或(1，2).11.已知点A(7，8)，B(10，4)，C(2，－4)，求△ABC

的面积.答案：S△ABC＝28.12.已知直线l过点(－2，3)，且原点到直线l的距离是2，求直线l

的方程.答案：5x＋12y－26＝0或x＝－2.13.在△ABC中，E，F分别为AB，AC

的中点，建立适当的直角坐标系，求证：EF∥BC，且EF＝－BC.答案：

证明略.思考·运用14.过点P(3，0)作直线l，使它被两条相交直线2x－y－2＝0和x＋y＋3＝0所截得的线段恰好被点P平分，求直线l的方程.答案：8x－y－24＝0.15.已知光线通过点A(－2，3)，经x轴反射，其反射光线通过点B(5，7)，求：(1)入射光线所在直线的方程；(2)反射光线所在直线的方程.答案：(1)10x＋7y－1＝0；(2)10x－7y－1＝0.16.已知点A(2，1)，直线l：x－y＋1＝0，求点A关于直线l的对称点B

的坐标.答案：(0，3).17.在直线x＋2y＝0上求一点P，使它到原点的距离与到直线x＋2y－3＝0的距离相等.

18.已知直线l：y＝3x＋3，求：(1)直线l

关于点M(3，2)对称的直线的方程；(2)直线x－y－2＝0关于直线对称的直线的方程.答案：(1)y＝3x－17.(2)7x＋y＋22＝0.19.建立适当的直角坐标系，证明：平行四边形四边的平方和等于两条对角线的平方和.答案：

证明略.20.证明：点A(a，b)，B(b，a)关于直线y＝x

对称.答案：

证明略.探究·拓展

22.如图，点P是角α

的终边与单位圆的交点，点Q

是角－β

的终边与单位圆的交点.(1)求PQ；(2)求证：cos(α＋β)＝cosαcosβ

－sinαsinβ.

23.某人上午8时从山下大本营出发登山，下午4时到达山顶.次日上午8时从山顶沿原路返回，下午4时回到山下大本营，如果该人以同样的速度匀速上山、下山，那么两天中他可能在同一时刻经过途中同一地点吗?如果他在上山、下山过程中不是匀速行进的，他还可能在同一时刻经过途中同一地点吗?解：都有可能，因为同一路线，同一时刻从两头出发，必然有交点，交点即为同时刻经过的同一点，当以勾速行进时，刚好在同一时刻经过“中点”处.24.(阅读题)点到直线的距离.已知直线l:Ax+By+C=0(A,B不同时为0)和直线外一点P。(xo，yo),过点P。且与直线l垂直的直线'的方程为B(x-xo)-A(y-ya)=0,直线l与!的交点为P,(x，y),则点P。到直线l的距离为答案：

略.第1章直线与方程问题与探究向量方法在直线中的应用借助平面直角坐标系，可以建立点与坐标、直线与方程之间的对应关系，而向量也是沟通几何与代数的一种重要工具，利用向量也可以有效地研究与直线、直线方程有关的问题.那么，如何利用向量来研究与直线有关的问题呢?

问题1已知直线l经过点P0(x0，y0)，且它的一个法向量为m＝(A，B)(A，B不同时为0)，求直线l的方程.问题2已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2

不同时为0)，利用向量的方法探究两直线平行的条件.直线l2，l2不重合.探究请你用向量的方法推导：(1)直线l1：Ax＋By＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0垂直的条件；(2)点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)的距离公式.第1章直线与方程阅读与写作解析几何的产生对于曲线性质的研究，一直是古希腊几何学的一大内容.古希腊数学家通过对众多曲线的研究，开始对曲线的本质有了统一的认识，他们把曲线看成由符合一定条件的所有点组成的集合，从而把曲线称为动点的轨迹.认识是统一了，但是在具体的研究中，又各不相同，对于各种不同的曲线，缺少一种一般的表示方法和统一的研究手段.阅读17世纪前半叶，一个崭新的数学分