专题二十二：-二次函数中的等角问题(有答案)

专题二十二：——二次函数中的等角问题（有答案）知识指引：二次函数中的等角度问题是一类较为常见的考题，所涉及的考点较为宽泛，是数形结合来转化数量关系的一个良好体现，在平面直角坐标系中，结合函数的图象特征，把数量关系转化为图形的性质，并利用性质来进行问题的解决，下面我们就来学习一下二次函数中的等角问题：辅助线方法指引：为了解决几何问题，在原图基础之上另外添加的直线或线段称为辅助线．辅助线通常画成虚线．辅助线的原则：添加辅助线，构造新图形，形成新关系，建立已知和未知之间的桥梁，把问题转化成自己已经会解的情况．辅助线的作用：.把分散的条件转为集中；.把复杂的图形转化为基本图形．指出：添加辅助线的注意事项：明确目的，多次尝试.>可添加的辅助线的特点.作已知直线的平行线来出现对等角；.构造全等或利用图形的性质来进行角度的对等转化；>典型例题类型一：作平行线来转化等角的求取问题【例1】如图，已知二次函数y=-x2+bx+c的图象经过点A（-1，0），B（3，0），与y轴交于点C.（1）求抛物线的解析式；并写出抛物线的顶点D坐标.（2）抛物线上是否存在点P,使NPAB二ZABC,若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.【解析】(1)•・•二次函数y=-x2+bx+c的图象经过点A(-1,0),B(3,0),—1—b+c=0,、-9+—1—b+c=0,、-9+3b+c=0,解得：fb=21c=3・••抛物线解析式为y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,・•・顶点D坐标为(1,4).(2)抛物线上存在点P,使NPAB二NABC,如图，当点P当点P是抛物线上与点C对称的点时，则有NPAB二NABC,•・•点C(0,3)关于对称轴x=1的对称点坐标为(2,3),AP1(2,3),②当直线PA〃BC时，贝U有NPAB二NABC,设直线BC的解析式为y=kx+a,VB(3,0),CVB(3,0),C(0,3),'3k+a=0,、a=3,fk=-1解得、a=3,・•・直线BC的解析式为y=-x+3,・••直线AP的解析式中一次项系数为-1,设与BC平行的直线AP2的解析式为y=-x+m,将A(-1,0)代入，得1+m=0,解得m=-1,二直线AP2的解析式为y=-x-1,

联立抛物线解析式得y=-联立抛物线解析式得y=-x-1,{y=-%2+2*+3,解得"1=4,X=-5，"2=-1，(舍5=0，去)，・・・P2(4，-5)・综上所述，P1(2,3),P2(4,-5).【变式】在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(-1，0)和点B，与y轴交于点C，顶点D的坐标为(1，-4).(1)求抛物线的解析式；(2)若点P在抛物线上且满足NPCB二NCBD,求点P的坐标;33k+e33k+e=0,“,{k+e=-4,解得{如图，过点C作/D【解析】(1)二•顶点D的坐标为(1,-4),・•・设抛物线的解析式为y=a(x-1)2-4,将点A(-1,0)代入,(x-1)2-4=x2-2x-3；得0=a(-1-1)2-4,(x-1)2-4=x2-2x-3；(2)\•抛物线对称轴为直线x=1,A(-1,0),AB(3,0),设直线BD解析式为丫=卜乂+6,,'k=2,・•・直线BD解析式为y=2x-6,、e=-6,CP1〃BD,交抛物线于点P1,

y=2x-3,设直线CP】的解析式为y=2x+d,将C(0,-3)代入,得-3=2X0+d,解得：d=-3,・,.直线CP］的解析式为y=2x-3,联立y=X2—2x—3联立<y=2x—3…=0,解得1…=0,解得1s=—3X2=4，故P(4,1yl=5，5),过点B作y轴平行线，过点C作x轴平行线交于点G,VOB=OC,ZBOC=ZOBG=ZOCG=9O°VOB=OC,ZBOC=ZOBG=ZOCG=9O°•••四边形OBGC是正方形,设CP］设CP］与x轴交于点E,则2x-3=0解得x=2,(3,0),2在x轴下方作NBCF=NBCE交BG于点F,在x轴下方作NBCF=NBCE交BG于点F,V•四边形OBGC是正方形，.•・OC=OG=BG=3,ZCOE=ZG=9O°,ZOCB=ZGCB=45・•・ZOCB-ZBCE=ZGCB-ZBCF,即NOCE二NGCF,AAOCE^AGCF(ASA),.♦・FG=OE=3,2ABF=BG-FG=3-3=3,AF(3,-3),22 2设直线CF解析式为y=kix+ei，VC(0,-3),F(3,-：),气二—3,气二—3,—1—一,2=-3,・•・直线CF解析式为y="，结合抛物线y=x2-2x-3,可得x2-2x-3=1结合抛物线y=x2-2x-3,可得x2-2x-3=1x-3,2解得：xi=0(舍)，x2=…(2,-7),综上所述，符合条件的P点坐标为：P1(4,5)(2，-7).类型二：利用图形特征进行全等构图来处理等角问题【例2】如图，抛物线y=x2+2x-3交坐标轴于A、B、C三点.(1)求A、B、C的坐标;(2)点D在抛物线上，且满足NDAO二NBCO,试求D点坐标;【解析】（1）由y=x2+2x-3,令y=x2+2x-3=0,解得x=-3或1,令x=0,则y=-3,故点A、B、C的坐标分别为（—3,0）、（1,0）、（0,-3）,故答案为：（-3，0）、（1，0）、（0，-3）；（2）如图，当点D在x轴上方时，设直线AB交y轴于点H,VOA=OC=3,ZDAO=ZBCO,ZCOB=ZAOH=90°,••.△COB04AOH(AAS),AOH=OB=1,由点A由点A、H的坐标得,直线AH的表达式为y=1x+1,3关、y=—x关、y=—x+1,y=x2+2x—3,解得•（y3=1393x=-3,人,或） （舍去），y=0,故点D的坐标为（3,故点D的坐标为（3,13)；9当点D在x轴下方时，同理可得点D(2,-11)；故点D的坐标为（4,313)或(3-11)【变式】如图，抛物线丫=&乂2+。与x轴交于点A,B,与y轴交于点C,P为x轴下方抛物线上一点，若OC=2OA=4.

(1)求抛物线解析式；(2)若NABP=NACO,求点P的坐标;【解析】(1)：CO=4,故c=-4,则抛物线的解析式为y=ax2-4,•••OC=2OA=4,故点A(-2,0),则0=4a-4,解得a=1.故抛物线的解析式为y=X2-4；(2)过点A作x轴的垂线交BP的延长线于点Q,AB=OC,在48庆、和4COA中，LqAB=zBOC,AABAQ^ACOA(AAS).ZABP=/ACO,VA,B关于x轴对称，A(-2,0),，B(2,0).设直线BQ的解析式为y=kx+bVA,B关于x轴对称，A(-2,0),，B(2,0).设直线BQ的解析式为y=kx+b1,将点B,Q的坐标代入,汨［k+b,=0,解得Jk=i,得{-2k+bi=-2,{bi=2-1.•・・直线BQ解析式为y=2x-L联立卜二tx"1联立卜二tx"1,y=x2-4解得］xi=2,口1=°.(x丫2A跟踪训练:1.如图，已知抛物线y=2x2-4x-2与x轴正半轴交于点A,与y轴负半轴交于点3 3B,在抛物线上（AB的下方）是否存在点P,使NABO二NABP?若存在，求出点P的横坐标；若不存在.请说明理由.【解析】如图，过点P作PH，x轴于点H,交AB【解析】如图，过点P作PH，x轴于点H,交AB于点Q,・•・PH〃y轴，贝UNBQP二ZABO二ZABP,二PB=PQ,设点P的坐标为(m,2m2-4m—2),则点Q(m,2m-2),贝om2+(2m2-4m-2+2)2=(2m2--m-2--m+2)2,解得m=0（舍去）或11,故点P的横坐标为耳882.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C,对称轴为直线x=2,点A的坐标为（1,0）.（1）求该抛物线的表达式及顶点坐标;（2）点P为抛物线上一点（不与点A重合），连接PC.当ZPCB二ZACB时，求点P的坐标;【解析】(1)•・•对称轴为直线x=2,点A的坐标为(1,0),・・・B(3,0),；.y=(x-1)(x-3)=x2-4x+3,当x=2时，y=-1，；.顶点(2,-1),(2)如图，作AD^BC于D,交CP于E,VB(3,0),C(0,3),AOB=OC,AZOBC=45°,ABD=V2,AD(2,1),VZPCB=ZACB,AAD=DE,AE(3,2),A直线CE的关系式为：y=-3x+3,A-：x+3=x2-4x+3,Ax1=0(舍)，x2=?，AP(寸，16),3.如图，直线丫=-2x+c与x轴交于点…,0),与y轴交于点C,抛物线y=-产+bx+c经过点B,C,与x轴的另一个交点为A.(1)求抛物线的解析式；(2)若M是抛物线上一点，且NMCB=NABC,请直接写出点M的坐标.

综上所述：点M(17,50)或(3,-2).4.若一次函数y=-3x-3的图象与x轴，y轴分别交于A,C两点，点B的坐标为（3,0），二次函数y=ax2+bx+c的图象过A，B，Cm点，如图（1）.（1）求二次函数的表达式；（2）如图（1）,过点C作CD〃x轴交抛物线于点D,点E在抛物线上（y轴左侧），若BC恰好平分NDBE.求直线BE的表达式；【解析】（1）一次函数y=-3x-3的图象与x轴，y轴分别交于A,C两点，则点A、C的坐标分别为（-1,0）、（0,-3）,(a—b(a—b+c=0,9a+3b+c,

c=-3,a=1,解得｛b=—2,c=-3,故抛物线的表达式为：y=x2-2x-3；（2）设直线BE交y轴于点M,从抛物线表达式知，抛物线的对称轴为x=1,,「CD〃x轴交抛物线于点D,故点D（2,-3）,由点B、C的坐标知，直线BC与AB的夹角为45°,即NMCB=NDCB=45°,•「BC恰好平分NDBE,AZMBC=ZDBC,又TBC=BC,A△BCD^^BCM(ASA),...CM二CD=2,故OM=3-2=1,故点M(0,-1),设直线BE的表达式为：y=设直线BE的表达式为：y=kx+b,(3k+b=0,b=-1,解得k=-3,b=—1,故直线BE的表达式为：y=#1;.如图，已知抛物线y=1x2+bx+c与x轴交于A、B两点(点A在点B的左2侧)，与y轴交于点C,且OB=2OA=4.(1)求该抛物线的函数表达式；(2)设P是(1)中抛物线上的一个动点，当直线OC平分NACP时，求点P的坐标；【解析】(1)VOB=2OA=4,.A(-2,0),B(4,0),把A(-20),B(4,0)分别代入y=-x【解析】(1)VOB=2OA=4,.A(-2,0),B(4,0),把A(-20),B(4,0)分别代入y=-x2+bx+c得:22—2b+c=0联立方程组｛8+4b+c=。可得b=—1,

c=-4,・•・抛物线的函数表达式为y=-x2-x-4；2(2)如图，设CP与x轴相交于点D,依题意得1―1%2-%-4,、依题意得1―1%2-%-4,、y=2x-4,解得,%1=0,盟=-4,或・AP(6,8)；.如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于A(-3,0),B两点，与y轴相交于点C(0,2)，对称轴是直线x=-1，连接AC.(1)求该抛物线的表达式;(2)若过点B的直线l与抛物线相交于另一点D,当NABD二NBAC时，求直线l的表达式;04)04)【解析】(1)二•抛物线的对称轴为x=-1,・•・-2^=-1,・・.b=2a,・•点C的坐标为(0,2),・・.c=2,•・抛物线的解析式为y=ax2+2ax+2,・•点A(-3,0)在抛物线上，・•・9a-6a+2=0,Aa=-2,3

1.b=2a=-4,二抛物线的解析式为y=-3x2-4x+2(2)当点D在x轴上方时，如图1,记BD与AC的交点为点E，•・•NABD=NBAC,AAE=BE,・•直线x=-1垂直平分AB,・•.点E在直线x=-1上，・,点A(-3,0),C(0,2),A直线AC的解析式为y=2x+2,当x=-1时，y=4,.,.点E(-1,4),・•点A(-3,0)点B关于x=-1对称，AB(1,0),A直线BD的解