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文档简介

2025届山东省潍坊实验中学高三下学期联合考试数学试题注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。4.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.设集合,集合,则=()A. B. C. D.R2.已知,若方程有唯一解,则实数的取值范围是()A. B.C. D.3.在中,D为的中点,E为上靠近点B的三等分点,且,相交于点P,则()A. B.C. D.4.设集合则()A. B. C. D.5.单位正方体ABCD-,黑、白两蚂蚁从点A出发沿棱向前爬行,每走完一条棱称为“走完一段”.白蚂蚁爬地的路线是AA1→A1D1→‥,黑蚂蚁爬行的路线是AB→BB1→‥,它们都遵循如下规则:所爬行的第i+2段与第i段所在直线必须是异面直线(iN*).设白、黑蚂蚁都走完2020段后各自停止在正方体的某个顶点处,这时黑、白两蚂蚁的距离是()A.1 B. C. D.06.设α,β为两个平面,则α∥β的充要条件是A.α内有无数条直线与β平行B.α内有两条相交直线与β平行C.α,β平行于同一条直线D.α,β垂直于同一平面7.已知集合,,则()A. B. C. D.8.已知纯虚数满足,其中为虚数单位,则实数等于()A. B.1 C. D.29.在“一带一路”知识测验后,甲、乙、丙三人对成绩进行预测.甲:我的成绩比乙高.乙:丙的成绩比我和甲的都高.丙:我的成绩比乙高.成绩公布后,三人成绩互不相同且只有一个人预测正确,那么三人按成绩由高到低的次序为A.甲、乙、丙 B.乙、甲、丙C.丙、乙、甲 D.甲、丙、乙10.某程序框图如图所示,若输出的,则判断框内为()A. B. C. D.11.若的展开式中的系数之和为,则实数的值为()A. B. C. D.112.设函数,则使得成立的的取值范围是().A. B.C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.如图,在体积为V的圆柱中,以线段上的点O为项点,上下底面为底面的两个圆锥的体积分别为,,则的值是______.14.在平面直角坐标系xOy中,A,B为x轴正半轴上的两个动点,P(异于原点O)为y轴上的一个定点.若以AB为直径的圆与圆x2+(y-2)2=1相外切,且∠APB的大小恒为定值,则线段OP的长为_____.15.实数,满足,如果目标函数的最小值为,则的最小值为_______.16.已知双曲线的左右焦点分别为,过的直线与双曲线左支交于两点,,的内切圆的圆心的纵坐标为,则双曲线的离心率为________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)如图,在直三棱柱中,,,D,E分别为AB,BC的中点.(1)证明:平面平面;(2)求点到平面的距离.18.(12分)以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴,且在两种坐标系中取相同的长度单位,建立极坐标系,判断直线为参数)与圆的位置关系.19.(12分)已知半径为5的圆的圆心在x轴上,圆心的横坐标是整数,且与直线4x+3y﹣29=0相切.(1)求圆的方程;(2)设直线ax﹣y+5=0(a>0)与圆相交于A,B两点,求实数a的取值范围;(3)在(2)的条件下,是否存在实数a,使得弦AB的垂直平分线l过点P(﹣2,4),若存在,求出实数a的值;若不存在,请说明理由.20.(12分)已知椭圆经过点,离心率为.(1)求椭圆的方程;(2)过点的直线交椭圆于、两点,若,在线段上取点,使,求证:点在定直线上.21.(12分)如图,在四棱锥PABCD中,PA⊥平面ABCD,∠ABC=∠BAD=90°,AD=AP=4,AB=BC=2,M为PC的中点.(1)求异面直线AP,BM所成角的余弦值;(2)点N在线段AD上,且AN=λ,若直线MN与平面PBC所成角的正弦值为,求λ的值.22.(10分)已知函数.(1)当时,解不等式;(2)当时,不等式恒成立,求实数的取值范围.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】试题分析:由题,,,选D考点:集合的运算2、B【解析】

求出的表达式,画出函数图象,结合图象以及二次方程实根的分布,求出的范围即可.【详解】解:令,则,则,故,如图示:由,得,函数恒过,,由,,可得,,,若方程有唯一解,则或,即或;当即图象相切时,根据,,解得舍去),则的范围是,故选:.【点睛】本题考查函数的零点问题,考查函数方程的转化思想和数形结合思想,属于中档题.3、B【解析】

设,则,,由B,P,D三点共线,C,P,E三点共线,可知,,解得即可得出结果.【详解】设,则,,因为B,P,D三点共线,C,P,E三点共线,所以,,所以,.故选:B.【点睛】本题考查了平面向量基本定理和向量共线定理的简单应用,属于基础题.4、C【解析】

直接求交集得到答案.【详解】集合,则.故选:.【点睛】本题考查了交集运算,属于简单题.5、B【解析】

根据规则,观察黑蚂蚁与白蚂蚁经过几段后又回到起点,得到每爬1步回到起点,周期为1.计算黑蚂蚁爬完2020段后实质是到达哪个点以及计算白蚂蚁爬完2020段后实质是到达哪个点,即可计算出它们的距离.【详解】由题意,白蚂蚁爬行路线为AA1→A1D1→D1C1→C1C→CB→BA,即过1段后又回到起点,可以看作以1为周期,由,白蚂蚁爬完2020段后到回到C点;同理,黑蚂蚁爬行路线为AB→BB1→B1C1→C1D1→D1D→DA,黑蚂蚁爬完2020段后回到D1点,所以它们此时的距离为.故选B.【点睛】本题考查多面体和旋转体表面上的最短距离问题,考查空间想象与推理能力,属于中等题.6、B【解析】

本题考查了空间两个平面的判定与性质及充要条件,渗透直观想象、逻辑推理素养,利用面面平行的判定定理与性质定理即可作出判断.【详解】由面面平行的判定定理知:内两条相交直线都与平行是的充分条件,由面面平行性质定理知,若,则内任意一条直线都与平行,所以内两条相交直线都与平行是的必要条件,故选B.【点睛】面面平行的判定问题要紧扣面面平行判定定理,最容易犯的错误为定理记不住,凭主观臆断,如:“若,则”此类的错误.7、B【解析】

求出集合,利用集合的基本运算即可得到结论.【详解】由,得,则集合,所以,.故选:B.【点睛】本题主要考查集合的基本运算,利用函数的性质求出集合是解决本题的关键,属于基础题.8、B【解析】

先根据复数的除法表示出,然后根据是纯虚数求解出对应的的值即可.【详解】因为,所以,又因为是纯虚数,所以,所以.故选:B.【点睛】本题考查复数的除法运算以及根据复数是纯虚数求解参数值,难度较易.若复数为纯虚数,则有.9、A【解析】

利用逐一验证的方法进行求解.【详解】若甲预测正确,则乙、丙预测错误,则甲比乙成绩高,丙比乙成绩低,故3人成绩由高到低依次为甲,乙,丙;若乙预测正确,则丙预测也正确,不符合题意;若丙预测正确,则甲必预测错误,丙比乙的成绩高,乙比甲成绩高,即丙比甲,乙成绩都高,即乙预测正确,不符合题意,故选A.【点睛】本题将数学知识与时政结合,主要考查推理判断能力.题目有一定难度,注重了基础知识、逻辑推理能力的考查.10、C【解析】程序在运行过程中各变量值变化如下表:KS是否继续循环循环前11第一圈24是第二圈311是第三圈426是第四圈557是第五圈6120否故退出循环的条件应为k>5?本题选择C选项.点睛:使用循环结构寻数时,要明确数字的结构特征,决定循环的终止条件与数的结构特征的关系及循环次数.尤其是统计数时,注意要统计的数的出现次数与循环次数的区别.11、B【解析】

由,进而分别求出展开式中的系数及展开式中的系数,令二者之和等于,可求出实数的值.【详解】由,则展开式中的系数为,展开式中的系数为,二者的系数之和为,得.故选:B.【点睛】本题考查二项式定理的应用,考查学生的计算求解能力,属于基础题.12、B【解析】

由奇偶性定义可判断出为偶函数,由单调性的性质可知在上单调递增,由此知在上单调递减,从而将所求不等式化为,解绝对值不等式求得结果.【详解】由题意知:定义域为,,为偶函数,当时,,在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增,则在上单调递减,由得:,解得:或,的取值范围为.故选:.【点睛】本题考查利用函数的单调性和奇偶性求解函数不等式的问题;奇偶性的作用是能够确定对称区间的单调性,单调性的作用是能够将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系,进而化简不等式.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】

根据圆柱的体积为,以及圆锥的体积公式,计算即得.【详解】由题得,,得.故答案为:【点睛】本题主要考查圆锥体的体积,是基础题.14、【解析】分析:设O2(a,0),圆O2的半径为r(变量),OP=t(常数),利用差角的正切公式,结合以AB为直径的圆与圆x2+(y-2)2=1相外切.且∠APB的大小恒为定值,即可求出线段OP的长.详解:设O2(a,0),圆O2的半径为r(变量),OP=t(常数),则∵∠APB的大小恒为定值,

∴t=,∴|OP|=.故答案为点睛:本题考查圆与圆的位置关系,考查差角的正切公式,考查学生的计算能力,属于中档题.15、【解析】

作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的最小值为,确定出的值,进而确定出C点坐标,结合目标函数几何意义,从而求得结果.【详解】先做的区域如图可知在三角形ABC区域内,由得可知,直线的截距最大时,取得最小值,此时直线为,作出直线,交于A点,由图象可知,目标函数在该点取得最小值,所以直线也过A点,由,得,代入,得,所以点C的坐标为.等价于点与原点连线的斜率,所以当点为点C时,取得最小值,最小值为,故答案为:.【点睛】该题考查的是有关线性规划的问题,在解题的过程中,注意正确画出约束条件对应的可行域,根据最值求出参数,结合分式型目标函数的意义求得最优解,属于中档题目.16、2【解析】

由题意画出图形,设内切圆的圆心为,圆分别切于,可得四边形为正方形,再由圆的切线的性质结台双曲线的定义,求得的内切圆的圆心的纵坐标,结合已知列式,即可求得双曲线的离心率.【详解】设内切圆的圆心为,圆分别切于,连接,则,故四边形为正方形,边长为圆的半径,由,,得,与重合,,,即——①,——②联立①②解得:,又因圆心的纵坐标为,.故答案为:【点睛】本题考查双曲线的几何性质,考查数形结合思想与运算求解能力,属于中档题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)证明见解析;(2).【解析】

(1)通过证明面,即可由线面垂直推证面面垂直;(2)根据面,将问题转化为求到面的距离,利用等体积法求点面距离即可.【详解】(1)因为棱柱是直三棱柱,所以又,所以面又,分别为AB,BC的中点所以//即面又面,所以平面平面(2)由(1)可知////所以//平面即点到平面的距离等于点到平面的距离设点到面的距离为由(1)可知,面且在中,,易知由等体积公式可知即由得所以到平面的距离等于【点睛】本题考查由线面垂直推证面面垂直,涉及利用等体积法求点面距离,属综合中档题.18、直线与圆C相切.【解析】

首先把直线和圆转换为直角坐标方程,进一步利用点到直线的距离的应用求出直线和圆的位置关系.【详解】直线为参数),转换为直角坐标方程为.圆转换为直角坐标方程为,转换为标准形式为,所以圆心到直线,的距离.直线与圆C相切.【点睛】本题考查的知识要点:参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换,直线与圆的位置关系式的应用,点到直线的距离公式的应用,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于基础题型.19、(2)(x﹣2)2+y2=2.(2)().(3)存在,【解析】

(2)设圆心为M(m,0),根据相切得到,计算得到答案.(2)把直线ax﹣y+5=0,代入圆的方程,计算△=4(5a﹣2)2﹣4(a2+2)>0得到答案.(3)l的方程为,即x+ay+2﹣4a=0,过点M(2,0),计算得到答案.【详解】(2)设圆心为M(m,0)(m∈Z).由于圆与直线4x+3y﹣29=0相切,且半径为5,所以,即|4m﹣29|=2.因为m为整数,故m=2.故所求圆的方程为(x﹣2)2+y2=2.(2)把直线ax﹣y+5=0,即y=ax+5,代入圆的方程,消去y,整理得(a2+2)x2+2(5a﹣2)x+2=0,由于直线ax﹣y+5=0交圆于A,B两点,故△=4(5a﹣2)2﹣4(a2+2)>0,即22a2﹣5a>0,由于a>0,解得a,所以实数a的取值范围是().(3)设符合条件的实数a存在,则直线l的斜率为,l的方程为,即x+ay+2﹣4a=0,由于l垂直平分弦AB,故圆心M(2,0)必在l上,所以2+0+2﹣4a=0,解得.由于,故存在实数使得过点P(﹣2,4)的直线l垂直平分弦AB.【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系,意在考查学生的计算能力和转化能力.20、(1);(2)见解析.【解析】

(1)根据题意得出关于、、的方程组,解出、的值,进而可得出椭圆的标准方程;(2)设点、、,设直线的方程为,将该直线的方程与椭圆的方程联立,并列出韦达定理,由向量的坐标运算可求得点的坐标表达式,并代入韦达定理,消去,可得出点的横坐标,进而可得出结论.【详解】(1)由题意得,解得,.所以椭圆的方程是;(2)设直线的方程为,、、,由,得.,则有,,由,得,由,可得,,,综上,点在定直线上.【点睛】本题考查椭圆方程的求解,同时也考查了点在定直线上的证明,考查计算能力与推理能力,属于中等题.21、(1).(2)1【解析】

(1)先根据题意建立空间直角坐标系,求得向量和向量的坐标,再利用线线角的向量方法求解.(2,由AN=λ,设N(0,λ,0)(0≤λ≤4),则=(-1,λ-1,-2),再求得平面PBC的一个法向量,利用直线MN与平面PBC所成角的正弦值为,由|cos〈,〉|===求解.【详解】(1)因为PA⊥平面ABCD,且AB,AD⊂平面ABCD,所以PA⊥AB,PA⊥AD.又因为∠BAD=9

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