《电气测试技术第5版》 教案 第2章 测量误差及数据处理

PAGE30第2章测量误差及数据处理教学要求1．误差来源及其分类。2．误差的表示方法。教学手段多媒体课件教学课时2学时教学内容2.1误差来源及其分类在科学实验和工程实践中，任何测量结果都含有误差。由于误差存在的必然性和普通性，人们只能将它控制到尽量低的程度而无法消除它。2.1.1误差的来源误差的来源是多方面的，概括起来主要有如下几个方面：1.仪器、仪表误差仪器仪表本身及其附件引起的误差称为仪器仪表误差。例如，仪器仪表本身的电气或机械性能不完善、零点和增益漂移、非线性、刻度不准确以及标准量不稳定等所引起的误差均属于仪器仪表误差。2.影响误差由于各种环境因素与仪器仪表所要求的使用条件不一致而造成的误差称为影响误差。例如，由于温度、湿度、大气压、电磁场、电源电压及频率等波动所造成的误差均属于影响误差。3.方法误差由于测量方法不合理所造成的误差。例如用低输入电阻的仪表测量高内阻回路的输出电压所引起的误差属于方法误差。4.理论误差由于仪器仪表所依据的理论或公式本身不完善或者是近似的所引起的误差称为理论误差。5.人身误差由于测量者的分辨力、视觉疲劳、习惯或缺乏责任心等因素引起的误差称为人身误差。人身误差是由于人为因素造成的，欲减小人身误差必须加强责任心。在测量工作中，对于误差的来源必须认真分析，采取相应的措施，以减小误差对测量结果的影响。2.1.2误差的分类根据误差的性质及其产生的原因，可将误差分为三类：1.系统误差（简称系差）2.随机误差3.粗大误差（简称粗差）2.2误差的表示方法2.2.1测量误差的表示方法由于误差是客观存在的，因此在计量学上认为被测量的真正值是无法得到的。讨论被测量示值与真值的误差是没有应用意义的。1.实际值绝对误差由测量所得之被测量的值与被测量实际值之差称为实际值绝对误差，记为。 （2-1）由此可见，为可正可负和有量纲的数值，其大小和符号分别表示测量值偏离被测量实际值的程度和方向。被测量实际值可用下列两种方法取得：1）用比所用仪表的精度等级高一级或数级的仪表的指示值作为被测量的实际值。2）在测量此数足够多时，仪表示值的算术平均值作为被测量的实际值。与绝对误差的数值相等而符号相反的量值称为修正值，用来表示，则： （2－2）修正值是通过检定或校准）由上一级标准（或基准）以表格、曲线、公式或数字等形式给出的。因此，利用修正值与仪表的示值相加，可算出被测量的实际值，即： （2-3）2.实际值相对误差实际值绝对误差与被测量实际值之比的百分数称为实际值相对误差，即： （2-4）2.2.2仪器仪表误差的表示方法1.基本误差它是仪器仪表在标准条件下使用时所具有的误差。标准条件一般是指仪器仪表在标定刻度时所保持的工作条件。例如，电源电压交流(220±5%)V，环境温度(20±5)℃；相对湿度(70±15)％；大气压(98.1±4.0)kPa等。最大满度引用误差是最大绝对误差与仪器仪表量程满度值之比的百分数，即： （2-6）是仪器仪表在标准条件下使用不应超过的误差。由于在仪表的刻度线上各处均可能出现，所以从最大误差出发，在没有修正值的情况下，测量者应当认为在整个测量范围内各处示值的最大误差是个常数。按国家标准规定，用最大引用误差来定义和划分仪器仪表的精度等级，将仪器仪表的精度等级分为0.1，0.2，0.5，1.0，1.5，2.5，5.0等七级。它们的最大引用误差分别为±0.1%，±0.2%，±0.5%，±1.0%，±1.5%，±2.5%，±5.0%。当计算所得的与仪表精度等级的分档不等时，应取比稍大的精度等级值。仪表的精度等级通常以S来表示。例如，S=1.0，说明该表的最大引用误差不超过±1.0%。例2-5检定一台5A，1.5的电流表，在2.0A处，其0.1A。问此电流表精度是否合格？解按式（2-6）求得： 因为 2.0%>1.5%所以该表不合格。可作2.5级表使用。仪器仪表的基本误差也经常遇到同时应用相对误差和绝对误差来表示的情况。例如电位差计的基本误差经常表示成。2.附加误差当仪表在使用中偏离了标准工作条件，除了基本误差外，还会产生附加误差。附加误差也用百分数表示。例如，仪表使用时温度超出(20±5)℃，则会产生温度附加误差；使用时电源电压超出(220±5%)V，则会产生电压附加误差。此外，还有频率附加误差，湿度附加误差，振动附加误差等等。在使用仪表时，附加误差和基本误差要合理综合，再估计出测量的总误差。2.2.3数字仪表误差的表示方法数字仪表的基本误差用下列两种方式表示： 几个字 （2-7）式中，为绝对误差；为误差的相对项系数；为被测量的指示值；为误差固定项的系数；为仪表的满度值。上述两种方式实质上是一致的，常用后一种，因较为方便。是用示值相对误差表示的，它与读数成正比，称为读数误差。它与仪表各单元电路的不稳定性有关。不随读数变化，一定时，它是个固定值，称为满度误差。它包括量化误差和零点误差等。满度误差与所取量程有关，故常常用正负几个字来表示。下面举例说明两种表示方法的一致性。2.2.4一次直接测量时最大误差的估计在工程测量中，通常只做一次直接测量而取得测量结果，此时如何从仪器仪表的精度等级来确定测量误差呢？设只有基本误差的情况下，仪器仪表的最大绝对误差为： （2-8）与示值之比，即为最大示值相对误差 （2-9）可见，不仅与仪器仪表的精度有关，而且与满度值和示值之比值有关。示值大时，相对误差小。当时，可见，仪器仪表给出的精度是相对误差的最小值。离开满度愈远，愈大。因此，当仪器仪表的精度等级已知时，示值愈接近满度值，测量示值的精度愈高。在使用正向刻度的模拟式仪表时，应尽量使指示值靠近满度值，至少应在左右。反之，选择仪表量程时，应该使其满度值尽量接近被测量的数值，至少不应比被测值大得太多。

教学要求1．随机误差的估算。2．粗大误差的判断准则。教学手段多媒体课件教学课时2学时教学内容2.3随机误差的估算2.3.1测量值的算术平均值与数学期望2.3.2标准差测量值的算术平均值是被测量的最可信赖值。但是仅知道测量值的算术平均值仍无法知道测量值的分散程度。2.3.3随机误差的正态分布由概述论中的讨论可知，测量中随机误差的分布和在影响下的测量数据的分布大多数是服从正态分布的。2.3.4贝塞尔公式 （2-19）式中，（）称为自由度，常用表示，。2.3.5算术平均值标准差算术平均值标准差与标准差估计值的关系为： 2.4粗大误差的判断准则2.4.1置信概率与置信区间由概率积分可知，随机误差的正态分布曲线所包含的全部面积相当于全部误差出现的概率，可算出取不同值时，随机误差出现的概率为：当 时， 时， 时，上述结果表明，对于正态分布规律的随机误差，不超出的随机误差出现的概率为95.44%；不超出的随机误差出现的概率为99.73%。上述用于描述测量结果的误差处于某一范围内的可靠程度的量称为置信程度或者置信概率。所选择的极限误差范围称为置信区间。显然，对于同一测量结果，所取置信区间愈宽，置信概率愈大，反之亦然。置信概率与置信区间的关系见图2-3。2.4.2有限次测量的置信度图2-3所示的置信概率与置信区间的关系，是在测量次数足够多，误差服从正态分布，以标准差为条件得出的结论。当测量次数足够多（）时，应用这一结论是合适的。因为随机误差的分布接近正态分布。若测量次数较小（），随机误差的分布曲线与正态分布曲线差别较大，而服从分布（也称学生分布），正态分布曲线与分布曲线的不同见图2-4。为区别于正态分布，分布用置信系数表示。自由度、置信概率与置信系数的关系见表2-3。若已知和置信概率，可由表2-3查出置信系数。必须指出，对于有限次测量，只能根据贝塞尔公式[式（2-19）]计算出标准差估计值，用代替。2.4.3随机不确定度与坏值剔除由表2-2可见，若取置信系数，在22个随机误差中，至多仅有一个的误差大于；若取，在370个误差中，至多仅有一个误差大于。在实际测量中，可以认为大于的误差出现的可能性极小，所以通常把大于的误差称为极限误差或随机不确定度，用表示 （2-26）或用估计值 （2-27）这个数值说明测量结果在数学期望附近某一确定范围内的可能性有多大，由测量值的分散程度来决定，所以用标准差的若干倍来表示。根据上述理由，在测量数据中，如果出现大于的剩余误差，可以为该次测量值为坏值，应予剔除，即： （2-28）式（2-28）称为莱特准则（亦称为准则）。在测量次数足够多（）时，按莱特准则剔除坏值是客观的和合理的。但是，若测量次数较少（），按莱特准则剔除坏值就不一定可靠，这时应采用格拉布斯（Grubss）准则。它是根据数理统计方法推导出来的，其概率意义比较明确。在等精密度测量数据中，若有剩余误差的绝对值满足下式： （2-29）则认为与该相对应的测量数据是坏值，应予剔除。式中是格拉布斯系数，见表2-4。算术平均值的不确定度可以表示为：当足够大时 （2-30）当较小时 （2-31）或者 剔除坏值后，对剩余的测量数据重新计算算术平均值和标准估计值，再次作判断，直到测量数据中无坏值为止。

教学要求1．系统误差及其减小方法。2．测量数据的处理。教学手段多媒体课件教学课时2学时教学内容2.5系统误差及其减小方法如前所述绝对误差是系统误差和随机误差的代数和，即。此式说明测量结果的精确度不仅取决于随机误差，也取决于系统误差。由于系差不具有抵偿性，不能用求算术平均值的方法加以消除。但是，系差是有规律性的误差，经过仔细的分析和研究，其产生的规律是可以掌握的，因此可以采取一些技术措施削弱或消除其对测量结果的精确度的影响。2.5.1系统误差的分类按照系差变化的征性，可将系差分为两种类型。1.恒值系统误差在测量过程中误差的大小和符号是不变的误差称为恒值系差。例如，仪器仪表的基本误差、仪表的零点偏高或低、标尺刻度不准确等均属于恒值系差，见图2-5曲线a。2.变值系统误差误差的绝对值和符号按照一定规律变化的误差称为变值系差。2.5.2系统误差的判断由于产生系差的原因很多，所以发现它或判断它的方法也很多，这里仅介绍几种常用的判断方法。1.实验对比法2.剩余误差观察法3.马利科夫判据4.阿卑—赫梅特判据2.5.3减小系统误差的方法1.从产生系差的原因采取措施2.定期校正减小缓变系差3.用加修正值方法减小系差4.零位测量法5.微差法设标准量为，被测量为，微差为，则微差法的绝对误差为： 式中，为标准量的绝对误差；为测量的绝对误差。相对误差为： 因为。故，并令，得： （2-34）式中，为标准量的相对误差，即为标准量的精度等级；为测量微差的示值相对误差。由于标准量的精度等级很高，故式（2-34）第一项误差很小；第二项是两个小于1的数之乘积也很小。所以用微差法可以减小系差。6.替代法替代法是在测量过程中将被测量以等值的标准量来替换。替换时，要使仪器的工作状态前后不变，这样就能消除由仪器产生的恒值系差。2.6测量数据的处理测量数据的处理是指从原始的测量数据中经过加工、整理求出被测量的最佳估计值，并计算其精确度。2.6.1测量数据的舍入法则由于测量数据是由0，1，2，3，…，9十个数组成的近似数，因此在进行数据处理时会遇到数据的舍入问题。通常的“四舍五入”规则中，对5只入不舍是不合理的，它也应当有舍有入。所以在测量技术中规定：“小于5舍，大于5入，等于5时采取偶数法则”。也就是说，保留数字末位为位，第位大于5，第位数字加1；第位小于5，第位数字不变；若第位恰好是5，则将第为凑成偶数，即第位为奇数时，第位加1，第位为偶数时，则第位不变。当舍入足够多时，舍和入的概率相同，从而舍入误差基本抵消，又考虑到末位是偶数容易被除尽，减小计算误差。由此可见，每个数据经舍入后，末位是欠准数字，末位以前的数字是准确数字。其舍入误差不会大于末位单位的一半，这是最大舍入误差，故称该舍入法则为“0.2.62.6.3有效数字的运算规则2.6.4有效数字位数的确定2.6.5等精密度测量结果的处理步骤对某一被测量进行等密度测量时，其测量值可能同时含有随机误差、系统误差和粗大误差。为了合理估算其测量结果，写出正确的测量报告，必须对测量数据进行分析和处理。数据处理的基本步骤如下：用修正值等方法，减小恒值系统误差的影响。求算术平均值式中，是指可能含有粗差在内的平均值。求剩余误差，并验算的代数和是否等于零，从而验算计算平均值的正确性。若的代数和约等于零，说明的计算是正确的；否则说明计算时有错，要重新计算。求标准差的估计值。利用贝赛尔公式判断粗差，剔除坏值。当足够大时，随机不确定度为：当较少时，利用格拉布斯准则 若有>，则认为对应的测量值是坏值，应予剔除。 6）剔除坏值后，利用剩下的数据再来求，剩余误差，标准差和随机不确定度，并再次判断粗差和剔除坏值，知道测量数据没有坏值为止，然后继续往下计算。 7）判断有无变值系统误差利用马利科夫判据判断有无线性系差。当为偶数时 当为奇数时 上两式中的必须是无坏值时所计算得到的剩余误差。若>，则认为存在线性系差。含有线性系差的数据原则上不能使用。应重新作等精密度测量。利用阿卑－赫梅特判据判断有无周期性系差。>若上式成立则认为存在周期性系差。是无坏值时的标准差估计值。含有周期性系差的数据也不能使用。 8）求算术平均值标准差估计值 9）求算术平均值的不确定度 当较小时 或 当较大时 10）给出测量结果的表达式或报告值。对于技术测量，需要指明不确定度时，可表示为： 若不指明不确定度，可用代表。 必须指出，上述计算所用数据和计算所得各个值均是在无坏值情况下的计算结果。 在上述计算过程中，也应当考虑有效数字的位数，可先化整然后再计算，使计算简化。为避免累积误差，在化整和结果中可保留两位欠准数字。但最后结果要与误差相对应。

教学要求1．误差的合成与分配。2．最优测量条件。教学手段多媒体课件教学课时2学时教学内容2.7误差的合成与分配2.7.1概述 前面讨论了直接测量的误差计算问题。在许多场合要用到间接测量方法对某些被测量进行测量。对间接测量的误差如何计算？是本节要讨论的问题。它包括误差的合成与误差的分配两方面的内容。 1.误差的合成已知被测量与各个参数的函数关系以及各个参数测量值的分项误差，求被测量的总误差称为误差的合成。 2.误差的分配已知总误差及其与各测量值之间的函数关系，将总误差合理地分配给各测量值称为误差分配。2.7.2常用函数的合成误差 1.积函数的合成误差 ±（） 2.商函数的合成误差 ±（） 3.幂函数的合成误差设=常数，可见是幂函数。对取对数得： 然后微分，得的合成误差 = （2-45） 式中，、和为影响系数。 4.和差函数的合成误差设 ①设是和函数，则 （2-48）②设是差函数。同理得： （2-49） 当和的符号为未知时，上两式仍需取绝对值相加。 由式（2-49）可见，当和比较接近时，其合成误差比较大，所以尽量不选择差函数。5.和差积商函数的误差综合上述各个结论可以解决这个问题。例2-19两只电阻和并联，求并联后电阻的总误差。解：并联后总电阻 上式是和差积商函数。根据误差传递公式（2-37）可以得出： 则 其相对误差为： 即 （2-50）当时，则。表明相对误差相同的电阻并联后总电阻的相对误差与单个电阻的相对误差相同。2.7.3系统误差的合成1.已定系统误差的合成对于已定系差，由于误差的大小、符号和函数关系均为已知，故可直接由误差传递公式（2-37）进行合成。因为，如果则可对各分项误差采用代数和法进行合成。即： （2-51）而相对误差为： （2-52）2.系统不确定度的合成对于未定系统误差，由于往往只知道其误差极限而不知道其确切的大小和符号，因此对它的合成方法视具体情况而定。通常可用下列两种方法。（1）绝对值和法各分项误差取绝对值，然后求和。用式子表示为：①绝对系统不确定度 （2-53）②相对系统不确定度 （2-54）一般情况下，（||＋||＋…＋||）（2）方和根合成法这种方法将各分项误差平方，再求平方后之和，最后开平方，并在其前面冠以“±”号。即：①绝对系统不确定度 （2-55）②相对系统不确定度 （2-56）一般情况下 （2-57）2.7.4系统误差的分配已知总的误差，把它合理地分配给各个环节，一般地说有无穷多个分配方案。所以往往是在假设某些条件下进行分配。这里介绍两种常用的分配方法。1.按误差相同原则分配分配给各组成环节的误差相同，即 由误差的传递公式（2-37）可知：