安徽省合肥锦绣中学2024-2025学年高二上学期期中检测数学试卷（含答案）

合肥锦绣中学高二上学期期中检测（数学）试卷（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效．3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．5．考试范围选择性必修第一册第一章、第二章．第Ⅰ卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．在空间四边形中，等于（）A． B． C． D．2．已知是空间一个基底，，一定可以与向量构成空间另一个基底的是（）A． B． C． D．3．已知点到直线的距离为3，则实数等于（）A．3 B． C．0或3 D．0或4．经过两点的直线的倾斜角为60°，则的值为（）A． B． C． D．5．若方程表示一个圆，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．6．已知空间三点，则下列命题正确的是（）A．若为的中点，则点的坐标为B．若四边形为平行四边形，则点的坐标为C．向量与向量夹角为120°D．以为邻边的平行四边形面积为7．如图，在长方体中，，若点在平面上运动，则的最小值为（）A． B． C． D．8．如图，在两条异面直线上分别取点和点，使，且．已知°，，则线段长度的取值范围为（）A． B． C． D．二、多项选择题：本题共3小题，每题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．下列说法正确的有（）A．设是空间向量，若与共线，与共线，则与共线B．若两个非零向量与满足，则∥C．零向量与任何向量都共线D．两个单位向量一定是相等向量10．判断直线与圆的位置关系，下列说法错误的有（）A．相交且直线过圆心 B．相交但直线不过圆心C．相切 D．相离11．若圆，圆，则（）A．当时，若圆与圆有且仅有三条公切线，则B．当时，若圆与圆有且仅有两条公切线，则C．当时，存在实数，使得圆与圆无公切线D．若存在实数，使得圆与圆有且仅有三条公切线，则第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本大题共3题，每小题5分，共15分．12．已知直线，则直线恒过定点__________．13．已知，与的夹角60°，则与夹角的余弦值为__________．14．已知圆，是轴上的动点，直线分别与圆相切于点．若为中点，则点的轨迹方程为_________．四、解答题：本大题共5小题，满分77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）如图，在空间四边形中，已知、分别是线段、的中点．（1）设，试用向量、、表示和；（2）若空间四边形是棱长为2的正四面体，求直线和夹角的余弦值．16．（本小题满分15分）已知正三棱锥中，点在线段上，且．（1）求边长；（2）求正三棱锥内切球的半径．17．（本小题满分15分）2023年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，出塞诗是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性最强的一部分，唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为．（1）求将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的最短总路程；（2）设“将军饮马”路程最短时的饮马点为，在△中，求边中线所在的直线方程．18．（本小题满分17分）如图，在正三棱柱中，点为线段的中点，点为线段上的一个动点（不包括端点），．（1）若点为线段的中点，证明：平面；（2）若直线与平面所成角为，（i）求的值；（ii）求二面角的余弦值．19．（本小题满分17分）如图所示，圆与轴的交点分别为，过点的直线与圆交于两点.（1）记直线的斜率分别为，求的值；（2）设为直线与的交点，△，△的面积分别为，求的取值范围．合肥锦绣中学高二上学期期中检测数学·答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．1．C2．B3．D4．B5．C6．D7．C8．A二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．BC10．ACD11．ACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．（3，2）13．14．．四、解答题：本题共5小题，共77分．15．（1），，（2），又△和△均为等边三角形，∴．设向量与的夹角为，则∴直线和夹角的余弦值为．16．（方法1：几何法）取中点为，连接，如图所示，∵三棱锥为正三棱锥，∴，又，平面，∴平面，∵平面，∴，又平面，∴平面，∴，∴正三棱锥的三条侧棱两两垂直，∴，∴在△中，由，得，∴．（方法2：向量法）∵三棱锥为正三棱锥，∴，设，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，整理得，解得，∴．（2）由（1）得，设点为△的重心，则，∴，设正三棱锥内切球的半径为，设为正三棱锥内切球的球心，∵∴，∴，解得．17．（1）由题意可知在的同侧，设点关于直线的对称点为三点共线满足题意，点为使得总路程最短的“最佳饮水点”，则，解得，即，此时“将军饮马”走过的总路程为．（2）由（1）知直线的方程是，联立，解得，即将军在河边饮马的地点的坐标为，边的中点，则，即，∴直线斜率，∴直线的方程为，整理得．∴△中边中线所在的直线方程为．18．（1）取的中点，连接，∵平面，平面，∴，同理，又，结合题设，可得，易知，∴，则．∵平面，∴平面，又平面，∴，∵平面，∴平面．（2）（i）以为坐标原点，方向分别为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系，则，设，则．设平面的法向量为，则，取，则设直线与平面所成的角为，则，化简得，解得或．当时，点与点重合，不符合题意．∴，∴．（ii）由（i）得面平面的一个法向量为，同理计算可得平面的一个法向量为，∴．由图可知二面角为钝角，故余弦值为．19．（1）（方法1）设由题知，．①当直线的斜率不存在时，直线方程为，如图所示，将，代入，解得，∴，∴，∴．②当直线的斜率存在时，设直线斜率为，则直线方程为，设，则，联立，消去得，，∴，，连接，由圆的性质可得，∴，∴