《工程力学 》课件第5章

第5章平面力系的拓宽及应用5.1物体系统的平衡、

静定与超静定问题

5.2考虑摩擦时的平衡问题

思考题

习题

5.1物体系统的平衡、静定与超静定问题

5.1.1静定与超静定的概念一个物体平衡时，未知量个数等于独立平衡方程个数，全部未知量可通过静力学平衡方程求得，这类问题称为静定问题。如果未知量的数目多于独立平衡方程的数目，则未知量不能全部由平衡方程求出，这样的问题称为超静定问题，也称为静不定问题。如图5-1（a）所示的简支梁由一个固定铰链和活动铰链支承，梁所受外力为任意力系，有三个独立平衡方程，而梁的约束反力也为三个，故是静定问题，其未知的约束力均可由平衡方程求出。而图5-1（b）所示的简支梁由一个固定铰链和两个活动铰链支承，共有四个未知量，所以不能由平衡方程求出约束反力，

是超静定问题。

图5-15.1.2物体系统的平衡工程机械和结构都是由若干个物体通过一定形式的约束组合在一起的，称为物体系统，简称物系。求解物体系统的平衡问题，简称物系的平衡问题。对于这类问题，在受力分析时应注意内力和外力。所谓内力就是物体系统内物体与物体之间的相互作用力；而外力是研究对象以外的其它物体对研究对象作用的力。对于同一物体系统，选不同物体为研究对象时，内力和外力是相对的，是随所选研究对象的不同而改变的。根据作用与反作用定律，内力总是成对出现的，因此在分离体上只画外力而不画内力。

求解物系平衡问题的步骤是：

(1)判断物系是静定问题还是超静定问题。

(2)适当选择研究对象，画出研究对象的分离体的受力图。研究对象可以是物系整体、单个物体，也可以是物系中几个物体的组合。

(3)分析各受力图，确定求解顺序。一般来讲，首先，求解的对象通常是主动力和未知的约束力共同作用的物体，而且未知力的个数不超过独立方程个数。其次，求解的对象也应当符合这个条件，只不过该对象中的部分约束力已经被求解出来了，成为已知力，依次类推。

(4)根据确定的求解顺序，

依次列平衡方程求解。

例5-1如图5-2（a）所示的曲柄连杆机构，由曲柄ＯＡ、连杆ＡＢ和滑块Ｂ组成，已知作用在滑块上的力 ，如不计各构件的自重和摩擦，求作用在曲柄上的力偶矩Ｍ多大时方可保持机构平衡。

解（１）取滑块Ｂ为研究对象，画受力图如图5-2（c）所示，列平衡方程：（２）

取曲柄ＯＡ为研究对象，画受力图如图5-2(b)所示，

列平衡方程：

图5-2例5-2

复合梁在Ｂ处用铰链连接，其上作用有力偶矩为Ｍ的集中力偶和集度为q的均布载荷。已知l、M、q，试求固定端Ａ和活动铰链Ｃ的约束力。解：在整体受力图上有４个未知力，如图5-3（a）所示，梁ＡＢ受力图上有５个未知反力，如图5-3（b）所示，而梁BC的受力图上仅有三个未知反力，如图5-3（c）所示，故先取梁BC为研究对象，求出。（1）如图5-3（c），列平衡方程

（2）

再取整体为研究对象，如图5-3（a）所示，列平衡方程：

图5-3

例5-3往复式水泵如图5-4所示，作用在齿轮上的驱动力偶矩MO，通过齿轮Ⅱ及连杆AB带动活塞在缸体内作往复式运动，齿轮的压力角为α，齿轮Ⅰ的半径为r1，齿轮Ⅱ的半径为r2，曲柄O2A=r3，连杆AB=5r1，活塞阻力为F。已知F、r1、r2、r3和α，不计各构件的自重及摩擦。当曲柄O2A在铅垂位置时，试求驱动力矩MO的值。图5-4解：分别取齿轮Ⅰ和齿轮Ⅱ及活塞B为研究对象，画出它们受力图如图5-4（b）、（c）、（d）所示。（水平为x轴，竖直为y轴选取直角坐标系，如（b）所示）图5-4（d）中，活塞B受平面汇交力系作用，列平衡方程

故

由于FAB已解出，图5-4（c）变为可解，列平衡方程求解：

故

由图5-4（b）可列出：

总之，如何根据解题的需要正确选取研究对象而获得最佳的求解途径，就成为求解物体系统平衡问题的关键。

5.2考虑摩擦时的平衡问题

5.2.1滑动摩擦当两物体接触面之间有相对滑动的趋势时，物体接触面产生的摩擦力称为静滑动摩擦力，简称静摩擦力，通常用Ff表示；当两物体之间产生相对滑动时，物体接触表面之间产生的摩擦力，称为滑动摩擦力，简称动摩擦力,通常用Ff′表示。由于摩擦对物体的运动起阻碍作用，因此摩擦力总是作用在接触面（点），沿接触处的公切线，与物体相对滑动或滑动趋势方向相反。

从限制物体运动的作用而言，摩擦力是一种被动的、未知的约束力。它的计算方法一般根据物体的运动情况而定，库仑实验得出如下结论：

（1）静摩擦定律（库伦定律）：设重为G的物块受一水平力FT的作用，如图5-5(a)所示，当力FT较小时，物块A处于静止，其受力图如图5-5(b)所示，由平衡条件可知，此时静摩擦力Ff=FT；当力FT逐渐增大到某一值时，物块Ａ处于静止和滑动的临界平衡状态，此时静摩擦力Ff达到其最大值Ffmax，称为最大静摩擦力。根据库仑的实验，最大静摩擦力Ffmax与接触面间的法向反力FN成正比，即：

Ffmax=fs·FN

（5-1）

(2)一般静止状态下的静摩擦力Ff随主动力的变化而变化，其大小由平衡方程确定，介于零和最大静摩擦力之间，即0≤

Ff

≤

Ffmax（5-2）

(3)当物体处于滑动状态时，在接触面上产生的滑动摩擦力Ff′的大小与接触面的法向反力FN成正比，即

（5-3）

式中，比例系数f称为动滑动摩擦系数，其大小与接触物体的材料及表面状况（粗糙度、湿度、温度等）有关，而与接触面积无关。式（5-3）称为动摩擦定律。实验证明，一般情况下静滑动摩擦系数大于动滑动摩擦系数，即fs>f。这说明推动物体从静止开始滑动比较费力，而一旦滑动起来，维持滑动就省力些。各种材料在不同情况下的静摩擦系数，通常由实验测定。常见材料的滑动摩擦系数如表5-1所示。表5-1常见材料的滑动摩擦系数

5.2.2摩擦角与自锁现象

1.摩擦角在图5-5中，将支承面对物块的法向反力FN和切向反力Ff合成，得到一个合力FR，称为全反力；将主动力G和FT合成一个力FQ，即

FR＝FN+Ff FQ=G+FT

图5-5设FQ与接触面法线的夹角为，全反力FR与接触面法线的夹角为，于是物块在全部主动力的合力FQ和全反力FR的作用下平衡，此时，α＝φ

，如图5-6（a）所示。根据（5-2）式可知，静摩擦力Ff是个有界值，所以也是有界值，即0≤φ≤φm。φm

，φm为物块处于临界平衡状态时，全反力与接触面法线夹角的最大值，称为摩擦角，显然即摩擦角的正切等于静摩擦系数。可见摩擦角与静摩擦系数一样，也是表示摩擦性质的物理量。

图5-62.自锁

物块平衡时，因0≤

Ff≤Ffmax，则，即全反力与法线间的夹角φ在零与摩擦角φm之间变化。由于静摩擦力不可能超过最大值，因此，全反力的作用线也不能超出摩擦角以外，即全反力必在摩擦角之内。如图5-6（a）（b）中，全部主动力的合力FQ与全反力FR共线、反向、等值，故α＝φ，所以

0≤φ≤φm

0≤α≤φm

（5-4）

式（5-4）表明，作用于物体上的全部主动力的合力FQ，不论其大小如何，只要其作用线与接触面法线的夹角α小于或等于摩擦角（即FQ作用在摩擦角之内），则物体保持静止。这种现象称为自锁。式（5-4）称为自锁条件。反之，当作用于物体上的全部主动力的合力FQ的作用线位于摩擦角之外时，则无论此合力多么小，都不能有与其共线的全反力，因而物体必定滑动，如图5-6（c）。自锁现象在工程实际中有很重要的作用，如人工用螺旋千斤顶顶起重物，也是借用自锁原理，以致使重物不致因重力作用而下落，如图5-7所示；楔块与尖劈也是利用了自锁原理的一种机械机构，如图5-8所示，用较小的力将楔块楔入夹具中加紧工件，在外力除去后，无论工件在加工过程中有多大（图示铅垂方向上）的力作用在楔块上，楔块都不会被挤压出来。如图，以上两机构的自锁条件为：

图5-7图5-85.2.3考虑摩擦时的平衡问题求解有摩擦时物体的平衡问题，其方法与步骤与前面所述相同，所不同的是：

(1)在受力图上必须考虑摩擦力，摩擦力的方向与相对滑动趋势的方向相反。

(2)摩擦力是一个未知量。解题时，除列出平衡方程外，还需要列出补充方程Ff≤fs·FN。补充方程的数目与摩擦力的数目相同。不过，由于Ff是一个范围值，故问题的解答也应是一个范围值，称为平衡范围。在临界状态时，补充方程取等式，所得之解也一定是平衡范围的一个临界值。

例5-4一物块放在倾角为α的斜面上，如图5-9所示。物块与斜面间的摩擦系数为fs，试分析物块在重力Q作用下不沿斜面下滑的条件。

解使物块下滑的力为Qsinα，而阻止其下滑的最大力为最大静摩擦力Ffmax，由摩擦定律可知

由平衡条件可知：

F力的最大值为Ffmax，由以上条件得出：

要使物块不下滑，必须有

F≤Ffmax，即

解得

因为

所以

即斜面的自锁条件为：

斜面的倾角必须小于或等于摩擦角。

图5-9例5-5

如图5-10（a）所示的匀质木梯AB长为2a，重为G，其一端放在地面上，另一端放在铅垂墙面上，接触面间的摩擦角为φm。求木梯平衡时倾角α的范围。图5-10

解取匀质木梯AB为研究对象，分析梯子的临界平衡状态，此时梯子A处有向右滑动的趋势，B处有向下滑动的趋势，故A、B处的静摩擦力的方向如图5-10（b）所示。列平衡方程及静摩擦力的补充方程：联立上述方程，解得

经判断可得，梯子平衡时倾角的范围为

例5-6制动器的构造如图5-11（a）所示，已知重物重W=500N，制动轮与制动块间的静摩擦系数fs=0.6。R=250mm，r=150mm，a=1000mm，b=300mm，h=100mm，求制动鼓轮转动所需的最小力F。图5-11

解取鼓轮为研究对象，画受力图如图5-11（b）所示。列平衡方程：

①

再取杆AB（包括制动块）为研究对象，画受力图如图5-11（c）所示。列平衡方程

②

注意，FN′=FN，Fs′=Fs,并考虑平衡的临界状态，由静摩擦定律有

③

联立解①、

②、

③式得

F=120N这是临界状态时所需力的值，也就是制动鼓轮所需的最小力的值。

5.2.4滚动摩擦简介

利用滚动代替滑动省力，这是人们早已知道的事实。搬运重物时，若在重物底下垫滚轴，则要比将重物直接放在地面上推动省力，如图5-12（a）所示。在工程实际中，车辆采用车轮，机器采用滚动轴承，也是为了减轻劳动强度，提高劳动效率，如图5-12（b）所示。在水平面上有一轮子重为G，半径为r，如图5-13（a）所示，当轮子中心受一水平拉力FT作用，若FT力不大时，轮子仍保持静止，此时轮与地面接触处都发生变形。轮与地面接触处受力分布作用如图5-13（b）所示。将这些力向轮子的最低点A简化，得一力(将此力分解为沿接触面的切向分力Ff和法向分力FN)和一力偶Mf，如图5-13（c）所示，这一阻碍轮子滚动的约束力偶称为滚动摩擦力偶。滚动摩擦力偶的转向与轮子的滚动趋势相反。图5-12图5-13与静滑动摩擦力的性质相似，滚动摩擦力偶矩随主动力的变化而变化，当主动力偶（FT、Ff）的力偶矩增大到一定值时，轮子处于将要滚动的临界平衡状态，滚动摩擦力偶矩Mf达到最大值Mfmax。由此可见，滚动摩擦力偶矩的大小在零到最大值之间，即

0≤Mf≤Mfmax

库仑根据大量实验与观察,得出如下结论：（1）

最大滚动摩擦力偶矩与滚子半径大小无关；（2）最大滚动摩擦力偶矩与滚子和支承面之间的正压力（法向反力）成正比，即

（5-5）

式（5-5）就是库仑滚动摩擦定律。式中δ称为滚动摩擦系数，简称滚阻系数，是一个具有长度量纲的系数，单位一般用mm。根据力的平移定理，可把法向正压力FN和滚阻力偶矩Mfmax合成一个力FN’,而滚阻系数就是这个力的作用线到滚子中心线的距离，如图5-13（d）所示，即滚动摩擦系数由实验测定，它与滚子和支承面的材料硬度、湿度等因素有关。表5-2为常用材料的滚动摩擦系数。

表5-2常用材料的滚动摩擦系数

思

考

题

5-1判断图示各机构是静定问题还是超静定问题，

杆件自重不计。

思考题5-1图

5-2摩擦力是否一定是阻力？

5-3试分析在平直的路面上正常行驶的汽车(如图所示)，其前、后轮的摩擦力方向及作用（后轮驱动）。

思考题5-3图

5-4物块重为W，放置在粗糙的水平面上，接触处的摩擦系数为fs，如图所示。要使物块沿水平面向右移动，图(a)、(b)两种施力方式，哪种比较省力。思考题5-4图

5-5如图所示，重为G的物块受力F作用，力F的作用线在摩擦角之外，已知α=25°，摩擦角φm=20°，问物块动不动？为什么？思考题5-5图

5-6如图所示为一重W＝100N的物块，在F=400N的作用下处于平衡，物块与墙壁间的静摩擦系数fs=0.3，求它与墙之间的摩擦力Ff。若物块与墙壁之间的摩擦系数fs=0.2，fs=0.15时，问在此情况下物块与墙壁之间的摩擦力Ff有多大？思考题5-6图

5-7求解有摩擦的平衡问题时，哪一类摩擦力的方向可以假设，哪一类问题不能假设，而必须正确判断其方向，为什么？

5-8如图所示，试比较两种同样材料，在相同表面粗糙度和相同带压力F的作用下，平带与Ｖ型带的最大静摩擦力哪个大？

思考题5-8图

习

题

5-1如图所示，重量为G的球夹在墙和匀质杆AB之间，AB杆重GAB=4G/3，长为l，AD=2l/3，已知G，α＝30°。求绳子BC的拉力和A铰链处的约束反力。题5-1图

5-2如图所示为汽车台秤简图，其中BEC为台面整体，杠杆AB可绕轴O转动，B、C、D均为铰链，杆DC处于水平位置。试求台秤平衡时砝码重量G1与汽车重量G2的关系。题5-2图

5-3重物的重量为G，杆AB、CD与滑轮联接如图所示，已知G，且α=45°，

不计滑轮的自重。

求支座A处的约束反力以及BC杆所受的力。

题5-3图

5-4

如题5-4图所示的构架中，DK的中点有一销钉E套在AC杆的导槽内，已知F、a。试求B、C两处的约束反力。

题5-4图

5-5如图所示，由杆AB、BC和CＥ组成的支架和滑轮Ｅ支持着重G=12kN的重物。试求固定铰链支座A和活动铰链支座B的约束反力以及杆BC所受的力（图中长度单位为ｍ）。

题5-5图

5-6

如题5-6图所示，由AC和CD构成的复合梁通过铰链C连接，已知均布载荷q=10kN／ｍ，力偶矩Ｍ=40kN·ｍ，不计梁重。试求支座A、B