概率专项题库

1.心理学家发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了

验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学，给

所有同学几何和代数各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答，

统计情况如下表：（单位：人）

几何题代数题总计

男同学22830

女同学81220

总计302050

（1）能否据此判断有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关？

（2）现从选择几何题的8名女生中任意抽取两人对他们的答题进行

研究，记甲、乙两名女生被抽到的人数为X,求x的分布列及数学期

望.附表及公式:

尸（片女。）0.150.100.050.0250.0100.0050.001

左02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

n^ad-bc^

k2

(a+Z?)(c+d)(a+c)(Z?+d)

答案】（1）有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关；（2）答

案见解析.

【解析】（1）由表中数据得片的观测值

K?_50x（22xl2-8x8）2

~5.556>5.024，・3分

-30x20x30x20

所以根据统计有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有

关.................5分

(2)由题可知X可能取值为0,1,2,..............................................6分

p（X=0）=",7分

''28

P（x=l）=£=}.................................................8分

Zo/

P（X=2）=—,9分

,）28

故X的分布列为:

X012

151

P2

28728

10分

E（X）=0x—+lx-+2x—=-12分

v'287282

2.某省高中男生身高统计调查数据显示：全省100000名男生的身高

服从正态分布N(170.5,16),现从某校高三年级男生中随机抽取50

名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于157.5cm和187.5cm

之间，将测量结果按如下方式分成6组：第一组［157.6,162.5),第二

组［162.5,167.5),…，第六组［182.5,187.5］,下图是按照上述分组方法得

到的频率分布直方图.

（1）求该学校高三年级男生的平均身高；

（2）求这50名男生中身高在177.5cm以上（含177.5cm）的人数；

（3）从这50名男生中身高在177.5cm以上（含177.5cm）的人中任意

抽取2人，该2中身高排名（从高到低）在全省前130名的人数记

为占,求&的数学期望.

（附：参考数据：若自服从正态分布N（〃，b2）,则

P（〃-CT〈宁〃+R=0.6826,尸（〃-2。＜氏〃+2。）=0,9544,

尸（〃-3。〈宁〃+3。）=0.9974.）

【答案】（1）171.5cm；（2）10A;（3）E&=T.

【解析】（1）由直方图可知该校高三年级男生平均身高为

160x0.1+165x0.2+170x0.3+175x0.2+180x0.1+185x0.1=171.5cm..............3

分

(2)由频率分布直方图知，后两组频率为0.2,人数为0.2x50=10,

即这50名男生身高在177.5cm以上(含177.5cm)的人数为10

人...............5分

(3),/PQ70.5-3x4<宁70.5+3x4)=0.9974,

1QQ74-

尸(自三182.5)=—；=0.0013,而0.0013x100000=130,.....................6

分

所以全省前130名的身高在182.5cm以上（含182.5cm），这50人中182.5cm

以上（含182.5cm）的有5人...............7分

随机变量J可取0,1,2,..................8分

[[

于是。（"0）=卷=[$尸(9)詈rr吟7S得5

••11分

E^=0x|+lx|+2x|=l....................12分

3.中华民族是一个传统文化丰富多彩的民族，各民族有许多优良的

传统习俗，如过大年吃饺子，元宵节吃汤圆，端午节吃粽子，中秋节

吃月饼等等，让人们感受到浓浓的节目味道，某家庭过大年时包有大

小和外观完全相同的肉馅饺子、蛋馅饺子和素馅饺子，一家4口人围

坐在桌旁吃年夜饭，当晚该家庭吃饺子时每盘中混放8个饺子，其中

肉馅饺子4个，蛋馅饺子和素馅饺子各2个，若在桌上上一盘饺子大

家共同吃，记每个人第1次夹起的饺子中肉馅饺子的个数为X,若每

个人各上一盘饺子,记4个人中第1次夹起的是肉馅饺子的人数为Y,

假设每个人都吃饺子，且每人每次都是随机地从盘中夹起饺子.

（1）求随机变量X的分布列；

（2）若X,y的数学期望分别记为£（x）、E（Y）,求

矶可+EX

【答案】（1）见解析；（2）4.

【解析】（1）随机变量X的可取值为0,1,2,3,41

分

C°C41

分

Mx=o）=罟，.............................2

fC：=16=8.

・•3分

或7035'

分

NX"*曾号T...........................4

WX-3-16、8

（）C；70355分

「4roi

（）

PX=4=V46分

故随机变量X的分布列为:

X01234

181881

P

7035353570

7分

(2)随机变量X服从超几何分布：.•.石(》)=蓼=2,................................9

分

随机变量丫〜.•.E（y）=4x1=2....................................................11

分

.,.£（X）+£（y）=2+2=4...................................................12分

4.某市举行“中学生诗词大赛”，分初赛和复赛两个阶段进行，规定:

初赛成绩大于90分的具有复赛资格，某校有800名学生参加了初赛,

所有学生的成绩均在区间(30［50］内，其频率分布直方图如图.

频率

(1)求获得复赛资格的人数；

(2)从初赛得分在区间(110,150］的参赛者中，利用分层抽样的方

法随机抽取7人参加学校座谈交流，那么从得分在区间(110,130］与

(130,150］各抽取多少人?

(3)从(2)抽取的7人中，选出3人参加全市座谈交流，设X表

示得分在区间(130,150］中参加全市座谈交流的人数，求X的分布

列及数学期望石(X).

【答案】(1)20；(2)5,2；(3)见解析.

【解析】(1)由题意知［90,110)之间的频率为：

1-20x(0.0025+0.005+0.0075x2+0.0125)=0.3,.........................2

分

0.3+(0.0125+0.0050)x20=0.65,

，获得参赛资格的人数为800x0.65=520..........................4分

(2)在区间(110,130］与(130,150］,0.0125:0.0050=5:2,

在区间(110,150］的参赛者中，利用分层抽样的方法随机抽取7人

分在区间(110,130］与(130,150］各抽取5人，2人.结果是5,

2.6分

(3)X的可能取值为0,1,2,则：....................7分

P（X=0）=粉g.......................8分

P（X=1）=詈=1........................9分

P（X=2）=攀=：;....................10分

故X的分布列为:

X012

2_

P

777

E（X）=0x—+lx—+2x—=一12分

7777

5.(本小题满分12分)

西成高铁的开通极大地方便了汉中人民的出行。开通之前必须

检测轨道中某新技术的三项不同的指标I、n、in是否合格。假设

该新技术的指标I、n、ni独立检测合格的概率分别为、I：,

332

指标I、II、HI检测合格分别记4分、2分、4分，若某项指标不合

格，则该项指标记0分，各项指标检测结果互不影响。

(1)求该新技术检测得8分的概率；

(2)记该新技术的三项指标中被检测合格的个数为随机变量f,

求f的分布列与数学期望。

is.解：(i)记“该新技术的三项指标i、n、in独立检测合

991

格”分别为事件4B,C,则〃G4)=a，P(由=&,P{C)=-,所以

。。乙

事件“该新技术检测得分为8分”可表示为/耳C

所以该新技术量化检测得分为8分的概率为

P(AB0=■(4)P®P(O=^X-X-=

332

4分

9

(2)(的所有可能取值为0,1,2,3.

由题意结合(1)知，P(4=0)=P(ABC)=T

7o'Xo~X~Z=--lo,

5分

、__,___।八2111211

P(zf=1)PzBCABC+ABC)XXXX

=(A=-J-。-乙+-。-。-乙+-。

115

x_x_=—

3218,

___2212111

P(W=2)=P(ABC+ABC+ABC)=-X-X-+-X-X-+-X

JJ乙。。乙。

—2*—1一4

32-9,

/、/-2212

P(9=3)=P(AB。=-X-X-=-8分

JJN»

所以随机变量4的分布列为

154211

所以“=°XW2X§+3Xf12

分

6.【2018天津卷16】已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工

人数分别为24,16,16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进

行睡眠时间的调查.

(I)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？

(II)若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，

现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.

(i)用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机

变量1的分布列与数学期望；

(ii)设/为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员

工，也有睡眠不足的员工”，求事件/发生的概率.

6.解：(I)解：由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之

比为3：2：2,由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，因此应从甲、

乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人.

(II)：随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.

P(岸k)(A=0,1,2,3).

所以，随机变量1的分布列为

11218

353535

随机变量万的数学期望E(X)=O1+1X||+2X||+3XU.

(ii)解：设事件夕为“抽取的3人中，睡眠充足的员工

有1人，睡眠不足的员工有2人”；事件。为“抽取的3人中，

睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人”，则在方UC,

且夕与。互斥，由(i)知，〃而=R>2),〃(0=R>1),故P(A);P(B

U0=〃(F2)+〃(F1)二，

所以，事件/发生的概率为》

7.树立和践行“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共

生”的理念越来越深入人心，已形成了全民自觉参与，造福百

姓的良性循环.据此，某网站推出了关于生态文明建设进展情况

的调查，调查数据表明，环境治理和保护问题仍是百姓最为关

心的热点，参与调查者中关注此问题的约占8。％.现从参与关注

生态文明建设的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄

分组：第1组［15,25),第2组［25,35),第3组［35,45),第4组［45,55),

第5组［55,65),得到的频率分布直方图如图所示.

⑴求这200人年龄的样本平均数(同一组数据用该区间的中

点值作代表)和中位数(精确到小数点后一位);

(2)现在要从年龄较小的第1,2组中用分层抽样的方法抽取5

人，再从这5人中随机抽取3人进行问卷调查，求这2组恰好抽到2

人的概率；

(3)若从所有参与调查的人(人数很多)中任意选出3人，设其

中关注环境治理和保护问题的人数为随机变量x,求x的分布列与数学

期望.

【解析】(1)^10x(0.010+0.015+a+0.030+0.010)=1,得a=0.035,

贝I平均数为20x0.1+30x0.15+40x0.35+50x0.3+60x0.1=41.5岁.

设中位数为X，贝1Jl°x0.010+10x0.015+(x-35)x0.035=0.5,故x«42.1.

(2)第1,2组抽取的人数分别为分3.

3

P(4)=----=—

设第2组中恰好抽取2人的事件为4,则牖5.

(3)从所有参与调查的人中任意选出1人，关注环境治理和保

护问题的概率为一己，

X的所有可能取值为0,1,2,3,

«4o114-I4n12

...=0)=或1一针=百，P(x=1)=既/1-靖二百，

所以X的分布列为:

,4、,八412

..X~B(3,R.EW=3x-=-

•°，・・°D,

8.某高.中随机抽取部分高一学生调查其上学路上所需的时间(单位：

分钟)，并将所得数据绘制成频率分布直方图(如图)，其中上学路

上所需时间的范围是[。，100],样本数据分组为

[0,20),[20,40),[40,60),[60,80),[80,100].

(1)求直方图中珀勺值；

(2)如果上学路上所需时间不少于1小时的学生可申请在学

校住宿，若招生1200名，请估计新生中有多少名学生可以申请住

宿；

(⑶从学校的高一学生中任选4名学生，这4名学生中上学

路上所需时间少于40分钟的人数记为x,求x的分布列和数学期

望.(以直方图中的频率作为概率)

【答案】(1)0.0025；(2)180；⑶见解析.

【解析】(1)由直方图可得20x(2x+0.005+0.0175+0.0225)=1.

・•・x=0.0025.

(2)新生上学所需时间不少于1小时的频率为：20x(0.005+0.0025)=0.15.

v1200x0.15=180,

二估计120咯新生中有180名学生可以申请住宿.

(3)x的可能取值为0,1,2,3,4.

由直方图可知，每位学生上学所需时间少于40分钟的概率为*

P(X=o)=(：)4=盘,p(x=1)==言，

P(X=2)=C；G)峙2=笠，P(X=3)=C：(1)3(1)=

p(x=4)=a=券

则X的分布列为:

X

01234

8121621696

P

625625625625625

"MTLIZ八81.4,216.r-216,96,.168

m=0x-+lx-+2x-+o3x-+4x-=-.

即X的额学期望为:

9..(河北省石家庄市2018届高中毕业班模拟考试)2022年北京

冬奥会的申办成功与“3亿人上冰雪”口号的提出，将冰雪这个冷

项目迅速炒“热”.北京某综合大学计划在一年级开设冰球课程,

为了解学生对冰球运动的兴趣，随机从该校一年级学生中抽取了

2

100人进行调查，其中女生中对冰球运动有兴趣的占5,而男生有

10人表示对冰球运动没有兴趣.

(1)完成下面的2X2列联表，并回答能否在犯错误的概率不

超过0.1的前提下认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”？

有兴趣没兴趣合计

男55

女

合计

（2）若将频率视为概率，现再从该校一年级全体学生中,

采用随机抽样的方法每次抽取1名学生，抽取5次，记被抽取的5

名学生中对冰球有兴趣的人数为兀若每次抽取的结果是相互独立

的，求x的分布列、期望和方差.

附表：

0.0.0.0.0.

P(K：—即)

150100050025010

2.2.3.5.6.

即

072706841024635

2n(ad-bc)2

八一八1、K=--------------------m=a+b+c+d.

参考公式：(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

【答案】（1）见解析；（2）见解析.

【解析】（D根据已知数据得到如下列联表:

闿

有兴趣没有兴趣合计

男451055

女301545

合计7525100

根据列联表中的数据，得到虻=1。及4%5110;30）2=*'3.030,

55x45x75x2533

K2«3.030>2,706,

所以能在犯错误的概率不超过0」的前提下可以认为“对冰球是否有兴趣与性别有关二

（2）由列联表中数据可知，对冰球有兴趣的学生频率是1，

4

将频率视为概率，即从大一学生中抽取一名学生，对冰球有兴趣的

概率是1，

4

由题意知》~8（5,当，从而乃的分布列为:

4

012345

1If9(27。405243

P

1。:4102410：4HL410：410.4

3153315

E(X)=^=5X-=7,=5X/(1十行

10.（安徽省“皖南八校”2018届高三第三次（4月）联考数学试

题）自2016年底，共享单车日渐火爆起来，逐渐融入大家的日

常生活中，某市针对18岁到80岁之间的不同年龄段的城市市民

使用共享单车情况进行了抽样调查，结果如下表所示：

别

年於、男性女性合计

C18.2S)18040220

[25,35)3€0240600

[35,50)40100140

[50.80)202040

合计6004001000

⑴采用分层抽样的方式从年龄在［25,35)内的人中抽取10人,

求其中男性、女性的使用人数各为多少？

(2)在(1)中选出10人中随机抽取4人，求其中恰有2人

是女性的概率；

(3)用样本估计总体，在全市18岁到80岁的市民中抽取

4人，其中男性使用的人数记为6,求珀勺分布列.

3

【答案】(1)男性、女性人数分别为6,4；(2)7；(3)见解析.

【解析】(D因为年龄在［25,35)的人中男性、女性的使用人数占总体的比例分别为皖=》

oOu3OvU

所以抽取的10人中男性、女性的人数分别为:xio=6.1xio=4.

(2)由题意知，在(1)中选出的10人中，女性使用者的人数为4,

所以4人中恰有2人是女性的概率为

(3)由题意知，出可能取值为0,123,4,

因为用样本估计总体，任取1人，是男性使用者的概率为翳=%

所以随机变量助艮从二项分布，即《~8(4$,

PG=0)=唠&=券P&=1)=c：G)飞＞=券P恁=2)=C怜哺2=缪

q3q21216A3281

p(f=3)=骗)3(铲==4)=以式1)n。=话

所以分布列为:

§01234

9621621681

625625625625

P16

625

11.随着手机的发展，“微信”越来越成为人们交流的一种方式.某机

构对“使用微信交流”的态度进行调查，随机抽取了5.0人，他们年

龄的频数分布及对“使用微信交流”的赞成人数如下表：

[I

年龄

15,2525,3535,4545,5555,65[65,7

(单位：岁)

)))))5)

频数CcJ

050

赞成人

rrNc1

数02

(1)若以“年龄45岁为分界点”，由以上统计数据完成下面

2x2列联表，并判断是否有99%的把握认为“使用微信交流”的态度

与人的年龄有关;

年龄不低于45岁年龄低于45岁的

的人数人数计

赞成

的人数

不赞

成的人数

合计

(2)若从年龄在［25,35)和［55,65)的被调查人中按照分层

抽样的方法选取6人进行追踪调查，并给予其中3人“红包”奖励,

求3人中至少有1人年龄在［55,65)的概率.

参考公式：K2=----------------------------------,"=a+,+c+d,

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

参考数据:

P(K2>1■0)

0.1000.0500.0100.001

k。2.7063.8416.63510.828

【解析】(1)根据条件得2x2列联表:

年龄不低于45岁的年龄低于45岁的4

人数人数计

赞成3

1027

的人数7

不赞1

103

成的人数3

合20305

计0

根据列联表所给的数据，计算得到底的观测值为

50x(10x3-27x10)2

«9.979>6.635.

20x30x37x13

所以有99%的把握认为“使用微信交流”的态度与人的年龄有

关.

（2）由分层抽样可知：

［55,65）（岁）抽取6*恐=2（人）；

［25,35）（岁）抽取6x券=4（人）.

年龄在［55,65）（岁）记为AB,年龄在［25,35）（岁）记为

a,b,c,d，则从6人中任取3人的所有情况为：（A5,Q）、（A民匕）、（45。）、

（A,3,d）、（A。,））、（A。,。）、（A6,c）、（A,b,d）、（Ac,d）、、

（abc）、（a,b,d）、（a,c,d）、（b,c,d）,共20种情况，

其中至少有一人年龄在［55,65）岁的情况有：

（A氏/?）、（A,B,c）＞（A氏d）、（A,a,c）、（A"c）、（A,b,d）、

（Ac,d）、、（昆Q,C）、（B,a,d）、（B,b,c）、（B,b,d）、（B,c,d）,共

16种情况.

记至少有一人年龄在［55,65）岁为事件A,则尸（4）='=?

故至少有一人年龄在［55,65）岁的概率为g.

12.（本小题满分12分）第23届冬季奥运会于2018年2月9

日至2月25日在韩国平昌举行，期间正值我市学校放寒假，寒假结

束后，某校工会对全校教职工在冬季奥运会期间每天收看比赛转播的

时间作了一次调查，得到如下频数分布表:

收

看时间

[0,1।口，21[2‘阪5)[5,6

（单位：

小时）

收12

143012

看人数680

（1）若将每天收看比赛转播时间不低于3小时的教职工定义

为“体育达人”，否则定义为“非体育达人”，请根据频数分布表补

全2x2列联表:

合

女

计

体育达

40

人

非体育

30

达人

合计

并判断能否有90%的把握认为该校教职工是否为“体育达人”

与“性别”有关；

(2)在全校“体育达人”中按性别分层抽样抽取6名，再从

这6名“体育达人”中选取2名作冬奥会知识讲座.记其中女职工的

人数为上求的4分布列与数学期望.

附表及公式:

产(眩22%)

.15.10.05.025.010.005.001

.072.706.841.024.635.8790.828

玄2队ad-be)

(a+3)(c+d)(a+c)(8+d)

19.(1)见解析；(2)见解析.

【解析】试题分析：(1)根据题意填写列联表，计算观测值,

对照临界值得出结论；

(2)由题意知抽取的6名“体育达人”中有4名男职工，2名女职

工，

所以J的可能取值为0,1,2.计算。概率值.得到自分布列与

数学期望.

试题解析：

(1)由题意得下表:

「男女合计

体育达人402060

非体育达人303060

合计7050120

120(1200-600)224

长的观测值为=——>2.706.

70x50x60x607

所以有90%的把握认为该校教职工是“体育达人”与“性别”

有关.

(2)由题意知抽取的6名“体育达人”中有4名男职工，2

名女职工，

所以J的可能取值为0,1,2.

且3)噌*小尸(『)=誓=*尸…嚏

1

15

所以4的分布列为

012

281

P

~51515

C2I8.1102

E（f）=0x—+lx—+2x——=——=—.

v751515153

13.针对国家提出的延迟退休方案，某机构进行了网上调查，

所有参与调查的人中，持“支持”、“保留”和“不支持”态度的人

数如下表所示:

一支持保留不支持

50岁以下800040002000

50岁以上（含50

100020003000

岁）

（1）在所有参与调查的人中，用分层抽样的方法抽取〃个人,

已知从持“不支持”态度的人中抽取了30人，求〃的值；

（2）在持“不支持”态度的人中，用分层抽样的方法抽取10人

看成一个总体，从这10人中任意选取3人，求50岁以下人数J的分布

列和期望；

（3）在接受调查的人中，有10人给这项活动打出的分数如下:

9.4,8.6,9.2,9.6,8.7,9.3,9.0,8.2,8.3,9.7,把这10个人打出

的分数看作一个总体，从中任取一个数，求该数与总体平均数之差的

绝对值超过0.6概率.

19.解：（1）参与调查的总人数为

8000+4000+2000+1000+2000+3000=20000,其中从持“不支持”态度

的人数2000+3000=5000中抽取了30人，所以〃=20000x^^=120.

(2)在持“不支持”态度的人中，50岁以下及50岁以上人数

之比为2:3,因此抽取的10人中，50岁以下与50岁以上人数分别为4

人，6人，J=0,1,2,3,

PC=O)=*=$PC=D=娶仁

5o°Jo/

C2cl3C31

0123

p£J_31

62To30

1131

瓦=0义—+lx—+2x——+3x—=1.2.

。621030

(3)总体的平均数为

-1

x=_(9.4+8.6+9.2+9.6+8.7+9.3+9.0+8.2+8.3+9.7)=9,

那么与总体平均数之差的绝对值超过0.6的数有8.2,8.3,9.7,

所以任取1个数与总体平均数之差的绝对值超过0.6的概率为

14..近年来，共享单车已经悄然进入了广大市民的日常生活,

并慢慢改变了人们的出行方式.为了更好地服务民众，某共享单车公

司在其官方APP中设置了用户评价反馈系统，以了解用户对车辆状况

和优惠活动的评价.现从评价系统中选出200条较为详细的评价信息

进行统计，车辆状况的优惠活动评价的2x2列联表如下:

对优惠活动对优惠活动

合计

好评不满意

对车辆状况

10030130

好评

对车辆状况

403070

不满意

合计14060200

(1)能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为优惠活动

好评与车辆状况好评之间有关系？

(2)为了回馈用户，公司通过APP向用户随机派送每张面额

为0元，1元，2元的三种骑行券.用户每次使用APP扫码用车后，都

可获得一张骑行券.用户骑行一次获得1元券，获得2元券的概率分别

是:，：，且各次获取骑行券的结果相互独立.若某用户一天使用了两

次该公司的共享单车，记该用户当天获得的骑行券面额之和为X,求

随机变量X的分布列和数学期望.

参考数据:

P(,K2>k)0.]50o.]00O.C50O.C250.(100.(05O.C

2.()722二063.8415.C246.((357/7910.

k

n(ad-bc)2

参考公式：K2=，其中〃=〃+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

18.t?:(1)由2x2列联表的数据，有

n(ad-bc)2200(3000-1200)2

k=

(a+b)(c+d)(a+c)(Z?+d)140x60x70x130

200xl8254000)。s”。

------------=------x8.48<10.828.

14x6x7x13637

因此，在犯错误的概率不超过0.001的前提下，不能认为优惠活

动好评与车辆状况好评有关系.

(2)由题意，可知一次骑行用户获得0元的概率为X的所

有可能取值分别为0，1，2,3,4.

3Q133

*/P(X=0)=(―)2=——，P(X=1)=C—X——，

10100~21010

P(X=2)=现义/夕=焉，P(X=3)=C；；x*,

1,1

尸(X=4)=q)2=石，

•••X的分布列为：

X01234

93371

P

100W100525

X的数学期望为EX=lx』+2x卫+3x'+4x1=L8（元）.

10100525

15.2018年6月14日，第二十一届世界杯足球赛将在俄罗斯

拉开帷幕.某地方体育台组织球迷对德国、西班牙、阿根廷、巴西四

支热门球队进行竞猜，每位球迷可从四支球队中选出一支球队，现有

三人参与竞猜.

(1)若三人中每个人可以选择任何一支球队，且选择每个球

队都是等可能的，求四支球队中恰好有两支球队有人选择的概率；

(2)若三人中有一名女球迷，假设女球迷选择德国队的概率

为［男球迷选择德国队的概率为g,记J为三人中选择德国队的人

数，求&的分布列和数学期望.

19.w：（l）设恰好有两支球队被人选择为事件A,由于三人

等可能的选择四支球队中的任意一支，有43种不同选择，

每种选择可能性相等，故恰好有两支球队被人选择有C；盘种不

同选择，

所以尸（A）=争e

416

由题知J=0,1,2,3,且尸(自=0)=］义(|)2=5，

13233811

9+-xC*x——x—=----1------=—,

3一55252525

_1„i232,3、2484134

「n抬/e=2)=—xC,x-x-+-(-)-=—+—=—,Pnz(Je=3)=—x(Z一)A2

3-55352575153575

JJ的分布列为

w0123

61141

P

23T375

XA1XH±X±=17

••E©=0++2X+3

2525157515

16.为建立健全国家学生体质健康监测评价机制，激励学生积极参加

身体锻炼，教育部印发《国家学生体质健康标准（2014年修订）》，

要求各学校每学期开展覆盖本校各年级学生的《标准》测试工作，并

根据学生每个学期总分评定等级.某校决定针对高中学生，每学期进

行一次体质健康测试，以下是小明同学六个学期体质健康测试的总分

情况.

学期X123456

总分y（分）512518523528534535

（1）请根据上表提供的数据，用相关系数r说明y与X的线性相关程度,

并用最小二乘法求出y关于X的线性回归方程（线性相关系数保留网位

小数）;

（2）在第六个学期测试中学校根据《标准》，划定540分以上为优

秀等级，已知小明所在的学习小组10个同学有6个被评定为优秀，

测试后同学们都知道了自己的总分但不知道别人的总分，小明随机的

给小组内4个同学打电话询问对方成绩，优秀的同学有x人，求x的分

布列和期望.

n

E（Xi-x）（y「y）

参考公式：6=-n------,a=y-6x;

2（玉-行

i=l

n

E&-x）（y「y）

1=1

相关系数rn；

2