复杂电力系统的潮流计算

第四章复杂电力系统的潮流计算

复杂电力系统是一个包括大量母线、支路的庞大系统。对这样的系统进行潮流分析时，采用第三章中

人工计算的方法已不适用。目前，随着计算机技术的发展，计算机算法已逐渐成为分析复杂系统潮流分布

的主要方法，其中包括建立数学模型、确定计算方法和编制计算程序三方面的内容。

本章主要讲述前两方面的自容，同时为了方便分析，针对计算机解法作如下规定：

⑴所有参数（功率、电压、电流、阻抗或导纳）都以标幺值表示；

⑵电力系统稳态运行时，可以把负荷作恒定功率处理，也可作恒定阻抗处理：

⑶所有电源（发电机、调用机、电力电容器等）均向母线注入功率（或电流），取正号；

⑷作恒定功率处理的负荷，均为从母线“吸取”功率，是向母线注入负的功率（或电流），取负号：

（5）母线总的注入功率（或电流）为电源注入功率（或电流）与负荷“吸取”功率（或电流）代数和；

（6）输电线路、变压器用n型等值电路表示。

第一节电力网络的数学模型

电力网络的数学模型是指将网络的有关参数和变量及其相互关系归纳起来所组成的、可反映网络性能

的数学方程组。电力网络属于线性网络，因此，电路理论中关于线性网络的分析方法也适用于分析电力

网络。目前.，普遍采用的有两种方法：一是节点电压法：二是回路电流法。

一、节点电压方程和回路电流方程

1.节点电压方程是依据基尔霍夫电流定律，通过节点导纳矩阵（或节点阻抗矩阵）反映节点电流与节

点电压之间关系的数学模型。

⑴用节点导纳矩阵描述的节点电压方程：

(4-1)

IB=YBUB

一般地，当网络中的独立节点数（即母线数）为n时，在式（47）中：IB=（/i,/2,-7,…

%），为节点注入电流的n维列向量；U=（（71,。2,

B…U.-），为节点电压列向量;

Y..Y12…Y,,…Ym

Y2IYE…Y2i…Y2n

为nxn阶节点导纳矩阵(4-2)

Yi!Y12…YH…Yin

由以上分析可知，对n母线电力系统有n个独立的节点电压方程式（以大地为参考节点）。

⑵用节点阻抗矩阵描述的节点电压方程：

将式（4-1）两边同乘YB"（前提为丫口的逆阵存在），则有产Ye，YBUBO又令YB^ZR为节

点阻抗矩阵，其表达

仍为nxn阶方阵(4-3)

则n母线系统的节点方程乂表示为:

UB=ZB

2.回路电流方程是依据基尔霍夫电压定律，通过回路阻抗矩阵Z,反映回路电流与回路电压之间关系

的数学模型，其方程式为：

(4-5)

若网络为n母线（即n个独立节点）系统，且等值电路有b条支路，则基本回路数即独立的回路方

程数为L=b-n0则在式（4-5）口：E,=（£u,En-Eu-Eu.）维回路型分列向量，它的

第i个元素良•是第i个回路所含电源电势的代数和，其中与回路电流的绕行方向相同的支路由势取正号:

反之取负号。回路中没有电源时则为零。

IL=（/i,h-h-为L维回路电旗列向量，其中每个元素为各自回路某一选定绕行方向

的电流向量。

Z22--Z2i

为LxL阶回路阻抗矩阵（4-6）

3.节点电压方程和回路电流方程的比较

两种方程在电力系统分析中都有应用，但各有优缺点，现从以下三个方面进行比较。

⑴从方程式的数目来说，我们希望方程式的数目越少越好。当网络的独立节点数为n,支路数为b

忖，节点电压方程数为n个，叵路电流方程数为L=b-n个。

当b>2n时，L>n；当b<2n时，L<n0在实际电力系统中，各母线之间的支路一般为变压器或输甩

线路。如果发电机、负荷、线路电容以及变压器的励磁支路等都用节点对地支路表示时，常有b>2n：但

有某些情况下，例如短路计算中常略去线路电容和变压器励磁支路，甚至略去负荷。这样支路数b大为减

少，可能出现b〈2n的情况。

⑵就状态变量来说，节点方程可以节点电压为状态变量，节点电流可以宜接由电源及负荷的情况确

定，旦节点导纳（或阻抗）矩阵的形成与修改，从后面的分析可以发现其优越性：节点电压方程中求解出

各母线电压后，支路电流、功率以及母线功率容易算出，而回路电流方程不具备此优点。

⑶应用回路电流方程要预先选定回路方向，使计算机程序设计复杂化，而节点电压方程无此缺点。

基于以上原因，目前的潮流分析计算一般多采用节点电压方程，本书中仅就节点电压法进行分析。

二、节点导纳矩阵的形成和修改

节点电压方程是依靠节点导纳（或阻抗）矩阵来建立节点电流与节点电压之间关系的，因此须先确定

节点导纳（或阻抗）矩阵。

1.节点导纳矩阵的形成

节点导纳矩阵如式（4-2）。其中对角元素匕（i=l,2,-n）称为节点i的自导纳；非对角元素

%（i,j=l,2,…n；iWj）称为互导纳。

（1）自导纳今

将式（4T）展开得：1-=£/九（i=h2…n）（4-7）

*=|

若在节点i加电压力,，其它节点都接地，即6片0（k=l,2…n,kWi）,贝ij：

七・。+・0+即i叱也

女=1k=M

■

所以匕=4.（4-8）

U,Uk=o,kHi

■

当S=1NO时，匕=4..=1,（4-9）

U；Uk=0,kWi；Ui=]Z0

①原有节点i的自导纳r,的增量△%=为；

②新增节点j的自导纳丫产力;

③新增的非对角元“=今=-力：其它新增的非对角元均为零。

⑵在原有网络的节点i与j之间增加一条导纳为力的支路，如图4-1(b)o则与i、j有关的元素应

作如下修改：

①节点i、j的自导纳增量4力=△丫。=”•：

②节点i与j之间的互导纳增量△Y--=△匕产-为:

⑶在网络的原有节点i、j之间切除一条导纳为先的支路，如图4-1(c),其相当于在i、j之间增

加一条导纳为-先的支路，因此与i、j有关的元素应作如下修改:

①节点i、j的自导纳增量4匕=△丫尸ytJ；

②节点i与j之间的互导纳增量△%=△丫7=%；

(4)原有网络节点i、j之间的导纳由先改变为力’，相当于在节点i、j之间切除一条导纳为先的支

路，再增加一条导纳为力’的支路，如图4T(d)o则与i、j有关的元素应作如下修改：

①节点i、j的自导纳增量△%=△〃・二加~));

②节点i与j之间的互导纳增量△4=z\y/力一%‘；

(a)

图4-1电力网络接线的改变

GO增加支路和节点;出)增加支路；(c)切除支路；(d)改变支路参数

⑸原有网络节点i、j之间变压器的变比由k.变为k・‘，即相当于切除一台变比为k・的变压器，再投

入一台变比为k；的变压器，k*=(U./Uii)/(UIB/UIIB),如图4-1(e)变压器n型等值电路,图中门为与

变压器原边基准电压对应的变压器导纳标幺值，则与i、j有关的元素应作如下修改:

①节点i的自导纳增量△%=()：节点j的自导纳增量尸(k：2-k\)y.：

②节点i与j之间的互导纳增量△丫/广(k*-k；)yT；

i(I侧)k»yT(II侧)j

♦i；----------o

(1-k»)yik*(k»-l)yr

图4T(e)改变变压器变比

三、节点阻抗矩阵的形成和修改——支路追加法

1.节点阻抗矩阵元素的物理意义

节点阻抗矩阵如式(4-3),其中对角元素Zjj(i=l,2-n)称为节点i的自阻抗：非对角元素Z,

(i、j=l,2…n；iWj),称为互阻抗。现讨论自阻抗和互阻抗的物理意义。

(1)自阻抗2

将式(4-4)展开得：力产宜Z次(i=l,2-n)(4-12)

i=l

若在节点i加注入电流［,而其它节点的注入电流均为零，即/：=0(k=l,2…n,kKi),则由式

••

(4-12)可知：U产Z”/,•

1/.

所以.(4-13)

Z4犯后i

•u.・

当/,=1NO时，Z,-=-^..=Ui(4-14)

/./人=0,kWi；/=1ZO

因此，自阻抗Z,,的物理意义是：在节点i加单位注入电流，而其它节点的注入电流均为零时，节点

i的电压0。

⑵互阻抗Z皿

若在节点j加注入电流.，而其它节点的注入电流均为零时，即［=0(k=l,2-n,kHj),则由

••

式(4-12)可知：Ui=Z..lj

II.

所以z..=二,(4-15)

/；4=o,kwj

・I)*

当，j=l/O时，Zq=二—♦,=Ui

/.4=0,kWj；/广1/0(4-16)

因此，互阻抗•的物理意义是：在节点j加单位注入电流.，而其它节点的注入电流均为零时，节

点i的电压（Z即是节点i与j之间的互阻抗。

依次在各节点单独注入电流，计算出网络中的电压分布，从而可求得阻抗矩阵的全部元素。由此可见,

节点阻抗矩阵元素的计算是相当复杂的，不可能从网络的接线图和支路参数直观的求出。另外，我们考虑

的电力网络一般是连通的，网络的各部分之间存在着电的或磁的联系。单独在某一点注入电流，网络中任

一独立节点均会出现电压，因此阻抗矩阵没有零元素，是一个满矩阵。乂根据线性电路的互易定理可知，

阻抗矩阵是对称矩阵。

2,用支路追加法形成节点阻抗矩阵

目前常用的求取节点阻抗矩阵的方法有两种：一是间接法，利用节点导纳矩阵求逆形成；二是直接法,

利用支路追加法由计算机白动形成。这里主要分析支路追加法。

支路追加法是将复杂网络分解，从简单到复杂。它根据网络拓朴的原理，将网络分解成树支与连支（具

体含义参阅电路原理课程）。从一条支路（指接地支路或与参考节点相连的支路）、一个节点（母线）开始,

逐步追加支路、节点而形成网络。在形成网络的过程中，根据节点阻抗矩阵元素的物理意义逐步形成相应

的阻抗矩阵。

以图4-2（a）所示网络为例，说明用支路追加法形成节点阻抗矩阵的过程。从图（b）〜图（h）为

一种追加顺序，每次追加一条支路，则依此顺序依次求出相应的节点阻抗矩阵。图（b）对应的节点阻抗

矩阵为一阶；在图（b）的节点1新增加一条树支形成图（c）,阻抗矩阵增加为二阶；在原有节点2与0

之间增加连支形成图（d）,矩阵阶数仍为二阶，但需修改图（c）矩阵的元素；从节点2引出一条树支，

新增加一个节点3形成图（e）,阻抗矩阵增加为三阶；从节点2增加一条树支，新增一节点4形成图（f）,

阻抗矩阵增加为四阶；在节点3和4之间增加一条连支形成图（g）,矩阵阶数仍为四阶，但需修改图（3

矩阵的元素；在（g）图中的原有节点4和0之间增加一条连支形成图（h）,矩阵阶数仍为四阶，但需作

再一次的修改，从而形成了整个网络的节点阻抗矩阵。

从上述追加过程可得出几点结论：

⑴直接利用自、互阻抗的物理意义形成节点阻抗矩阵：

图4-2支路追加法

⑵追加支路分两种形式：一是追加树支，增加新节点，阻抗矩阵需增加一阶；二是追加连支，不增

加新节点，矩阵阶数不变，但要对矩阵元素作修改；

⑶追加顺序是任意的，因此中间过程随追加顺序的不同而不同，但最后结果是唯一的，其间有一个

最佳顺序问题。

下面推导一般公式；

设原有无源网络已形成了P个节点的阻抗矩阵ZBP，即已知:

712Zu…ZIP

7.22…Z2i•*,Z2p

»••••••••

2i2Zii…Zip

（1）追加树支

现从节点i引出一条树支Z.q,新增加一个节

点q（见图4-3）,这时网络的节点阻抗矩阵将扩大图4-3追加树支

一阶，即由p阶变为p+l=q阶，设为Z»q,其形式

如下：

ZuZ12ZH•••ZIPZiq

Zzi

Zf4|=ZilZi2ZiiZipZiq

ZnZ12ZpiZivZW

其中第q行及第q列为新增的，现讨论阻抗矩阵中各元素的计算。在网络原有部分的任一节点

单独注入电流而其余节点的电流均为零时，由于支路人并无电流通过，因此该支路的引入并不会

改变网络原有部分的电流、电压分布，即阻抗矩阵方,中对应于网络原有部分的全部元素(即矩阵中虚

线左上方部分)将保持原有数值不变，即仍等于Z”中的对立元素。矩阵中新增的第q行和第q列

元素可以这样求得

①互阻抗心

网络原有部分的任一节点k单独注入电流.时，因人中无电流通过，则节点q的电压房等于节

点i的电压立，即立=在；而根据互阻抗的定义式(4-12)知："二Zq",&二Z.，所以有Zqkl二Z.

即Zqk=Zik(k=l,2…p)(4-17)

Zqk为第k行的互阻抗。又根据阻抗矩阵的对称性,ZBQ中第Q列的互阻抗ZkQ=ZQk(k=l,2-p)o

②自阻抗Zqq

由其定义可知，应等于节点q单独注入电流力时，节点q的电压总与力的比值，即方产立〃。

而立=6i+Ziqi；对于式中的电压金，由于从节点q注入电流1直接流入节点i,相当于节点i的注

入电流Z=i，而Zii="尸"•/1,所以立=z”[0

•••••

Uq=Zil/q+ZiqIq=(Zii+Ziq)Iq=ZqqIq

由此可得

Zqq=Zii+Ziq(4-18)

综上所述，当增加一条树支时，节点阻抗矩阵的原有部分保持不变，新增的一行(列)各非对角元素

分别与引出该树支的原有节点的对应行(列)各元素相同。而新增的对角元素则等于该树支的阻抗与引出

该树支的原有节点的自阻抗之和。特别地，如果节点i是参考节点(接地点)，则称新增支路为接地树支。

由于九三0,根据自阻抗和互阻抗的定义可知：

Zkq=Z<(k=0(k=l,2p)(4-19)

⑵追加连支

在已有的节点k和m之间追加-•条阻抗为Zk”的连支（如图4-4）,由于不增加新节点，因此节

点阻抗矩阵的阶次不变。如果原有各节点的注入电流不变,

连支Zkn的接入将改变网络中的电压分布，从而原有矩阵的

各元素要作相应的修改，具体修改方法阐述如下。

如果保持各节点的注入电流不变，连支的引入对网络原图4-4追加连支

有部分的影响就在于，把节点k和m的注入电流分别从乙和改变为（人-1km）和（/,“+1km）。

这时网络中任一节点i的电压可以利用原有的阻抗矩阵元素写出如下式：

Ui=Zill\+z(271+,,,+Zik(Ik-Ikm)+…+Zit,(/”?+Ikm)+…+ZipIp

=/ZjjIj-(ZIk-Zin)hm(4-20)

J=1

现在要设法将用原有的节点注入电流代替，就可以建立远各节点电压和节点注入电流的对应关系,

从而确定接入连支后节点阻抗矩阵的各元素。由于式（4-20）充•网络的任何节点都适用，现将它用于节点

《和m可得：

u^zkji-^kk-zjL①

六1

Um二工ZmjIj~(Zmk-Zmm)Ikm

又知Uk~Um=ZknIkm

将①、②式代入③式可得出：hm=--------------------------------------------£(Zkj-ZmIj

Zkk+Zkm-2Zk”i+Zktn；_|

将鼠的表达式代入式（4-20）,经整理得

(Zk—Zi,”)(Zkj—Z,”/)•P・

鼠£ZuIj

Zkk+Ztnnt-2Zb”+Zkm

J=>-7=1

—(Zik—Zi”i)(Zkj—Z"ij)

所以(i、j=l,2-p)(4-21)

Zkk+Zmm-2Zkm+Zkm

这就是追加连支ZM,后阻抗矩阵元素Z%与原有阻抗矩阵元素以及追加支路阻抗的关系式，用来

确定追加连支后的节点阻抗矩阵。特别地，如果追加连支所接的节点中，有一个是零电位，例如m

是接地点，即(L=0,则称此连支为接地连支。设其阻抗以产Z,。，则公式(4-21)变为(注意：此时，原

节点阻抗矩阵中无互阻抗Z«即Z加=0)。

Z、Zy

Z；-Zf.——'^―(4-22)

''+z,0

顺便指出，如果在节点k、m之间接入一条短路线(ZMO),则相当于k、m合为一个节点，根据式

(4-21)可知：

⑵-Z屹-Z.)

Z：=z_3_吧！(4-23)

7"Zk小Zg-ZZkm

另外，第k列和第m列的元素分别为：

(Zik-Zir.)(Zkk-Zdk)'

Zik=Zik-

Zkk+Znn_2Zk„

(Zlk-ZiB)(Zkn-Z...)r(4-24)

Zim=Zin--------------------------

Zkk+Zw_2Zkn

又由于k、m合为一点，因此其电压及注入电流分别相等，所以1ik=Z'in,根据互易定理，

Z'Ai=Z*=Z”这一关系说明，如果k、m两节点短接，第k行(列)和第m行(列)完全相同，因此可

以删去其中一个节点(k或m)对应的行和列，使矩阵降低一阶，其它元素的修改仍按式(4-23)进行。

由以上分析可见，追加连支的计算量大大超过追加树支的计算量，因此，在计算机形成节点阻抗矩阵

时，其速度主要取决于追加连支的计算速度。应合理安排追加支路的次序。一般第一步从接地树支开始，

尽可能在阶数低(节点少)时追加连支，以减少计算工作量。

利用支路追加法避免了矩阵求逆，同时能适应系统运行方式的改变，如果切除一条阻抗为Z”的线路

时，可利用原有矩阵追加一阻抗为-z”的连支(与Zij并联)对矩阵进行修改即可。

［例4-1］用支路追加法形成图中三母线系统的节点阻抗矩阵。各阻抗参数如下：Z产Z2=Z3=-j20,Zi=j2,

Zs=j4>Z«=j3o

解：(a)追加树支①，i=l

Zn=Zi=—j20

形成矩阵乙产［-j20］

(b)追加树支②，引入新节点j=2(接地树支)

____________③

Z”不变，Z12=Z2l=-j20,Z22=Z2=~j20Z4

形成矩阵1⑤3⑥2

-j200Z5Z6

ZB2=①Zi④Z3Z2②

o-j2o1y

0

(c)追加连支③，k=l,m=2

例4-1图

(Zu-Z12)(Zn-Z2I)(-120-0)(-J20-0)

Zu=Zu----------------------------=-j20-----------------------=-j9.47

ZH+Z22-2Z12+L\-j20-j20+j2

•：ZU-ZI2)(Z12-Z22)(-j20)(j20)

Z12=Z21=Z12--------------------------=0-----------------------=-jlO.53

Zu+Z22-2Z12+Z.I-j20-j20+j2

(Z2l-Z22)(Z12-Z22)(-j20)(j20)

Z22,=Z22----------------------------=-j20-------------------=-j9.47

Z11+Z22-2Z12+Z4-j20-j20+j2

修改矩阵-j9.47-J10.53

-jl0.53-j9.47

(d)追加树支④，尸3(接地树支)

Zn=-j9.47,Zi2=Z2i=-jlO.53,Z22=-j9.47,不变

Zia—Z31-Z23—Z32-O>Zns-Zj--j20

形成矩阵-j9.47-jlO.530

ZB产-jlO.53-J9.470

00-j20

(e)追加连支⑤，k=l,m=3

(Z.t-Z13)(Z”-Z3l)(-j9.47)J9.47)

Zu=Zu----------------------------=-j9.47-------------------------=-j5.59

ZH+Z33-2Z13+Z5-j9.47-j20+j4

(2u-Z13)(Z12-Z32)(~j9.47)(-jlO.53)

Z12=Z21=Z)2--------------------------=-j10.53----------------------=~j6.61

Zu+Z33-2Z13+Z5-j9.47-j20+j4

(Zn-Z13)(Z,3-Z33)(-j9.47)(j20)

Z13=Z31=Zu----------------------------=0---------------------=-j7.44

Z”+Z33-2Z13+Z5-j9.47-j20+j4

(Z2.-Z23)(Z12-ZQ(-jl0.53)(-jlO.53)

Z22'=Z22--------------------------=-j9.47---------------------------=-j5.12

ZH+Z33-2Z13+ZS-j9.47-j20+j4

(Z2l-Z23)(Z13-Z33)(-jlO.53)(j20)

Z23=Z32=Z23--------------------------=0-----------------------=-j8.27

Zn+Z33-2Zu+Z5-j9.47-j20+j4

(Z-Z)(Z-Z33)

3l3313(j20)(j20)

Z33=Z33-j4.30

Zu+Z33_2Zia+Zs-j9.47-j20+j4

修改矩阵-j5.59-j6.61-j7.44

ZB3=-j6.61-j5.12-j8.27

-j7.44-j8.27-j<30

（f）追加连支⑥，k=2,m=3

(Z12~Zl3)(Z2I-Z31)(-j6.61+j7.44)(-j6.61+j7.44)

Zu=Zu-------------------------------=-j5.59---------------------------------------=-j6.02

Z22+Z33-2Z23+Z6-j5.12-j4.30-2(-j8.27)+j3

(ZI2-Zi3)(Z22-Z32)(-j6.61+j7.44)(-j5.12+j8.27)

Z12'=Z21,=Z12----------------------------=-j6.61-------------------------------------=-j6.87

Z22+Z33-2Z23+Z6-j5.12-j4.30-2(-j8.27)+j3

(Z12-Zu)(Z23-Z33)(-j6.61+j7.44)(-j8.27+j4.30)

Zi3'-Z3i'-Z13-----------------------------j7.44----------------------------------------J7.11

Z22+Z33-2Z23+Z6-j5.12-j4.30-2(-j8.27)+j3

(Z22-Z23)(Z22-Z32)(-j5.12+j8.27)(-j5.12+j8.27)

Z22'=Z22---------------------------=75.12-------------------------------------------=-j6.10

Z22+Z33-2Z23+Z6-j5.12-j4.30-2(-j8.27)+j3

(Z22-Z23)(Z23-Z33)(-j5.12+j8.27)(-j8.27+j4.30)

Z23'=Z32'=Z23----------------------------------------=-j8.27-----------------------------------------="j7.03

Z22+Z33-2Z23+Z6-j5.12-j4.30-2(-j8.27)+j3

(Z32-Z33)(Z23-Z33)(-j8.27+j4.30)(-j8.27+j4.30)

Z33-Z33----------------------------------------J4.30--------------------------------------------j5.86

Z22+Z33-2Z〃+Z6-j5.12-j4.30-2(-j8.27)+j3

例47图的节点阻抗矩阵

-j6.02-j6.87-j7.11

-j6.87-j6.10-j7.03

-j7.11-j7.03-j5.86

第二节功率方程和变量节点的分类

一、功率方程

前面已知节点电压方程为L=Y或。在建立了节点导纳矩阵/后，如心或L已知，则方程可解。由第

三章可知，在工程计算中L,是未知的，U,中的元素大多数也未知，因此无法直接应用公式（4-1）进行求

解。电力系统分析计算中常以节点注入功率8代替电流L（S”为节点注入功率的列向量）。根据复功率的

Si9

定义SB=U所以刀=o对应有In,所以节点电压方程为YMB=-,从而将各节点的

.UB

UiB

s

注入功率W引入了节点电压方程。参照式(4-1),将YRUB二展开可得功率方程的一般形式为:

VB

(i=l,2,•••,n)(4-25)

Ui

1.以下面两端供电网络为例，分析功率方程的展开式

U\Ui

SG2

SD\Si)2

(a)简单系统(b)等值网络

图4-5简单系统及其等值网络

如图4-5所示两端供电网络,节点1、2的注入功率为

SI=SGI-SD\=(PGI-PDI)+j(QGI-QJ))

S2=SG2-SI)2=(PG2-PM)+j(QG?-QM)(4-26)

从而可知节点1、2的注入电流为

Si

Ui

*

(4-27)

U2

网络的节点导纳矩阵元素

Yll=y10+y12=丫2(>+丫21=丫22Y)2=Y2i=-yi2

从而网络的节点电压方程为

①为简略计，以.表示列向量自占.年

i/iUiU„

Si•••

—=/i=YuUi+Y122

U1>

\•••

匚—=/2=Y21s+Y22t/z(4-28)

U2

可得Si=UiYuU^UiYnUi=^Kii+L/iUiYn

A

82=62Aii+62Y22Ui=u：y22+Ji62n.(4-29)

*-X

Jd2

如设日产如d；U2=U2e；匕=%=泪，*J；匕2=hl=yJK”)(均为极坐标

形式)，并将它们代入式(4-29)展开，将有功功率、无功功率分别列出，可得

P尸POLPDF{UJsinas+yJhUsinK6r62)-an]"

P2=P..2-PD2=ysU22sina+yUUisin[(88,)-a„]

sn2r、

2

Qi=Q>；i-QDi=ysUicosas-ynU]U2cos[(8r62)-a„](4-30)

Q尸Q；；一金2=y$U22cosas-ynU2UiCOS[(8j-8j)-a„]>

这就是图4-5(a)简单系统的功率方程。

2.功率力程的特点

(1)由式(4-30)可见，功率方程是反应节点注入功率和节点电压之间关系的数学模型，是关于U和

6的非线性方程组，一般无法用解析法求解.，应立足于迭代求解。

⑵将式(4-30)的第一、二式相加，第三、四式相加，可得这个系统的有功功率、无功功率平衡关

系：

22

Pcl+PG2=PDi+P.e+ys(U,+U2)Sinas-2y„U1U2cos(6「62)sina>

>>

22

Q.i+Q,「Qui+Quz+y3(Ui+U2)cosa8-2yliU1U2cos(S1-S2)cosa"-(4-31)

两等式右边第三项、第四项为系统的有功功率损耗4P、无功功率损耗

22

△P=ys(Ui+U2)sina「2ymUiU2cos(6厂62)sina“、

尸

22

△Q=ys(Ui+U2)cosas-2ynU]U2cos(6]-62)cosa„一

⑶在功率方程中，母线电压的相位角以6*6的形式出现，即决定功率大小的是相对角而不是

绝对角，因此在所有电压相量”中，应选定一个电压参考相量。

⑷四个方程中，除去网络参数y，、y”、asxa”外共十二个变量，它们分别是：

负荷消耗的有功、无功功率一一Pm、PmQDHQm;

电源发出的有功、无功功率——PG】、PG2、如、@2：

母线或节点电压的大小和相位角一一口、“、储、8?。

因此，除非已知或给定其中的八个变量，否则无法求解，即为n母线系统将会列出2n个方程，但变

量有6n个。必须根据运行条件，给定其中6n-2n=4n个变量才可解方程。

二、变量的分类

1.变量的分类：前面分析已知，为了使功率方程有解，必须要给定某些变量，而其余变量作为未知量。

给定哪些变量才合理呢？这首先要求我们要了解变量的性质。实际变量按控制理论可分为三类：不可控变

量、可控变量和状态变量。

（1）不可控变量d

对电力系统来说是指无法由运行方面来控制的变量。这里指负荷消耗的有功PD、无功功率金。它们取

决于用户，对系统来说是随机的，又叫扰动变量。它们的变化将引起系统运行状态的变化。一般可根据运

行经验或预测做出估计，作为已知量给定。对n母线系统共有2n个不可控变量,即d=（%、Q”、PmQ*…

?0n、Qlin）o

⑵控制变量u

可由运行人员根据需要来决定或改变的变量，这里指电源发出的有功Ph无功功率Q；。对n母线系统

r

共有2n个控制变量,在方程组中一般起自变量的作用,u=0、QGI>PG2、拆2、…Pg、Qc.）o

（3）状态变量x

能描述和确定系统运行状态的变量。这里指各母线电压的大小U及相角6。它们是受系统的控制变量

所控制的因变量，其中电压u主要受无功功率@的控制；相角6主要受有功功率R.的控制。对n母线系

统共有2n个状态变量，x=统I、统U2、凡、…Un、6n）\

2.功率方程给定变量的调整

对变量作如上分类后，似乎只要已知扰动变量和控制变量，就可以运用功率方程（4-25）求解出状态

变量，其实不然。因为在上述功率方程中，母线（节点）电压的相位角以相对值出现，以致使当3、&

已发生变化，但不变时，功率的数值不变，从而不能用它们求取绝对相位角'、52,当然还有其

它原因，如功率损耗与相对角的关系等。

为克服以上困难，可对变量的给定稍作调整：

（1）在具有n个节点的系统中，只给定（nT）对控制变量几、Qw余下一对控制变量PG$、嬴s待定，由这

一对控制变量维持系统功率平衡。

⑵指定某节点的电压相量为基准相，一般取与1%、QRN相同的节点，即6kIUNbRN0（U；也可按实

际需要取1附近的某一值）。

⑶给定所有的不可控变量%、QK

3.变量的约束条件

在已知了以上4n个变量后，就可根据2n个功率方程解