人教版高中数学精讲精练必修一5.3 诱导公式（精讲）（含答案及解析）

5.3诱导公式（精讲）诱导公式公式终边关系图示公式公式二角π＋α与角α的终边关于原点对称sin(π＋α)＝－sinαcos(π＋α)＝－cosαtan(π＋α)＝tanα公式三角－α与角α的终边关于x轴对称sin(－α)＝－sinαcos(－α)＝cosαtan(－α)＝－tanα公式四角π－α与角α的终边关于eq\a\vs4\al(y)轴对称sin(π－α)＝sinαcos(π－α)＝－cosαtan(π－α)＝－tanα公式五公式六记忆口诀：可概括为“奇变偶不变，符号看象限”：①“变”与“不变”是针对互余关系的函数名而言的，正弦变余弦、余弦变正弦．②“奇”“偶”是对k·eq\f(π,2)±α(k∈Z)中的整数k来讲的．③“象限”指k·eq\f(π,2)±α(k∈Z)中，将α看成锐角时，k·eq\f(π,2)±α(k∈Z)所在的象限，根据“一全正，二正弦，三正切，四一．利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤(1)“负化正”：用公式一或三来转化.(2)“大化小”：用公式一将角化为0°到360°间的角.(3)“小化锐”：用公式二或四将大于90°的角转化为锐角.(4)“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值.二．三角函数式化简的常用方法(1)合理转化：①将角化成2kπ±α，π±α，k∈Z的形式.②依据所给式子合理选用诱导公式将所给角的三角函数转化为角α的三角函数.(2)切化弦：一般需将表达式中的切函数转化为弦函数.三．诱导公式综合应用要“三看”一看角：①化大为小；②看角与角间的联系，可通过相加、相减分析两角的关系．二看函数名称：一般是弦切互化．三看式子结构：通过分析式子，选择合适的方法，如分式可对分子分母同乘一个式子变形，平方和差、立方和差公式．考点一给角求值问题【例1】（2023·广东肇庆）求下列各式的值．(1)；(2)；(3)．（4）；（5）.【一隅三反】1．（2023秋·新疆塔城）的值是（

）A． B． C． D．2．（2022秋·浙江金华·高一校考阶段练习）已知角的终边经过点，则（

）A． B． C． D．3．（2023春·海南省直辖县级单位·高一校考期中）.求下列各值.(1)；(2)；(3)；(4)(5)；(6)；(7)．考点二化简求值问题【例2】（2023秋·高一课时练习）已知的终边与单位圆交于点，且为第二象限角，试求的值．【一隅三反】1．（2023秋·高一课时练习）已知，且为第三象限角．求的值．2．（2023秋·高一课时练习）已知，且为第二象限角,，则的值为（

）A．－ B．－C． D．－3．（2023春·陕西西安）已知函数（且）的图像过定点，且角的始边与轴的正半轴重合，终边过点，则等于（

）A． B． C． D．考点三给值(或式)求值问题【例3-1】（2023秋·高一课时练习）已知，则的值为（

）A． B．C． D．【例3-2】（2023春·四川眉山·高一校考阶段练习）若=，则等于（

）A． B． C． D．【例3-3】（2023秋·浙江嘉兴）已知，且，则（

）A． B． C． D．【一隅三反】1．（2023·全国·高三专题练习）已知，则的值等于（

）A． B． C． D．2．（2023秋·山东德州）已知，则等于．3．（2023春·上海嘉定·高一校考期中）已知，则的值为；考点四利用诱导公式证明恒等式【例4】（2022·高一课时练习）求证：．【一隅三反】1．（2023云南）求证：.2．（2023·高一课时练习）求证：．3．（2023·全国·高一假期作业）求证：＝．4．（2023北京）（1）求证：；（2）设，求证.

5.3诱导公式（精讲）诱导公式公式终边关系图示公式公式二角π＋α与角α的终边关于原点对称sin(π＋α)＝－sinαcos(π＋α)＝－cosαtan(π＋α)＝tanα公式三角－α与角α的终边关于x轴对称sin(－α)＝－sinαcos(－α)＝cosαtan(－α)＝－tanα公式四角π－α与角α的终边关于eq\a\vs4\al(y)轴对称sin(π－α)＝sinαcos(π－α)＝－cosαtan(π－α)＝－tanα公式五公式六记忆口诀：可概括为“奇变偶不变，符号看象限”：①“变”与“不变”是针对互余关系的函数名而言的，正弦变余弦、余弦变正弦．②“奇”“偶”是对k·eq\f(π,2)±α(k∈Z)中的整数k来讲的．③“象限”指k·eq\f(π,2)±α(k∈Z)中，将α看成锐角时，k·eq\f(π,2)±α(k∈Z)所在的象限，根据“一全正，二正弦，三正切，四一．利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤(1)“负化正”：用公式一或三来转化.(2)“大化小”：用公式一将角化为0°到360°间的角.(3)“小化锐”：用公式二或四将大于90°的角转化为锐角.(4)“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值.二．三角函数式化简的常用方法(1)合理转化：①将角化成2kπ±α，π±α，k∈Z的形式.②依据所给式子合理选用诱导公式将所给角的三角函数转化为角α的三角函数.(2)切化弦：一般需将表达式中的切函数转化为弦函数.三．诱导公式综合应用要“三看”一看角：①化大为小；②看角与角间的联系，可通过相加、相减分析两角的关系．二看函数名称：一般是弦切互化．三看式子结构：通过分析式子，选择合适的方法，如分式可对分子分母同乘一个式子变形，平方和差、立方和差公式．考点一给角求值问题【例1】（2023·广东肇庆）求下列各式的值．(1)；(2)；(3)．（4）；（5）.【答案】(1)(2)(3)（4）；（5）【解析】（1）．（2）．（3）（4）.（5）原式.【一隅三反】1．（2023秋·新疆塔城）的值是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】.故选：A.2．（2022秋·浙江金华·高一校考阶段练习）已知角的终边经过点，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由三角函数的定义可得，则.故选：D3．（2023春·海南省直辖县级单位·高一校考期中）.求下列各值.(1)；(2)；(3)；(4)(5)；(6)；(7)．【答案】(1)；(2)；(3)；(4)(5)(6)(7)1【解析】（1）；（2）；（3）；（4）.（5）．（6）.（7）．考点二化简求值问题【例2】（2023秋·高一课时练习）已知的终边与单位圆交于点，且为第二象限角，试求的值．【答案】【解析】由题意得，解得，因为为第二象限角，可得，所以，所以，所以.【一隅三反】1．（2023秋·高一课时练习）已知，且为第三象限角．求的值．【答案】【解析】.2．（2023秋·高一课时练习）已知，且为第二象限角,，则的值为（

）A．－ B．－C． D．－【答案】C【解析】因为，且为第二象限角，所以，则故选:C.3．（2023春·陕西西安）已知函数（且）的图像过定点，且角的始边与轴的正半轴重合，终边过点，则等于（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】

又因为，，，故原式=;又过定点,所以，代入原式得原式=.故选：考点三给值(或式)求值问题【例3-1】（2023秋·高一课时练习）已知，则的值为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由，可得，则.故选：D.【例3-2】（2023春·四川眉山·高一校考阶段练习）若=，则等于（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】故选：D.【例3-3】（2023秋·浙江嘉兴）已知，且，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，所以，又，所以故选：D【一隅三反】1．（2023·全国·高三专题练习）已知，则的值等于（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为.故选：B.2．（2023秋·山东德州）已知，则等于．【答案】/【解析】.故答案为：3．（2023春·上海嘉定·高一校考期中）已知，则的值为；【答案】【解析】，，，，.故答案为：.考点四利用诱导公式证明恒等式【例4】（2022·高一课时练习）求证：．【答案】证明见解析【解析】证明：左边=右边，所以原式成立．【一隅三反】1．（2023云南）求证：.【答案】证明见解析【解析】证明：左边==右边所以原等式成立2．（2023·高一课时练习）求证：．【答案】证明见解析.【解析】左边==–tanα=右边，∴等