人教版高中数学精讲精练必修一2.3 二次函数与一元二次方程、不等式（精讲）（含答案及解析）

2.3二次函数与一元二次方程、不等式（精讲）一.一元二次不等式的概念一元二次不等式定义只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式一般形式ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a，b，c均为常数，a≠0解集ax2＋bx＋c>0(a≠0)解集是使y＝ax2＋bx＋c的函数值为正数的自变量x的取值集合ax2＋bx＋c<0(a≠0)解集是使y＝ax2＋bx＋c的函数值为负数的自变量x的取值集合ax2＋bx＋c≥0(a≠0)解集是使y＝ax2＋bx＋c的函数值大于或等于0的自变量x的取值集合ax2＋bx＋c≤0(a≠0)解集是使y＝ax2＋bx＋c的函数值小于或等于0的自变量x的取值集合注意事项：（1）一元二次不等式中的“一元”是指不等式中所要求解的未知数，并且这个未知数是唯一的，但这并不意味着不等式中不能含有其他字母，若含有其他字母，则把其他字母看成常数.(2)一元二次不等式中的“二次”是指所要求解的未知数的最高次数必须是2，且最高次项的系数不为0.二.“三个二次”的关系Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有两个不相等的实根x1，x2，且x1<x2有两个相等的实数根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)没有实数根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集{x|x<x1或x>x2}eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≠－\f(b,2a)))))Rax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}∅∅一元二次不等式的解法一元二次不等式，a为正值来定形；对应方程根求好，心中想想抛物线；大于异根取两边，小于异根夹中间；大于等根根去掉，小于等根空集成；大于无根取全体，小于无根不可能！注意事项：“大于”“小于”指的是当二次项系数转化为正数后的不等号．因此，为了避免出现错误，在求解一元二次不等式时，通常是将二次项系数变为正数(即将不等式两边同时乘以－1，不等号也随之改变方向)．四.一元二次不等式恒成立问题1.当未说明不等式为一元二次不等式时，有①不等式ax2＋bx＋c>0对任意实数x恒成立⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝b＝0，,c>0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ<0；))②不等式ax2＋bx＋c<0对任意实数x恒成立⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝b＝0，,c<0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0，,Δ<0.))2.一元二次不等式ax2＋bx＋c>0在x∈{x|m≤x≤n}时恒成立，等价于当m≤x≤n时，函数y＝ax2＋bx＋c的图象恒在x轴的上方，而非等价于eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ<0.))3.分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题.一．解不含参数的一元二次不等式的方法1.若不等式对应的一元二次方程能够分解因式，即能够转化为两个一次因式的乘积形式，则可以直接由因式分解法或不等式的性质得到不等式的解集.2.若不等式对应的一元二次方程不能分解因式，则可对式子进行配方，化为完全平方式，再开根号求解.二．解含参数的一元二次不等式的方法1.讨论二次项系数：二次项系数若含有参数，应讨论是小于0，还是大于0，若小于0，则将不等式转化为二次项系数为正的形式；2.判断方程的个数：判断方程根的个数，讨论判别式Δ与0的关系；3.写出解集：确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式注意事项：对应方程的根优先考虑用因式分解确定，分解不开时再求判别式Δ，用求根公式计算．考点一解不含参数的一元二次不等式【例1】（2023·湖南）解下列不等式：(1)(2)(3)(4)【一隅三反】（2023·内蒙古赤峰）解下列不等式：；(2)；(3)；(4)(5)(6)(7)；(8)；(9)；(10).考点二解含参数的一元二次不等式【例2-1】（2023·河北）解下列关于的不等式【例2-2】（2023·安徽）解关于x的不等式.【例2-3】（2023·广东深圳）解关于x的不等式.【例2-4】（2023·湖南长沙）若关于x的不等式只有一个整数解，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【一隅三反】1．（2022秋·四川阿坝·高一校考期中）关于x的不等式的解集中恰有2个整数，则实数a的取值范围（

）A． B．C． D．2．（2023·江苏·高一假期作业）解关于x的不等式3．（2023·全国·高一专题练习）解下列关于的不等式．4．（2023·上海）解关于的不等式.考点三三个“二次”之间的关系【例3-1】（2023春·河南）已知，且，关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为（

）A． B．C． D．【一隅三反】1．（2023·全国·高一假期作业）若一元二次不等式的解集是，则一元二次不等式的解集是（

）A． B．C． D．2．（2023·湖南）若不等式的解集为，则函数的图象与x轴的交点为（）A．和 B．C． D．和3．（2022秋·天津）已知不等式和不等式的解集相同，则实数的值分别为（

）A． B．C． D．考点四一元二次不等式恒成立【例4-1】（2023贵州省安顺市）若命题“，”是假命题，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【例4-2】（2023·云南红河）不等式对恒成立，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．【例4-3】（2023·河南）若不等式对于恒成立，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【一隅三反】1．（2023·广东肇庆·高一广东肇庆中学校考期中）若命题“”为真命题，则实数a的取值范围是（）A． B． C． D．2．（2023·西藏）命题，使得成立.若是假命题，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．3．（2022秋·高一校考单元测试）任意，使得不等式恒成立.则实数取值范围是（

）A． B． C． D．4．（2023春·湖南长沙·高一长沙市明德中学校考期中）若，使得不等式成立，则实数的取值范围（

）A． B． C． D．考点五一元二次不等式的实际应用【例5】（2022秋·江苏连云港·高一校考阶段练习）汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故的一个重要因素．在一个限速50km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相撞了．事后现场勘查测得甲车的刹车距离小于12m，乙车的刹车距离略超过10m，又知甲、乙两种车的刹车距离s（单位：m）与车速x（单位：km/h）之间分别有如下关系：，，问：甲、乙两车有无超速现象？【一隅三反】1．（2023·陕西）某小型服装厂生产一种风衣，日销售量x（件）与单价P（元）之间的关系为，生产x件所需成本为C（元），其中元，若要求每天获利不少于1300元，则日销量x的取值范围是（

）A．20≤x≤30 B．20≤x≤45C．15≤x≤30 D．15≤x≤452．（2023·浙江温州）某种汽车在水泥路面上的刹车距离（单位：）和汽车刹车前的车速（单位：）之间有如下关系：，在一次交通事故中，测得这种车刹车距离大于40，则这辆汽车刹车前的车速至少为（

）（精确到1）A．76 B．77 C．78 D．803．（2022秋·天津滨海新·高一校考期中）某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入．则这批台灯的销售单价x（单位：元）的取值范围是（

）A． B．C． D．考点六根的分布【例6】（2023·湖北）关于的方程满足下列条件，求的取值范围．(1)有两个正根；(2)一个根大于，一个根小于；(3)一个根在内，另一个根在内；(4)一个根小于，一个根大于；(5)两个根都在内．【一隅三反】1．（2023·江苏南京）（多选）设为实数，已知关于的方程，则下列说法正确的是（

）A．当时，方程的两个实数根之和为0B．方程无实数根的一个必要条件是C．方程有两个不相等的正根的充要条件是D．方程有一个正根和一个负根的充要条件是2．（2022秋·湖北武汉·高一校考期中）已知一元二次方程．(1)写出“方程有一个正根和一个负根”的充要条件；(2)写出“方程有一个正根和一个负根”的一个必要而不充分条件，并给予证明．3．（2022秋·江西·高一统考阶段练习）若关于x的不等式的解集为．(1)当时，求的值；(2)若，，求的值；(3)在（2）的条件下，求的最小值．

2.3二次函数与一元二次方程、不等式（精讲）一.一元二次不等式的概念一元二次不等式定义只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式一般形式ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a，b，c均为常数，a≠0解集ax2＋bx＋c>0(a≠0)解集是使y＝ax2＋bx＋c的函数值为正数的自变量x的取值集合ax2＋bx＋c<0(a≠0)解集是使y＝ax2＋bx＋c的函数值为负数的自变量x的取值集合ax2＋bx＋c≥0(a≠0)解集是使y＝ax2＋bx＋c的函数值大于或等于0的自变量x的取值集合ax2＋bx＋c≤0(a≠0)解集是使y＝ax2＋bx＋c的函数值小于或等于0的自变量x的取值集合注意事项：（1）一元二次不等式中的“一元”是指不等式中所要求解的未知数，并且这个未知数是唯一的，但这并不意味着不等式中不能含有其他字母，若含有其他字母，则把其他字母看成常数.(2)一元二次不等式中的“二次”是指所要求解的未知数的最高次数必须是2，且最高次项的系数不为0.二.“三个二次”的关系Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有两个不相等的实根x1，x2，且x1<x2有两个相等的实数根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)没有实数根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集{x|x<x1或x>x2}eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≠－\f(b,2a)))))Rax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}∅∅一元二次不等式的解法一元二次不等式，a为正值来定形；对应方程根求好，心中想想抛物线；大于异根取两边，小于异根夹中间；大于等根根去掉，小于等根空集成；大于无根取全体，小于无根不可能！注意事项：“大于”“小于”指的是当二次项系数转化为正数后的不等号．因此，为了避免出现错误，在求解一元二次不等式时，通常是将二次项系数变为正数(即将不等式两边同时乘以－1，不等号也随之改变方向)．四.一元二次不等式恒成立问题1.当未说明不等式为一元二次不等式时，有①不等式ax2＋bx＋c>0对任意实数x恒成立⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝b＝0，,c>0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ<0；))②不等式ax2＋bx＋c<0对任意实数x恒成立⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝b＝0，,c<0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0，,Δ<0.))2.一元二次不等式ax2＋bx＋c>0在x∈{x|m≤x≤n}时恒成立，等价于当m≤x≤n时，函数y＝ax2＋bx＋c的图象恒在x轴的上方，而非等价于eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ<0.))3.分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题.一．解不含参数的一元二次不等式的方法1.若不等式对应的一元二次方程能够分解因式，即能够转化为两个一次因式的乘积形式，则可以直接由因式分解法或不等式的性质得到不等式的解集.2.若不等式对应的一元二次方程不能分解因式，则可对式子进行配方，化为完全平方式，再开根号求解.二．解含参数的一元二次不等式的方法1.讨论二次项系数：二次项系数若含有参数，应讨论是小于0，还是大于0，若小于0，则将不等式转化为二次项系数为正的形式；2.判断方程的个数：判断方程根的个数，讨论判别式Δ与0的关系；3.写出解集：确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式注意事项：对应方程的根优先考虑用因式分解确定，分解不开时再求判别式Δ，用求根公式计算．考点一解不含参数的一元二次不等式【例1】（2023·湖南）解下列不等式：(1)(2)(3)(4)【答案】(1)(2).(3)(4)【解析】（1），即，配方可得，解得（2），即，解得；（3），即，而，从而不等式无解，即解集为；（4）且同时成立.由解得，由，即，解得.于是【一隅三反】（2023·内蒙古赤峰）解下列不等式：；(2)；(3)；(4)(5)(6)(7)；(8)；(9)；(10).【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)【解析】（1），，，即不等式的解集为；，，解得或；即不等式的解集为；（3），或解得，即不等式的解集为；（4），整理得，解得，即不等式的解集为.（5）由可得，所以或，即解集为；（6）由可得，所以，即解集为；（7）可化为，解得，所以不等式的解集为.（8）可化为，即，解得，所以不等式的解集为.（9）可化为，解得或，所以不等式的解集为.（10）可化为，因为不等式对应的方程的判别式，所以不等式的解集为．考点二解含参数的一元二次不等式【例2-1】（2023·河北）解下列关于的不等式【答案】答案见解析【解析】由，可得或，则：当时，原不等式解集为；当时，原不等式解集为；当时，原不等式解集为；【例2-2】（2023·安徽）解关于x的不等式.【答案】答案见解析【解析】原不等式变为，①当时，原不等式可化为，所以当时，解得；当时，解集为；当时，解得②当时，原不等式等价于，即.③当时，，原不等式可化为，解得或.综上，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为或.【例2-3】（2023·广东深圳）解关于x的不等式.【答案】答案见解析【解析】不等式对应方程的判别式，（1）当，即或时，由于方程的根是，所以不等式的解集是或}；（2）当，即时，不等式的解集为且；（3）当，即时，不等式的解集为R，故或时，不等式的解集是或}；时，不等式的解集为且；时，不等式的解集为R.【例2-4】（2023·湖南长沙）若关于x的不等式只有一个整数解，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】不等式化为，即，当时，不等式化为，得，有无数个整数解，不符合题意；当时，由关于x的不等式只有一个整数解，可知，不等式的解为，由题意，，解得；当时，不等式的解为或，有无数个整数解，不符合题意．综上，实数a的取值范围是.故选：C【一隅三反】1．（2022秋·四川阿坝·高一校考期中）关于x的不等式的解集中恰有2个整数，则实数a的取值范围（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】不等式化为，当时，不等式无解，当时，不等式解为，这里有且只有2个整数，则，当时，不等式解为，这里有且只有2个整数，则，综上的取值范围是．故选：.2．（2023·江苏·高一假期作业）解关于x的不等式【答案】答案见解析【解析】原不等式可化为.当，即时，或；当，即时，；当，即时，或.综上，当时，解集为或；当时，解集为；当时，解集为或.3．（2023·全国·高一专题练习）解下列关于的不等式．【答案】答案见解析【解析】当时，原不等式为，解集为；当时，原不等式为，解集为；当时，原不等式为，若，即时，解集为或；若，即时，解集为；若，即时，解集为或；综上，解集为；解集为；解集为或；解集为；解集为或.4．（2023·上海）解关于的不等式.【答案】答案见解析【解析】由题意知，①当，即或时，方程的两根为，所以解集为；②若，即时，当时，原不等式可化为，即，所以，当时，原不等式可化为，即，所以；③当，即时，原不等式的解集为；综上，当或时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为.考点三三个“二次”之间的关系【例3-1】（2023春·河南）已知，且，关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】因为不等式，的解集为，所以且即，不等式等价于，即，，解得或，所以不等式的解集为：，故选：C．【一隅三反】1．（2023·全国·高一假期作业）若一元二次不等式的解集是，则一元二次不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由一元二次不等式的解集是可得是的两个根，且所以，所以可化为，即，解得或.故选：C2．（2023·湖南）若不等式的解集为，则函数的图象与x轴的交点为（）A．和 B．C． D．和【答案】A【解析】若不等式的解集为，则方程的两个根为且，，解得，则函数，令，解得或，故函数的图象与轴的交点为和.故选：A.3．（2022秋·天津）已知不等式和不等式的解集相同，则实数的值分别为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】，解得，因为，不等式和不等式的解集相同，故的两根为-2或，且，由韦达定理得：，解得：，故选：B.考点四一元二次不等式恒成立【例4-1】（2023贵州省安顺市）若命题“，”是假命题，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】命题“，”的否定为：“，”，该命题为真命题.所以，应有，所以.故选：A.【例4-2】（2023·云南红河）不等式对恒成立，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】①当时，成立，②当时，只需，解得，综上可得，即实数的取值范围为.故选：B．【例4-3】（2023·河南）若不等式对于恒成立，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】原不等式可化为，设，则，当且仅当，且，即时，函数有最小值为2.因为恒成立，所以.故选：C.【一隅三反】1．（2023·广东肇庆·高一广东肇庆中学校考期中）若命题“”为真命题，则实数a的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由命题“”为真命题，即不等式在上恒成立，设，根据二次函数的性质，可得，所以.故选：A.2．（2023·西藏）命题，使得成立.若是假命题，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因为命题，使得成立，所以命题的否定为：，成立，而是假命题，故命题的否定为真命题．所以在上恒成立，因为，当且仅当时，等号成立，所以，即.故选：A.3．（2022秋·高一校考单元测试）任意，使得不等式恒成立.则实数取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为对任意，不等式恒成立.所以，其中，设，，因为，所以当时，函数，取最小值，最小值为，所以，故选：B.4．（2023春·湖南长沙·高一长沙市明德中学校考期中）若，使得不等式成立，则实数的取值范围（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，使得不等式成立，所以，使得不等式成立，令，，因为对称轴为，，所以，所以，所以实数的取值范围为.故选：D.考点五一元二次不等式的实际应用【例5】（2022秋·江苏连云港·高一校考阶段练习）汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故的一个重要因素．在一个限速50km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相撞了．事后现场勘查测得甲车的刹车距离小于12m，乙车的刹车距离略超过10m，又知甲、乙两种车的刹车距离s（单位：m）与车速x（单位：km/h）之间分别有如下关系：，，问：甲、乙两车有无超速现象？【答案】甲车未超过规定限速，乙车超过规定限速．【解析】由题意得，对于甲车，，即，而，解得，甲车未超过规定限速，同理对于乙车，，，而，解得，乙车超过规定限速．答：甲车未超过规定限速，乙车超过规定限速．【一隅三反】1．（2023·陕西）某小型服装厂生产一种风衣，日销售量x（件）与单价P（元）之间的关系为，生产x件所需成本为C（元），其中元，若要求每天获利不少于1300元，则日销量x的取值范围是（

）A．20≤x≤30 B．20≤x≤45C．15≤x≤30 D．15≤x≤45【答案】B【解析】设该厂每天获得的利润为y元，则y＝(160－2x)x－(500＋30x)＝－2x2＋130x－500(0＜x＜80)．由题意，知－2x2＋130x－500≥1300，即x2－65x＋900≤0，解得：20≤x≤45，所以日销量x的取值范围是20≤x≤45．故选：B．2．（2023·浙江温州）某种汽车在水泥路面上的刹车距离（单位：）和汽车刹车前的车速（单位：）之间有如下关系：，在一次交通事故中，测得这种车刹车距离大于40，则这辆汽车刹车前的车速至少为（

）（精确到1）A．76 B．77 C．78 D．80【答案】B【解析】设这辆汽车刹车前的车速为，根据题意，有，移项整理，得，解得．所以这辆汽车刹车前的速度至少为77．故选：B3．（2022秋·天津滨海新·高一校考期中）某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入．则这批台灯的销售单价x（单位：元）的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】结