人教版高中数学精讲精练必修一1.2 集合间的关系（精练）（含答案及解析）

1.2集合间的关系（精练）1．（2023·重庆）数集的非空真子集个数为（

）A．32 B．31 C．30 D．292．（2023·福建）集合，则的子集的个数为（

）A．4 B．8 C．15 D．163．（2023安徽）设集合，且，若，，则集合M的非空真子集的个数为（

）A．4 B．6 C．7 D．154．（2023·高一课时练习）已知集合且，则（

）A． B． C． D．5．（2022秋·高一课时练习）已知非空集合满足:对任意，总有，且.若，则满足条件的的个数是（

）A．11 B．12 C．15 D．166．（2023春·湖南）已知集合M⊆{2，3，5}，且M中至少有一个奇数，则这样的集合M共有（）A．5个 B．6个C．7个 D．8个7．（2023春·河北保定）已知集合，，若，则实数m的取值范围是（

）．A． B． C． D．8．（2023·陕西·）已知集合，，若，则的取值范围为（

）A． B． C． D．9．（2023春·北京海淀）集合或，，若，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．10．（2023春·重庆·高三统考阶段练习）已知集合，，若，则实数a组成的集合为（

）A． B．C． D．11．（2020秋·浙江温州·高一校考期中）下列集合是空集的是（

）A．或 B．C． D．12．（2022秋·内蒙古呼和浩特·高一统考期中）非空集合P满足下列两个条件：（1），（2）若元素，则，则集合P个数是（

）A．4 B．5 C．6 D．713．（2022秋·江西南昌）（多选）下列集合是空集的是（

）A．B．C．D．14．（2022秋·安徽）（多选）已知集合，，则下列命题中正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则或 D．若时，则或15．（2023·四川宜宾）（多选）已知集合恰有4个子集，则的值可能为（

）A． B． C．0 D．116．（2022秋·浙江杭州·高一校联考期中）（多选）若集合，，且，则实数的值为（

）A． B． C． D．17．（2023·全国·高三专题练习）已知集合，，若使成立的实数a的取值集合为M，则M的一个真子集可以是（

）A． B． C． D．18．（2023·青海西宁）（多选）已知集合，集合，则集合可以是（

）A． B．C． D．19．（2023·江苏）设集合，且，则的值为________.20．（2023·江苏）已知集合，且，则实数m的取值范围是________.21．（2023·广东肇庆·高一校考阶段练习）已知集合，若，则m的取值范围为__________．22．（2023·上海·统考模拟预测）已知集合，若，则实数a的取值组成的集合是___________．23．（2023广东）已知集合，若，则实数a的取值范围为___．24．（2023北京）已知.(1)若，求a的值；(2)若，求实数a的取值范围.25．（2022秋·湖南怀化·高一校联考期末）已知集合，.若，求实数的取值范围.26．（2022秋·湖南）已知.(1)若是的子集，求实数的值；(2)若是的子集，求实数的取值范围.1．（2023·四川眉山·高一校考期末）若集合，，则集合，之间的关系表示最准确的为（

）A． B． C． D．与互不包含2．（2023春·江西新余·高一新余市第一中学校考阶段练习）若，，，则这三个集合间的关系是（

）A． B． C． D．3．（2023·宁夏石嘴山）已知集合，对它的非空子集，可将中的每一个元素都乘以再求和（如，可求得和为：），则对的所有非空子集执行上述求和操作，则这些和的总和是（

）A．18 B．16 C．-18 D．-164．（2023·云南）设集合，，，，其中a，，下列说法正确的是（

）A．对任意a，是的子集，对任意的b，不是的子集B．对任意a，是的子集，存在b，使得是的子集C．存在a，使得不是的真子集，对任意的b，是的子集D．存在a，使得不是的子集，存在b，使得是的子集5．（2022秋·江苏苏州·高一校联考阶段练习）已知集合，若，是的两个非空子集，则所有满足中的最大数小于中的最小数的集合对的个数为（

）A．47 B．48 C．49 D．506．（2023·江苏苏州）（多选）已知集合，非空集合，下列条件能够使得的是（

）A． B．C． D．且7．（2022秋·高一单元测试）设非空集合，当中所有元素和为偶数时（集合为单元素时和为元素本身），称是的偶子集，若集合，则其偶子集的个数为___________.8．（2022秋·高一课时练习）已知集合.(1)判断8，9，10是否属于集合A；(2)集合,证明：B是A的真子集.9．（2023北京西城）设集合，若X是的子集，把X中所有元素的和称为X的“容量”（规定空集的容量为0），若X的容量为奇（偶）数，则称X为的奇（偶）子集.(1)写出的所有子集､所有偶子集：(2)写出的所有奇子集；(3)求证：的奇子集与偶子集个数相等.10．（2023·山西）设A是正实数集的非空子集，称集合为集合A的孪生集．(1)当时，写出集合A的孪生集B；(2)若A是由5个正实数构成的集合，求其孪生集B的子集个数的最小值；(3)判断是否存在4个正实数构成的集合A，使其孪生集，并说明理由．

1.2集合间的关系（精练）1．（2023·重庆）数集的非空真子集个数为（

）A．32 B．31 C．30 D．29【答案】C【解析】因为集合中含有个元素，所以集合的非空真子集个数为.故选：C2．（2023·福建）集合，则的子集的个数为（

）A．4 B．8 C．15 D．16【答案】D【解析】集合，,，故有个子集.故选：D．3．（2023安徽）设集合，且，若，，则集合M的非空真子集的个数为（

）A．4 B．6 C．7 D．15【答案】B【解析】根据题意知，集合且，其非空真子集的个数为.故选：B4．（2023·高一课时练习）已知集合且，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，又且,所以，故选：B5．（2022秋·高一课时练习）已知非空集合满足:对任意，总有，且.若，则满足条件的的个数是（

）A．11 B．12 C．15 D．16【答案】A【解析】当中有元素时，，当中有元素时，，所以，所以集合是集合的非空子集，且去掉元素2，4同时出现的集合，故满足题意的集合有，共11个.故选：A.6．（2023春·湖南）已知集合M⊆{2，3，5}，且M中至少有一个奇数，则这样的集合M共有（）A．5个 B．6个C．7个 D．8个【答案】B【解析】若M有一个元素，则；若M有两个元素，则；若M有三个元素，则∴满足题意的集合M的个数为6个.故选：B.7．（2023春·河北保定）已知集合，，若，则实数m的取值范围是（

）．A． B． C． D．【答案】C【解析】由题设，，又且，所以，即.故选：C8．（2023·陕西·）已知集合，，若，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，，且，所以.故选：B9．（2023春·北京海淀）集合或，，若，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为或，，当时，此时，符合题意；当时，若则，因为，所以，解得，又，所以，若则，因为，所以，解得，又，所以，综上可得，即实数的取值范围是.故选：C10．（2023春·重庆·高三统考阶段练习）已知集合，，若，则实数a组成的集合为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】∵，则有：或，解得：或或，∴实数a组成的集合为.故选：D.11．（2020秋·浙江温州·高一校考期中）下列集合是空集的是（

）A．或 B．C． D．【答案】D【解析】A、B、C选项的集合中均含有元素，均不为空集；对D，因为，所以不存在实数，使得，所以.故选：D12．（2022秋·内蒙古呼和浩特·高一统考期中）非空集合P满足下列两个条件：（1），（2）若元素，则，则集合P个数是（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【解析】由题得,若元素，则,可以推导出集合中1,5要同时存在,2,4要同时存在,3可存在于中也可以不存在,故可以考虑集合等价于由元素,,组成的集合，又,故本题相当于求集合的非空真子集个数.即个.故选：C13．（2022秋·江西南昌）（多选）下列集合是空集的是（

）A．B．C．D．【答案】AB【解析】，无解，为空集，A符合题意；，，∴方程解为空集，B符合题意；由得，故C不符合题意；由得，即，故D不符合题意．故选：AB．14．（2022秋·安徽）（多选）已知集合，，则下列命题中正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则或 D．若时，则或【答案】ABC【解析】，若，则，且，故A正确.时，，故D不正确.若，则且，解得，故B正确.当时，，解得或，故C正确.故选：ABC．15．（2023·四川宜宾）（多选）已知集合恰有4个子集，则的值可能为（

）A． B． C．0 D．1【答案】ABC【解析】因为集合恰有4个子集，所以集合有2个元素，则有两个不相等的实数解，则，解得.故选：ABC.16．（2022秋·浙江杭州·高一校联考期中）（多选）若集合，，且，则实数的值为（

）A． B． C． D．【答案】ABC【解析】由，解得或，故，因为，，所以当时，；当时，，则或，所以或；综上：或或，故ABC正确.故选：ABC.17．（2023·全国·高三专题练习）已知集合，，若使成立的实数a的取值集合为M，则M的一个真子集可以是（

）A． B． C． D．【答案】BC【解析】由题意集合，，因为，所以当时，，即；当时，有，解得，故,则M的一个真子集可以是或，故选：BC.18．（2023·青海西宁）（多选）已知集合，集合，则集合可以是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【解析】因为集合，对于A：满足，所以选项A符合题意；对于B：满足，所以选项B符合题意；对于C：满足，所以选项C符合题意；对于D：不是的真子集，故选项D不符合题意，故选：ABC.19．（2023·江苏）设集合，且，则的值为________.【答案】或.【解析】由，可得或，解得或，当时，，此时满足，符合题意；当时，，此时满足，符合题意，所以实数的值为或.故答案为：或.20．（2023·江苏）已知集合，且，则实数m的取值范围是________.【答案】.【解析】由集合，若时，可得，此时满足；若时，要是得到，则满足，解得，综上可得，实数的取值范围是.故答案为：.21．（2023·广东肇庆·高一校考阶段练习）已知集合，若，则m的取值范围为__________．【答案】【解析】∵，∴当时，，所以，当时，，解得，综上所述，的取值范围是．故答案为：.22．（2023·上海·统考模拟预测）已知集合，若，则实数a的取值组成的集合是___________．【答案】【解析】集合，，当，即时，显然满足条件；当时，即，则，因为，所以或，即或，解得或，综上，实数a的取值组成的集合是．故答案为：．23．（2023广东）已知集合，若，则实数a的取值范围为___．【答案】．【解析】当时，方程化为，解得，此时，满足题意，当时，要使，则，解得且，所以使的实数a的取值范围为．故答案为：．24．（2023北京）已知.(1)若，求a的值；(2)若，求实数a的取值范围.【答案】(1)(2)或或.【解析】（1）由方程，解得或所以，又，，所以，即方程的两根为或，利用韦达定理得到：，即；（2）由已知得，又，所以时，则，即，解得或；当时，若B中仅有一个元素，则，即，解得，当时，，满足条件；当时，，不满足条件；若B中有两个元素，则，利用韦达定理得到，，解得，满足条件.综上，实数a的取值范围是或或.25．（2022秋·湖南怀化·高一校联考期末）已知集合，.若，求实数的取值范围.【答案】或.【解析】由，则.，为方程的解集.①若，则，或或，当时有两个相等实根，即不合题意，同理，当时，符合题意；②若则，即，综上所述，实数的取值范围为或26．（2022秋·湖南）已知.(1)若是的子集，求实数的值；(2)若是的子集，求实数的取值范围.【答案】(1)；(2)或.【解析】（1）解：由题得.若是的子集，则，所以.（2）解：若是的子集，则.①若为空集，则，解得；②若为单元素集合，则，解得.将代入方程，得，即，符合要求；③若为双元素集合，，则.综上所述，或.1．（2023·四川眉山·高一校考期末）若集合，，则集合，之间的关系表示最准确的为（

）A． B． C． D．与互不包含【答案】C【解析】对于集合，当时，，当时，，所以.故选：C.2．（2023春·江西新余·高一新余市第一中学校考阶段练习）若，，，则这三个集合间的关系是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】依题意，，，，而，{偶数}，因此集合中的任意元素都是集合中的元素，即有，集合中的每一个元素都是集合中的元素，即，所以.故选：C3．（2023·宁夏石嘴山）已知集合，对它的非空子集，可将中的每一个元素都乘以再求和（如，可求得和为：），则对的所有非空子集执行上述求和操作，则这些和的总和是（

）A．18 B．16 C．-18 D．-16【答案】D【解析】由已知，因为，那么每个元素在集合的所有非空子集分别出现个，则对于的所有非空子集执行乘以再求和的操作，则这些数的总和为：.故选：D.4．（2023·云南）设集合，，，，其中a，，下列说法正确的是（

）A．对任意a，是的子集，对任意的b，不是的子集B．对任意a，是的子集，存在b，使得是的子集C．存在a，使得不是的真子集，对任意的b，是的子集D．存在a，使得不是的子集，存在b，使得是的子集【答案】B【解析】对于集合，可得当，即，可得，即有，可得对任意a，是的子集；当时，，，可得是的子集；当时，，且，可得不是的子集；综上有，对任意a，是的子集，存在b，使得是的子集.故选：B.5．（2022秋·江苏苏州·高一校联考阶段练习）已知集合，若，是的两个非空子集，则所有满足中的最大数小于中的最小数的集合对的个数为（

）A．47 B．48 C．49 D．50【答案】C【解析】P的所有子集个数为个，（1）中的最大数为1，则，故B只需不包含1即可，则B为的非空子集，即个，故的个数为15；（2）中的最大数为2，或，故B只需不包含1、2即可，则B为的非空子集，即个，故的个数为；（3）中的最大数为3，，故B只需不包含1、2、3即可，则B为的非空子集，即个，故的个数为；（4）中的最大数为4，则包含4，其余元素为的子集，即个，故B只需不包含1、2、3、4即可，则，故的个数为8；综上，的个数为.故选：C6．（2023·江苏苏州）（多选）已知集合，非空集合，下列条件能够使得的是（

）A． B．C． D．且【答案】ACD【解析】对于选项A，方程，因式分解得，解得，所以，满足，所以选项A正确；对于选项B，方程，因式分解得，解得或，所以，不满足，所以选项B错误；对于选项C，方程，因式分解得，解得，所以，满足，所以选项C正确；对于选项D，因为，所以是方程的解，所以方程变形为，因为，所以方程无解，所以方程有唯一解，所以，满足，所以选项D正确；故选：ACD.7．（2022秋·高一单元测试）设非空集合，当中所有元素和为偶数时（集合为单元素时和为元素本身），称是的偶子集，若集合，则其偶子集的个数为___________.【答案】【解析】集合中只有个奇数时，则集合的可能情况为：、、、、、，共种，若集合中只有个奇数时，则集合，只有一种情况，若集合中只含个偶数，共种情况；若集合中只含个偶数，则集合可能的情况为、、，共种情况；若集合中只含个偶数，则集合，只有种情况.因为是的偶子集，分以下几种情况讨论：若集合中的元素全为偶数，则满足条件的集合的个数为；若集合中的元素全为奇数，则奇数的个数为偶数，共种；若集合中的元素是个奇数个偶数，共种；若集合中的元素为个奇数个偶数，共种；若集合中的元素为个奇数个偶数，共种；若集合中的元素为个奇数个偶数，共种；若集合中的元素为个奇数个偶数，共种；若集合中的元素为个奇数个偶数，共种.综上所述，满足条件的集合的个数为.故答案为：.8．（2022秋·高一课时练习）已知集合.(1)判断8，9，10是否属于集合A；(2)集合,证明：B是A的真子集.【答案】(1)，，.(2)证明见解析【解析】（1）∵，，∴，，假设，m，，则，且，∵，或，显然均无整数解，∴，