人教版高中数学精讲精练必修二第八章 立体几何初步章末小结及测试（含答案及解析）（人教版2019必修第二册）

第八章立体几何初步章末小结及测试考法一空间几何体的结构特征【例1-1】（2024高一下·全国·专题练习）观察下面的几何体，哪些是棱柱？（

）A．（1）（3）（5） B．（1）（2）（3）（5）C．（1）（3）（5）（6） D．（3）（4）（6）（7）【例1-2】（2024广东深圳）（多选）下列说法错误的是（

）A．两个面平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台B．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥C．两个面平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱D．平行于同一直线的两直线平行【例1-3】（2024黑龙江）下列说法中不正确的是（

）A．底面是正多边形的棱锥是正棱锥B．有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱C．棱台的上，下底面可以不相似，但侧棱长一定相等D．圆锥的顶点与底面圆周上的任一点的连线都是母线【例1-4】（2023四川内江）（多选）下列说法中正确的有（

）A．正四面体是正三棱锥. B．棱锥的侧面是全等的三角形.C．正三棱锥是正四面体. D．延长棱台所有侧棱，它们会交于一点.考法二空间几何体的直观图【例2-1】（2023甘肃）如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，，则该平面图形的高为（）A． B．2 C． D．【例2-2】（2024高一下·全国·专题练习）如图，四边形的斜二测画法直观图为等腰梯形，已知，则下列说法正确的是（）A．B．C．四边形的周长为D．四边形的面积为考法三空间几何体的体积与表面积【例3-1】（2024·黑龙江）冰嘎别名冰尜，是东北民间少年儿童游艺品，俗称“陀螺”．通常以木镟之，大小不一，一般径寸余，上端为圆柱形，下端为锥形．如图所示的是一个陀螺立体结构图．己知分别是上、下底面圆的圆心，，底面圆的半径为2，则该陀螺的体积为（

）

A． B． C． D．【例3-2】（2024山东潍坊）已知圆锥的侧面展开图是半径为的半圆，则该圆锥的体积为（

）A． B． C． D．【例3-3】（2024·全国·模拟预测）如图，已知四棱锥中，四边形为平行四边形，分别为侧棱的中点，过三点的平面将该四棱锥分成两部分，两部分的体积分别记为，则（

）

A． B． C． D．【例3-4】（2023·河北邢台）半正多面体（semiregularsolid）亦称“阿基米德多面体”，是由边数不完全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美，二十四等边体就是一种半正多面体，如图，棱长为2的正方体截去八个一样的四面体就得到二十四等边体，则该二十四等边体的体积为（

）A． B． C． D．考法四外接球与内切球【例4-1】（2024·山东菏泽）如图，在正四棱台中，，，该棱台体积，则该棱台外接球的表面积为．

【例4-2】（2023浙江·期末）在直三棱柱中，，，，，则该直三棱柱的外接球的表面积为．【例4-3】（2024广东佛山）已知三棱锥的三条侧棱两两垂直，且，则该三棱锥的内切球的半径为.【例4-4】（2024北京）小张同学将一块棱长为的正方体形状橡皮泥重新捏成一个正四面体（过程中橡皮泥无损失），则该四面体外接球的体积为（

）A． B． C． D．考法五4个基本事实【例5-1】（2024河南洛阳）下列命题中，真命题有（

）①如果两条相交直线与另外两条相交直线分别平行，那么这两条相交直线和另外两条相交直线所成的锐角或直角相等；②如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补；③分别在两个不同的平面内且没有公共点的直线互相平行；④，若，，则或.A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【例5-2】（2024河南洛阳·阶段练习）如图，在正方体中，P，Q分别是棱，的中点，平面平面，则下列结论错误的是（

）A．过点BB．不一定过点BC．的延长线与的延长线的交点在上D．的延长线与的延长线的交点在上【例5-3】（2024上海·阶段练习）已知正方体，设直线平面，直线平面，记正方体12条棱所在直线构成的集合为．给出下列四个命题：①中可能有4条直线与a异面；②中可能有5条直线与a异面；③中可能有8条直线与b异面；④中可能有10条直线与b异面．A．①②③ B．①④ C．①③④ D．①②④考法六空间几何体的平行【例6-1】（2024广东）如图，直四棱柱被平面所截，截面为CDEF，且，，，平面与平面所成角的正切值为．证明：.【例6-2】（2024湖北）如图，在正三棱柱中，分别是，，的中点，，求证：平面；【例6-3】（2023广东）如图，在正方体中，E，F分别为，中点，G，H分别为，中点，O为平面中心．证明：平面‖平面；【例6-4】（2024江西南昌·期中）已知四棱锥，底面是菱形，底面，且，点分别是棱和的中点.(1)求证：平面；(2)求三棱锥的体积.考法七空间几何体的垂直【例7-1】（2024高一下·全国·专题练习）如图；在直三棱柱中，，，．求证；

【例7-2】（2024陕西渭南）如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，分别是，的中点．求证：

(1)平面；(2)．【例7-3】（2024云南）如图，在四棱锥中，，，四边形是菱形，，是棱上的动点.证明：平面.【例7-4】．（2024高一下·全国·专题练习）已知平面五边形如图1所示，其中，是正三角形．现将四边形沿翻折，使得，得到的图形如图2所示．求证：平面平面．考法八空间角【例8-1】（2023山东）在正方体中，，，，分别为，，，的中点，则异面直线与所成角的大小是（

）A． B． C． D．【例8-2】（2024四川宜宾·阶段练习）已知正三棱柱的侧棱长与底面边长相等,则与侧面所成角的正弦值为（

）A． B． C． D．【例8-3】（2024陕西）四边形是正方形，平面，且．求：

(1)二面角的平面角的度数；(2)二面角的平面角的度数；(3)二面角的平面角的度数．考法九空间距离【例9-1】（2023北京·期中）正方体的棱长为a，则棱到面的距离为（

）A． B．a C． D．【例9-2】（2024上海）如图，已知长方体中，棱，，为中点，则点到平面的距离是.【例9-3】（22-23高一·全国·课时练习）正方体中，边长为4，则异面直线与的距离为．考法十数学符号表示定理的判断【例10-1】（2024·四川巴中）已知直线m，n与平面，、，下列命题中正确的是（

）A．若，，则B．若，，则C．若，，，则D．若，，，则【例10-2】（2024陕西西安）设为两条直线，为两个平面，若，则（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则考法十一截面问题【例11-1】（2023陕西渭南·期末）从长方体的一个顶点出发的三条棱上各取一点、、，过此三点作长方体的截面，那么截去的几何体是（

）A．三棱柱 B．三棱锥 C．四棱柱 D．四棱锥【例11-2】（2024云南红河·期中）如图，正方体的棱长为2，、分别是、的中点，沿过、、点的截面截去四面体，再沿过三点的截面截去四面体后，所得几何体的体积为（

）

A．5 B．6 C．7 D．8【例11-3】（2024陕西）如图所示，棱长为1的正四面体形状的木块，点是的中心，过点将木块锯开，并使得截面平行于和，则下列关于截面的说法正确的个数为（

）①截面是矩形；②截面不是平行四边形；③截面的面积为；④截面与侧面的交线平行于侧面.

A．1 B．2 C．3 D．4【例11-4】（2023·广西玉林·阶段练习）如图，在棱长为4的正方体中，的中点是P，过点作与截面平行的截面，则该截面的周长为（

）

A． B． C． D．4【例11-5】（2024高一下·全国·专题练习）在正方体中，下列四对截面中，彼此平行的一对截面是（

）．A．截面与截面 B．截面与截面C．截面与截面 D．截面与截面考法十二轨迹长度【例12-1】（2024·山东潍坊）如图所示，在棱长为1的正方体中，点为截面上的动点，若，则点的轨迹长度是（

）A． B． C． D．1【例12-2】．（2023浙江绍兴）已知点是边长为1的正方体表面上的动点，若直线与平面所成的角大小为，则点的轨迹长度为（

）A． B． C． D．【例12-3】（2023四川内江·阶段练习）如图，在直三棱柱中，，，，N为棱上的中点，M为棱上的动点，过N作平面ABM的垂线段，垂足为点O，当点M从点C运动到点时，点O的轨迹长度为（

）A． B． C． D．考法十三动点问题【例13-1】（2024云南）如图，在直三棱柱中，，且，点在线段（含端点）上运动，设．当平面时，求实数的值.【例13-2】（2024上海）如图，已知正方形的边长为1，平面，三角形是等边三角形．(1)求异面直线与所成的角的大小；(2)在线段上是否存在一点，使得与平面所成的角大小为？若存在，求出的长度，若不存在，说明理由.【例13-3】（2024·宁夏中卫）如图1，菱形中，，，于E，将沿翻折到，使，如图2．(1)求三棱锥的体积；(2)在线段上是否存在一点F，使∥平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由．考法十四最值【例14-1】（2024·江西）已知正方体的棱长为2，P为正方形ABCD内的一动点（包含边界），E、F分别是棱、棱的中点．若平面BEF，则AP的取值范围是（

）A． B． C． D．【例14-2】（2023湖南）如图，在棱长为1的正方体中，分别为棱的中点，过作该正方体外接球的截面，所得截面的面积的最小值为（

）

A． B． C． D．【例14-3】（2024·山东）已知直三棱柱外接球的直径为6，且，，则该棱柱体积的最大值为（

）A．8 B．12 C．16 D．24【例14-4】（2024湖南）已知圆锥的底面面积为，其侧面展开图的圆心角为，则过该圆锥顶点做截面，截面三角形面积最大值为（

）A． B． C．2 D．单选题1．（2024陕西咸阳·阶段练习）下列说法，正确的有（

）A．如果一条直线与另两条直线都相交，那么这三条直线必共面B．如果三条直线两两都相交，那么它们能确定一个平面C．如果三条直线相互平行，那么这三条直线在同一个平面上D．如果一条直线与两条平行直线都相交，那么这三条直线确定一个平面2．（2024·湖北武汉）陀螺是中国民间较早的娱乐工具之一，它可以近似地视为由一个圆锥和一个圆柱组合而成的几何体，如图1是一种木陀螺，其直观图如图2所示，，分别为圆柱上、下底面圆的圆心，为圆锥的顶点，若圆锥的底面圆周长为，高为，圆柱的母线长为4，则该几何体的体积是（

）

A． B． C． D．3（2023·全国·假期作业）如图，圆柱中，是侧面的母线，是底面的直径，是底面圆上一点，则（

）

A．平面B．平面C．平面D．平面4．（2023江苏）在三棱锥中，，，则异面直线与所成角的余弦值是（

）A． B． C． D．5．（2023·全国·高一随堂练习）已知直线a，b异面，下列判断正确的是（

）A．过b的平面不可能与a平行 B．过b的平面不可能与a垂直C．过b的平面有且仅有一个与a平行 D．过b的平面有且仅有一个与a垂直6．（2024·江西赣州）在棱长为1的正方体中，为棱的中点，过且平行于平面的平面截正方体所得截面面积为（

）A． B． C． D．7．（2024·安徽合肥）已知四面体的各顶点都在同一球面上，若，平面平面，则该球的表面积是（

）A． B． C． D．8．（2024·吉林·模拟预测）某公司需要把直径为20cm的实心铁球融化后浇注为一个棱长为的正方体实心模具（不计损耗），则至少需要（

）A．5个这样的实心铁球 B．6个这样的实心铁球C．7个这样的实心铁球 D．8个这样的实心铁球多选题9．（2023·浙江温州）正三角形的边长为，如图，为其水平放置的直观图，则（

）

A．为锐角三角形B．的面积为C．的周长为D．的面积为10．（2024·江苏徐州）已知圆台的上、下底面直径分别为2，6，高为，则（

）A．该圆台的体积为B．该圆台外接球的表面积为C．用过任意两条母线的平面截该圆台所得截面周长的最大值为16D．挖去以该圆台上底面为底，高为的圆柱后所得几何体的表面积为11．（2024江西）在下列底面为平行四边形的四棱锥中，A，B，C，M，N是四棱锥的顶点或棱的中点，则MN∥平面ABC的有（

）A．

B．

C．

D．

12．（2023江西·期中）在正方体中，，分别是，的中点，则（

）A．平面B．C．平面截此正方体所得截面为四边形D．平面截此正方体所得截面为四边形填空题13．（2023四川）在三棱柱中，平面，为正三角形，，则与平面所成角的正切值为.14．（2023上海·期末）在直三棱柱中，，则点到平面的距离为.15．（2023广东）如图，在棱长为4的正方体中，的中点是P，过直线作与平面平行的截面，则该截面的面积为．

16．（2023北京·开学考试）正方体中，E是棱的中点，F是侧面内的动点，且平面，若正方体的棱长是2，则线段的最小值.

解答题17．（2024内蒙古包头）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，为的中点，为与的交点．

(1)证明：//平面；(2)求三棱锥的体积．18（2023上海闵行）已知四边形为直角梯形，，，为等腰直角三角形，平面⊥平面，E为的中点，，．

(1)求证：平面；(2)求证：⊥平面；(3)求三棱锥的体积．19（2024江西宜春·期中）如图，已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，AA1=AD=1，求：(1)平面ADD1A1与平面BCC1B1的距离.(2)点D1到直线AC的距离.(3)直线AB与面A1DCB1的距离.20．（2024河北沧州·期末）如图，四棱锥的侧面是边长为2的正三角形，底面为矩形，且平面平面，，分别为，的中点，二面角的正切值为2.(1)求四棱锥的体积；(2)证明：(3)求直线与平面所成角的正弦值.21．（2024吉林）如图1，在等边中，是边上的高，、分别是和边的中点，现将沿翻折成使得平面平面，如图2.

(1)求证：平面；(2)在线段上是否存在一点，使？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.22（2024·四川遂宁）如图，在三棱柱中，直线平面，平面平面.

(1)求证：；(2)若，在棱上是否存在一点，使得四棱锥的体积为？若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由.

第八章立体几何初步章末小结及测试考法一空间几何体的结构特征【例1-1】（2024高一下·全国·专题练习）观察下面的几何体，哪些是棱柱？（

）A．（1）（3）（5） B．（1）（2）（3）（5）C．（1）（3）（5）（6） D．（3）（4）（6）（7）【答案】A【解析】根据棱柱的结构特征：一对平行的平面且侧棱相互平行的几何体，所以棱柱有（1）（3）（5）.故选：A.【例1-2】（2024广东深圳）（多选）下列说法错误的是（

）A．两个面平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台B．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥C．两个面平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱D．平行于同一直线的两直线平行【答案】ABC【解析】对于A，棱台是由平行于棱锥底面的平面截棱锥得到的，它应该保证各侧棱延长后交于一点，故A错误；对于B，棱锥有一个面是多变形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，故B错误；对于C，如图所示，

若下面是一个正四棱柱，上面是一个以正四棱柱上底面为下底面的斜四棱柱，但它们的组合体不是棱柱，故C错误；对于D，由平行线的传递性可知D正确.故选：ABC.【例1-3】（2024黑龙江）下列说法中不正确的是（

）A．底面是正多边形的棱锥是正棱锥B．有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱C．棱台的上，下底面可以不相似，但侧棱长一定相等D．圆锥的顶点与底面圆周上的任一点的连线都是母线【答案】ABC【解析】如果一个棱锥的底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫正棱锥，故A错；有两个面平行其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱错误，即B错误，反例如图：棱台是由平行于底面的平面截得的，故棱台的上下底面一定相似，但侧棱长不一定相等，故C错；圆锥底面圆周上任意一点与圆锥顶点的连线叫做圆锥的母线，故D对.故选：ABC【例1-4】（2023四川内江）（多选）下列说法中正确的有（

）A．正四面体是正三棱锥. B．棱锥的侧面是全等的三角形.C．正三棱锥是正四面体. D．延长棱台所有侧棱，它们会交于一点.【答案】AD【解析】A选项，正四面体的四个面都是等边三角形，是正三棱锥，A选项正确.B选项，棱锥的侧面是三角形，不一定全等，B选项错误.C选项，正三棱锥的侧棱长和底面棱长不一定相等，所以正三棱锥不一定是正四面体，C选项错误.D选项，根据棱台的定义可知，延长棱台所有侧棱，它们会交于一点，D选项正确.故选：AD考法二空间几何体的直观图【例2-1】（2023甘肃）如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，，则该平面图形的高为（）A． B．2 C． D．【答案】C【解析】在直角梯形中，，，则，直角梯形对应的原平面图形为如图中直角梯形，，所以该平面图形的高为.故选：C.【例2-2】（2024高一下·全国·专题练习）如图，四边形的斜二测画法直观图为等腰梯形，已知，则下列说法正确的是（）A．B．C．四边形的周长为D．四边形的面积为【答案】D【解析】如图过作，由等腰梯形可得：是等腰直角三角形，即，即B错误；还原平面图为下图，即，即A错误；过C作，由勾股定理得，故四边形ABCD的周长为：，即C错误；四边形ABCD的面积为：，即D正确.故选：D.考法三空间几何体的体积与表面积【例3-1】（2024·黑龙江）冰嘎别名冰尜，是东北民间少年儿童游艺品，俗称“陀螺”．通常以木镟之，大小不一，一般径寸余，上端为圆柱形，下端为锥形．如图所示的是一个陀螺立体结构图．己知分别是上、下底面圆的圆心，，底面圆的半径为2，则该陀螺的体积为（

）

A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意可知圆柱的高为，故该陀螺的体积为，故选：D【例3-2】（2024山东潍坊）已知圆锥的侧面展开图是半径为的半圆，则该圆锥的体积为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由圆锥的侧面展开图是半径为的半圆，可得圆锥的母线长，设圆锥的底面半径为r，则，解之得，则圆锥的高则该圆锥的体积为故选：C【例3-3】（2024·全国·模拟预测）如图，已知四棱锥中，四边形为平行四边形，分别为侧棱的中点，过三点的平面将该四棱锥分成两部分，两部分的体积分别记为，则（

）

A． B． C． D．【答案】C【解析】题意可知，，，如图，连接，则平面就是截面，将四棱锥分成的两部分分别是四棱锥和五面体．连接三棱锥和三棱锥的底面共面，三棱锥和三棱锥的高相等，它们体积的比值等于底面积的比值．又，（在边上的高和在边上的高相等），.因为点为的中点，点和点到平面的距离相等，.因为四边形为平行四边形，．设四棱锥的体积为，则，，又，即，.故选：C.【例3-4】（2023·河北邢台）半正多面体（semiregularsolid）亦称“阿基米德多面体”，是由边数不完全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美，二十四等边体就是一种半正多面体，如图，棱长为2的正方体截去八个一样的四面体就得到二十四等边体，则该二十四等边体的体积为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题设，该二十四等边体是正方体去掉八个角得到，各顶点在正方体棱的中点上，如下图，故该二十四等边体的体积为.故选：A考法四外接球与内切球【例4-1】（2024·山东菏泽）如图，在正四棱台中，，，该棱台体积，则该棱台外接球的表面积为．

【答案】【解析】连接，取的中点，连接，则外接球球心在直线上，设球心为，如图所示，则，

则⊥平面，因为正四棱台中，，，故，所以，设四棱台的高为，故，解得，故，设，则，，故，解得，故半径，故该棱台外接球的表面积为.故答案为：【例4-2】（2023浙江·期末）在直三棱柱中，，，，，则该直三棱柱的外接球的表面积为．【答案】【解析】因为，，，则，则，将直三棱柱补成长方体，如下图所示：

所以，直三棱柱的外接球直径为，因此，该直三棱柱的外接球的表面积为.故答案为：.【例4-3】（2024广东佛山）已知三棱锥的三条侧棱两两垂直，且，则该三棱锥的内切球的半径为.【答案】【解析】设该三棱锥的体积为，表面积为，内切球的半径为，球心为，则，且，则，∵三棱锥的三条侧棱两两垂直，且，∴，∴，又，∴，∴,又，，，∴，∴由，得，因此.故答案为：.【例4-4】（2024北京）小张同学将一块棱长为的正方体形状橡皮泥重新捏成一个正四面体（过程中橡皮泥无损失），则该四面体外接球的体积为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】设正四面体的棱长为a，由题意可得，正方体的体积即为正四面体的体积，设正四面体如图，F为为底面的中心，E为的中点，F在上，

O为正四面体外接球的球心，则为四面体的高，O在上，则，则，即得，所以，又设正四面体外接球的半径R，则，即，即得，故外接球体积为.故选：C．考法五4个基本事实【例5-1】（2024河南洛阳）下列命题中，真命题有（

）①如果两条相交直线与另外两条相交直线分别平行，那么这两条相交直线和另外两条相交直线所成的锐角或直角相等；②如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补；③分别在两个不同的平面内且没有公共点的直线互相平行；④，若，，则或.A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【解析】由等角定理知，①正确，④正确；对于②，如图正方体中，对于和，显然有，，但是，，故②错误；当两直线没有公共点且它们位于不同的平面内，则也可以平行，也可以异面，故③错误.故正确的只有①④.故选：B【例5-2】（2024河南洛阳·阶段练习）如图，在正方体中，P，Q分别是棱，的中点，平面平面，则下列结论错误的是（

）A．过点BB．不一定过点BC．的延长线与的延长线的交点在上D．的延长线与的延长线的交点在上【答案】B【解析】连接，，如图，因为P，Q分别是棱，的中点，由勾股定理得，所以四边形是菱形，所以，P，B，Q四点共面，即平面.又平面，所以，故A结论正确，B结论错误.如图，延长与的延长线交于点F，延长与的延长线交于点E.因为平面，所以平面，因为平面，所以平面，所以，同理，故C，D正确.故选：B【例5-3】（2024上海·阶段练习）已知正方体，设直线平面，直线平面，记正方体12条棱所在直线构成的集合为．给出下列四个命题：①中可能有4条直线与a异面；②中可能有5条直线与a异面；③中可能有8条直线与b异面；④中可能有10条直线与b异面．A．①②③ B．①④ C．①③④ D．①②④【答案】C【解析】当直线取时，中只有四条直线（、、、）与直线异面，故①正确；因为直线平面，所以不可能与直线异面，当直线过底面两个顶点时，若直线为底面边所在直线，则由①可知，此时只有四条直线与直线异面；若直线为底面对角线，不妨设为，此时有超过5条直线与直线异面；当直线只过底面一个顶点（不妨设过顶点）时，此时至少有超过5条直线与直线异面；当直线不过底面任何一个顶点时，此时至少有超过5条直线与直线异面；综上，中不可能有5条直线与a异面，故②错误；当直线取线段AD中点与线段的中点连线时，中除了AD和之外的10条棱均与直线异面，故④正确；当直线取A点与线段的中点连线时，中除了AD、、AB和之外的8条棱均与直线异面，故③正确；故选：C.考法六空间几何体的平行【例6-1】（2024广东）如图，直四棱柱被平面所截，截面为CDEF，且，，，平面与平面所成角的正切值为．证明：.【答案】证明见解析【解析】在直四棱柱中，平面平面，平面，平面，则，而且，又，因此且，则四边形是平行四边形，所以，又，，所以．【例6-2】（2024湖北）如图，在正三棱柱中，分别是，，的中点，，求证：平面；【答案】证明见解析【解析】取的中点，连接，，根据题意可得，且，，可得由三棱柱得性质知，所以，即，则四边形是平行四边形，所以，因为面，面，所以面．【例6-3】（2023广东）如图，在正方体中，E，F分别为，中点，G，H分别为，中点，O为平面中心．证明：平面‖平面；【答案】证明见解析【解析】连接，，∵为正方体，为平面的中心，∴‖，‖，，为中点，∵为中点，为中点，∴‖‖，，∴四边形为平行四边形，‖，∵分别为中点，分别为中点，∴‖，‖，∴‖，∵平面，平面，∴‖平面，∥平面，∵，平面，∴平面∥平面．【例6-4】（2024江西南昌·期中）已知四棱锥，底面是菱形，底面，且，点分别是棱和的中点.(1)求证：平面；(2)求三棱锥的体积.【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】（1）在四棱锥中，底面是菱形，取的中点，连接.由分别为的中点，得，又是的中点，则，于是，因此四边形为平行四边形，即有，而平面平面，所以平面.（2）由底面，且，为中点，得点到底面的距离为1，菱形中，，则，因此，所以，即三棱锥的体积为.考法七空间几何体的垂直【例7-1】（2024高一下·全国·专题练习）如图；在直三棱柱中，，，．求证；

【答案】证明见解析【解析】证明：在中，因为，可得，所以为直角三角形，可得，由在直三棱柱中，可得平面，且平面，所以，因为又，且平面，所以平面，又因为平面，所以．【例7-2】（2024陕西渭南）如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，分别是，的中点．求证：

(1)平面；(2)．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】（1）四棱锥的底面是矩形，，平面，平面，，又，、平面，平面；（2）由（1）知平面，同理可得，平面，，分别是，的中点，，平面，又平面，.【例7-3】（2024云南）如图，在四棱锥中，，，四边形是菱形，，是棱上的动点.证明：平面.【答案】证明见解析【解析】因为四边形是菱形，所以.因为，，平面，且，所以平面.因为平面，所以.因为，所以，即.因为，平面，且，所以平面.【例7-4】．（2024高一下·全国·专题练习）已知平面五边形如图1所示，其中，是正三角形．现将四边形沿翻折，使得，得到的图形如图2所示．求证：平面平面．【答案】证明见解析【解析】如图，取的中点，连接，因为是等边三角形，为的中点，所以，因为，所以，因为，，，所以四边形为矩形，所以，又因为，所以，即，因为，，，平面，所以平面，又因为平面，所以平面平面．考法八空间角【例8-1】（2023山东）在正方体中，，，，分别为，，，的中点，则异面直线与所成角的大小是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】在正方体中，连接，由分别为的中点，得分别为中点，而分别为的中点，则，，因此或其补角是异面直线与所成的角，在中，，则，所以异面直线与所成角的大小是.故选：C【例8-2】（2024四川宜宾·阶段练习）已知正三棱柱的侧棱长与底面边长相等,则与侧面所成角的正弦值为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】在正三棱柱中，取的中点，连接，则，而平面，平面，于是，又平面，因此平面，则是直线与平面所成的角，，所以直线与平面所成角的正弦值为.故选：A【例8-3】（2024陕西）四边形是正方形，平面，且．求：

(1)二面角的平面角的度数；(2)二面角的平面角的度数；(3)二面角的平面角的度数．【答案】(1)(2)(3)【解析】（1）平面，平面，，又四边形为正方形，，平面，平面，又平面，平面平面，二面角的平面角的度数为；（2）平面，平面，平面，，．为二面角的平面角．又由题意可得，二面角的平面角的度数为；（3）平面，平面，平面，，．为二面角的平面角．又四边形为正方形，，即二面角的平面角的度数为考法九空间距离【例9-1】（2023北京·期中）正方体的棱长为a，则棱到面的距离为（

）A． B．a C． D．【答案】C【解析】如图，连接，它们交于点，正方形中，又平面，平面，所以，平面，所以平面，所以的长即为棱到面的距离，而，所以所求距离为．故选：C．【例9-2】（2024上海）如图，已知长方体中，棱，，为中点，则点到平面的距离是.【答案】/【解析】设点到平面的距离为，因为，，为中点，所以，所以为等边三角形，所以，因为，所以，所以，解得，故答案为：.【例9-3】（22-23高一·全国·课时练习）正方体中，边长为4，则异面直线与的距离为．【答案】/【解析】如图，正方体中，，，是平行四边形，∴，同理，分别是上下底面对角线的交点，，分别与交于点，连接相应的线段，平面，平面，∴平面，同理平面，又，平面，∴平面平面，由于与平行且相等，因此是平行四边形，∴，而分别是中点，因此，正方体棱长为4，则对角线，，平面，是在平面内的射影，，平面，∴，同理，，平面，所以平面，∴平面，∴平面与平面的距离为，而平面，平面，且与是异面直线，所以异面直线与的距离等于平面与平面的距离为，故答案为：．考法十数学符号表示定理的判断【例10-1】（2024·四川巴中）已知直线m，n与平面，、，下列命题中正确的是（

）A．若，，则B．若，，则C．若，，，则D．若，，，则【答案】B【解析】对于A，若，，则可能相交或平行，A错误；对于B，因为，过m作平面γ和平面交于n，则，而，故，又，故，B正确；对于C，若，，则，又，则可能有，也可能有，C错误；对于D，若，，，则可能或或相交，D错误；故选：B【例10-2】（2024陕西西安）设为两条直线，为两个平面，若，则（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】C【解析】对于A中，若且，则与平行、相交或异面，所以A不正确；对于B中，若且，则与平行、相交或异面，所以B不正确；对于C中，若且，如图所示，取点，过点，作，则，设，可得，因为，且平面，所以平面，又因为平面，所以，所以为与所成角的平面角，由，可得，即，所以四边形为矩形，所以，所以，所以C正确；对于D中，若且，则与平行、相交或异面，所以D不正确.故选：C.考法十一截面问题【例11-1】（2023陕西渭南·期末）从长方体的一个顶点出发的三条棱上各取一点、、，过此三点作长方体的截面，那么截去的几何体是（

）A．三棱柱 B．三棱锥 C．四棱柱 D．四棱锥【答案】B【解析】如图所示，

截去的立体图形有四个面，四个顶点，六条边，所以该几何体为三棱锥.故选：B.【例11-2】（2024云南红河·期中）如图，正方体的棱长为2，、分别是、的中点，沿过、、点的截面截去四面体，再沿过三点的截面截去四面体后，所得几何体的体积为（

）

A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【解析】由题，，，所以该几何体的体积．故选：C．【例11-3】（2024陕西）如图所示，棱长为1的正四面体形状的木块，点是的中心，过点将木块锯开，并使得截面平行于和，则下列关于截面的说法正确的个数为（

）①截面是矩形；②截面不是平行四边形；③截面的面积为；④截面与侧面的交线平行于侧面.

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】由题意可知，点是的中心，过点P作,

分别交于，作交于G，设平面与交于点H，由于平面，平面，故平面，同理平面，即四边形即为截面，由于平面，平面平面，平面，故，同理，故四边形为平行四边形，即截面是平行四边形，②错误；设M为的中点，连接，则，平面，故平面，平面，故，而，，故，即平行四边形为矩形，即截面是矩形，①正确；因为点是的中心，则，故，故矩形的面积为,即截面的面积为，③正确；由于截面与侧面的交线为，且,平面,平面，故平面，即截面与侧面的交线平行于侧面，④正确，故选：C【例11-4】（2023·广西玉林·阶段练习）如图，在棱长为4的正方体中，的中点是P，过点作与截面平行的截面，则该截面的周长为（

）

A． B． C． D．4【答案】C【解析】分别取的中点，连接，可得，可得四边形为平行四边形，可得，因为，所以四边形为平行四边形，可得，所以，所以四边形为平行四边形，，平面即为过点的截面，平面，平面，所以平面，因为，所以四边形为平行四边形，可得，平面，平面，所以平面，且，平面，所以平面平面，，，所以截面的周长为.

故选：C.【例11-5】（2024高一下·全国·专题练习）在正方体中，下列四对截面中，彼此平行的一对截面是（

）．A．截面与截面 B．截面与截面C．截面与截面 D．截面与截面【答案】B【解析】如图，选项A、B、C、D分别对应图1、图2、图3、图4．

对于A，与相交，截面与相交，故A错误；对于B，截面与平行．证明：因为，所以四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面，同理可证平面，，平面，所以平面平面．故B正确；对于C，截面与相交于D点，故C错误；对于D，与相交，截面与相交，故D错误；故选：B．考法十二轨迹长度【例12-1】（2024·山东潍坊）如图所示，在棱长为1的正方体中，点为截面上的动点，若，则点的轨迹长度是（

）A． B． C． D．1【答案】B【解析】在棱长为1的正方体中，连接，由平面，平面，得，而，平面，则平面，又平面，于是，同理，而平面，因此平面，因为，则平面，而点为截面上的动点，平面平面，所以点的轨迹是线段，长度为.故选：B【例12-2】．（2023浙江绍兴）已知点是边长为1的正方体表面上的动点，若直线与平面所成的角大小为，则点的轨迹长度为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】若点P在正方形内，过点P作平面于，连接.则为直线与平面所成的角，则，又，则，得，则点的轨迹为以为圆心半径为1的圆（落在正方形内的部分），若点P在正方形内或内，轨迹分别为线段和，因为点P不可能落在其他三个正方形内，所以点的轨迹如图所示：故点P的轨迹长度为.故选：D【例12-3】（2023四川内江·阶段练习）如图，在直三棱柱中，，，，N为棱上的中点，M为棱上的动点，过N作平面ABM的垂线段，垂足为点O，当点M从点C运动到点时，点O的轨迹长度为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】取中点为，连接，由已知可得，中点为，所以，.又N为棱上的中点，所以，.根据直三棱柱的性质可知，平面，所以平面.因为平面，所以.因为平面，，所以，平面.因为平面，所以平面平面.过点作，因为平面平面，平面，所以，平面.又平面，平面，所以，重合.所以，，.所以，当点M从点C运动到点时，点的轨迹为以为直径的圆的一部分.当点位于点时，点到最高点，此时，，，，.所以，弧长.故选：B.考法十三动点问题【例13-1】（2024云南）如图，在直三棱柱中，，且，点在线段（含端点）上运动，设．当平面时，求实数的值.【答案】【解析】如图，连接，交于点，连接，为的中点，且平面平面，平面，平面，，为的中点，即实数的值为．【例13-2】（2024上海）如图，已知正方形的边长为1，平面，三角形是等边三角形．(1)求异面直线与所成的角的大小；(2)在线段上是否存在一点，使得与平面所成的角大小为？若存在，求出的长度，若不存在，说明理由.【答案】(1)；(2)存在，1【解析】（1）因为为正方形，则，则异面直线与所成的角为与所成的角，即或其补角，因为三角形是等边三角形，则平面，平面，，．所以异面直线AC与BD所成的角为．（2）作交于点，连接，平面，平面，则与平面所成的角为，设，则，则.【例13-3】（2024·宁夏中卫）如图1，菱形中，，，于E，将沿翻折到，使，如图2．(1)求三棱锥的体积；(2)在线段上是否存在一点F，使∥平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由．【答案】(1)(2)存在，.【解析】（1）解：由题可知在菱形中，，，，故，所以在四棱锥中，，又，所以平面，且，连接，因为则,所以.故棱锥的体积为.（2）解：设线段的中点为，线段的中点为，连接，因为点为的中点，点为的中点，所以，又由（1）得，，所以，所以四边形为平行四边形，故,又平面，平面，所以平面，此时点为的中点，故.考法十四最值【例14-1】（2024·江西）已知正方体的棱长为2，P为正方形ABCD内的一动点（包含边界），E、F分别是棱、棱的中点．若平面BEF，则AP的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】连接，则，又平面，平面，故平面，

设为BC的中点，连接，由于F分别是棱的中点，故，则四边形为平行四边形，故，又平面，平面，故平面，又平面，故平面平面，由于平面BEF，故平面，又因为P为正方形ABCD内的一动点，且平面平面，故AM即为动点P的轨迹，而，故AP的取值范围是，故选：A【例14-2】（2023湖南）如图，在棱长为1的正方体中，分别为棱的中点，过作该正方体外接球的截面，所得截面的面积的最小值为（

）

A． B． C． D．【答案】C【解析】如图，

正方体外接球的球心在其中心点处，球的半径，要使过的平面截该球得到的截面面积最小，则截面圆的圆心为线段的中点，连接，则，所以，此时截面圆的半径，此时，截面面积的最小值.故选：C.【例14-3】（2024·山东）已知直三棱柱外接球的直径为6，且，，则该棱柱体积的最大值为（

）A．8 B．12 C．16 D．24【答案】C【解析】在直三棱柱中，所以为直角三角形，则外接圆的圆心为斜边的中点，同理外接圆的圆心为斜边的中点，如图，直三棱柱外接球的直径为，外接球的半径，设上下底面的中心分别为，，连接，则外接球的球心为的中点，连接，则，设，所以，则，在中，，则，该棱柱的体积．当且仅当，即时等号成立．故选：C．【例14-4】（2024湖南）已知圆锥的底面面积为，其侧面展开图的圆心角为，则过该圆锥顶点做截面，截面三角形面积最大值为（

）A． B． C．2 D．【答案】C【解析】设圆锥的底面半径为r，母线长为l，高为h，由题意，，，，，可得轴截面顶角大于90°，过该圆锥顶点做截面，当截面三角形顶角为90°，即截面三角形为等腰直角三角形时面积最大，所以截面最大面积为，故选：C．单选题1．（2024陕西咸阳·阶段练习）下列说法，正确的有（

）A．如果一条直线与另两条直线都相交，那么这三条直线必共面B．如果三条直线两两都相交，那么它们能确定一个平面C．如果三条直线相互平行，那么这三条直线在同一个平面上D．如果一条直线与两条平行直线都相交，那么这三条直线确定一个平面【答案】D【解析】对于AB，当三条直线交于同一点时，三条直线可能不共面，故AB错误，对于C，当三条直线相互平行时，三条直线可能不共面，故C错误，对于D，一条直线与两条平行直线都相交，那么这三条直线确定一个平面，故D正确，故选：D2．（2024·湖北武汉）陀螺是中国民间较早的娱乐工具之一，它可以近似地视为由一个圆锥和一个圆柱组合而成的几何体，如图1是一种木陀螺，其直观图如图2所示，，分别为圆柱上、下底面圆的圆心，为圆锥的顶点，若圆锥的底面圆周长为，高为，圆柱的母线长为4，则该几何体的体积是（

）

A． B． C． D．【答案】C【解析】设圆锥的底面半径为r，则，高为，故圆锥的体积为，圆柱的底面半径也为，母线长也即高为4，则圆柱的体积为，故几何体的体积为，故选：C3（2023·全国·假期作业）如图，圆柱中，是侧面的母线，是底面的直径，是底面圆上一点，则（

）

A．平面B．平面C．平面D．平面【答案】A【解析】依题意平面，平面，所以，又是底面圆的直径，所以，，，平面，所以平面，故A正确；对于B，在中，，显然与不垂直，则不可能垂直平面，故B错误；对于C：在中，，显然与不垂直，则不可能垂直平面，故C错误；对于D：在中，，显然与不垂直，则不可能垂直平面，故D错误；故选：A.4．（2023江苏）在三棱锥中，，，则异面直线与所成角的余弦值是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】根据题意，画出三棱锥，分别作出的中点，的中点，的中点，连结，，，所得图形如下图：根据中位线的性质可得：，，且，，所以异面直线与所成角即为和所成锐角，由于，，所以在等边中，，同理在等边中，，故，所以为等边三角形，故，所以在中，，，，故由余弦定理可得：，由于异面直线的夹角范围为，所以异面直线与所成角为的补角，即异面直线与所成角的余弦值为.故选：B5．（2023·全国·高一随堂练习）已知直线a，b异面，下列判断正确的是（

）A．过b的平面不可能与a平行 B．过b的平面不可能与a垂直C．过b的平面有且仅有一个与a平行 D．过b的平面有且仅有一个与a垂直【答案】C【解析】

如图，与是异面直线，看作直线看作直线，对于A，过的平面，故A错；对于B，过的平面，故B错；对于C，在上任取一点，过点作交于点，因为，所以，又平面，平面，所以平面，又，所以确定的平面只有一个，所以过的平面有且仅有一个即平面与平行，故C正确；对于D，若与不垂直，则必不存在过的平面中，有一个垂直于，故D错.故选：C.6．（2024·江西赣州）在棱长为1的正方体中，为棱的中点，过且平行于平面的平面截正方体所得截面面积为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】在棱长为1的正方体中，取中点，中点，连结，而为棱中点，显然，，得四边形，四边形都是平行四边形，则，，平面，平面，于是平面，平面，又，平面，因此平面平面，又，，即四边形是平行四边形，则，显然平面平面，从而过且平行于平面的平面截正方体所得截面为四边形，又，即四边形为菱形，而，，所以四边形的面积为．故选：A7．（2024·安徽合肥）已知四面体的各顶点都在同一球面上，若，平面平面，则该球的表面积是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】过三角形的中心作平面的垂线，过三角形的中心作平面的垂线，两垂线交于点，连接，依据题中条件可知，为四面体的外接球球心，因为，所以,则,即外接球半径为，则该球的表面积为，故选：C.8．（2024·吉林·模拟预测）某公司需要把直径为20cm的实心铁球融化后浇注为一个棱长为的正方体实心模具（不计损耗），则至少需要（

）A．5个这样的实心铁球 B．6个这样的实心铁球C．7个这样的实心铁球 D．8个这样的实心铁球【答案】C【解析】直径为20cm的实心铁球的体积；一个棱长为的正方体实心模具的体积，设至少需要个这样的实心铁球，则，解得，，故至少需要7个这样的实心铁球.故选：C.多选题9．（2023·浙江温州）正三角形的边长为，如图，为其水平放置的直观图，则（

）

A．为锐角三角形B．的面积为C．的周长为D．的面积为【答案】CD【解析】如图，因为正三角形的边长为，故，所以，，在中，，由余弦定理得，,在中，，由余弦定理得，,选项A，在中，因为，由余弦定理知，故选项A错误；选项B和D，，故选项B错误，选项D正确；选项C，的周长为，故选项C正确.

故选：CD.10．（2024·江苏徐州）已知圆台的上、下底面直径分别为2，6，高为，则（

）A．该圆台的体积为B．该圆台外接球的表面积为C．用过任意两条母线的平面截该圆台所得截面周长的最大值为16D．挖去以该圆台上底面为底，高为的圆柱后所得几何体的表面积为【答案】BC【解析】由已知得圆台的上下底面半径分别为，对于A：圆台的体积为，A错误；对于B：如图是圆台的轴截面，外接球球心为，设外接球半径为，当球心在梯形内时，，解得，

当球心在梯形外时，，方程无解，

所以外接球的表面积，B正确；对于C：用过任意两条母线的平面截该圆台所得截面周长，其中轴截面的周长最大，又母线长为，则最大周长为，C正确；对于D：如图：挖去以该圆台上底面为底，高为的圆柱后所得几何体的表面积为，D错误.

故选：BC.11．（2024江西）在下列底面为平行四边形的四棱锥中，A，B，C，M，N是四棱锥的顶点或棱的中点，则MN∥平面ABC的有（

）A．

B．

C．

D．

【答案】AB【解析】对于A，设为的中点，底面为平行四边形，连接，则，而，,故，即四边形为平行四边形，故，而平面，平面，故平面，A正确；对于B，设为的中点，底面为平行四边形，连接，

则，而，,故，即四边形为平行四边形，故，而平面，平面，故平面，B正确；对于C，设为的中点，底面为平行四边形，连接，

设交于，连接，则，而,故，即四边形为平行四边形，故，又平面，平面，平面平面，假设平面，则，即在平面内过点有两条直线和都平行，这是不可能的，故此时平面不成立，C错误；对于D，设底面为平行四边形，连接交于点，交于，

则为的中点，连接，由于为的中点，故；又平面，平面，平面平面，假设平面，则，即在平面内过点有两条直线和都平行，这是不可能的，故此时平面不成立，D错误；故选：AB12．（2023江西·期中）在正方体中，，分别是，的中点，则（

）A．平面B．C．平面截此正方体所得截面为四边形D．平面截此正方体所得截面为四边形【答案】ABC【解析】对于A：取的中点，连接、，则，又平面，平面，所以平面，又且，所以四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面，又，平面，所以平面平面，又平面平面，所以平面，故A正确；对于B：由正方体的性质可得平面，平面，所以，同理可证，，平面，所以平面，又平面，所以，故B正确；对于C：取的中点，的中点，连接、、、、、，则且，所以为平行四边形，所以，又，所以，所以、、、四点共面，即四边形为平面截此正方体所得截面，故C正确；对于D：连接并延长交的延长线于点，连接并延长交于点，交的延长线于点，连接交于点，连接、，则五边形即为平面截此正方体所得截面，故D错误；故选：ABC填空题13．（2023四川）在三棱柱中，平面，为正三角形，，则与平面所成角的正切值为.【答案】【解析】为中点，连接，如图所示，在三棱柱中，平面，则平面，平面，则，为正三角形，为中点，则，平面，，平面，在平面内的射影为，则与平面所成角为，，则，，，中，，所以与平面所成角的正切值为.故答案为：.14．（2023上海·期末）在直三棱柱中，，则点到平面的距离为.【答案】【解析】因为，所以，又三棱柱为直棱柱，所以平面，又平面，所以平面平面，又平面平面平面，所以平面，易得,在△中由余弦定理：得，故，于是，由棱柱性质得，平面，平面，所以平面，点到平面的距离即点到平面的距离，设为d因为，所以,解得故答案为：15．（2023广东）如图，在棱长为4的正方体中，的中点是P，过直线作与平面平