
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文档简介
第八章立体几何初步章末小结及测试考法一空间几何体的结构特征【例1-1】(2024高一下·全国·专题练习)观察下面的几何体,哪些是棱柱?(
)A.(1)(3)(5) B.(1)(2)(3)(5)C.(1)(3)(5)(6) D.(3)(4)(6)(7)【例1-2】(2024广东深圳)(多选)下列说法错误的是(
)A.两个面平行,其余各面都是梯形的多面体是棱台B.有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是棱锥C.两个面平行,其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱D.平行于同一直线的两直线平行【例1-3】(2024黑龙江)下列说法中不正确的是(
)A.底面是正多边形的棱锥是正棱锥B.有两个平面互相平行,其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱C.棱台的上,下底面可以不相似,但侧棱长一定相等D.圆锥的顶点与底面圆周上的任一点的连线都是母线【例1-4】(2023四川内江)(多选)下列说法中正确的有(
)A.正四面体是正三棱锥. B.棱锥的侧面是全等的三角形.C.正三棱锥是正四面体. D.延长棱台所有侧棱,它们会交于一点.考法二空间几何体的直观图【例2-1】(2023甘肃)如图,一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形,且,,则该平面图形的高为()A. B.2 C. D.【例2-2】(2024高一下·全国·专题练习)如图,四边形的斜二测画法直观图为等腰梯形,已知,则下列说法正确的是()A.B.C.四边形的周长为D.四边形的面积为考法三空间几何体的体积与表面积【例3-1】(2024·黑龙江)冰嘎别名冰尜,是东北民间少年儿童游艺品,俗称“陀螺”.通常以木镟之,大小不一,一般径寸余,上端为圆柱形,下端为锥形.如图所示的是一个陀螺立体结构图.己知分别是上、下底面圆的圆心,,底面圆的半径为2,则该陀螺的体积为(
)
A. B. C. D.【例3-2】(2024山东潍坊)已知圆锥的侧面展开图是半径为的半圆,则该圆锥的体积为(
)A. B. C. D.【例3-3】(2024·全国·模拟预测)如图,已知四棱锥中,四边形为平行四边形,分别为侧棱的中点,过三点的平面将该四棱锥分成两部分,两部分的体积分别记为,则(
)
A. B. C. D.【例3-4】(2023·河北邢台)半正多面体(semiregularsolid)亦称“阿基米德多面体”,是由边数不完全相同的正多边形围成的多面体,体现了数学的对称美,二十四等边体就是一种半正多面体,如图,棱长为2的正方体截去八个一样的四面体就得到二十四等边体,则该二十四等边体的体积为(
)A. B. C. D.考法四外接球与内切球【例4-1】(2024·山东菏泽)如图,在正四棱台中,,,该棱台体积,则该棱台外接球的表面积为.
【例4-2】(2023浙江·期末)在直三棱柱中,,,,,则该直三棱柱的外接球的表面积为.【例4-3】(2024广东佛山)已知三棱锥的三条侧棱两两垂直,且,则该三棱锥的内切球的半径为.【例4-4】(2024北京)小张同学将一块棱长为的正方体形状橡皮泥重新捏成一个正四面体(过程中橡皮泥无损失),则该四面体外接球的体积为(
)A. B. C. D.考法五4个基本事实【例5-1】(2024河南洛阳)下列命题中,真命题有(
)①如果两条相交直线与另外两条相交直线分别平行,那么这两条相交直线和另外两条相交直线所成的锐角或直角相等;②如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直,那么这两个角相等或互补;③分别在两个不同的平面内且没有公共点的直线互相平行;④,若,,则或.A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【例5-2】(2024河南洛阳·阶段练习)如图,在正方体中,P,Q分别是棱,的中点,平面平面,则下列结论错误的是(
)A.过点BB.不一定过点BC.的延长线与的延长线的交点在上D.的延长线与的延长线的交点在上【例5-3】(2024上海·阶段练习)已知正方体,设直线平面,直线平面,记正方体12条棱所在直线构成的集合为.给出下列四个命题:①中可能有4条直线与a异面;②中可能有5条直线与a异面;③中可能有8条直线与b异面;④中可能有10条直线与b异面.A.①②③ B.①④ C.①③④ D.①②④考法六空间几何体的平行【例6-1】(2024广东)如图,直四棱柱被平面所截,截面为CDEF,且,,,平面与平面所成角的正切值为.证明:.【例6-2】(2024湖北)如图,在正三棱柱中,分别是,,的中点,,求证:平面;【例6-3】(2023广东)如图,在正方体中,E,F分别为,中点,G,H分别为,中点,O为平面中心.证明:平面‖平面;【例6-4】(2024江西南昌·期中)已知四棱锥,底面是菱形,底面,且,点分别是棱和的中点.(1)求证:平面;(2)求三棱锥的体积.考法七空间几何体的垂直【例7-1】(2024高一下·全国·专题练习)如图;在直三棱柱中,,,.求证;
【例7-2】(2024陕西渭南)如图,四棱锥的底面是矩形,底面,,分别是,的中点.求证:
(1)平面;(2).【例7-3】(2024云南)如图,在四棱锥中,,,四边形是菱形,,是棱上的动点.证明:平面.【例7-4】.(2024高一下·全国·专题练习)已知平面五边形如图1所示,其中,是正三角形.现将四边形沿翻折,使得,得到的图形如图2所示.求证:平面平面.考法八空间角【例8-1】(2023山东)在正方体中,,,,分别为,,,的中点,则异面直线与所成角的大小是(
)A. B. C. D.【例8-2】(2024四川宜宾·阶段练习)已知正三棱柱的侧棱长与底面边长相等,则与侧面所成角的正弦值为(
)A. B. C. D.【例8-3】(2024陕西)四边形是正方形,平面,且.求:
(1)二面角的平面角的度数;(2)二面角的平面角的度数;(3)二面角的平面角的度数.考法九空间距离【例9-1】(2023北京·期中)正方体的棱长为a,则棱到面的距离为(
)A. B.a C. D.【例9-2】(2024上海)如图,已知长方体中,棱,,为中点,则点到平面的距离是.【例9-3】(22-23高一·全国·课时练习)正方体中,边长为4,则异面直线与的距离为.考法十数学符号表示定理的判断【例10-1】(2024·四川巴中)已知直线m,n与平面,、,下列命题中正确的是(
)A.若,,则B.若,,则C.若,,,则D.若,,,则【例10-2】(2024陕西西安)设为两条直线,为两个平面,若,则(
)A.若,则 B.若,则C.若,则 D.若,则考法十一截面问题【例11-1】(2023陕西渭南·期末)从长方体的一个顶点出发的三条棱上各取一点、、,过此三点作长方体的截面,那么截去的几何体是(
)A.三棱柱 B.三棱锥 C.四棱柱 D.四棱锥【例11-2】(2024云南红河·期中)如图,正方体的棱长为2,、分别是、的中点,沿过、、点的截面截去四面体,再沿过三点的截面截去四面体后,所得几何体的体积为(
)
A.5 B.6 C.7 D.8【例11-3】(2024陕西)如图所示,棱长为1的正四面体形状的木块,点是的中心,过点将木块锯开,并使得截面平行于和,则下列关于截面的说法正确的个数为(
)①截面是矩形;②截面不是平行四边形;③截面的面积为;④截面与侧面的交线平行于侧面.
A.1 B.2 C.3 D.4【例11-4】(2023·广西玉林·阶段练习)如图,在棱长为4的正方体中,的中点是P,过点作与截面平行的截面,则该截面的周长为(
)
A. B. C. D.4【例11-5】(2024高一下·全国·专题练习)在正方体中,下列四对截面中,彼此平行的一对截面是(
).A.截面与截面 B.截面与截面C.截面与截面 D.截面与截面考法十二轨迹长度【例12-1】(2024·山东潍坊)如图所示,在棱长为1的正方体中,点为截面上的动点,若,则点的轨迹长度是(
)A. B. C. D.1【例12-2】.(2023浙江绍兴)已知点是边长为1的正方体表面上的动点,若直线与平面所成的角大小为,则点的轨迹长度为(
)A. B. C. D.【例12-3】(2023四川内江·阶段练习)如图,在直三棱柱中,,,,N为棱上的中点,M为棱上的动点,过N作平面ABM的垂线段,垂足为点O,当点M从点C运动到点时,点O的轨迹长度为(
)A. B. C. D.考法十三动点问题【例13-1】(2024云南)如图,在直三棱柱中,,且,点在线段(含端点)上运动,设.当平面时,求实数的值.【例13-2】(2024上海)如图,已知正方形的边长为1,平面,三角形是等边三角形.(1)求异面直线与所成的角的大小;(2)在线段上是否存在一点,使得与平面所成的角大小为?若存在,求出的长度,若不存在,说明理由.【例13-3】(2024·宁夏中卫)如图1,菱形中,,,于E,将沿翻折到,使,如图2.(1)求三棱锥的体积;(2)在线段上是否存在一点F,使∥平面?若存在,求的值;若不存在,说明理由.考法十四最值【例14-1】(2024·江西)已知正方体的棱长为2,P为正方形ABCD内的一动点(包含边界),E、F分别是棱、棱的中点.若平面BEF,则AP的取值范围是(
)A. B. C. D.【例14-2】(2023湖南)如图,在棱长为1的正方体中,分别为棱的中点,过作该正方体外接球的截面,所得截面的面积的最小值为(
)
A. B. C. D.【例14-3】(2024·山东)已知直三棱柱外接球的直径为6,且,,则该棱柱体积的最大值为(
)A.8 B.12 C.16 D.24【例14-4】(2024湖南)已知圆锥的底面面积为,其侧面展开图的圆心角为,则过该圆锥顶点做截面,截面三角形面积最大值为(
)A. B. C.2 D.单选题1.(2024陕西咸阳·阶段练习)下列说法,正确的有(
)A.如果一条直线与另两条直线都相交,那么这三条直线必共面B.如果三条直线两两都相交,那么它们能确定一个平面C.如果三条直线相互平行,那么这三条直线在同一个平面上D.如果一条直线与两条平行直线都相交,那么这三条直线确定一个平面2.(2024·湖北武汉)陀螺是中国民间较早的娱乐工具之一,它可以近似地视为由一个圆锥和一个圆柱组合而成的几何体,如图1是一种木陀螺,其直观图如图2所示,,分别为圆柱上、下底面圆的圆心,为圆锥的顶点,若圆锥的底面圆周长为,高为,圆柱的母线长为4,则该几何体的体积是(
)
A. B. C. D.3(2023·全国·假期作业)如图,圆柱中,是侧面的母线,是底面的直径,是底面圆上一点,则(
)
A.平面B.平面C.平面D.平面4.(2023江苏)在三棱锥中,,,则异面直线与所成角的余弦值是(
)A. B. C. D.5.(2023·全国·高一随堂练习)已知直线a,b异面,下列判断正确的是(
)A.过b的平面不可能与a平行 B.过b的平面不可能与a垂直C.过b的平面有且仅有一个与a平行 D.过b的平面有且仅有一个与a垂直6.(2024·江西赣州)在棱长为1的正方体中,为棱的中点,过且平行于平面的平面截正方体所得截面面积为(
)A. B. C. D.7.(2024·安徽合肥)已知四面体的各顶点都在同一球面上,若,平面平面,则该球的表面积是(
)A. B. C. D.8.(2024·吉林·模拟预测)某公司需要把直径为20cm的实心铁球融化后浇注为一个棱长为的正方体实心模具(不计损耗),则至少需要(
)A.5个这样的实心铁球 B.6个这样的实心铁球C.7个这样的实心铁球 D.8个这样的实心铁球多选题9.(2023·浙江温州)正三角形的边长为,如图,为其水平放置的直观图,则(
)
A.为锐角三角形B.的面积为C.的周长为D.的面积为10.(2024·江苏徐州)已知圆台的上、下底面直径分别为2,6,高为,则(
)A.该圆台的体积为B.该圆台外接球的表面积为C.用过任意两条母线的平面截该圆台所得截面周长的最大值为16D.挖去以该圆台上底面为底,高为的圆柱后所得几何体的表面积为11.(2024江西)在下列底面为平行四边形的四棱锥中,A,B,C,M,N是四棱锥的顶点或棱的中点,则MN∥平面ABC的有(
)A.
B.
C.
D.
12.(2023江西·期中)在正方体中,,分别是,的中点,则(
)A.平面B.C.平面截此正方体所得截面为四边形D.平面截此正方体所得截面为四边形填空题13.(2023四川)在三棱柱中,平面,为正三角形,,则与平面所成角的正切值为.14.(2023上海·期末)在直三棱柱中,,则点到平面的距离为.15.(2023广东)如图,在棱长为4的正方体中,的中点是P,过直线作与平面平行的截面,则该截面的面积为.
16.(2023北京·开学考试)正方体中,E是棱的中点,F是侧面内的动点,且平面,若正方体的棱长是2,则线段的最小值.
解答题17.(2024内蒙古包头)如图,在四棱锥中,底面为正方形,平面,为的中点,为与的交点.
(1)证明://平面;(2)求三棱锥的体积.18(2023上海闵行)已知四边形为直角梯形,,,为等腰直角三角形,平面⊥平面,E为的中点,,.
(1)求证:平面;(2)求证:⊥平面;(3)求三棱锥的体积.19(2024江西宜春·期中)如图,已知长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AA1=AD=1,求:(1)平面ADD1A1与平面BCC1B1的距离.(2)点D1到直线AC的距离.(3)直线AB与面A1DCB1的距离.20.(2024河北沧州·期末)如图,四棱锥的侧面是边长为2的正三角形,底面为矩形,且平面平面,,分别为,的中点,二面角的正切值为2.(1)求四棱锥的体积;(2)证明:(3)求直线与平面所成角的正弦值.21.(2024吉林)如图1,在等边中,是边上的高,、分别是和边的中点,现将沿翻折成使得平面平面,如图2.
(1)求证:平面;(2)在线段上是否存在一点,使?若存在,求的值;若不存在,请说明理由.22(2024·四川遂宁)如图,在三棱柱中,直线平面,平面平面.
(1)求证:;(2)若,在棱上是否存在一点,使得四棱锥的体积为?若存在,指出点的位置;若不存在,请说明理由.
第八章立体几何初步章末小结及测试考法一空间几何体的结构特征【例1-1】(2024高一下·全国·专题练习)观察下面的几何体,哪些是棱柱?(
)A.(1)(3)(5) B.(1)(2)(3)(5)C.(1)(3)(5)(6) D.(3)(4)(6)(7)【答案】A【解析】根据棱柱的结构特征:一对平行的平面且侧棱相互平行的几何体,所以棱柱有(1)(3)(5).故选:A.【例1-2】(2024广东深圳)(多选)下列说法错误的是(
)A.两个面平行,其余各面都是梯形的多面体是棱台B.有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是棱锥C.两个面平行,其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱D.平行于同一直线的两直线平行【答案】ABC【解析】对于A,棱台是由平行于棱锥底面的平面截棱锥得到的,它应该保证各侧棱延长后交于一点,故A错误;对于B,棱锥有一个面是多变形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,故B错误;对于C,如图所示,
若下面是一个正四棱柱,上面是一个以正四棱柱上底面为下底面的斜四棱柱,但它们的组合体不是棱柱,故C错误;对于D,由平行线的传递性可知D正确.故选:ABC.【例1-3】(2024黑龙江)下列说法中不正确的是(
)A.底面是正多边形的棱锥是正棱锥B.有两个平面互相平行,其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱C.棱台的上,下底面可以不相似,但侧棱长一定相等D.圆锥的顶点与底面圆周上的任一点的连线都是母线【答案】ABC【解析】如果一个棱锥的底面是正多边形,且顶点在底面的射影是底面的中心,这样的棱锥叫正棱锥,故A错;有两个面平行其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱错误,即B错误,反例如图:棱台是由平行于底面的平面截得的,故棱台的上下底面一定相似,但侧棱长不一定相等,故C错;圆锥底面圆周上任意一点与圆锥顶点的连线叫做圆锥的母线,故D对.故选:ABC【例1-4】(2023四川内江)(多选)下列说法中正确的有(
)A.正四面体是正三棱锥. B.棱锥的侧面是全等的三角形.C.正三棱锥是正四面体. D.延长棱台所有侧棱,它们会交于一点.【答案】AD【解析】A选项,正四面体的四个面都是等边三角形,是正三棱锥,A选项正确.B选项,棱锥的侧面是三角形,不一定全等,B选项错误.C选项,正三棱锥的侧棱长和底面棱长不一定相等,所以正三棱锥不一定是正四面体,C选项错误.D选项,根据棱台的定义可知,延长棱台所有侧棱,它们会交于一点,D选项正确.故选:AD考法二空间几何体的直观图【例2-1】(2023甘肃)如图,一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形,且,,则该平面图形的高为()A. B.2 C. D.【答案】C【解析】在直角梯形中,,,则,直角梯形对应的原平面图形为如图中直角梯形,,所以该平面图形的高为.故选:C.【例2-2】(2024高一下·全国·专题练习)如图,四边形的斜二测画法直观图为等腰梯形,已知,则下列说法正确的是()A.B.C.四边形的周长为D.四边形的面积为【答案】D【解析】如图过作,由等腰梯形可得:是等腰直角三角形,即,即B错误;还原平面图为下图,即,即A错误;过C作,由勾股定理得,故四边形ABCD的周长为:,即C错误;四边形ABCD的面积为:,即D正确.故选:D.考法三空间几何体的体积与表面积【例3-1】(2024·黑龙江)冰嘎别名冰尜,是东北民间少年儿童游艺品,俗称“陀螺”.通常以木镟之,大小不一,一般径寸余,上端为圆柱形,下端为锥形.如图所示的是一个陀螺立体结构图.己知分别是上、下底面圆的圆心,,底面圆的半径为2,则该陀螺的体积为(
)
A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意可知圆柱的高为,故该陀螺的体积为,故选:D【例3-2】(2024山东潍坊)已知圆锥的侧面展开图是半径为的半圆,则该圆锥的体积为(
)A. B. C. D.【答案】C【解析】由圆锥的侧面展开图是半径为的半圆,可得圆锥的母线长,设圆锥的底面半径为r,则,解之得,则圆锥的高则该圆锥的体积为故选:C【例3-3】(2024·全国·模拟预测)如图,已知四棱锥中,四边形为平行四边形,分别为侧棱的中点,过三点的平面将该四棱锥分成两部分,两部分的体积分别记为,则(
)
A. B. C. D.【答案】C【解析】题意可知,,,如图,连接,则平面就是截面,将四棱锥分成的两部分分别是四棱锥和五面体.连接三棱锥和三棱锥的底面共面,三棱锥和三棱锥的高相等,它们体积的比值等于底面积的比值.又,(在边上的高和在边上的高相等),.因为点为的中点,点和点到平面的距离相等,.因为四边形为平行四边形,.设四棱锥的体积为,则,,又,即,.故选:C.【例3-4】(2023·河北邢台)半正多面体(semiregularsolid)亦称“阿基米德多面体”,是由边数不完全相同的正多边形围成的多面体,体现了数学的对称美,二十四等边体就是一种半正多面体,如图,棱长为2的正方体截去八个一样的四面体就得到二十四等边体,则该二十四等边体的体积为(
)A. B. C. D.【答案】A【解析】由题设,该二十四等边体是正方体去掉八个角得到,各顶点在正方体棱的中点上,如下图,故该二十四等边体的体积为.故选:A考法四外接球与内切球【例4-1】(2024·山东菏泽)如图,在正四棱台中,,,该棱台体积,则该棱台外接球的表面积为.
【答案】【解析】连接,取的中点,连接,则外接球球心在直线上,设球心为,如图所示,则,
则⊥平面,因为正四棱台中,,,故,所以,设四棱台的高为,故,解得,故,设,则,,故,解得,故半径,故该棱台外接球的表面积为.故答案为:【例4-2】(2023浙江·期末)在直三棱柱中,,,,,则该直三棱柱的外接球的表面积为.【答案】【解析】因为,,,则,则,将直三棱柱补成长方体,如下图所示:
所以,直三棱柱的外接球直径为,因此,该直三棱柱的外接球的表面积为.故答案为:.【例4-3】(2024广东佛山)已知三棱锥的三条侧棱两两垂直,且,则该三棱锥的内切球的半径为.【答案】【解析】设该三棱锥的体积为,表面积为,内切球的半径为,球心为,则,且,则,∵三棱锥的三条侧棱两两垂直,且,∴,∴,又,∴,∴,又,,,∴,∴由,得,因此.故答案为:.【例4-4】(2024北京)小张同学将一块棱长为的正方体形状橡皮泥重新捏成一个正四面体(过程中橡皮泥无损失),则该四面体外接球的体积为(
)A. B. C. D.【答案】C【解析】设正四面体的棱长为a,由题意可得,正方体的体积即为正四面体的体积,设正四面体如图,F为为底面的中心,E为的中点,F在上,
O为正四面体外接球的球心,则为四面体的高,O在上,则,则,即得,所以,又设正四面体外接球的半径R,则,即,即得,故外接球体积为.故选:C.考法五4个基本事实【例5-1】(2024河南洛阳)下列命题中,真命题有(
)①如果两条相交直线与另外两条相交直线分别平行,那么这两条相交直线和另外两条相交直线所成的锐角或直角相等;②如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直,那么这两个角相等或互补;③分别在两个不同的平面内且没有公共点的直线互相平行;④,若,,则或.A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】B【解析】由等角定理知,①正确,④正确;对于②,如图正方体中,对于和,显然有,,但是,,故②错误;当两直线没有公共点且它们位于不同的平面内,则也可以平行,也可以异面,故③错误.故正确的只有①④.故选:B【例5-2】(2024河南洛阳·阶段练习)如图,在正方体中,P,Q分别是棱,的中点,平面平面,则下列结论错误的是(
)A.过点BB.不一定过点BC.的延长线与的延长线的交点在上D.的延长线与的延长线的交点在上【答案】B【解析】连接,,如图,因为P,Q分别是棱,的中点,由勾股定理得,所以四边形是菱形,所以,P,B,Q四点共面,即平面.又平面,所以,故A结论正确,B结论错误.如图,延长与的延长线交于点F,延长与的延长线交于点E.因为平面,所以平面,因为平面,所以平面,所以,同理,故C,D正确.故选:B【例5-3】(2024上海·阶段练习)已知正方体,设直线平面,直线平面,记正方体12条棱所在直线构成的集合为.给出下列四个命题:①中可能有4条直线与a异面;②中可能有5条直线与a异面;③中可能有8条直线与b异面;④中可能有10条直线与b异面.A.①②③ B.①④ C.①③④ D.①②④【答案】C【解析】当直线取时,中只有四条直线(、、、)与直线异面,故①正确;因为直线平面,所以不可能与直线异面,当直线过底面两个顶点时,若直线为底面边所在直线,则由①可知,此时只有四条直线与直线异面;若直线为底面对角线,不妨设为,此时有超过5条直线与直线异面;当直线只过底面一个顶点(不妨设过顶点)时,此时至少有超过5条直线与直线异面;当直线不过底面任何一个顶点时,此时至少有超过5条直线与直线异面;综上,中不可能有5条直线与a异面,故②错误;当直线取线段AD中点与线段的中点连线时,中除了AD和之外的10条棱均与直线异面,故④正确;当直线取A点与线段的中点连线时,中除了AD、、AB和之外的8条棱均与直线异面,故③正确;故选:C.考法六空间几何体的平行【例6-1】(2024广东)如图,直四棱柱被平面所截,截面为CDEF,且,,,平面与平面所成角的正切值为.证明:.【答案】证明见解析【解析】在直四棱柱中,平面平面,平面,平面,则,而且,又,因此且,则四边形是平行四边形,所以,又,,所以.【例6-2】(2024湖北)如图,在正三棱柱中,分别是,,的中点,,求证:平面;【答案】证明见解析【解析】取的中点,连接,,根据题意可得,且,,可得由三棱柱得性质知,所以,即,则四边形是平行四边形,所以,因为面,面,所以面.【例6-3】(2023广东)如图,在正方体中,E,F分别为,中点,G,H分别为,中点,O为平面中心.证明:平面‖平面;【答案】证明见解析【解析】连接,,∵为正方体,为平面的中心,∴‖,‖,,为中点,∵为中点,为中点,∴‖‖,,∴四边形为平行四边形,‖,∵分别为中点,分别为中点,∴‖,‖,∴‖,∵平面,平面,∴‖平面,∥平面,∵,平面,∴平面∥平面.【例6-4】(2024江西南昌·期中)已知四棱锥,底面是菱形,底面,且,点分别是棱和的中点.(1)求证:平面;(2)求三棱锥的体积.【答案】(1)证明见解析;(2).【解析】(1)在四棱锥中,底面是菱形,取的中点,连接.由分别为的中点,得,又是的中点,则,于是,因此四边形为平行四边形,即有,而平面平面,所以平面.(2)由底面,且,为中点,得点到底面的距离为1,菱形中,,则,因此,所以,即三棱锥的体积为.考法七空间几何体的垂直【例7-1】(2024高一下·全国·专题练习)如图;在直三棱柱中,,,.求证;
【答案】证明见解析【解析】证明:在中,因为,可得,所以为直角三角形,可得,由在直三棱柱中,可得平面,且平面,所以,因为又,且平面,所以平面,又因为平面,所以.【例7-2】(2024陕西渭南)如图,四棱锥的底面是矩形,底面,,分别是,的中点.求证:
(1)平面;(2).【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】(1)四棱锥的底面是矩形,,平面,平面,,又,、平面,平面;(2)由(1)知平面,同理可得,平面,,分别是,的中点,,平面,又平面,.【例7-3】(2024云南)如图,在四棱锥中,,,四边形是菱形,,是棱上的动点.证明:平面.【答案】证明见解析【解析】因为四边形是菱形,所以.因为,,平面,且,所以平面.因为平面,所以.因为,所以,即.因为,平面,且,所以平面.【例7-4】.(2024高一下·全国·专题练习)已知平面五边形如图1所示,其中,是正三角形.现将四边形沿翻折,使得,得到的图形如图2所示.求证:平面平面.【答案】证明见解析【解析】如图,取的中点,连接,因为是等边三角形,为的中点,所以,因为,所以,因为,,,所以四边形为矩形,所以,又因为,所以,即,因为,,,平面,所以平面,又因为平面,所以平面平面.考法八空间角【例8-1】(2023山东)在正方体中,,,,分别为,,,的中点,则异面直线与所成角的大小是(
)A. B. C. D.【答案】C【解析】在正方体中,连接,由分别为的中点,得分别为中点,而分别为的中点,则,,因此或其补角是异面直线与所成的角,在中,,则,所以异面直线与所成角的大小是.故选:C【例8-2】(2024四川宜宾·阶段练习)已知正三棱柱的侧棱长与底面边长相等,则与侧面所成角的正弦值为(
)A. B. C. D.【答案】A【解析】在正三棱柱中,取的中点,连接,则,而平面,平面,于是,又平面,因此平面,则是直线与平面所成的角,,所以直线与平面所成角的正弦值为.故选:A【例8-3】(2024陕西)四边形是正方形,平面,且.求:
(1)二面角的平面角的度数;(2)二面角的平面角的度数;(3)二面角的平面角的度数.【答案】(1)(2)(3)【解析】(1)平面,平面,,又四边形为正方形,,平面,平面,又平面,平面平面,二面角的平面角的度数为;(2)平面,平面,平面,,.为二面角的平面角.又由题意可得,二面角的平面角的度数为;(3)平面,平面,平面,,.为二面角的平面角.又四边形为正方形,,即二面角的平面角的度数为考法九空间距离【例9-1】(2023北京·期中)正方体的棱长为a,则棱到面的距离为(
)A. B.a C. D.【答案】C【解析】如图,连接,它们交于点,正方形中,又平面,平面,所以,平面,所以平面,所以的长即为棱到面的距离,而,所以所求距离为.故选:C.【例9-2】(2024上海)如图,已知长方体中,棱,,为中点,则点到平面的距离是.【答案】/【解析】设点到平面的距离为,因为,,为中点,所以,所以为等边三角形,所以,因为,所以,所以,解得,故答案为:.【例9-3】(22-23高一·全国·课时练习)正方体中,边长为4,则异面直线与的距离为.【答案】/【解析】如图,正方体中,,,是平行四边形,∴,同理,分别是上下底面对角线的交点,,分别与交于点,连接相应的线段,平面,平面,∴平面,同理平面,又,平面,∴平面平面,由于与平行且相等,因此是平行四边形,∴,而分别是中点,因此,正方体棱长为4,则对角线,,平面,是在平面内的射影,,平面,∴,同理,,平面,所以平面,∴平面,∴平面与平面的距离为,而平面,平面,且与是异面直线,所以异面直线与的距离等于平面与平面的距离为,故答案为:.考法十数学符号表示定理的判断【例10-1】(2024·四川巴中)已知直线m,n与平面,、,下列命题中正确的是(
)A.若,,则B.若,,则C.若,,,则D.若,,,则【答案】B【解析】对于A,若,,则可能相交或平行,A错误;对于B,因为,过m作平面γ和平面交于n,则,而,故,又,故,B正确;对于C,若,,则,又,则可能有,也可能有,C错误;对于D,若,,,则可能或或相交,D错误;故选:B【例10-2】(2024陕西西安)设为两条直线,为两个平面,若,则(
)A.若,则 B.若,则C.若,则 D.若,则【答案】C【解析】对于A中,若且,则与平行、相交或异面,所以A不正确;对于B中,若且,则与平行、相交或异面,所以B不正确;对于C中,若且,如图所示,取点,过点,作,则,设,可得,因为,且平面,所以平面,又因为平面,所以,所以为与所成角的平面角,由,可得,即,所以四边形为矩形,所以,所以,所以C正确;对于D中,若且,则与平行、相交或异面,所以D不正确.故选:C.考法十一截面问题【例11-1】(2023陕西渭南·期末)从长方体的一个顶点出发的三条棱上各取一点、、,过此三点作长方体的截面,那么截去的几何体是(
)A.三棱柱 B.三棱锥 C.四棱柱 D.四棱锥【答案】B【解析】如图所示,
截去的立体图形有四个面,四个顶点,六条边,所以该几何体为三棱锥.故选:B.【例11-2】(2024云南红河·期中)如图,正方体的棱长为2,、分别是、的中点,沿过、、点的截面截去四面体,再沿过三点的截面截去四面体后,所得几何体的体积为(
)
A.5 B.6 C.7 D.8【答案】C【解析】由题,,,所以该几何体的体积.故选:C.【例11-3】(2024陕西)如图所示,棱长为1的正四面体形状的木块,点是的中心,过点将木块锯开,并使得截面平行于和,则下列关于截面的说法正确的个数为(
)①截面是矩形;②截面不是平行四边形;③截面的面积为;④截面与侧面的交线平行于侧面.
A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】由题意可知,点是的中心,过点P作,
分别交于,作交于G,设平面与交于点H,由于平面,平面,故平面,同理平面,即四边形即为截面,由于平面,平面平面,平面,故,同理,故四边形为平行四边形,即截面是平行四边形,②错误;设M为的中点,连接,则,平面,故平面,平面,故,而,,故,即平行四边形为矩形,即截面是矩形,①正确;因为点是的中心,则,故,故矩形的面积为,即截面的面积为,③正确;由于截面与侧面的交线为,且,平面,平面,故平面,即截面与侧面的交线平行于侧面,④正确,故选:C【例11-4】(2023·广西玉林·阶段练习)如图,在棱长为4的正方体中,的中点是P,过点作与截面平行的截面,则该截面的周长为(
)
A. B. C. D.4【答案】C【解析】分别取的中点,连接,可得,可得四边形为平行四边形,可得,因为,所以四边形为平行四边形,可得,所以,所以四边形为平行四边形,,平面即为过点的截面,平面,平面,所以平面,因为,所以四边形为平行四边形,可得,平面,平面,所以平面,且,平面,所以平面平面,,,所以截面的周长为.
故选:C.【例11-5】(2024高一下·全国·专题练习)在正方体中,下列四对截面中,彼此平行的一对截面是(
).A.截面与截面 B.截面与截面C.截面与截面 D.截面与截面【答案】B【解析】如图,选项A、B、C、D分别对应图1、图2、图3、图4.
对于A,与相交,截面与相交,故A错误;对于B,截面与平行.证明:因为,所以四边形为平行四边形,所以,又平面,平面,所以平面,同理可证平面,,平面,所以平面平面.故B正确;对于C,截面与相交于D点,故C错误;对于D,与相交,截面与相交,故D错误;故选:B.考法十二轨迹长度【例12-1】(2024·山东潍坊)如图所示,在棱长为1的正方体中,点为截面上的动点,若,则点的轨迹长度是(
)A. B. C. D.1【答案】B【解析】在棱长为1的正方体中,连接,由平面,平面,得,而,平面,则平面,又平面,于是,同理,而平面,因此平面,因为,则平面,而点为截面上的动点,平面平面,所以点的轨迹是线段,长度为.故选:B【例12-2】.(2023浙江绍兴)已知点是边长为1的正方体表面上的动点,若直线与平面所成的角大小为,则点的轨迹长度为(
)A. B. C. D.【答案】D【解析】若点P在正方形内,过点P作平面于,连接.则为直线与平面所成的角,则,又,则,得,则点的轨迹为以为圆心半径为1的圆(落在正方形内的部分),若点P在正方形内或内,轨迹分别为线段和,因为点P不可能落在其他三个正方形内,所以点的轨迹如图所示:故点P的轨迹长度为.故选:D【例12-3】(2023四川内江·阶段练习)如图,在直三棱柱中,,,,N为棱上的中点,M为棱上的动点,过N作平面ABM的垂线段,垂足为点O,当点M从点C运动到点时,点O的轨迹长度为(
)A. B. C. D.【答案】B【解析】取中点为,连接,由已知可得,中点为,所以,.又N为棱上的中点,所以,.根据直三棱柱的性质可知,平面,所以平面.因为平面,所以.因为平面,,所以,平面.因为平面,所以平面平面.过点作,因为平面平面,平面,所以,平面.又平面,平面,所以,重合.所以,,.所以,当点M从点C运动到点时,点的轨迹为以为直径的圆的一部分.当点位于点时,点到最高点,此时,,,,.所以,弧长.故选:B.考法十三动点问题【例13-1】(2024云南)如图,在直三棱柱中,,且,点在线段(含端点)上运动,设.当平面时,求实数的值.【答案】【解析】如图,连接,交于点,连接,为的中点,且平面平面,平面,平面,,为的中点,即实数的值为.【例13-2】(2024上海)如图,已知正方形的边长为1,平面,三角形是等边三角形.(1)求异面直线与所成的角的大小;(2)在线段上是否存在一点,使得与平面所成的角大小为?若存在,求出的长度,若不存在,说明理由.【答案】(1);(2)存在,1【解析】(1)因为为正方形,则,则异面直线与所成的角为与所成的角,即或其补角,因为三角形是等边三角形,则平面,平面,,.所以异面直线AC与BD所成的角为.(2)作交于点,连接,平面,平面,则与平面所成的角为,设,则,则.【例13-3】(2024·宁夏中卫)如图1,菱形中,,,于E,将沿翻折到,使,如图2.(1)求三棱锥的体积;(2)在线段上是否存在一点F,使∥平面?若存在,求的值;若不存在,说明理由.【答案】(1)(2)存在,.【解析】(1)解:由题可知在菱形中,,,,故,所以在四棱锥中,,又,所以平面,且,连接,因为则,所以.故棱锥的体积为.(2)解:设线段的中点为,线段的中点为,连接,因为点为的中点,点为的中点,所以,又由(1)得,,所以,所以四边形为平行四边形,故,又平面,平面,所以平面,此时点为的中点,故.考法十四最值【例14-1】(2024·江西)已知正方体的棱长为2,P为正方形ABCD内的一动点(包含边界),E、F分别是棱、棱的中点.若平面BEF,则AP的取值范围是(
)A. B. C. D.【答案】A【解析】连接,则,又平面,平面,故平面,
设为BC的中点,连接,由于F分别是棱的中点,故,则四边形为平行四边形,故,又平面,平面,故平面,又平面,故平面平面,由于平面BEF,故平面,又因为P为正方形ABCD内的一动点,且平面平面,故AM即为动点P的轨迹,而,故AP的取值范围是,故选:A【例14-2】(2023湖南)如图,在棱长为1的正方体中,分别为棱的中点,过作该正方体外接球的截面,所得截面的面积的最小值为(
)
A. B. C. D.【答案】C【解析】如图,
正方体外接球的球心在其中心点处,球的半径,要使过的平面截该球得到的截面面积最小,则截面圆的圆心为线段的中点,连接,则,所以,此时截面圆的半径,此时,截面面积的最小值.故选:C.【例14-3】(2024·山东)已知直三棱柱外接球的直径为6,且,,则该棱柱体积的最大值为(
)A.8 B.12 C.16 D.24【答案】C【解析】在直三棱柱中,所以为直角三角形,则外接圆的圆心为斜边的中点,同理外接圆的圆心为斜边的中点,如图,直三棱柱外接球的直径为,外接球的半径,设上下底面的中心分别为,,连接,则外接球的球心为的中点,连接,则,设,所以,则,在中,,则,该棱柱的体积.当且仅当,即时等号成立.故选:C.【例14-4】(2024湖南)已知圆锥的底面面积为,其侧面展开图的圆心角为,则过该圆锥顶点做截面,截面三角形面积最大值为(
)A. B. C.2 D.【答案】C【解析】设圆锥的底面半径为r,母线长为l,高为h,由题意,,,,,可得轴截面顶角大于90°,过该圆锥顶点做截面,当截面三角形顶角为90°,即截面三角形为等腰直角三角形时面积最大,所以截面最大面积为,故选:C.单选题1.(2024陕西咸阳·阶段练习)下列说法,正确的有(
)A.如果一条直线与另两条直线都相交,那么这三条直线必共面B.如果三条直线两两都相交,那么它们能确定一个平面C.如果三条直线相互平行,那么这三条直线在同一个平面上D.如果一条直线与两条平行直线都相交,那么这三条直线确定一个平面【答案】D【解析】对于AB,当三条直线交于同一点时,三条直线可能不共面,故AB错误,对于C,当三条直线相互平行时,三条直线可能不共面,故C错误,对于D,一条直线与两条平行直线都相交,那么这三条直线确定一个平面,故D正确,故选:D2.(2024·湖北武汉)陀螺是中国民间较早的娱乐工具之一,它可以近似地视为由一个圆锥和一个圆柱组合而成的几何体,如图1是一种木陀螺,其直观图如图2所示,,分别为圆柱上、下底面圆的圆心,为圆锥的顶点,若圆锥的底面圆周长为,高为,圆柱的母线长为4,则该几何体的体积是(
)
A. B. C. D.【答案】C【解析】设圆锥的底面半径为r,则,高为,故圆锥的体积为,圆柱的底面半径也为,母线长也即高为4,则圆柱的体积为,故几何体的体积为,故选:C3(2023·全国·假期作业)如图,圆柱中,是侧面的母线,是底面的直径,是底面圆上一点,则(
)
A.平面B.平面C.平面D.平面【答案】A【解析】依题意平面,平面,所以,又是底面圆的直径,所以,,,平面,所以平面,故A正确;对于B,在中,,显然与不垂直,则不可能垂直平面,故B错误;对于C:在中,,显然与不垂直,则不可能垂直平面,故C错误;对于D:在中,,显然与不垂直,则不可能垂直平面,故D错误;故选:A.4.(2023江苏)在三棱锥中,,,则异面直线与所成角的余弦值是(
)A. B. C. D.【答案】B【解析】根据题意,画出三棱锥,分别作出的中点,的中点,的中点,连结,,,所得图形如下图:根据中位线的性质可得:,,且,,所以异面直线与所成角即为和所成锐角,由于,,所以在等边中,,同理在等边中,,故,所以为等边三角形,故,所以在中,,,,故由余弦定理可得:,由于异面直线的夹角范围为,所以异面直线与所成角为的补角,即异面直线与所成角的余弦值为.故选:B5.(2023·全国·高一随堂练习)已知直线a,b异面,下列判断正确的是(
)A.过b的平面不可能与a平行 B.过b的平面不可能与a垂直C.过b的平面有且仅有一个与a平行 D.过b的平面有且仅有一个与a垂直【答案】C【解析】
如图,与是异面直线,看作直线看作直线,对于A,过的平面,故A错;对于B,过的平面,故B错;对于C,在上任取一点,过点作交于点,因为,所以,又平面,平面,所以平面,又,所以确定的平面只有一个,所以过的平面有且仅有一个即平面与平行,故C正确;对于D,若与不垂直,则必不存在过的平面中,有一个垂直于,故D错.故选:C.6.(2024·江西赣州)在棱长为1的正方体中,为棱的中点,过且平行于平面的平面截正方体所得截面面积为(
)A. B. C. D.【答案】A【解析】在棱长为1的正方体中,取中点,中点,连结,而为棱中点,显然,,得四边形,四边形都是平行四边形,则,,平面,平面,于是平面,平面,又,平面,因此平面平面,又,,即四边形是平行四边形,则,显然平面平面,从而过且平行于平面的平面截正方体所得截面为四边形,又,即四边形为菱形,而,,所以四边形的面积为.故选:A7.(2024·安徽合肥)已知四面体的各顶点都在同一球面上,若,平面平面,则该球的表面积是(
)A. B. C. D.【答案】C【解析】过三角形的中心作平面的垂线,过三角形的中心作平面的垂线,两垂线交于点,连接,依据题中条件可知,为四面体的外接球球心,因为,所以,则,即外接球半径为,则该球的表面积为,故选:C.8.(2024·吉林·模拟预测)某公司需要把直径为20cm的实心铁球融化后浇注为一个棱长为的正方体实心模具(不计损耗),则至少需要(
)A.5个这样的实心铁球 B.6个这样的实心铁球C.7个这样的实心铁球 D.8个这样的实心铁球【答案】C【解析】直径为20cm的实心铁球的体积;一个棱长为的正方体实心模具的体积,设至少需要个这样的实心铁球,则,解得,,故至少需要7个这样的实心铁球.故选:C.多选题9.(2023·浙江温州)正三角形的边长为,如图,为其水平放置的直观图,则(
)
A.为锐角三角形B.的面积为C.的周长为D.的面积为【答案】CD【解析】如图,因为正三角形的边长为,故,所以,,在中,,由余弦定理得,,在中,,由余弦定理得,,选项A,在中,因为,由余弦定理知,故选项A错误;选项B和D,,故选项B错误,选项D正确;选项C,的周长为,故选项C正确.
故选:CD.10.(2024·江苏徐州)已知圆台的上、下底面直径分别为2,6,高为,则(
)A.该圆台的体积为B.该圆台外接球的表面积为C.用过任意两条母线的平面截该圆台所得截面周长的最大值为16D.挖去以该圆台上底面为底,高为的圆柱后所得几何体的表面积为【答案】BC【解析】由已知得圆台的上下底面半径分别为,对于A:圆台的体积为,A错误;对于B:如图是圆台的轴截面,外接球球心为,设外接球半径为,当球心在梯形内时,,解得,
当球心在梯形外时,,方程无解,
所以外接球的表面积,B正确;对于C:用过任意两条母线的平面截该圆台所得截面周长,其中轴截面的周长最大,又母线长为,则最大周长为,C正确;对于D:如图:挖去以该圆台上底面为底,高为的圆柱后所得几何体的表面积为,D错误.
故选:BC.11.(2024江西)在下列底面为平行四边形的四棱锥中,A,B,C,M,N是四棱锥的顶点或棱的中点,则MN∥平面ABC的有(
)A.
B.
C.
D.
【答案】AB【解析】对于A,设为的中点,底面为平行四边形,连接,则,而,,故,即四边形为平行四边形,故,而平面,平面,故平面,A正确;对于B,设为的中点,底面为平行四边形,连接,
则,而,,故,即四边形为平行四边形,故,而平面,平面,故平面,B正确;对于C,设为的中点,底面为平行四边形,连接,
设交于,连接,则,而,故,即四边形为平行四边形,故,又平面,平面,平面平面,假设平面,则,即在平面内过点有两条直线和都平行,这是不可能的,故此时平面不成立,C错误;对于D,设底面为平行四边形,连接交于点,交于,
则为的中点,连接,由于为的中点,故;又平面,平面,平面平面,假设平面,则,即在平面内过点有两条直线和都平行,这是不可能的,故此时平面不成立,D错误;故选:AB12.(2023江西·期中)在正方体中,,分别是,的中点,则(
)A.平面B.C.平面截此正方体所得截面为四边形D.平面截此正方体所得截面为四边形【答案】ABC【解析】对于A:取的中点,连接、,则,又平面,平面,所以平面,又且,所以四边形为平行四边形,所以,又平面,平面,所以平面,又,平面,所以平面平面,又平面平面,所以平面,故A正确;对于B:由正方体的性质可得平面,平面,所以,同理可证,,平面,所以平面,又平面,所以,故B正确;对于C:取的中点,的中点,连接、、、、、,则且,所以为平行四边形,所以,又,所以,所以、、、四点共面,即四边形为平面截此正方体所得截面,故C正确;对于D:连接并延长交的延长线于点,连接并延长交于点,交的延长线于点,连接交于点,连接、,则五边形即为平面截此正方体所得截面,故D错误;故选:ABC填空题13.(2023四川)在三棱柱中,平面,为正三角形,,则与平面所成角的正切值为.【答案】【解析】为中点,连接,如图所示,在三棱柱中,平面,则平面,平面,则,为正三角形,为中点,则,平面,,平面,在平面内的射影为,则与平面所成角为,,则,,,中,,所以与平面所成角的正切值为.故答案为:.14.(2023上海·期末)在直三棱柱中,,则点到平面的距离为.【答案】【解析】因为,所以,又三棱柱为直棱柱,所以平面,又平面,所以平面平面,又平面平面平面,所以平面,易得,在△中由余弦定理:得,故,于是,由棱柱性质得,平面,平面,所以平面,点到平面的距离即点到平面的距离,设为d因为,所以,解得故答案为:15.(2023广东)如图,在棱长为4的正方体中,的中点是P,过直线作与平面平
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