人教版高中数学精讲精练必修二7.2 复数的四则运算（含答案及解析）（人教版2019必修第二册）

7.2复数的四则运算考法一复数的加减运算【例1-1】（2023·贵州黔东南）已知复数，，则的实部与虚部分别为（

）A．， B．， C．， D．，【例1-2】（2024·内蒙古）复数，，其中，为实数，若为实数，为纯虚数，则（

）A． B． C．6 D．7【一隅三反】1．（2023·四川眉山）复数对应的点在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．（2023·全国·模拟预测）若复数，则（

）A．5 B． C．25 D．3．（2024·内蒙古）复数，其中为实数，若为实数，为纯虚数，则（

）A．6 B． C． D．74．（2021·高一课时练习）设z1=2+b，z2=a+，当z1+z2=0时，复数a+b为（

）A．1+ B．2+C．3 D．考法二复数加减运算的几何意义【例2-1】（2023上海）若向量分别表示复数，则=（

）A． B． C． D．【例2-2】（2023·江苏常州）已知，，，则（

）A． B． C． D．【一隅三反】1．（2023·河南郑州）复数与分别表示向量与，则表示向量的复数为（

）A． B． C． D．2．（2023·高一课时练习）复平面上有A、B、C三点，点对应的复数为，对应的复数为，对应的复数为，则点的坐标为．3．（2023·高一课时练习）在平行四边形ABCD中，若点A，C分别对应于复数，，则A，C两点间的距离为．考法三复数的乘除法运算【例3】（2023·全国·高一随堂练习）计算：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．【一隅三反】1.（2023·全国·高一随堂练习）计算：(1)；(2)；(3)；(4)．2．（2023·全国·高一随堂练习）计算：(1)；(2)；(3)；(4)．3.（2023湖北）计算：（1）；（2）．（3）；（4）．考法四在复数的范围内解方程【例4】（2024云南）在复数范围内解下列方程.(1)；(2)；(3).【一隅三反】1．（2023下·西藏林芝·高一校考期末）在复数范围内解下列方程：(1)；(2)．(3)；(4)．2（2024上海）已知是关于x的方程的一个根，求实数p、q的值及方程的另一个根．3（2024江苏）已知复数，i为虚数单位.（1）求和；（2）若复数z是关于x的方程的一个根，求实数m，n的值.考法五复数模的最值【例5】（2023·浙江）已知复数z满足，则的取值范围为．

【一隅三反】1．（2024·上海）已知，且，为虚数单位，则的最大值是．2．（2023·全国·模拟预测）设是复数且，则的最小值为3．（2024北京）（多选）已知i为虚数单位，下列说法正确的是（

）A．若复数z满足，则复数z在复平面内对应的点在以为圆心，为半径的圆上B．若复数z满足，则复数C．复数的模实质上是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模D．非零复数z1对应的向量为，非零复数z2对应的向量为，若，则考法六复数的综合运用【例6】（2024·浙江宁波）（多选）已知复数，，则下列结论正确的有（

）A． B． C． D．【一隅三反】1．（2024·云南德宏）（多选）已知是复数的共轭复数，则下列说法正确的是（

）A． B．若，则C． D．若，则的最小值为12（2023湖北）（多选）设，是复数，则（）A． B．若，则C．若，则 D．若，则3．（2024甘肃（多选））设是复数，则下列命题中的真命题是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则单选题1．（2024·湖南邵阳）下列各式的运算结果不是纯虚数的是（

）A． B．C． D．2．（2024·云南昆明）复数在复平面内对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．（2024上·山东枣庄）若是方程的一个虚数根，则（

）A．0 B．-1 C． D．-1或4．（2023·安徽）若复数满足，则的虚部为（

）A． B． C． D．5．（2024·湖北武汉）已知复数满足，则（

）A．3 B． C．7 D．136．（2023·广东中山）复数满足，其中为虚数单位，则（

）A． B．C． D．7．（2024·河北保定）已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限8．（2023·全国·统考模拟预测）已知复数，且，则的最小值为（

）A． B． C． D．多选题9（2023福建）若实数，满足，则（）A．的共轭复数为 B．C．的值可能为 D．10．（2024河北邢台）若复数z满足（其中是虚数单位），则（）A．z的实部是2 B．z的虚部是C． D．11．（2024·河南南阳）设复数的共轭复数为，则下列结论正确的有（

）A． B．C． D．12．（2023·湖南衡阳）在复平面内，复数，正确的是（

）A．复数的模长为1B．复数在复平面内对应的点在第二象限C．复数是方程的解D．复数满足填空题13．（2023·上海黄浦）复数，在复平面上对应的点分别为，，则；14．（2023·上海宝山）已知复数，满足，，，则在复平面所对应的点组成的图形的面积为．15．（2024·课时练习）若有两个数，它们的和是4，积为5，则这两个数是.16．（2023上海）已知为虚数单位，则集合中元素的个数为___________.解答题17．（2023·浙江·）已知复数z满足（i是虚数单位）(1)求z的值；(2)若复数在复平面内对应的点在第三象限，求实数m的取值范围.18．（2023·浙江）已知复数，其中是正实数，是虚数单位．(1)如果为纯虚数，求实数的值；(2)如果，是关于的方程的一个复根，求的值．19．（2023·广东东莞）已知和均为实数，其中是虚数单位.(1)求复数z；(2)若对应的点在第四象限，求实数m的取值范围.20．（2023·辽宁沈阳）在①复数z满足和均为实数；②为复数z的共轭复数，且；③复数是关于x方程的一个根，这三个条件中任选一个（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分），并解答问题：(1)求复数z；(2)在复平面内，若对应的点在第四象限，求实数m的取值范围.21．（2023上·广东深圳）已知复数，，其中i为虚数单位，且满足，且为纯虚数.(1)若复数，在复平面内对应点在第一象限，求复数z；(2)求；(3)若在（1）中条件下的复数z是关于x的方程的一个根，求实数m，n的值.22．（2024·全国·高三专题练习）已知关于的二次方程．(1)当为何值时，这个方程有一个实根？(2)是否存在，使得原方程有纯虚数根？若存在，求出的值；若不存在，试说明理由．

7.2复数的四则运算考法一复数的加减运算【例1-1】（2023·贵州黔东南）已知复数，，则的实部与虚部分别为（

）A．， B．， C．， D．，【答案】A【解析】因为，，所以，其实部与虚部分别为，.故选：A【例1-2】（2024·内蒙古）复数，，其中，为实数，若为实数，为纯虚数，则（

）A． B． C．6 D．7【答案】A【解析】由题意，，因为为实数，为纯虚数，所以，得，所以.故选：A.【一隅三反】1．（2023·四川眉山）复数对应的点在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【解析】由复数，可得复数在复平面内对应的点位于第二象限.故选：B.2．（2023·全国·模拟预测）若复数，则（

）A．5 B． C．25 D．【答案】A【解析】由，有，则，所以，故选：A．3．（2024·内蒙古）复数，其中为实数，若为实数，为纯虚数，则（

）A．6 B． C． D．7【答案】C【解析】复数，为实数，则，由为实数，得，解得，又，显然，由为纯虚数，得，解得，所以.故选：C4．（2021·高一课时练习）设z1=2+b，z2=a+，当z1+z2=0时，复数a+b为（

）A．1+ B．2+C．3 D．【答案】D【解析】因为z1+z2=(2+b)+(a+)=(2+a)+(b+1)=0，所以于是故.故选：D.考法二复数加减运算的几何意义【例2-1】（2023上海）若向量分别表示复数，则=（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，又向量分别表示复数，所以表示复数，所以.故选：B【例2-2】（2023·江苏常州）已知，，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】在复平面中，设分别与向量对应，由题意可得，，因为，即，解得，即.故选：B.【一隅三反】1．（2023·河南郑州）复数与分别表示向量与，则表示向量的复数为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】复数与分别表示向量与，因为，所以表示向量的复数为.故选：D.2．（2023·高一课时练习）复平面上有A、B、C三点，点对应的复数为，对应的复数为，对应的复数为，则点的坐标为．【答案】【解析】因为对应的复数是，对应的复数为，又，所以对应的复数为，又，所以点对应的复数为，所以点的坐标为．故答案为：．3．（2023·高一课时练习）在平行四边形ABCD中，若点A，C分别对应于复数，，则A，C两点间的距离为．【答案】5【解析】依题意得对应的复数为，所以A，C两点间的距离为．故答案为：5．考法三复数的乘除法运算【例3】（2023·全国·高一随堂练习）计算：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．【答案】(1)(2)(3)1(4)(5)(6)【解析】（1）（2）（3）（4）（5）（6）【一隅三反】1.（2023·全国·高一随堂练习）计算：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【解析】（1）（2）（3）（4）2．（2023·全国·高一随堂练习）计算：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【解析】（1）（2）（3）（4）；3.（2023湖北）计算：（1）；（2）．（3）；（4）．【答案】（1）513；（2）．（3）；（4）.【解析】（1）由于故（2）由于，，，故（3），，所以，，因此，原式；（4）因为，所以原式．考法四在复数的范围内解方程【例4】（2024云南）在复数范围内解下列方程.(1)；(2)；(3).【答案】(1)(2)(3)【解析】（1）∵，∴由求根公式得.（2）∵，∴由求根公式得.（3）∵，∴由求根公式得.【一隅三反】1．（2023下·西藏林芝·高一校考期末）在复数范围内解下列方程：(1)；(2)．(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)或．(4)或．【解析】（1）即为，故.（2）即为，故，所以.（3），则，则.（4）配方，得．或，所以或．2（2024上海）已知是关于x的方程的一个根，求实数p、q的值及方程的另一个根．【答案】，，另一个根．【解析】因为是方程的一个根，所以，即，所以，解得，所以方程为，因为，所以方程的另一个根是.3（2024江苏）已知复数，i为虚数单位.（1）求和；（2）若复数z是关于x的方程的一个根，求实数m，n的值.【解析】（1）复数，，．（2）复数是关于的方程的一个根，，，，，解得，．考法五复数模的最值【例5】（2023·浙江）已知复数z满足，则的取值范围为．【答案】【解析】表示对应的点是单位圆上的点，的几何意义表示单位圆上的点和之间的距离，的取值范围转化为点到圆心的距离加上半径可得最大值，减去半径可得最小值，所以最大距离为，最小距离为，所以的取值范围为.故答案为：.

【一隅三反】1．（2024·上海）已知，且，为虚数单位，则的最大值是．【答案】8【解析】因为且，所以，根据复数模的几何意义，表示以为圆心，3为半径的圆，所以，表示圆上的点和点的距离，因为圆心到点的距离为，，故答案为：2．（2023·全国·模拟预测）设是复数且，则的最小值为（

）A．1 B． C． D．【答案】C【解析】根据复数模的几何意义可知，表示复平面内以为圆心，1为半径的圆，而表示复数到原点的距离，由图可知，.故选：C3．（2024北京）（多选）已知i为虚数单位，下列说法正确的是（

）A．若复数z满足，则复数z在复平面内对应的点在以为圆心，为半径的圆上B．若复数z满足，则复数C．复数的模实质上是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模D．非零复数z1对应的向量为，非零复数z2对应的向量为，若，则【答案】CD【解析】对于A项，设，则，由可得，，所以满足的复数z在复平面内对应的点在以为圆心，为半径的圆上，故A错误；对于B项，设，则，由可得，，根据复数相等的条件可得，解得，所以，故B项错误；对于C项，由复数的模的定义知C正确；对于D项，由的几何意义知，以为邻边的平行四边形为矩形，从而两邻边垂直，故D正确.故选：CD.考法六复数的综合运用【例6】（2024·浙江宁波）（多选）已知复数，，则下列结论正确的有（

）A． B． C． D．【答案】BC【解析】设，，其中.对于选项A:，所以与不一定相等，故选项A错误；对于选项B:因为，所以，因为，所以,故选项B正确；对于选项C:因为,所有因为，所以,故选项C正确；对于选项D:因为，所以，而与不一定相等,故选项D错误；故选：BC.【一隅三反】1．（2024·云南德宏）（多选）已知是复数的共轭复数，则下列说法正确的是（

）A． B．若，则C． D．若，则的最小值为1【答案】CD【解析】对于A，设，则，但，故A错误；对于B，令，满足，故B错误；对于C，设，则所以，则，所以，故C正确；对于D，设，则，即，表示以为圆心，半径为1的圆，表示圆上的点到的距离，故的最小值为，故D正确.故选：CD2（2023湖北）（多选）设，是复数，则（）A． B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】AC【解析】设，，a，b，x，，，A成立；，则，所以，，从而，所以，C成立；对于B，取，，满足，但结论不成立；对于D，取，，满足，但结论不成立.故选：AC3．（2024甘肃（多选））设是复数，则下列命题中的真命题是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】ABC【解析】对于A，因，则，即，则为真，A正确；对于B，因，则和互为共轭复数，则为真，B正确；对于C，设，因，则，即，于是得，则为真，C正确；对于D，当，有，而，即为假，D不正确.故选：ABC单选题1．（2024·湖南邵阳）下列各式的运算结果不是纯虚数的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】对于A，，故A正确；对于B，，故B正确；对于C，，故C正确；对于D，，故D错误.故选：D.2．（2024·云南昆明）复数在复平面内对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【解析】由题意，所以复数在复平面内对应的点为，它在第一象限.故选：A.3．（2024上·山东枣庄）若是方程的一个虚数根，则（

）A．0 B．-1 C． D．-1或【答案】A【解析】方程化为：，依题意，或，显然，又，即，所以.故选：A4．（2023·安徽）若复数满足，则的虚部为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由，得，所以，即的虚部为故选：D．5．（2024·湖北武汉）已知复数满足，则（

）A．3 B． C．7 D．13【答案】B【解析】由题设，令，且，则所以，故，故.故选：B6．（2023·广东中山）复数满足，其中为虚数单位，则（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由，得，，对于A，，A正确；对于B，，B错误；对于C，，C错误；对于D，，D错误.故选：A7．（2024·河北保定）已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】A【解析】由，得，所以，所以，所以在复平面内对应的点为，位于第一象限.故选：A.8．（2023·全国·统考模拟预测）已知复数，且，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，，，，，所以，当时，，故的最小值为.故选：C.多选题9（2023福建）若实数，满足，则（）A．的共轭复数为 B．C．的值可能为 D．【答案】BCD【解析】因为.所以，，即，，则.解得或，故A错误，B，C，D均正确.故选：BCD.10．（2024河北邢台）若复数z满足（其中是虚数单位），则（）A．z的实部是2 B．z的虚部是C． D．【答案】CD【解析】依题意，两边乘以得，所以的实部为，虚部为，所以AB错误.，所以C正确.，所以D正确.故选：CD11．（2024·河南南阳）设复数的共轭复数为，则下列结论正确的有（

）A． B．C． D．【答案】AC【解析】对于A，，故A正确；对于B，，故B错误；对于C，，所以，故C正确；对于D，，，所以，故D错误.故选：AC12．（2023·湖南衡阳）在复平面内，复数，正确的是（

）A．复数的模长为1B．复数在复平面内对应的点在第二象限C．复数是方程的解D．复数满足【答案】AC【解析】由得，则对于A,，故A正确，对于B,复数在复平面内对应的点为，故该点位于第四象限，故B错误，对于C,,故是的复数根，故C正确，对于D，设复数对应的向量为到,复数对应的向量为,由得的距离为1，故复数对应点的在以为圆心，半径为1的圆上，故的最大值为，故D错误，故选：AC填空题13．（2023·上海黄浦）复数，在复平面上对应的点分别为，，则；【答案】【解析】因为复数，在复平面上对应的点分别为，，则，则故答案为：14．（2023·上海宝山）已知复数，满足，，，则在复平面所对应的点组成的图形的面积为．【答案】【解析】，是以复平面内点为圆心，以为半径的圆，，，，即，复数以复平面内点为圆心，半径为1和的两圆构成的圆弧，则在复平面所对应的点组成的图形的面积为：故答案为：.15．（2024·课时练习）若有两个数，它们的和是4，积为5，则这两个数是.【答案】【解析】设，依题意有，即，所以.将代入，得；将代入，解得；将代入，得，结合解得或.所以对应的数为、.故答案为：16．（2023上海）已知为虚数单位，则集合中元素的个数为___________.【答案】【解析】当时，；当时，；当时，；当时，，所以集合中元素的个数为．故答案为：．解答题17．（2023·浙江·）已知复数z满足（i是虚数单位）(1)求z的值；(2)若复数在复平面内对应的点在第三象限，求实数m的取值范围.【答案】(1)；(2).【解析】（1）由，得.（2）由（1）知，，由复数在复平面内对应的点在第三象限，得，解得，所以实数m的取值范围为.18．（2023·浙江）已知复数，其中是正实数，是虚数单位．(1)如果为纯虚数，求实数的值；(2)如果，是关于的方程的一个复根，求的值．【答案】(1)；(2).【解析】（1）解：因为，由为纯虚数，可得，解得；（2）解：因为，所以，，将代入方程