人教版高中数学精讲精练必修二7.1 复数的概念（含答案及解析）（人教版2019必修第二册）

7.1复数的概念考法一复数的实部与虚部【例1-1】（2023·河北衡水）复数，则复数z的虚部是（

）A． B． C． D．【例1-2】（2023河南）已知复数的实部和虚部分别是2和3，则实数的值分别是（

）A． B．C． D．【一隅三反】1．（2023·浙江舟山）若，则复数的实部、虚部分别是（

）A．， B．， C．， D．，2．（2023·河北邢台）复数，则（

）A．的实部为 B．的虚部为C．的实部为 D．的虚部为3．（2023·湖北）已知为虚数单位，复数的虚部与实部互为相反数，则实数（

）A． B． C．1 D．2考法二复数的分类【例2-1】（2023·全国·高一专题练习）已知复数为纯虚数，则实数．【例2-2】（2023·上海）若复数是实数，则实数.【一隅三反】1．（2023·四川绵阳）复数是纯虚数的充要条件是（

）A．且 B．C．且 D．2．（2023·广东广州）已知，若复数为纯虚数，则复数在复平面内对应的点所在的象限为（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．（2023·新疆喀什）已知复数（i为虚数单位），求适合下列条件的实数m的值；(1)z为实数；(2)z为虚数；(3)z为纯虚数.考法三复数相等【例3】（2023·河南商丘）适合的实数x、y的值为（

）A．且 B．且C．且 D．且【一隅三反】1．（2024河南）若，是虚数单位，，则＝（）A． B．C． D．2．（2023·全国·校联考三模）已知，则的值为（

）A． B．0 C．1 D．23．（2024广西）若，，则复数等于（

）A． B． C． D．考法四复数对应点的象限【例4-1】（2023·新疆阿克苏）复数在复平面上对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【例4-2】（2023·云南红河）已知复数在复平面内对应的点的坐标为，则（

）A． B． C． D．【例4-3】（2023·河南郑州·统考模拟预测）已知在复平面内对应的点位于第四象限，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【一隅三反】1．（2023·辽宁沈阳）复数在复平面内对应的点所在的象限为（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．（2023·福建）若（i是虚数单位，）对应的点在复平面内位于第四象限，则（

）A． B． C． D．或3．（2023·浙江嘉兴）已知，为虚数单位，复数.(1)若，求m的值；(2)若复数z对应的点在第三象限，求m的取值范围.考法五复数的模长【例5-1】（2023下·北京大兴·高一统考期末）已知在复平面内复数z对应的点的坐标为，则（

）A．3 B．4C．5 D．【例5-2】（2023·广东韶关）在复平面内，复数与分别对应向量和，其中为坐标原点，则（

）A．1 B．5 C． D．【一隅三反】1．（2023·新疆·校联考一模）已知复数满足，其中是虚数单位，则（

）A． B． C． D．2．（2024·辽宁铁岭）若复数满足，其中为虚数单位，则（

）A．2 B． C． D．33．（2023·新疆喀什）设复数，则的共轭复数的模为（

）A．7 B．1 C．5 D．254．（2023·云南）已知，则（

）A．2 B．4 C． D．8考法六虚数单位及性质【例6】（2023·河北张家口）.【一隅三反】1．（2023重庆沙坪坝）i表示虚数单位，则．2（2023·黑龙江牡丹江）．3．（2023·福建宁德）若是虚数单位，则.单选题1．（2023·新疆喀什）已知复数的实部是（

）A．0 B．2 C．3 D．2．（2023·江苏徐州）已知为虚数单位，则（

）A． B． C．1 D．3．（2024·全国·高一假期作业）若，，则复数等于（

）A． B． C． D．4．（2023·四川遂宁）如果复数是纯虚数,则实数=

(

)A． B． C． D．5．（2024·云南曲靖）在复平面内，复数对应的向量分别是，其中是坐标原点，则向量对应的复数为（

）A． B． C． D．6．（2023·安徽）若，其中a，，是虚数单位，则（

）A．2 B． C．3 D．57．（2023·辽宁抚顺）已知复数z在复平面内对应的点在第三象限，，，若，则z的虚部为（

）A．-3 B．3 C．-4 D．48．（2023山东）设a，b∈R，i为虚数单位，则“ab>0”是“复数a－bi对应的点位于复平面上第二象限”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件多选题9．（2024北京）（多选）对于复数(，∈R)，下列说法正确的是（

）A．若，则为纯虚数 B．若，则，C．若，则为实数 D．的平方等于110（2023江苏）（多选）已知，，，则下列结论正确的是（

）A．的虚部是2 B．C． D．对应的点在第二象限11．（2023·福建福州）的实部与虚部互为相反数，则的取值可能是（

）A． B． C． D．12．（2023下·重庆万州·高一校考阶段练习）在复平面内，复数对应的点位于第四象限，则实数的可能取值为（

）A．2 B．0 C． D．1填空题13．（2023·上海奉贤·统考一模）若，其中是虚数单位，则．14．（2023·河南省）已知复数（其中为虚数单位）为纯虚数，写出关于复数的一个正确结论：.15．（2023·北京石景山）已知纯虚数满足，则．16．（2024·全国·高三专题练习）写出一个模为2的非纯虚数.解答题17（2023·广西）当为何实数时，复数分别是：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数：(4)0？18．（2023·全国·高一随堂练习）在复平面内，作出表示下列各复数的点和所对应的向量：(1)；(2)；(3)；(4)；(5).19（2023·全国·高一随堂练习）设复数和复平面内的点Z对应，若点Z的位置满足下列要求，分别求实数m的取值范围，并写出你的求解思路：(1)不在实轴上；(2)在虚轴上；(3)在实轴下方（不包括实轴）；(4)在虚轴右侧（不包括虚轴）；(5)第三象限．20．（2023下·天津·高一统考期末）已知是虚数单位，复数，.(1)当时，求；(2)若是纯虚数，求的值；(3)若在复平面内对应的点位于第二象限，求的取值范围.21．（2023下·陕西商洛·高一统考期末）已知复数在复平面内对应的点位于第四象限．(1)若的实部与虚部之和为7，且，求；(2)若，且的实部不为0，讨论在复平面内对应的点位于第几象限．22．（2023下·山东菏泽·高一统考期中）设复数在复平面内对应的向量为，复数在复平面内对应的向量为，复数在复平面内对应的向量为，且A，E，C三点共线.(1)求实数的值；(2)求的坐标；(3)已知点，若A，B，C，D四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A的坐标.

7.1复数的概念考法一复数的实部与虚部【例1-1】（2023·河北衡水）复数，则复数z的虚部是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，故虚部为.故选：B【例1-2】（2023河南）已知复数的实部和虚部分别是2和3，则实数的值分别是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】因为复数的实部和虚部分别是2和3，所以所以故选：C.【一隅三反】1．（2023·浙江舟山）若，则复数的实部、虚部分别是（

）A．， B．， C．， D．，【答案】B【解析】因为，所以复数的实部、虚部分别是、.故选：B2．（2023·河北邢台）复数，则（

）A．的实部为 B．的虚部为C．的实部为 D．的虚部为【答案】B【解析】因为，所以，所以与的实部均为1，A，C错误；的虚部为，B正确，D错误.故选：B.3．（2023·湖北）已知为虚数单位，复数的虚部与实部互为相反数，则实数（

）A． B． C．1 D．2【答案】B【解析】由题，，则．故选：B考法二复数的分类【例2-1】（2023·全国·高一专题练习）已知复数为纯虚数，则实数．【答案】0【解析】复数为纯虚数，所以，解得．故答案为：0【例2-2】（2023·上海）若复数是实数，则实数.【答案】【解析】复数是实数，则有，解得.故答案为：.【一隅三反】1．（2023·四川绵阳）复数是纯虚数的充要条件是（

）A．且 B．C．且 D．【答案】A【解析】若复数是纯虚数，则，；若，，则是纯虚数，所以复数是纯虚数的充要条件是且．故选：A．2．（2023·广东广州）已知，若复数为纯虚数，则复数在复平面内对应的点所在的象限为（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【解析】因为为纯虚数，所以，解得，所以复数，其复平面内对应的点在第四象限，故选：D3．（2023·新疆喀什）已知复数（i为虚数单位），求适合下列条件的实数m的值；(1)z为实数；(2)z为虚数；(3)z为纯虚数.【答案】(1)或；(2)且；(3).【解析】（1）当为实数时，，解得或；（2）当为虚数时，，解得且；（3）当为纯虚数时，，解得.考法三复数相等【例3】（2023·河南商丘）适合的实数x、y的值为（

）A．且 B．且C．且 D．且【答案】A【解析】根据复数相等的定义可得，，解得.故选：A．【一隅三反】1．（2024河南）若，是虚数单位，，则＝（）A． B．C． D．【答案】D【解析】因为，所以，，即，，所以．故选：D．2．（2023·全国·校联考三模）已知，则的值为（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】C【解析】因为，所以，由复数相等的充要条件得，所以.故选：C.3．（2024广西）若，，则复数等于（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，得，则，根据复数相等的充要条件得，解得，故．故选：B．考法四复数对应点的象限【例4-1】（2023·新疆阿克苏）复数在复平面上对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【解析】在复平面上对应的点为，位于第四象限.故选：D【例4-2】（2023·云南红河）已知复数在复平面内对应的点的坐标为，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题，，故，故选：D【例4-3】（2023·河南郑州·统考模拟预测）已知在复平面内对应的点位于第四象限，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】将整理化简可得，所以复数在复平面内对应的点坐标为，由点位于第四象限可得，解得，所以实数的取值范围是.故选：A【一隅三反】1．（2023·辽宁沈阳）复数在复平面内对应的点所在的象限为（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【解析】，所以该复数在复平面内对应的点为，在第二象限故选：B.2．（2023·福建）若（i是虚数单位，）对应的点在复平面内位于第四象限，则（

）A． B． C． D．或【答案】C【解析】复数对应的点为在复平面内位于第四象限则，解得.故选：C.3．（2023·浙江嘉兴）已知，为虚数单位，复数.(1)若，求m的值；(2)若复数z对应的点在第三象限，求m的取值范围.【答案】(1)或(2)【解析】（1）由题意得：，解得：或1，经检验，均满足题意，故m的值为或.（2）由题意得：，得，解得：，故m的取值范围是.考法五复数的模长【例5-1】（2023下·北京大兴·高一统考期末）已知在复平面内复数z对应的点的坐标为，则（

）A．3 B．4C．5 D．【答案】C【解析】因为在复平面内复数z对应的点的坐标为，所以，.故选：C.【例5-2】（2023·广东韶关）在复平面内，复数与分别对应向量和，其中为坐标原点，则（

）A．1 B．5 C． D．【答案】D【解析】由复数的几何意义知：，，，∴．故选:D．【一隅三反】1．（2023·新疆·校联考一模）已知复数满足，其中是虚数单位，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，则，故.故选：B.2．（2024·辽宁铁岭）若复数满足，其中为虚数单位，则（

）A．2 B． C． D．3【答案】C【解析】设，则，解得，，故，则故选：C3．（2023·新疆喀什）设复数，则的共轭复数的模为（

）A．7 B．1 C．5 D．25【答案】C【解析】复数的共轭复数为，则其模，故选：C.4．（2023·云南）已知，则（

）A．2 B．4 C． D．8【答案】C【解析】因为，所以.故选：C.考法六虚数单位及性质【例6】（2023·河北张家口）.【答案】0【解析】，故答案为：0.【一隅三反】1．（2023重庆沙坪坝）i表示虚数单位，则．【答案】1【解析】因为，所以且，所以，故答案为：.2（2023·黑龙江牡丹江）．【答案】/【解析】∵，∴，则，故原式．故答案为：.3．（2023·福建宁德）若是虚数单位，则.【答案】【解析】，故答案为：单选题1．（2023·新疆喀什）已知复数的实部是（

）A．0 B．2 C．3 D．【答案】D【解析】依题意，，所以复数的实部为.故选：D.2．（2023·江苏徐州）已知为虚数单位，则（

）A． B． C．1 D．【答案】A【解析】，故选：A3．（2024·全国·高一假期作业）若，，则复数等于（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，得，则，根据复数相等的充要条件得，解得，故．故选：B．4．（2023·四川遂宁）如果复数是纯虚数,则实数=

(

)A． B． C． D．【答案】C【解析】由复数是纯虚数，得，解得.故选：C.5．（2024·云南曲靖）在复平面内，复数对应的向量分别是，其中是坐标原点，则向量对应的复数为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题设，则，所以向量对应的复数为.故选：D6．（2023·安徽）若，其中a，，是虚数单位，则（

）A．2 B． C．3 D．5【答案】B【解析】若，即，得，解得，所以．故选：B7．（2023·辽宁抚顺）已知复数z在复平面内对应的点在第三象限，，，若，则z的虚部为（

）A．-3 B．3 C．-4 D．4【答案】A【解析】由题意得，所以，解得或，因为复数z在复平面内对应的点在第三象限，所以舍去，故，虛部为-3．故选：A.8．（2023山东）设a，b∈R，i为虚数单位，则“ab>0”是“复数a－bi对应的点位于复平面上第二象限”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【答案】B【解析】由题意知，“ab>0”可推出或，当a>0，b>0时，a－bi对应的点位于复平面上第四象限，当a<0，b<0时，a－bi对应的点位于复平面上第二象限，反之成立；所以“ab>0”是“复数a－bi对应的点位于复平面上第二象限”的必要不充分条件；故选：B.多选题9．（2024北京）（多选）对于复数(，∈R)，下列说法正确的是（

）A．若，则为纯虚数 B．若，则，C．若，则为实数 D．的平方等于1【答案】BC【解析】对于A，当时，为实数，故A错误；对于B，若，则解得，故B正确；对于C，若，则为实数，故C正确；对于D，的平方为，故D错误.故选：BC10（2023江苏）（多选）已知，，，则下列结论正确的是（

）A．的虚部是2 B．C． D．对应的点在第二象限【答案】ABC【解析】由复数相等可得解得所以，的虚部是2，所以A选项正确；，所以B选项正确；，所以C选项正确；对应的点在虚轴上，所以D选项不正确.故选：ABC11．（2023·福建福州）的实部与虚部互为相反数，则的取值可能是（

）A． B． C． D．【答案】ACD【解析】由题意得：，，解得：或，，或或，故选：ACD.12．（2023下·重庆万州·高一校考阶段练习）在复平面内，复数对应的点位于第四象限，则实数的可能取值为（

）A．2 B．0 C． D．1【答案】AD【解析】复数在复平面内对应的点的坐标为位于第四象限，则，所以符合题意的只有A、D.故选：AD填空题13．（2023·上海奉贤·统考一模）若，其中是虚数单位，则．【答案】/【解析】因为，则，即，所以.故答案为：14．（2023·河南省）已知复数（其中为虚数单位）为纯虚数，写出关于复数的一个正确结论：.【答案】【解析】由，解得，故.故答案为：15．（2023·北京石景山）已知纯虚数满足，则．【答案】2【解析】设，则，则，即舍去或，所以．故答案为：．16．（2024·全国·高三专题练习）写出一个模为2的非纯虚数.【答案】（答案不唯一）【解析】设，则．，又，，如，且为非纯虚数，符合题意．故答案为：（答案不唯一）解答题17（2023·广西）当为何实数时，复数分别是：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数：(4)0？【答案】(1)(2)(3)(4)【解析】（1）当，即时，复数是实数；（2）当，即时，复数是虚数；（3）当且，即时，复数是纯虚数；（4）当且，即时，复数．18．（2023·全国·高一随堂练习）在复平面内，作出表示下列各复数的点和所对应的向量：(1)；(2)；(3)；(4)；(5).【答案】答案见解析【解析】（1）因为复数对应的点为，向量为，如图：

（2）因为复数对应的点为，向量为，如图：

（3）因为复数对应的点为，向量为，如图：

（4）因为复数对应的点为，向量为，如图：

（5）因为复数对应的点为，向量为，如图：

19（2023·全国·高一随堂练习）设复数和复平面内的点Z对应，若点Z的位置满足下列要求，分别求实数m的取值范围，并写出你的求解思路：(1)不在实轴上；(2)在虚轴上；(3)在实轴下方（不包括实轴）；(4)在虚轴右侧（不包括虚轴）；(5)第三象限．【答案】(1)且.(2)(3)(4)(5)【解析】（1）由复数和复平面内的点Z对应，因为复数不在实轴