27.2.1 相似三角形的判定（第2课时）人教版九年级数学下册课件

相似三角形的判定（第二课时）

——第二十七章相似教学目标01.理解三边成比例的两个三角形相似02.理解两边成比例且夹角相等的两个三角形相似03.理解两角分别相等的两个三角形相似04.掌握判定直角三角形相方法05.灵活应用三角形相似的判定解决数学问题两平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.上节课我们通过应用平行线分线段成比例的基本事实学习了判定三角形相似的定理，大家回忆一下判定三角形相似的定理是什么？思考：还有哪些方法可以判定两个三角形相似呢？判定两个三角形全等时，除了可以验证它们所有的角和边分别相等外，还可以使用简便的判定方法(SSS，SAS，ASA，AAS)，类似地，判定两个三角形相似时，是不是也存在简便的判定方法呢？类似于判定三角形全等的SSS方法，我们能不能通过三边来判定两个三角形相似呢？同学们现在在纸上任意画一个三角形，再画一个三角形，使它的各边长都是原来三角形各边长的k倍，度量这两个三角形的角，它们分别相等吗？这两个三角形相似吗？结论：两个三角形的角分别相等，通过相似三角形的定义，三个角分别相等，三边成比例，所以这两个三角形相似.下面，我们尝试应用上面的定理进行证明.已知：如图，在△ABC和△A'B'C'中，求证：△ABC∽△A'B'C'.

D

EA'B'C'ABC分析:在AB上截取AD=A′B′,再过D作DE∥BC,得到△ADE∽△ABC,再证明△A′B′C′≌△ADE,则可得到△ABC∽△A′B′C′.已知：如图，在△ABC和△A'B'C'中，求证：△ABC∽△A'B'C'.证明：在AB上取AD=A'B'，过点D作DE//BC，交AC于点E∴DE=B'C',AE=A'C'.∵DE//BC又∵AD=A'B'，∴∴△ABC∽△ADE∴△ADE≌△A'B'C'∴△ABC∽△A'B'C'A'B'C'ABC

D

E△ADE是证明的中介,它把△ABC与△A′B′C′联系起来.归纳总结相似三角形的判断定理1：三边成比例的两个三角形相似.符号语言：AA'BCB'C'∵∴△ABC∽△A'B'C'.注意：类似于判定两个三角形全等的SAS的方法,能不能通过两边和夹角来判定两个三角形相似呢？利用刻度尺和量角器画△ABC和△A′B′C′,使∠A=∠A′,,△ABC∽△A′B′C′吗?在△ABC与△A1B1C1中，已知∠A=∠A1,.求证：△ABC∽△A1B1C1BACB1A1C1证明：在△A1B1C1的边A1B1

上截取点D，使A′D=AB．过点D作DE∥B1C1，交A1C1于点E.DE∵DE∥B1C1，∴△A1DE∽△A1B1C1.∴∴A1E=AC.

∴△A1B1C1∽△ABC.∴△A1DE≌△ABC，又∠A1=∠A.∴∵A1D=AB，,归纳总结相似三角形的判断定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.符号语言：AA'BCB'C'∵∴△ABC∽△A'B'C'.思考：在△ABC与△A′B′C′中,如果

那么△ABC与△A′B′C′一定相似吗?不一定相似回顾“两边对应相等,且其中一边的对角也相等的两个三角形不一定全等”时所举出的反例,试着画出两个三角形说明这两个三角形不一定相似如图,两个三角形两边对应成比例,且其中一边的对角也相等,这两个三角形不相似注意：两边对应成比例并且必须是夹角对应相等两三角形才一定相似例题巩固：根据下列条件，判断△ABC与△A′B′C′是否相似，并说明理由：(1)AB＝4cm，BC＝6cm，AC＝8cm，A′B′＝12cm，B′C′＝18cm，A′C′＝24cm.(2)∠A＝120°，AB＝7cm，AC＝14cm，∠A′＝120°，A′B′＝3cm，A′C′＝6cm.例题巩固：根据下列条件，判断△ABC与△A′B′C′是否相似，并说明理由：(1)AB＝4cm，BC＝6cm，AC＝8cm，A′B′＝12cm，B′C′＝18cm，A′C′＝24cm.(2)∠A＝120°，AB＝7cm，AC＝14cm，∠A′＝120°，A′B′＝3cm，A′C′＝6cm.观察两副三角尺如图所示，其中有同样两个锐角(30°与60°，或45°与45°)的两个三角尺大小可能不同，但它们看起来是相似的．思考：如果两个三角形有两组角对应相等，它们一定相似吗？如图所示,已知在△ABC和△A′B′C中，∠A=∠A′,∠B=∠B′.求证△ABC∽△A′B′C′.思路：

如图所示,已知在△ABC和△A′B′C中，∠A=∠A′,∠B=∠B′.求证△ABC∽△A′B′C′.证明:在线段A′B′上截取A′D=AB,过点D作DE∥B′C′,交A′C′于点E,则可得△A′DE∽△A′B′C′.∵DE∥B′C′,∴∠A′DE=∠B′,又∠B=∠B′,∴∠B=∠A′DE,又∵∠A=∠A′,A′D=AB,∴△A′DE≌△ABC,∴△ABC∽△A′B′C′.归纳总结相似三角形的判断定理3：两角分别相等的两个三角形相似.符号语言：AA'BCB'C'∵∴△ABC∽△A'B'C'.例题巩固：如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8.E是AC上一点，AE＝5，ED⊥AB，垂足为D.求AD的长．解：∵ED⊥AB，∴∠EDA＝90°又∠C＝90°，∠A＝∠A，∴△AED∽△ABC,∴∴由三角形相似的条件可知，如果两个直角三角形满足一个锐角相等，或两组直角边成比例，那么这两个直角三角形相似．思考：我们知道，两个直角三角形全等可以用“HL”来判定．那么，满足斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似吗？如图所示,在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中,∠C=90°,∠C′=90°

，求证Rt△ABC∽Rt△A′B′C′.引导分析：由于三边成比例的两个三角形相似,且已知条件中有两边对应成比例,所以只需证明另一对直角边也成比例即可.在直角三角形中三边之间的关系满足勾股定理,所以可设用勾股定理分别求出BC,B′C′的值,求得

即可.如图所示,在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中,∠C=90°,∠C′=90°,求证Rt△ABC∽Rt△A′B′C′.证明：设,则AB=kA′B′,AC=kA′C′.由勾股定理,得∴Rt△ABC∽Rt△A′B′C′.总结：直角三角形相似的判定方法①一