2024-2025学年高中数学同步课时作业12椭圆的简单几何性质含解析新人教A版选修1-1

PAGE（12）椭圆的简洁几何性质1.已知椭圆的右焦点为，过点F的直线交E于两点.若的中点坐标为，则E的方程为（）A. B. C. D.2.若坐标原点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点,点P为椭圆上的随意一点,则的最大值为()A.2 B.3 C.6 D.83.已知椭圆分别为其左、右焦点，椭圆上一点M到点的距离是2，N是线段的中点，则的长为()A.1 B.2 C.3 D.44.已知是椭圆的两焦点，过点的直线交椭圆与点.若，则()A.9 B.10 C.11 D.125.已知点为椭圆的两个焦点,点P(不在x轴上)在椭圆上,且满意,则此椭圆离心率的取值范围是()A. B. C. D.6.已知椭圆(,其中c为椭圆的半焦距)的左、右焦点分别为,若以为圆心,为半径作圆,过椭圆上一点P作圆的切线,切点为T,若的最小值不小于,则椭圆的离心率e的取值范围是()A. B. C. D.7.椭圆的左、右焦点分别为,焦距为.若直线与椭圆C的一个交点M满意,则椭圆C的离心率等于()A. B. C. D.8.过椭圆的左顶点A的斜率为k的直线交椭圆C于另一个点B,且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F,若,则椭圆离心率的取值范围是()A. B. C. D.9.已知椭圆的两个焦点分别是,点P在椭圆上,若,则的面积是()A. B. C. D.10.若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形面积的最大值为1,则椭圆长轴的最小值为()A.1 B. C.2 D.11.若点和点分别为椭圆的中心和左焦点，点为椭圆上的随意一点，则的最大值为___________.12.已知动点在椭圆上，若点的坐标为，,且,则的最小值是____________.13.若分别过椭圆的左、右焦点所作的两条相互垂直的直线的交点在椭圆上,则此椭圆的离心率的取值范围是_________.14.设椭圆的一个焦点,点为椭圆E内一点,若椭圆E上存在一点P,使得,则椭圆E的离心率的取值范围是__________.15.已知椭圆过点,离心率为.（1）求椭圆的方程;（2）求过点且斜率为的直线被所截线段的中点的坐标.答案以及解析1.答案：D解析：因为直线过点和点，所以直线的方程为，代入椭圆方程消去y，得，所以线段的中点的横坐标为，即.又，所以.所以E的方程为.2.答案：C解析：由题设,知.设点,则,得.因为,所以.又,所以的最大值为.故选C.3.答案：D解析：由椭圆定义得.因为,所以.因为是线段的中点，所以,故选D4.答案：C解析：依据椭圆定义，，，所以，所以,故选C5.答案：C解析：由椭圆的定义,得,平方得①.又,∴②,由余弦定理,得③,由①②③,得,∵,∴,∴.又,∴.又,当且仅当时等号成立,∴,∴.又,∴.综上,可得,故选C.6.答案：B解析：依题意可知圆的圆心为,半径为,设在椭圆上,依题意有,当取得最小值时,取得最小值,此时点P位于椭圆的右顶点,即,即,化简得,两边平方得,即,得,所以.由于,则,即,得,即,故椭圆离心率的取值范围是.7.答案：A解析：∵,∴直线过点.又直线斜率为,∴,∴,∴,∴.由椭圆定义,知,∴离心率.8.答案：C解析：由题意,知点B的横坐标是c,故B的坐标为,∵,∴.又∴直线的斜率.由,解得.9.答案：D解析：由题意得,焦距.∵,∴.∵,∴是直角三角形,且,∴的面积为,故选D.10.答案：D解析：设椭圆,则当三角形面积最大时,三角形在椭圆上的顶点为椭圆短轴端点,∴,∴,∴,∴长轴长,故选D.11.答案：6解析：由可得.设，则，当且仅当时，取得最大值6.12.答案：解析：易知点是椭圆的右焦点.∵,∴，∴.∵椭圆的右顶点到焦点的距离最小，故，∴.13.答案：解析：设两直线的交点为M,令.由椭圆的定义,可得.因为,所以.∵,当且仅当时等号成立,即,∴,∴,即.又,∴.14.答案：解析：记椭圆的左焦点为,则.∵,∴,即.∵,∴,即.∵,∴,即,椭圆E的离心率的取值范围是.15.答案：（1