2024-2025学年高一数学上学期高频考点突破专题12三角函数基本概念与诱导公式含解析新人教A版必修第一册

PAGEPAGE1专题12三角函数基本概念与诱导公式模块一：随意角与弧度制1．角的概念的推广⑴角：一条射线围着端点（顶点）从一个位置（始边）旋转到另一个位置（终边）所成的图形．⑵角按其旋转方向可分为：正角（逆时针旋转），零角（没有旋转），负角（顺时针旋转）．⑶在直角坐标系中探讨角：角的顶点在原点，始边在轴的非负半轴上，①角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；②若角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限．⑷终边相同的角的集合全部与终边相同的角构成的集合．2．弧度制和弧度制与角度制的换算⑴角度制：把圆周等分，其中份所对的圆心角是度，用度作单位来度量角的制度叫做角度制．⑵弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做弧度的角．规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零．任一已知角的弧度数的肯定值，这种以“弧度”作为单位来度量角的制度叫做弧度制．⑶弧度与角度的换算：，．3．弧长公式：(是圆心角的弧度数)，扇形面积公式：.考点1：随意角与弧度制例1.（1）已知第一象限角，锐角，小于的角，那么、、关系是A． B． C． D．【解答】解解：第一象限角，；锐角，小于的角，故选：．（2）时针走过2时40分，则分针转过的角度是A． B． C． D．【解答】解：，，由于时针都是顺时针旋转，时针走过2小时40分，分针转过的角的度数为，故选：．（3）有下列说法：①与角的终边方向相反；②与角的终边相同；③与角的终边相同；④设，，，，则．其中全部正确说法的序号是A．①③ B．②③ C．③④ D．①③④【解答】解：依据题意，依次分析4个命题：对于①、与角夹角为，其终边方向不相反，故①错误，对于②、，故两个角不是终边相同的角，故②错误，对于③、，为终边在轴负半轴上的角，而，也表示终边在轴负半轴上的角，故与角的终边相同，③正确；对于④、，中，当为偶数时，，故有，④正确；综合可得：③④正确；故选：．例2.（1）下列各式不正确的是A． B． C． D．【解答】解：对于，，正确；对于，，正确；对于，，错误；对于，，正确；故选：．（2）下列角位于第三象限的是A． B． C． D．【解答】解：，属于第三象限角，故角位于第三象限，故选：．（3）已知集合，，则角的终边落在阴影处（包括边界）的区域是A． B． C． D．【解答】解：集合，，表示第一象限的角，故选：．例3.（1）在第四象限，则所在的象限为A．第一象限或第三象限 B．其次象限或第四象限 C．第三象限 D．第四象限【解答】解：在第四象限，，；，；当为偶数时，为其次象限角，当为奇数时，为第四象限角；角所在的象限为其次或第四象限．故选：．（2）已知锐角，那么是A．小于的正角 B．第一象限角 C．其次象限角 D．第一或二象限角【解答】解：锐角，，，故选：．考点2：弧度公式和扇形面积公式例4.（1）已知圆锥的侧面绽开图是一个半径为，圆心角为的扇形，则圆锥的高为A． B． C． D．5【解答】解：扇形的弧长等于，所以圆锥的底面周长为，底面半径为1，圆锥的高为．故选：．（2）已知扇形的周长是，面积是，试求扇形的圆心角的弧度数A．1 B．4 C．1或4 D．1或2【解答】解：设扇形的圆心角为，半径为，则，解得或．故选：．（3）已知扇形的周长是，（Ⅰ）若其面积是，求扇形的圆心角的弧度数；（Ⅱ）求扇形的最大面积及此时弦长．【解答】解：（Ⅰ）设扇形的弧长为：，半径为，则，，解得：，，或，，，时，扇形的圆心角的弧度数是：．，时，扇形的圆心角的弧度数是：．（Ⅱ）设弧长为，半径为，由已知，所以，，从而，当时，最大值为225，这时圆心角，可得：．模块二：三角函数定义1．三角函数定义在直角坐标系中，设是一个随意角，终边上随意一点（除了原点）的坐标为，它与原点的距离为，那么⑴比值叫做的正弦，记作，即；⑵比值叫做的余弦，记作，即；⑶比值叫做的正切，记作，即．2．三角函数的符号由三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号，我们可以得知（如下表）：①正弦值对于第一、二象限为正（），对于第三、四象限为负（）；②余弦值对于第一、四象限为正（），对于其次、三象限为负（）；③正切值对于第一、三象限为正（同号），对于其次、四象限为负（异号）．考点3：利用定义求三角函数值及推断正负例5.（1）已知角的终边经过点，则的值是A． B． C． D．【解答】解：由三角函数定义知，，，则．故选：．（2）已知，并且是终边上一点，那么的值等于A． B． C． D．【解答】解：，并且是终边上一点，，，那么，故选：．例6.（1）若，则在A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第一、四象限 D．其次、四象限【解答】解：，可知与异号，说明在第或第四象限．故选：．（2）直角坐标系中，已知角的终边不在坐标轴上，则式子的值的个数为A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：已知角的终边不在坐标轴上，所以当的终边在：①第一象限时：，②其次象限时：．③第三象限时：，④第四象限时：则式子的值有3和．故选：．（3）函数的值域是数集．【解答】解：由题意可知不在坐标轴上，当为第一象限角时，函数；当为其次象限角时，函数；当为第三象限角时，函数；当为第四象限角时，函数．函数的值域是数集，，．故答案为：，，．考点4：利用三角函数线解不等式例7.（1）在，内，不等式的解集是A． B． C． D．【解答】解：在，内，满意的的值是或，所以由函数，，的图象可知，不等式的解集是，．故选：．（2）在，上，满意的取值范围是．【解答】解：在，上，令；有，，要使得的取值范围是：故答案为：（3）不等式的解集为．【解答】解：结合函数的图象可得不等式的解集为．故答案为．（4）已知点在角终边关于对称的曲线上，且，则的坐标为A． B． C． D．【解答】解：由题意可得点的横坐标为，纵坐标为，故选：．课后作业：1．下面表述不正确的是A．终边在轴上角的集合是， B．终边在轴上角的集合是 C．终边在坐标轴上的角的集合是 D．终边在直线上角的集合是【解答】解：对于，终边在轴上角的集合是，，故正确；对于，终边在轴上的角的集合是，，故正确；对于，终边在轴上的角的集合为，，终边在轴上的角的集合为，，故合在一起即为，，，，故正确；对于，终边在直线上的角的集合是，，故不正确．表述不正确的是：．故选：．2．若是其次象限角，则是A．第一象限角 B．其次象限角 C．第三象限角 D．第四象限角【解答】解：不妨令，则，为第一象限角，故选：．3．已知是锐角，那么角是A．第三象限角 B．其次象限 C．小于的正角 D．第一、二或第三象限角【解答】解：是锐角，，，故选：．4．若，则点位于A．第一象限 B．其次象限 C．第三象