2024-2025学年高考数学考点第六章平面向量与复数复数理

复数1．复数的有关概念(1)定义：我们把集合C＝{a＋bi|a，b∈R}中的数，即形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部(i为虚数单位)．(2)分类：满意条件(a，b为实数)复数的分类a＋bi为实数⇔b＝0a＋bi为虚数⇔b≠0a＋bi为纯虚数⇔a＝0且b≠0(3)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．(4)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．(5)模：向量eq\o(OZ,\s\up6(→))的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作|a＋bi|或|z|，即|z|＝|a＋bi|＝eq\r(a2＋b2)(a，b∈R)．2．复数的几何意义复数z＝a＋bi与复平面内的点Z(a，b)及平面对量eq\o(OZ,\s\up6(→))＝(a，b)(a，b∈R)是一一对应关系．3．复数的运算(1)运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R.(2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行．如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即eq\o(OZ,\s\up6(→))＝eq\o(OZ1,\s\up6(→))＋eq\o(OZ2,\s\up6(→))，eq\o(Z1Z2,\s\up6(→))＝eq\o(OZ2,\s\up6(→))－eq\o(OZ1,\s\up6(→)).概念方法微思索1．复数a＋bi的实部为a，虚部为b吗？提示不肯定．只有当a，b∈R时，a才是实部，b才是虚部．2．如何理解复数的加法、减法的几何意义？提示复数的加法、减法的几何意义就是向量加法、减法的平行四边形法则．1．（2024•海南）（）A． B． C． D．【答案】B【解析】，故选B．2．（2024•北京）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（）A． B． C． D．【答案】B【解析】复数对应的点的坐标是，，则，故选B．3．（2024•山东）（）A．1 B． C． D．【答案】D【解析】，故选D．4．（2024•新课标Ⅰ）若，则（）A．0 B．1 C． D．2【答案】C【解析】，．故选C．5．（2024•新课标Ⅲ）复数的虚部是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】，复数的虚部是．故选D．6．（2024•新课标Ⅰ）若，则（）A．0 B．1 C． D．2【答案】D【解析】若，则，则，故选D．7．（2024•新课标Ⅲ）若，则（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由，得，．故选D．8．（2024•浙江）已知，若为虚数单位）是实数，则（）A．1 B． C．2 D．【答案】C【解析】，若为虚数单位）是实数，可得，解得．故选C．9．（2024•新课标Ⅱ）（）A． B．4 C． D．【答案】A【解析】．故选A．10．（2024•全国）复数在复平面内对应的点在（）A．第一象限 B．其次象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【解析】，在复平面内对应的点的坐标为，，在第三象限．故选C．11．（2024•新课标Ⅱ）设，则在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．其次象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【解析】，，在复平面内对应的点为，在第三象限．故选C．12．（2024•新课标Ⅲ）若，则（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由，得．故选D．13．（2024•新课标Ⅱ）设，则（）A． B． C． D．【答案】D【解析】，，故选D．14．（2024•北京）已知复数，则（）A． B． C．3 D．5【答案】D【解析】，．故选D．15．（2024•新课标Ⅰ）设，则（）A．2 B． C． D．1【答案】C【解析】由，得．故选C．16．（2024•全国）设，则（）A． B．0 C．1 D．2【答案】A【解析】由，得．故选A．17．（2024•新课标Ⅰ）设，则（）A．0 B． C．1 D．【答案】C【解析】，则．故选C．18．（2024•北京）在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于（）A．第一象限 B．其次象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【解析】复数，共轭复数对应点的坐标，在第四象限．故选D．19．（2024•新课标Ⅲ）（）A． B． C． D．【答案】D【解析】．故选D．20．（2024•新课标Ⅱ）（）A． B． C． D．【答案】D【解析】．故选D．21．（2024•新课标Ⅱ）（）A． B． C． D．【答案】D【解析】．故选D．22．（2024•浙江）复数为虚数单位）的共轭复数是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】化简可得，的共轭复数故选B．23．（2024•全国）（）A． B． C． D．【答案】D【解析】．故选D．24．（2024•山东）已知，是虚数单位，若，，则（）A．1或 B．或 C． D．【答案】A【解析】由，则的共轭复数，由，则，解得：，的值为1或，故选A．25．（2024•山东）已知是虚数单位，若复数满意，则（）A． B． C． D．2【答案】A【解析】复数满意，，，故选A．26．（2024•新课标Ⅰ）下列各式的运算结果为纯虚数的是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】．，是实数．．，不是纯虚数．．为纯虚数．．不是纯虚数．故选C．27．（2024•新课标Ⅲ）设复数满意，则（）A． B． C． D．2【答案】C【解析】，，．则．故选C．28．（2024•北京）若复数在复平面内对应的点在其次象限，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】复数在复平面内对应的点在其次象限，，解得．则实数的取值范围是．故选B．29．（2024•新课标Ⅱ）（）A． B． C． D．【答案】B【解析】原式．故选B．30．（2024•新课标Ⅲ）复平面内表示复数的点位于（）A．第一象限 B．其次象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【解析】对应的点位于第三象限．故选C．31．（2024•新课标Ⅱ）（）A． B． C． D．【答案】D【解析】，故选D．32．（2024•天津）是虚数单位，复数__________．【答案】【解析】是虚数单位，复数，故答案为：．33．（2024•上海）已知复数为虚数单位），则__________．【答案】【解析】由，得．故答案为：．34．（2024•江苏）已知是虚数单位，则复数的实部是__________．【答案】3【解析】复数，所以复数的实部是：3．故答案为：3．35．（2024•新课标Ⅱ）设复数，满意，，则__________．【答案】【解析】复数，满意，，所以，，．得．．又，故．故答案为：．36．（2024•上海）已知复数满意，则的实部为__________．【答案】2【解析】设，．复数满意，，可得：，，解得，．则的实部为2．故答案为：2．37．（2024•上海）已知，且满意，求__________．【答案】【解析】由，得，即．故答案为：．38．（2024•天津）是虚数单位，则的值为__________．【答案】【解析】由题意，可知：，．故答案为：．39．（2024•江苏）已知复数的实部为0，其中为虚数单位，则实数的值是__________．【答案】2【解析】的实部为0，，即．故答案为：2．40．（2024•上海）设为虚数单位，，则的值为__________．【答案】【解析】由，得，即，．故答案为：．41．（2024•浙江）复数为虚数单位），则__________．【答案】【解析】．．故答案为：．42．（2024•天津）是虚数单位，复数__________．【答案】【解析】，故答案为：．43．（2024•江苏）若复数满意，其中是虚数单位，则的实部为__________．【答案】2【解析】由，得，的实部为2．故答案为：2．44．（2024•上海）已知复数满意是虚数单位），则__________．【答案】5【解析】由，得，则．故答案为：5．45．（2024•上海）若复数是虚数单位），则__________．【答案】2【解析】，．故答案为：2．46．（2024•上海）已知复数满意，则__________．【答案】【解析】由，得，设，由，得，即，解得：．．则．故答案为：．47．（2024•天津）已知，为虚数单位，若为实数，则的值为__________．【答案】【解析】，为虚数单位，由为实数，可得，解得．故答案为：．48．（2024•江苏）已知复数，其中是虚数单位，则的模是__________．【答案】【解析】复数，．故答案为：．49．（2024•浙江）已知、，是虚数单位），则__________，__________．【答案】5，2【解析】、，是虚数单位），，，，解得，，．则，故答案为：5，2．50．（2024•上海）若复数满意是虚数单位），则__________．【答案】【解析】，，则，．故答案为：．强化训练强化训练1．（2024•道里区校级一模）已知是虚数单位，，且的共轭复数为，则（）A． B． C．5 D．3【答案】C【解析】，．则．故选C．2．（2024•江西模拟）若，其中，，为虚数单位，则复数的虚部为（）A．1 B． C． D．【答案】C【解析】，，则，．复数的虚部为．故选C．3．（2024•东湖区校级模拟）已知是虚数单位，复数在复平面内所对应的点位于（）A．第一象限 B．其次象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【解析】．在复平面内对应点的坐标为，在第四象限．故选D．4．（2024•龙凤区校级模拟）已知是虚数单位，复数，则的虚部为（）A． B．3 C． D．2【答案】A【解析】，，则的虚部为．故选A．5．（2024•二模拟）在复平面内，为坐标原点，复数对应的点为，将向量按逆时针方向旋转得到，则对应的复数为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意，，又将向量按逆时针方向旋转得到，对应的复数．故选A．6．（2024•滨州三模）已知，当复数的模长最小时，的虚部为（）A． B．2 C． D．【答案】C【解析】，，当时，有最小值，此时．的虚部为．故选C．7．（2024•龙潭区校级模拟）复数是虚数单位）的虚部是（）A． B． C．3 D．6【答案】C【解析】，复数的虚部是3．故选C．8．（2024•马鞍山三模）已知复数满意是虚数单位），则（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由，得，．故选C．9．（2024•宝鸡三模）已知复数在复平面上对应的点为，若iz为纯虚数，则实数的值为（）A． B．0 C．1 D．1或【答案】B【解析】复数在复平面上对应的点为，，为实数，．故选B．10．（2024•镜湖区校级模拟）复数为虚数单位），则等于（）A．3 B． C．2 D．【答案】D【解析】，．故选D．11．（2024•内江三模）复数满意为虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．其次象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【解析】由，得，复数在复平面内对应的点的坐标为，，位于第四象限．故选D．12．（2024•南岗区校级模拟）复数，则复数（）A． B． C． D．【答案】B【解析】，．故选B．13．（2024•香坊区校级一模）已知复数，则值为（）A．1 B． C． D．【答案】D【解析】，．故选D．14．（2024•湖北模拟）已知是虚数单位，则（）A．1 B． C． D．【答案】A【解析】，．故选A．15．（2024•安徽模拟）复数满意，则的共轭复数为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】，，则的共轭复数为．故选C．16．（2024•靖远县模拟）已知为虚数单位，下列命题中正确的是（）A．若，则 B．的虚部是 C．若，且，则 D．实数集在复数集中的补集是虚数集【答案】D【解析】令，则，故不正确；的虚部是2，故不正确；与都是虚数，不能比较大小，故不正确；由实数集与虚数集可组成复数集知正确．故选D．17．（2024•南岗区校级四模）已知是虚数单位，，则（）A．10 B． C．5 D．【答案】C【解析】；；故选C．18．（2024•雁峰区校级模拟）若为虚数单位，复数的共轭复数是，则复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．其次象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【解析】，，则．复数在复平面内对应的点的坐标为，，位于第三象限．故选C．19．（2024•汉阳区校级模拟）在复平面内，复数2i，3对应的点分别为，．若为线段AB上的点，且，则点对应的复数是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意，，，又，可知为的中点，则，，点对应的复数是．故选B．20．（2024•广东四模）若复数是纯虚数为虚数单位），则实数的值是（）A． B． C．1 D．4【答案】C【解析】是纯虚数，，即．故选C．21．（2024•九龙坡区模拟）已知复数满意为虚数单位），则复数的虚部为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由，得，的虚部为．故选C．22．（2024•衡水模拟）已知复数满意，则（）A．1 B． C． D．2【答案】B【解析】由，得，解得，所以．故选B．23．（2024•西安三模）若复数满意．其中为虚数单位，为共轭复数，则的虚部为（）A． B．2 C． D．【答案】A【解析】由，得．．的虚部为．故选A．24．（2024•原州区校级模拟）已知复数满意，在复平面内对应的点为，则（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意知，则，，即．故选A．25．（2024•新华区校级模拟）满意条件的复数对应点的轨迹是（）A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线【答案】A【解析】由，得，可知复数对应点的轨迹是以和为端点的线段的垂直平分线．故选A．26．（2024•碑林区校级模拟）若复数是虚数单位），则在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．其次象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【解析】，，则，则在复平面内对应的点的坐标为，位于第一象限．故选A．27．（2024•运城模拟）已知为虚数单位，若，则（）A． B． C．2 D．3【答案】D【解析】由，得，由复数相等的充要条件得，即，，，故选D．28．（2024•黄州区校级三模）复数（其