2024秋高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1曲线与方程学案含解析新人教A版选修2-1

PAGE1-其次章圆锥曲线与方程我们知道，用一个垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，截口曲线(截面与圆锥侧面的交线)是一个圆．假如用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，当截面与圆锥的轴夹角不同时，可以得到不同的截口曲线，它们分别是椭圆、抛物线、双曲线．我们通常把椭圆、抛物线、双曲线统称为圆锥曲线．事实上，我们生活的地球每时每刻都在环绕太阳的椭圆轨迹上运行，太阳系其他行星也是如此，太阳则位于椭圆的一个焦点上．假如这些行星运行速度增大到某种程度，它们就会沿抛物线或双曲线运行．学习目标1．曲线与方程结合已学过的曲线及其方程的实例，了解曲线与方程的对应关系，进一步感受数形结合的基本思想．2．圆锥曲线(1)了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．(2)经验从详细情境中抽象出椭圆、抛物线模型的过程，驾驭它们的定义、标准方程、几何图形及简洁性质．(3)了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道双曲线的有关性质．(4)能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简洁几何问题(直线与圆锥曲线的位置关系)和实际问题．(5)通过圆锥曲线的学习，进一步体会数形结合的思想．本章重点曲线与方程的概念；椭圆的定义、标准方程、几何性质；双曲线的定义、标准方程、几何性质；抛物线的定义、标准方程、几何性质；直线与圆锥曲线的位置关系．本章难点曲线方程的求法；三种曲线的定义、标准方程、几何性质的综合应用；直线与圆锥曲线的位置关系．2.1曲线与方程自主预习·探新知情景引入在我们的日常生活中，很多物体都呈现出多种多样的曲线，你所熟识的曲线有哪些？你知道它们有怎样的特性吗？新知导学曲线的方程与方程的曲线的定义一般地，在直角坐标系中，假如某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么，这个方程叫做__曲线的方程__，这条曲线叫做__方程的曲线__.预习自测1．方程y＝|x|所表示的曲线为(D)A．一条直线 B．两条直线C．一条射线 D．两条射线2．方程(x－2)2＋(y＋2)2＝0表示的图形是(C)A．圆 B．两条直线C．一个点 D．两个点3．已知圆C：(x－2)2＋(y＋1)2＝4及直线l：x＋2y－2＝0，则点M(4，－1)(C)A．不在圆C上，但在直线l上B．在圆C上，但不在直线l上C．既在圆C上，也在直线l上D．既不在圆C上，也不在直线l上4．已知直线：y＝kx－k＋1与曲线C：x2＋2y2＝m恒有公共点，则m的取值范围是(A)A．m≥3 B．m≤3C．m>3 D．m<35．已知点O(0,0)，A(1，－2)，动点P满意|PA|＝3|PO|，则点P的轨迹方程是__8x2＋2x＋8y2－4y－5＝0__.互动探究·攻重难互动探究解疑命题方向❶曲线与方程的概念典例1假如曲线l上的点的坐标满意方程F(x，y)＝0，则以下说法正确的是(C)A．曲线l的方程是F(x，y)＝0B．方程F(x，y)＝0的曲线是lC．坐标不满意方程F(x，y)＝0的点不在曲线l上D．坐标满意方程F(x，y)＝0的点在曲线l上[思路分析]从“曲线的方程”和“方程的曲线”两方面推断．[规范解答]干脆法：原说法写成命题形式即“若点M(x，y)是曲线l上的点，则M点的坐标适合方程F(x，y)＝0”，其逆否命题即“若M点的坐标不适合方程F(x，y)＝0，则M点不在曲线l上”，故选C．特值法：作如图所示的曲线l，考查l与方程F(x，y)＝x2－1＝0的关系，明显A、B、D中的说法全不正确．∴选C．『规律总结』说明曲线C是方程F(x，y)＝0的曲线，方程F(x，y)＝0是曲线C的方程时，必需严格考察纯粹性和完备性，即“多一点不行，少一点不行”．┃┃跟踪练习1__■说明过点A(2,0)平行于y轴的直线l与方程|x|＝2之间的关系．[解析]过点A(2,0)平行于y轴的直线l是x＝2，而|x|＝2是直线x＝2和x＝－2，直线l上点的坐标都是方程|x|＝2的解，但以方程|x|＝2的解为坐标的点不都在直线l上．因此，方程|x|＝2不是直线l的方程．l是方程|x|＝2的曲线的一部分．命题方向❷方程的曲线典例2方程x(x2＋y2－1)＝0和x2＋(x2＋y2－1)2＝0所表示的图形是(C)A．前后两者都是一条直线和一个圆B．前后两者都是两点C．前者是一条直线和一个圆，后者是两点D．前者是两点，后者是一条直线和一个圆[规范解答]x(x2＋y2－1)＝0⇔x＝0或x2＋y2＝1，表示直线x＝0和圆x2＋y2＝1.x2＋(x2＋y2－1)2＝0⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0,x2＋y2－1＝0))⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0,y＝±1))表示点(0,1)、(0，－1)．『规律总结』推断方程表示什么曲线，必要时要对方程适当变形，变形过程中肯定要留意与原方程等价，既不能扩大也不能缩小变量的取值范围．┃┃跟踪练习2__■已知方程x2＋(y－1)2＝10.(1)推断点P(1，－2)、Q(eq\r(2)，3)是否在此方程表示的曲线上；(2)若点M(eq\f(m,2)，－m)在此方程表示的曲线上，求m的值．[思路分析](1)只需推断点P，Q的坐标是否满意方程即可；(2)M在曲线C上，则M点的坐标满意C的方程，代入建立m的方程解之即可．[解析](1)∵12＋(－2－1)2＝10，(eq\r(2))2＋(3－1)2＝6≠10，∴点P(1，－2)在方程x2＋(y－1)2＝10表示的曲线上，点Q(eq\r(2)，3)不在方程x2＋(y－1)2＝10表示的曲线上．(2)∵点Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m,2)，－m))在方程x2＋(y－1)2＝10表示的曲线上，∴x＝eq\f(m,2)，y＝－m适合上述方程，即(eq\f(m,2))2＋(－m－1)2＝10.解之得m＝2或m＝－eq\f(18,5)，∴m的值为2或－eq\f(18,5).命题方向❸求曲线的方程典例3已知点M到x轴的距离和点M与点F(0,4)的距离相等，求点M的轨迹方程．[思路分析]由题意知已经建立了直角坐标系，因此只需设出点M的坐标，套用两点间距离公式依据条件建立等式即可．[规范解答]设动点M的坐标为(x，y)，且点M到x轴的距离为d，则d＝|y|.由距离公式得|MF|＝eq\r(x－02＋y－42)，由d＝|MF|，整理得x2－8y＋16＝0，即y＝eq\f(1,8)x2＋2.故所求点M的轨迹方程是y＝eq\f(1,8)x2＋2.『规律总结』1.假如题设条件有明显的等量关系或者可运用平面几何学问推导出等量关系，则可通过“建系、设点、列式、化简、检验”五个步骤干脆求出动点的轨迹方程，这种方法叫做干脆法．2．求动点的轨迹方程时，假如已知条件中没有坐标系，则应首先建立坐标系，建立坐标系的方式不同，得到的轨迹方程可能也不同．┃┃跟踪练习3__■一个动点到直线x＝8的距离是它到点A(2,0)的距离的2倍，求动点的轨迹方程．[解析]设动点P坐标为(x，y)，则动点P到直线x＝8的距离d＝|x－8|，到点A的距离|PA|＝eq\r(x－22＋y2)，由已知d＝2|PA|，得|x－8|＝2eq\r(x－22＋y2)，化简得3x2＋4y2＝48.故动点的轨迹方程为3x2＋4y2＝48.典例4已知圆O：x2＋y2＝4，点A(－3,5)，点M在圆O上移动，且点P满意eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AM,\s\up6(→))，求点P的轨迹方程．[思路分析]点P与点M有关，点M是点P的相关点，只需找到点P与点M的坐标之间的关系即可求得点P的轨迹方程．[规范解答]设P(x，y)，M(x0，y0)．因为eq\o(AP,\s\up6(→))＝(x＋3，y－5)，eq\o(AM,\s\up6(→))＝(x0＋3，y0－5)，所以(x＋3，y－5)＝eq\f(1,3)(x0＋3，y0－5)．所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋3＝\f(1,3)x0＋1，,y－5＝\f(1,3)y0－\f(5,3)，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝3x＋6，,y0＝3y－10.))因为点M(x0，y0)在圆O上，所以xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＝4，即(3x＋6)2＋(3y－10)2＝4，即(x＋2)2＋(y－eq\f(10,3))2＝eq\f(4,9).故动点P的轨迹方程为(x＋2)2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(10,3)))2＝eq\f(4,9).『规律总结』1.代入法(相关动点法)求轨迹方程：在一些问题中，动点满意的条件不宜干脆用等式列出，但是动点随另一动点(称之为相关点)的运动而改变．假如相关点所满意的条件是明显的，这时，我们可以用动点坐标表示相关点坐标，依据相关点所满意的方程，即可求得动点的轨迹方程，这种求动点轨迹方程的方法称为代入法(相关动点法)．2．代入法(相关动点法)求轨迹方程的一般步骤：┃┃跟踪练习4__■如图，点P是圆x2＋y2＝25上的动点，点D是点P在x轴上的投影，M为PD上一点，且|MD|＝eq\f(4,5)|PD|.当点P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程．[解析]设点M的坐标是(x，y)，点P的坐标是(xP，yP)．因为点D是点P在x轴上的投影，M为PD上一点，且|MD|＝eq\f(4,5)|PD|，所以xP＝x，且yP＝eq\f(5,4)y.因为P在圆x2＋y2＝25上，所以x2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)y))2＝25，整理得eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1，即点M的轨迹C的方程是eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1.学科核心素养曲线方程与其他数学学问的交汇问题(1)曲线的方程探求中，在给出的条件中刻画条件关系时，常用其他部分的学问来表达．如数列、集合、函数、平面对量等．(2)平面对量既有数的特点又有形的特点，因而它与解析几何的联系尤为亲密．如平行关系可用向量共线关系来表示，垂直关系可用向量垂直的关系来表示．(3)解答此类问题时，只要充分运用诸如向量的数量积、数列等相关概念即可求得．典例5已知两点M(－1,0)，N(1,0)，且点P使eq\o(MP,\s\up6(→))·eq\o(MN,\s\up6(→))，eq\o(PM,\s\up6(→))·eq\o(PN,\s\up6(→))，eq\o(NM,\s\up6(→))·eq\o(NP,\s\up6(→))成公差小于零的等差数列，求点P的轨迹方程．[规范解答]设点P(x，y)，由M(－1,0)，N(1,0)，得eq\o(PM,\s\up6(→))＝－eq\o(MP,\s\up6(→))＝(－1－x，－y)，eq\o(MN,\s\up6(→))＝(2,0)，eq\o(PN,\s\up6(→))＝－eq\o(NP,\s\up6(→))＝(1－x，－y)，∴eq\o(MP,\s\up6(→))·eq\o(MN,\s\up6(→))＝2(x＋1)，eq\o(PM,\s\up6(→))·eq\o(PN,\s\up6(→))＝x2＋y2－1，eq\o(NM,\s\up6(→))·eq\o(NP,\s\up6(→))＝2(1－x)．于是，eq\o(MP,\s\up6(→))·eq\o(MN,\s\up6(→))，eq\o(PM,\s\up6(→))·eq\o(PN,\s\up6(→))，eq\o(NM,\s\up6(→))·eq\o(NP,\s\up6(→))是公差小于零的等差数列等价于：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2－1＝\f(1,2)[2x＋1＋21－x]，,21－x－2x＋1<0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＝3，,x>0.))∴点P的轨迹方程为x2＋y2＝3(x>0)．『规律总结』求解此类平面对量、曲线方程、数列等多学问点交汇的问题的思路是：先转化，即利用平面对量的坐标表示，去掉平面对量的“外衣”；再应用数列的相关公式与性质，转化为关于x，y的关系式；最终下结论．┃┃跟踪练习5__■在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0，－1)，点B在直线y＝－3上，点M满意eq\o(BM,\s\up6(→))∥eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(MA,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(MB,\s\up6(→))·eq\o(BA,\s\up6(→))，点M的轨迹为曲线C,求曲线C的方程．[解析]设M(x，y)，由已知得B(x，－3)，A(0，－1)，所以eq\o(MA,\s\up6(→))＝(－x，－1－y)，eq\o(MB,\s\up6(→))＝(0，－3－y)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(x，－2)．由题意可知(eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→)))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝0，即(－x，－4－2y)·(x，－2)＝0，整理化简得y＝eq\f(1,4)x2－2.所以曲线C的方程为y＝eq\f(1,4)x2－2.易混易错警示典例6已知曲线C：y＝eq\r(x2－2x＋2)和直线l：y＝kx(k≠0)，若C与l有两个交点A和B，求线段AB中点的轨迹方程．[错解]依题意，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\r