2025届高考物理一轮复习第五章天体运动第21讲万有引力定律及其应用教学案新人教版

PAGE20-第五章天体运动[研读考纲明方向]考纲要求复习指南内容要求考情分析：万有引力定律与牛顿运动定律结合分析天体、人造卫星、宇宙飞船的运动问题，以及估算天体的质量和密度问题，反映了物理学与现代科技的亲密联系，是每年高考命题的热点。命题趋势：天体运动一般以选择题的形式单独考查，几乎每年必考。万有引力定律及其应用Ⅱ环绕速度Ⅱ其次宇宙速度和第三宇宙速度Ⅰ经典时空观和相对论时空观Ⅰ[重读教材定方法]1．P31哪位科学家把天空中的现象与地面上的现象统一起来，胜利说明了天体运行的规律？提示：牛顿。2．P32开普勒行星运动定律的表述。提示：(1)全部行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。(2)对随意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积。(3)全部行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等。3．P33对行星运动轨道简化为圆周后的开普勒三个定律的表述。提示：(1)行星绕太阳运动的轨道特别接近圆，太阳处在圆心。(2)对某一行星来说，它绕太阳做圆周运动的角速度(或线速度)大小不变，即行星做匀速圆周运动。(3)全部行星轨道半径的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等，即eq\f(r3,T2)＝k。4．P36[问题与练习]T2。提示：近地点的速度较大。5．P37“太阳对行星的引力”一段，太阳对行星的引力公式依据什么推导出来的？提示：依据开普勒行星运动定律和圆周运动向心力公式推导出来。6．P39[问题与练习]T2。提示：通过开普勒第三定律得到的。7．P40万有引力定律的适用范围是什么？提示：自然界中的任何两个物体。8．P41万有引力理论的成就有哪些？提示：计算天体的质量、发觉未知天体。9．P42笔尖下发觉的是哪一颗行星？提示：海王星。10．P43[问题与练习]T3。提示：由eq\f(GMm,r2)＝mω2r，ω＝eq\f(2π,T)，得M＝eq\f(4π2r3,GT2)，代入数据得：M≈5.93×1024kg。11．P44“宇宙速度”一段，放射地球卫星的最小速度是多少？提示：7.9km/s。12．P46[科学闲逛]黑洞的特点是什么？提示：黑洞是引力特别大的天体，光以3×108第21讲万有引力定律及其应用基础命题点一开普勒行星运动定律开普勒行星运动三大定律定律内容图示开普勒第肯定律(轨道定律)全部行星绕太阳运动的轨道都是eq\x(\s\up1(01))椭圆，太阳处在椭圆的一个eq\x(\s\up1(02))焦点上开普勒其次定律(面积定律)对随意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的eq\x(\s\up1(03))面积开普勒第三定律(周期定律)全部行星的轨道的eq\x(\s\up1(04))半长轴的三次方跟它的eq\x(\s\up1(05))公转周期的二次方的比值都相等，表达式为eq\x(\s\up1(06))eq\f(a3,T2)＝k火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，依据开普勒行星运动定律可知()A．太阳位于木星运行轨道的中心B．火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等C．火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方D．相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积解析由于火星和木星在椭圆轨道上运行，太阳位于椭圆轨道的一个焦点上，A错误；由于火星和木星在不同的椭圆轨道上运行，速度大小改变，火星和木星的运行速度大小不肯定相等，B错误；由开普勒第三定律可知，eq\f(a\o\al(3,火),T\o\al(2,火))＝eq\f(a\o\al(3,水),T\o\al(2,木))＝k，得eq\f(T\o\al(2,火),T\o\al(2,木))＝eq\f(a\o\al(3,火),a\o\al(3,木))，C正确；由于火星和木星在不同的轨道上，因此D错误。答案C(1)开普勒行星运动定律也适用于其他天体，如“嫦娥五号”绕月球的运动、卫星绕地球的运动。(2)开普勒第三定律eq\f(a3,T2)＝k中，k值只与中心天体的质量有关，与行星质量无关；对于不同的中心天体，k值一般不同。(3)大多数行星或卫星绕中心天体的运动轨道可近似按圆轨道处理。对于圆轨道，轨道半长轴a就是圆轨道半径R。1．(2024·全国卷Ⅲ)关于行星运动的规律，下列说法符合史实的是()A．开普勒在牛顿定律的基础上，导出了行星运动的规律B．开普勒在天文观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律C．开普勒总结出了行星运动的规律，找出了行星依据这些规律运动的缘由D．开普勒总结出了行星运动的规律，发觉了万有引力定律答案B解析开普勒在天文观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律，但并没有找出其中的缘由，A、C错误，B正确；万有引力定律是牛顿发觉的，D错误。2．(2024·全国卷Ⅱ)(多选)如图，海王星绕太阳沿椭圆轨道运动，P为近日点，Q为远日点，M、N为轨道短轴的两个端点，运行的周期为T0。若只考虑海王星和太阳之间的相互作用，则海王星在从P经M、Q到N的运动过程中()A．从P到M所用的时间等于eq\f(T0,4)B．从Q到N阶段，机械能渐渐变大C．从P到Q阶段，速率渐渐变小D．从M到N阶段，万有引力对它先做负功后做正功答案CD解析由开普勒其次定律可知，相等时间内，太阳与海王星连线扫过的面积都相等，A错误；从Q到N阶段，机械能守恒，B错误；从P到Q阶段，万有引力做负功，动能减小，速率渐渐变小，C正确；从M到N阶段，万有引力与速度的夹角先是钝角后是锐角，即万有引力对它先做负功后做正功，D正确。3．(2024·河南高考模拟)若“嫦娥五号”卫星在距月球表面H处的环月轨道Ⅰ上做匀速圆周运动，其运行的周期为T；随后“嫦娥五号”在该轨道上某点实行措施，使卫星降至椭圆轨道Ⅱ上，如图所示。若近月点接近月球表面，而H等于月球半径，忽视月球自转及地球对卫星的影响，则“嫦娥五号”在轨道Ⅱ上的运行周期为()A.eq\f(3,4)T B.eq\f(\r(3),8)TC.eq\f(3\r(3),8)T D.eq\f(\r(3),4)T答案C解析在轨道Ⅰ上，轨道半径r＝R＋H＝2H，在轨道Ⅱ上，半长轴为a＝eq\f(2R＋H,2)＝eq\f(3,2)H，依据开普勒第三定律知eq\f(2H3,T2)＝eq\f(\f(3,2)H3,T\o\al(2,1))，解得T1＝eq\f(3\r(3),8)T，故C正确。基础命题点二万有引力定律的理解和应用1．万有引力定律(1)内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成eq\x(\s\up1(01))正比，与它们之间距离r的平方成eq\x(\s\up1(02))反比。(2)表达式：F＝eq\x(\s\up1(03))Geq\f(m1m2,r2)，其中G为引力常量，G＝6.67×10－11N·m2/kg2。eq\x(\s\up1(04))卡文迪许第一个通过试验精确测量出G值。(3)适用条件：严格地说，公式只适用于eq\x(\s\up1(05))质点间的相互作用，当两个物体间的距离eq\x(\s\up1(06))远大于物体本身的大小时，物体可视为质点。质量分布匀称的球体可视为质点，其中r是eq\x(\s\up1(07))两球心间的距离。对于一个质量分布匀称的球体与球外一个质点间的万有引力，r为eq\x(\s\up1(08))球心到质点的距离。2．万有引力理论的主要成就(1)发觉未知天体。(2)计算天体质量。理论上已经证明：质量分布匀称的球壳对壳内物体的万有引力为零。现假设地球是一半径为R、质量分布匀称的实心球体，O为球心，以O为原点建立坐标轴Ox，如图所示。一个质量肯定的质点(假设它能够在地球内部移动)在x轴上各位置受到的引力大小用F表示，则F随x的改变关系图象正确的是()解析依据题意，质量分布匀称的球壳对壳内物体的引力为零，当质点在地球的内部离球心x处时，受到地球的万有引力即为半径等于x的球体对质点的万有引力，所以F＝Geq\f(ρ·\f(4πx3,3)·m,x2)＝Geq\f(4π\a\vs4\al(ρ)m,3)x，其中ρ为地球的密度，m为质点的质量；当质点在地球球面或球面以外，离球心x处时，受到地球的万有引力，地球可以看成质量集中于球心的质点，对质点的万有引力F＝Geq\f(Mm,x2)，其中M为地球的质量。综上所述，当x<R时，F与x成正比，当x≥R后，F与x的平方成反比，所以A正确。答案A(1)在匀质球层的空腔内随意位置处，质点受到球壳万有引力的合力为零。(2)在匀质球体内部距球心r处，质点受到的万有引力等于半径为r的球体对它的引力。(3)万有引力定律的表达式F＝Geq\f(m1m2,r2)适用于计算质点或匀质球体间的万有引力。当物体间的作用力不符合万有引力公式的适用条件时，可以把物体分成若干部分，求出两物体每部分之间的万有引力，然后求它们的合力。这是“分割求和”的思想方法，此处的“和”是矢量和。1．对于万有引力定律的数学表达式F＝Geq\f(m1m2,r2)，下列说法中正确的是()A．牛顿发觉了万有引力定律，并第一个通过试验较精确地测量出了引力常量G的大小B．r趋近于0时，万有引力趋于无穷大C．质量为m1、m2的物体受到的万有引力总是大小相等D．质量为m1、m2的物体受到的万有引力总是大小相等，方向相反，是一对平衡力答案C解析牛顿发觉了万有引力定律，卡文迪许第一个通过试验较精确地测量出了引力常量G的大小，A错误；万有引力定律的表达式F＝Geq\f(m1m2,r2)，适用于两个质点之间万有引力的计算，当r→0时，两个物体都不能看成质点，上式不再成立，B错误；两个物体间的万有引力是一对作用力与反作用力，它们总是大小相等，方向相反，作用在两个物体上，C正确，D错误。2．质量为m的物体在地球表面受到地球的万有引力大小为F。质量为2mA．eq\f(F,9) B．eq\f(2F,9)C．eq\f(F,3) D．eq\f(2F,3)答案B解析设地球质量为M，半径为R，质量为M的物体在地球表面时，有：F＝Geq\f(Mm,R2)，质量为2m的卫星在离地面高度等于地球半径2倍处，有：F′＝Geq\f(M·2m,3R2)，解得：F′＝eq\f(2,9)F，故B正确。3.如图所示，有一个质量为M、半径为R、密度匀称的大球体，从中挖去一个半径为eq\f(R,2)的小球体，并在空腔中心O处放置一质量为m的质点，则大球体的剩余部分对该质点的万有引力大小为(已知质量分布匀称的球壳对壳内物体的引力为零)()A．Geq\f(Mm,R2) B．0C．4Geq\f(Mm,R2) D．Geq\f(Mm,2R2)答案D解析若将挖去的小球体用原材料补回，可知剩余部分对O处质点的吸引力等于完整大球体对O处质点的吸引力与挖去小球体对O处质点的吸引力之差，挖去的小球体球心与O处质点重合，对O处质点的万有引力为零，则剩余部分对O处质点的万有引力等于完整大球体对O处质点的万有引力；将剩余部分分为以大球体球心为中心的半径为eq\f(R,2)的球以及剩余匀称球壳，易知该球质量为eq\f(1,8)M，剩余匀称球壳对O处质点的万有引力为零，故剩余部分对O处质点的万有引力F＝Geq\f(\f(1,8)Mm,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R,2)))2)＝Geq\f(Mm,2R2)，故D正确。实力命题点天体质量与密度的计算天体质量和密度的常用计算方法方法已知量理论依据表达式备注质量的计算利用运行天体r、TGeq\f(Mm,r2)＝m·eq\f(4π2,T2)·rM＝eq\f(4π2r3,GT2)只能计算中心天体的质量r、vGeq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)M＝eq\f(rv2,G)v、TGeq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)T＝eq\f(2πr,v)M＝eq\f(v3T,2πG)利用天体表面重力加速度g、Rmg＝Geq\f(Mm,R2)M＝eq\f(gR2,G)—密度的计算利用运行天体r、T、RGeq\f(Mm,r2)＝m·eq\f(4π2,T2)·rM＝ρ·eq\f(4,3)πR3ρ＝eq\f(3πr3,GT2R3)，当r＝R时ρ＝eq\f(3π,GT2)利用近地卫星，只需测出其运行周期利用天体表面重力加速度g、Rmg＝Geq\f(Mm,R2)M＝ρ·eq\f(4,3)πR3ρ＝eq\f(3g,4πGR)—(2024·福建宁德二模)2019年4月10日21时，人类首张黑洞照片在全球六地的视界面望远镜发布会上同步发布。该黑洞半径为R，质量M和半径R的关系满意：eq\f(M,R)＝eq\f(c2,2G)(其中c为光速，G为引力常量)。若天文学家观测到距黑洞中心距离为r的天体以速度v绕该黑洞做匀速圆周运动，则()A．该黑洞质量为eq\f(v2r,2G) B．该黑洞质量为eq\f(2v2r,G)C．该黑洞的半径为eq\f(2v2r,c2) D．该黑洞的半径为eq\f(v2r,2c2)解析天体受到黑洞的万有引力供应天体做匀速圆周运动所需向心力，则：Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)，即有M＝eq\f(v2r,G)，故A、B错误；黑洞的质量M和半径R的关系满意：eq\f(M,R)＝eq\f(c2,2G)，则该黑洞的半径R＝eq\f(2v2r,c2)，故C正确，D错误。答案C1．天体半径和卫星的轨道半径通常把天体看成一个球体，天体的半径指的是球体的半径。卫星的轨道半径指的是卫星围绕中心天体做圆周运动的圆的半径。卫星的轨道半径大于等于中心天体的半径。2．自转周期和公转周期自转周期是指天体绕自身轴线运动一周所用的时间，公转周期是指卫星(或行星)绕中心天体做圆周运动一周所用的时间。自转周期与公转周期一般不相等。(2024·福建泉州二模)2019年1月3日，“嫦娥四号”探测器携“玉兔二号”月球车胜利着陆在月球背面，进行科学探测。已知“嫦娥四号”在着陆之前绕月球做圆周运动的半径为r1、周期为T1；月球绕地球做圆周运动的半径为r2、周期为T2，引力常量为G。依据以上条件能得出()A．地球的密度 B．地球对月球的引力大小C．“嫦娥四号”的质量 D．关系式eq\f(r\o\al(3,1),T\o\al(2,1))＝eq\f(r\o\al(3,2),T\o\al(2,2))答案B解析月球绕地球运动，由Geq\f(Mm月,r\o\al(2,2))＝m月eq\f(4π2,T\o\al(2,2))r2可求出地球质量M，但由于不知道地球半径，则无法求出地球体积，也就不能得出地球的密度，A错误；设“嫦娥四号”质量为m，依据“嫦娥四号”绕月球做圆周运动有：Geq\f(m月m,r\o\al(2,1))＝meq\f(4π2,T\o\al(2,1))r1，求得月球质量：m月＝eq\f(4π2r\o\al(3,1),GT\o\al(2,1))，所以地球对月球的万有引力大小为：F＝m月eq\f(4π2,T\o\al(2,2))r2＝eq\f(4π2r\o\al(3,1),GT\o\al(2,1))·eq\f(4π2,T\o\al(2,2))r2＝eq\f(16π4r\o\al(3,1)r2,GT\o\al(2,1)T\o\al(2,2))，而“嫦娥四号”的质量m不行得，故B正确，C错误；开普勒第三定律适用于围绕同一中心天体运动的卫星，D错误。基础命题点三天体表面的重力加速度问题1．万有引力与重力的关系地球表面上的物体所受地球的万有引力F可以分解成物体所受的重力G和随地球自转而做圆周运动所需的向心力F′，如图所示。其中F＝Geq\f(Mm,R2)，而F′＝mω2r。除赤道和两极点外，重力与万有引力的大小、方向皆不同。(1)物体在赤道上时，F、G、F′三力同向，此时F′为最大值，重力为最小值，即：Gmin＝F－Fmax′＝Geq\f(Mm,R2)－mω2R。(2)物体在两极的极点时，F′＝0，F＝G，此时重力等于万有引力，重力为最大值，此最大值为Gmax＝Geq\f(Mm,R2)。2．重力加速度的近似计算(1)设在地球表面旁边的重力加速度为g，由于物体随地球自转所需的向心力较小，一般计算中可认为万有引力近似等于重力(即不考虑地球的自转)，即：mg＝Geq\f(Mm,R2)，得g＝eq\f(GM,R2)。(2)设在地球上空距离地面高度为h处的重力加速度为g′，则：mg′＝Geq\f(Mm,R＋h2)，得g′＝eq\f(GM,R＋h2)所以eq\f(g,g′)＝eq\f(R＋h2,R2)。已知在地球表面上，赤道处的重力加速度大小为g1，两极处的重力加速度大小为g2，地球自转的角速度为ω，引力常量为G，地球可视为质量分布匀称的球体，则地球的密度为()A.eq\f(3ω2,4πG)·eq\f(g2,g1) B.eq\f(3ω2,4πG)·eq\f(g2－g1,g1)C.eq\f(3ω2,4πG)·eq\f(g1,g2－g1) D.eq\f(3ω2,4πG)·eq\f(g2,g2－g1)解析设地球半径为R，物体在两极处有：eq\f(GMm,R2)＝mg2，物体在赤道处有：eq\f(GMm,R2)＝mg1＋mω2R，联立解得：M＝eq\f(g2R2,G)，R＝eq\f(g2－g1,ω2)，则地球的密度为ρ＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3g2,4πGR)，代入地球半径R＝eq\f(g2－g1,ω2)，解得：ρ＝eq\f(3ω2,4πG)·eq\f(g2,g2－g1)，故A、B、C错误，D正确。答案D考虑地球的自转时，地球表面各处的重力加速度不同，地球两极处的重力加速度g1＝eq\f(GM,R2)，赤道处的重力加速度g2＝eq\f(GM,R2)－ω2R。1．(多选)假如地球自转角速度增大，关于物体所受的重力，下列说法正确的是()A．放在赤道地面上的物体的万有引力不变B．放在两极地面上的物体的重力不变C．放在赤道地面上的物体的重力减小D．放在两极地面上的物体的重力增加答案ABC解析地球自转角速度增大，放在赤道地面上的物体受到的万有引力不变，A正确；在两极，物体受到的万有引力等于其重力，则其重力不变，B正确，D错误；而对于放在赤道地面上的物体，万有引力F＝G＋mω2R，由于ω增大，则G减小，C正确。2．宇航员在某星球上为了探测其自转周期做了如下试验：在该星球两极点，用弹簧秤测得质量为M的砝码所受重力为F，在赤道测得该砝码所受重力为F′。他还发觉探测器绕该星球表面做匀速圆周运动的周期为T。假设该星球可视为质量分布匀称的球体，则其自转周期为()A．Teq\r(\f(F′,F)) B．Teq\r(\f(F,F′))C．Teq\r(\f(F－F′,F)) D．Teq\r(\f(F,F－F′))答案D解析设该星球和探测器的质量分别为m、m′，在两极点，有：Geq\f(Mm,R2)＝F，在赤道，有：Geq\f(Mm,R2)－F′＝MReq\f(4π2,T\o\al(2,自))，探测器绕该星球表面做匀速圆周运动的周期为T，则有：Geq\f(mm′,R2)＝m′Req\f(4π2,T2)；联立以上三式解得T自＝Teq\r(\f(F,F－F′))，故D正确，A、B、C错误。课时作业1．(多选)下列说法正确的是()A．公式eq\f(r3,T2)＝k中的常量k，是一个与中心天体有关的常量B．开普勒定律只适用于太阳系，对其他恒星系不适用C．已知金星绕太阳公转的周期小于地球绕太阳公转的周期，则可判定金星到太阳的距离小于地球到太阳的距离D．发觉万有引力定律和测出引力常量的科学家分别是开普勒、伽利略答案AC解析公式eq\f(r3,T2)＝k中的k是一个与中心天体有关的常量，A正确；开普勒定律不仅适用于太阳系，对其他恒星系也适用，B错误；已知金星绕太阳公转的周期小于地球绕太阳公转的周期，由eq\f(r3,T2)＝k可知金星到太阳的距离小于地球到太阳的距离，C正确；发觉万有引力定律和测出引力常量的科学家分别是牛顿和卡文迪许，D错误。2．一卫星沿某一行星表面旁边做匀速圆周运动，其线速度大小为v。假设宇航员在该行星表面上用弹簧测力计测量一质量为m的物体重力，物体静止时，弹簧测力计的示数为N。已知引力常量为G，则这颗行星的质量为()A.eq\f(mv2,GN) B.eq\f(mv4,GN)C.eq\f(Nv2,Gm) D.eq\f(Nv4,Gm)答案B解析设行星的质量为M，半径为R，行星表面的重力加速度为g，卫星的质量为m′，由万有引力供应向心力，得Geq\f(Mm′,R2)＝m′eq\f(v2,R)；在行星表面万有引力等于重力，即Geq\f(Mm′,R2)＝m′g；由已知条件得g＝eq\f(N,m)；联立以上三式可得R＝eq\f(mv2,N)，M＝eq\f(mv4,GN)，故B正确。3．设宇宙中某一小行星自转较快，但仍可近似看成质量分布匀称的球体，半径为R。宇航员用弹簧测力计称量一个相对自己静止的小物体的重量，第一次在极点处，弹簧测力计的读数为F1＝F0；其次次在赤道处，弹簧测力计的读数为F2＝eq\f(F0,2)。假设第三次在赤道平面内深度为eq\f(R,2)的隧道底部，示数为F3；第四次在距行星表面高度为R处绕行星做匀速圆周运动的人造卫星中，示数为F4。已知匀称球壳对壳内物体的引力为零，则以下推断正确的是()A．F3＝eq\f(F0,4)、F4＝eq\f(F0,4) B．F3＝eq\f(F0,4)、F4＝0C．F3＝eq\f(15F0,4)、F4＝0 D．F3＝4F0、F4＝eq\f(F0,4)答案B解析设该行星的质量为M，则质量为m的物体在极点处受到的万有引力F1＝eq\f(GMm,R2)＝F0。在赤道处，弹簧测力计的读数为F2＝eq\f(F0,2)，则向心力Fn2＝F1－F2＝eq\f(1,2)F0＝mω2·R。由于该行星的体积为V＝eq\f(4,3)πR3，所以该行星距球心eq\f(R,2)以内的部分的质量为M′＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R,2)))3,R3)·M＝eq\f(1,8)M，物体在赤道平面内深度为eq\f(R,2)处受到的万有引力F3′＝eq\f(GM′m,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R,2)))2)＝eq\f(1,2)F1＝eq\f(1,2)F0，物体须要的向心力Fn3＝mω2·eq\f(R,2)＝eq\f(1,2)mω2R＝eq\f(1,4)F0，所以在赤道平面内深度为eq\f(R,2)的隧道底部，弹簧测力计的示数为：F3＝F3′－Fn3＝eq\f(1,2)F0－eq\f(1,4)F0＝eq\f(1,4)F0。第四次在距行星表面高度为R处绕行星做匀速圆周运动的人造卫星中时，物体受到的万有引力恰好供应向心力，所以弹簧测力计的示数为0，即F4＝0，故B正确。4.如图所示，在半径为R的铅球中挖出一个球形空穴，空穴直径为R且与铅球相切，并通过铅球的球心。在未挖出空穴前铅球质量为M。求挖出空穴后的铅球与距铅球球心距离为d、质量为m的小球(可视为质点)间的万有引力大小。答案eq\f(GMm7d2－8dR＋2R2,8d2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(d－\f(R,2)))2)解析可以用“补偿法”进行等效计算。设挖出空穴前铅球与小球间的万有引力为F1，挖出的球形实体质量为M′，与小球间的万有引力为F2，铅球剩余部分与小球间的万有引力为F，则有F1＝F＋F2。设挖出空穴前铅球的体积为V，挖出的球形实体体积为V′，则M′＝eq\f(V′,V)M＝eq\f(\f(4,3)π\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R,2)))3,\f(4,3)πR3)M＝eq\f(M,8)，依据万有引力定律可得F1＝Geq\f(Mm,d2)，F2＝eq\f(GM′m,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(d－\f(R,2)))2)＝Geq\f(Mm,8\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(d－\f(R,2)))2)，故挖出空穴后的铅球与小球间的万有引力F＝F1－F2＝Geq\f(Mm,d2)－Geq\f(Mm,8\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(d－\f(R,2)))2)＝eq\f(GMm7d2－8dR＋2R2,8d2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(d－\f(R,2)))2)。5．已知太阳中心到地球地心的距离为L，地球公转轨道可近似成圆轨道，公转周期为T，引力常量为G，地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，又已知“嫦娥三号”卫星在月球上空绕月球做匀速圆周运动时，经过时间t通过的弧长为s，卫星与月球中心连线扫过的角度是θ弧度。求：(1)太阳的质量M1；(2)地球的质量M2；(3)月球的质量M3。答案(1)eq\f(4π2L3,GT2)(2)eq\f(gR2,G)(3)eq\f(s3,t2Gθ)解析(1)地球绕太阳做匀速圆周运动，万有引力供应向心力，有Geq\f(M1M2,L2)＝M2eq\f(4π2解得：M1＝eq\f(4π2L3,GT2)。(2)地球表面物体的重力等于万有引力，mg＝Geq\f(M2m,R2)解得：M2＝eq\f(gR2,G)。(3)卫星绕月球做匀速圆周运动，万有引力供应向心力，有Geq\f(M3m′,r2)＝m′eq\f(v2,r)，v＝eq\f(s,t)，r＝eq\f(s,θ)联立解得：。6．(2024·全国卷Ⅱ)2024年1月，我国嫦娥四号探测器胜利在月球背面软着陆。在探测器“奔向”月球的过程中，用h表示探测器与地球表面的距离，F表示它所受的地球引力，能够描述F随h改变关系的图象是()答案D解析由万有引力公式F＝Geq\f(Mm,R＋h2)可知，探测器与地球表面距离h越大，F越小，解除B、C；而F与h不是一次函数关系，解除A。故选D。7．(2024·全国卷Ⅲ)为了探测引力波，“天琴安排”预料放射地球卫星P，其轨道半径约为地球半径的16倍；另一地球卫星Q的轨道半径约为地球半径的4倍。P与Q的周期之比约为()A．2∶1 B．4∶1C．8∶1 D．16∶1答案C解析设地球半径为R，依据题述，地球卫星P的轨道半径为RP＝16R，地球卫星Q的轨道半径为RQ＝4R，依据开普勒定律，eq\f(T\o\al(2,P),T\o\al(2,Q))＝eq\f(R\o\al(3,P),R\o\al(3,Q))＝64，所以P与Q的周期之比为TP∶TQ＝8∶1，C正确。8．(2024·全国卷Ⅱ)2024年2月，我国500m口径射电望远镜(天眼)发觉毫秒脉冲星“J0318＋0253”，其自转周期T＝5.19ms，假设星体为质量匀称分布的球体，已知万有引力常量为6.67×10－11N·m2/kg2。以周期T稳定自转的星体的密度最小值约为()A．5×109kg/m3 B．5×10C．5×1015kg/m3 D．5×10答案C解析设脉冲星质量为M，密度为ρ，星体表面一物块质量为M，依据天体运动规律知：eq\f(GMm,R2)≥meq\f(2π,T)2R，ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)，代入可得：ρ≥eq\f(3π,GT2)≈5×1015kg/m3，故C正确。9．(2024·北京高考)若想检验“使月球绕地球运动的力”与“使苹果落地的力”遵循同样的规律，在已知月地距离约为地球半径60倍的状况下，须要验证()A．地球吸引月球的力约为地球吸引苹果的力的eq\f(1,602)B．月球公转的加速度约为苹果落向地面加速度的eq\f(1,602)C．自由落体在月球表面的加速度约为地球表面的eq\f(1,6)D．苹果在月球表面受到的引力约为在地球表面的eq\f(1,60)答案B解析设月球质量为M月，地球质量为M，苹果质量为m，则月球受到的万有引力为F月＝eq\f(GMM月,60r2)，苹果受到的万有引力为F＝eq\f(GMm,r2)，由于月球质量和苹果质量之间的关系未知，故二者之间万有引力的关系无法确定，故A错误；依据牛顿其次定律eq\f(GMM月,60r2)＝M月·a月，eq\f(GMm,r2)＝ma，整理可以得到a月＝eq\f(1,602)a，故B正确；在月球表面处Geq\f(M月m′,r\o\al(2,月))＝m′g月，由于月球本身的半径大小未知，故无法求出月球表面和地面表面重力加速度的关系，故C错误；苹果在月球表面受到引力为F′＝Geq\f(M月m,r\o\al(2,月))，由于月球本身的半径大小未知，故无法求出苹果在月球表面受到的引力与地球表面引力之间的关系，故D错误。10．(2024·北京高考)利用引力常量G和下列某一组数据，不能计算出地球质量的是()A．地球的半径及重力加速度(不考虑地球自转)B．人造卫星在地面旁边绕地球做圆周运动的速度及周期C．月球绕地球做圆周运动的周期及月球与地球间的距离D．地球绕太阳做圆周运动的周期及地球与太阳间的距离答案D解析A能：依据Geq\f(Mm,R2)＝mg可知，已知地球的半径及重力加速度可计算出地球的质量。B能：依据Geq\f(Mm,R2)＝eq\f(mv2,R)及v＝eq\f(2πR,T)可知，已知人造卫星在地面旁边绕地球做圆周运动的速度及周期可计算出地球的质量。C能：依据Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r可知，已知月球绕地球做圆周运动的周期及月球与地球间的距离，可计算出地球的质量。D不能：已知地球绕太阳做圆周运动的周期及地球与太阳间的距离只能求出太阳的质量，不能求出地球的质量。11．(2024·唐山市高三年级摸底考试)(多选)场是物理学中的重要概念，除了电场和磁场，还有引力场。在处理有关问题时可以将它们进行类比，仿照电场强度的定义，在引力场中可以有一个类似的物理量来反映各点引力场的强弱。已知地球质量为M，半径为R，地球表面处的重力加速度为g，引力常量为G。假如一个质量为m的物体位于距离地面2R处的某点，则下列表达式中能反映该点引力场强弱的是()A．Geq\f(M,3R2) B．eq\f(g,4)C．eq\f(g,9) D．Geq\f(Mm,2R2)答案AC解析依据Geq\f(Mm,R2)＝mg，可得地表处的引力场强度即地表重力加速度g＝Geq\f(M,R2)，与之类似，在距离地面2R处即离地心3R处的引力场强度g′＝Geq\f(M,3R2)＝eq\f(1,9)g，A、C正确。12．(2024·福建三明高三5月质检)2019年4月10日，世界上首张黑洞图像照片发布，如图，它供应了黑洞存在的干脆“视觉”证据。若某黑洞表面的重力加速度g大小约为1012m/s2，质量M和半径R的关系满意eq\f(M,R)＝eq\f(c2,2G)，其中c为光速、G为引力常量(近似取7×10－11N·m2/kg2)，则该黑洞质量的数量级约为()A．1014kg C．1031kg 答案C解析由GM＝gR2以及eq\f(M,R)＝eq\f(c2,2G)联立可得：M＝eq\f(c4,4gG)，代入数据得：M＝eq\f(3×1084,4×1012×7×10－11)kg≈3.0×1031kg，故选C。13．(2024·河南安阳二模)半径为R的某匀称球形天体上，两“极点”处的重力加速度大小为g，“赤道”处的重力加速度大小为“极点”处的eq\f(1,k)。已知引力常量为G，则下列说法正确的是()A．该天体的质量为eq\f(gR2,kG)B．该天体的平均密度为eq\f(4g,3πGR)C．该天体的第一宇宙速度为