2025届高考数学二轮复习思想方法训练4转化与化归思想理含解析

思想方法训练4转化与化归思想思想方法训练第8页

一、实力突破训练1.已知M={(x,y)|y=x+a},N={(x,y)|x2+y2=2},且M∩N=⌀,则实数a的取值范围是()A.a>2 B.a<-2C.a>2或a<-2 D.-2<a<2答案:C解析:M∩N=⌀等价于方程组y=x把y=x+a代入到方程x2+y2=2中,消去y,得到关于x的一元二次方程2x2+2ax+a2-2=0,①由题易知一元二次方程①无实根,即Δ=(2a)2-4×2×(a2-2)<0,由此解得a>2或a<-2.2.已知e1,e2是两个单位向量,且夹角为π3,则e1+te2与te1+e2的数量积的最小值为()A.-32 B.-36 C.答案:A解析:∵(e1+te2)·(te1+e2)=te12+(t2+1)e1·e2+te22=t|e1|2+(t2+1)|e1||e2|cosπ3+t|e2|2∴当t=-2时,可得最小值为-33.设P为曲线C:y=x2+2x+3上的点,且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为0,π4,则点P横坐标的取值范围为A.-1,-12 BC.[0,1] D.答案:A解析:设P(x0,y0),倾斜角为α,0≤tanα≤1,y=f(x)=x2+2x+3,f'(x)=2x+2,0≤2x0+2≤1,-1≤x0≤-12,故选A4.(2024北京,理7)在平面直角坐标系中,记d为点P(cosθ,sinθ)到直线x-my-2=0的距离.当θ,m改变时,d的最大值为()A.1 B.2 C.3 D.4答案:C解析:设P(x,y),则x=cosθ,y=sinθ,即点P在单位圆上,点P到直线x-my-2=0的距离可转化为圆心(0,0)到直线x-my-2=0的距离加上(或减去)半径,所以距离最大为d=1+|-2|1+m2=1+21+m2.当5.已知定义在实数集R上的函数f(x)满意f(1)=3,且f(x)的导数f'(x)在R上恒有f'(x)<2(x∈R),则不等式f(x)<2x+1的解集为()A.(1,+∞) B.(-∞,-1) C.(-1,1) D.(-∞,-1)∪(1,+∞)答案:A解析:设F(x)=f(x)-2x-1,则F'(x)=f'(x)-2<0,得F(x)在R上是减函数.又F(1)=f(1)-2-1=0,即当x>1时,F(x)<0,不等式f(x)<2x+1的解集为(1,+∞),故选A.6.已知函数f(x)=ax3+bsinx+4(a,b∈R),f(lg(log210))=5,则f(lg(lg2))=()A.-5 B.-1 C.3 D.4答案:C解析:因为lg(log210)+lg(lg2)=lg(log210×lg2)=lglg10lg2×lg2=lg1=0,所以lg(lg2)=-lg(log设lg(log210)=t,则lg(lg2)=-t.由条件可知f(t)=5,即f(t)=at3+bsint+4=5,所以at3+bsint=1,所以f(-t)=-at3-bsint+4=-1+4=3.7.在平面直角坐标系xOy中,已知圆x2+y2=4上有且只有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1,则实数c的取值范围是.

答案:(-13,13)解析:若圆上有四个点到直线的距离为1,则需圆心(0,0)到直线的距离d满意0≤d<1.∵d=|c∴0≤|c|<13,即c∈(-13,13).8.已知函数f(x)=2x-2-x,若不等式f(x2-ax+a)+f(3)>0对随意实数x恒成立,则实数a的取值范围是.

答案:(-2,6)解析:f(x)=2x-2-x为奇函数且在R上为增函数,所以f(x2-ax+a)+f(3)>0⇒f(x2-ax+a)>-f(3)⇒f(x2-ax+a)>f(-3)⇒x2-ax+a>-3对随意实数x恒成立,即Δ=a2-4(a+3)<0⇒-2<a<6,所以实数a的取值范围是(-2,6).9.已知函数f(x)=m2sin2x+3mcos2x-32m+n(m>(1)求函数f(x)的单调递减区间;(2)设x∈0,π2,f(x)的最小值是1-3,最大值是3,求实数m解:(1)f(x)=m2sin2x+3mcos2x-3=m2sin2x+32m(2cos2x-=m12sin2x+3∵m>0,∴由2kπ+π2≤2x+π3≤2kπ+3π即kπ+π12≤x≤kπ+7π12,可知函数f(x)的单调递减区间为kπ+π12,kπ+7π12,k∈Z(2)当x∈0,π2时则-32≤sin2∵f(x)的最小值是1-3,最大值是3,∴f(x)的最大值为m+n=3,最小值为-32m+n=1-3,得m=2,n=110.已知函数f(x)=23x3-2ax2-3x(1)当a=0时,求曲线y=f(x)在点(3,f(3))处的切线方程;(2)已知对一切x∈(0,+∞),af'(x)+4a2x≥lnx-3a-1恒成立,求实数a的取值范围.解:(1)由题意知当a=0时,f(x)=23x3-3x所以f'(x)=2x2-3.又f(3)=9,f'(3)=15,所以曲线y=f(x)在点(3,f(3))处的切线方程为15x-y-36=0.(2)f'(x)=2x2-4ax-3,则由题意得2ax2+1≥lnx,即a≥lnx-12x2在x设g(x)=lnx-12x2,则g'当0<x<e32时,g'(x)>0;当x>e32时,g'(所以当x=e32时,g(x)取得最大值,且g(x)max=故实数a的取值范围为1二、思维提升训练11.已知抛物线y2=4x的焦点为F,点P(x,y)为抛物线上的动点,又点A(-1,0),则|PF||PAA.12 B.22答案:B解析:明显点A为准线与x轴的交点,如图,过点P作PB垂直准线于点B,则|PB|=|PF|.∴|PF||PA设过A的直线AC与抛物线切于点C,则0<∠BAC≤∠PAB≤π2,∴sin∠BAC≤sin∠设切点为(x0,y0),则y02=4x0,又y0解得x0=1,y0∴sin∠BAC=222=22,∴12.设F1,F2分别是双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,若双曲线右支上存在一点P,使(OP+OF2)·F2P=A.3+1 B.3+12答案:A解析:如图,取F2P的中点M,则OP+OF2=2OM.即OM·F2又OM为△F2F1P的中位线,∴在△PF1F2中,2a=|PF1|-|PF2|=(3-1)由勾股定理,得2c=2|PF2|.∴e=2313.已知各项均为正数的数列{an}和{bn}满意an,bn,an+1成等差数列,bn,an+1,bn+1成等比数列,且a1=1,a2=3,则数列{an}的通项公式为.

答案:an=n解析:由题设可得2bn=an+an+1,an+1=bnbn+1,故an=bn-1bn,代入得2bn=bnbn-1+bnbn+1∵a1=1,a2=3,∴2b1=4,即b1=2.∴b2=a∴{bn}的公差d=b∴bn=2+(即b∴an+1=bnbn+114.已知f(x)=m(x-2m)(x+m+3),g(x)=2x-2,若∀x∈R,f(x)<0或g(x)<0,则m的取值范围是.

答案:(-4,0)解析:将问题转化为g(x)<0的解集的补集是f(x)<0的解集的子集求解.∵g(x)=2x-2<0,∴x<1.又∀x∈R,f(x)<0或g(x)<0,∴[1,+∞)是f(x)<0的解集的子集.又由f(x)=m(x-2m)(x+m+3)<0知m不行能大于等于0,因此m<0.当m<0时,f(x)<0,即(x-2m)(x+m+3)>0,若2m=-m-3,即m=-1,此时f(x)<0的解集为{x|x≠-2},满意题意;若2m>-m-3,即-1<m<0,此时f(x)<0的解集为{x|x>2m或x<-m-3},依题意2m<1,即-1<m<0;若2m<-m-3,即m<-1,此时f(x)<0的解集为{x|x<2m或x>-m-3},依题意-m-3<1,m>-4,即-4<m<-1.综上可知,满意条件的m的取值范围是-4<m<0.15.已知函数f(x)=elnx,g(x)=1ef(x)-(x+1)(e=2.718……)(1)求函数g(x)的极大值;(2)求证:1+12+13+…+1n>ln(n+1)(n答案:(1)解∵g(x)=1ef(x)-(x+1)=lnx-(x+∴g'(x)=1x-1(x>0)令g'(x)>0,解得0<x<1;令g'(x)<0,解得x>1.∴函数g(x)在区间(0,1)上单调递增,在区间(1,+∞)上单