河南省信阳市商城县2024届高三下学期一模考试数学试题（含答案解析）

2024届河南省信阳市商城县高三一模考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．1.已知复数z满足，则（）A. B.2 C. D.【答案】C【解析】【分析】设且，结合共轭复数的概念写出，利用复数相等及乘法运算求出参数a、b，即可得.【详解】令，则，且，所以，则，所以，可得，即，所以.故选：C2.已知函数,则下列判断正确的是A.此函数的最小正周期为,其图象的一个对称中心是B.此函数的最小正周期为,其图象的一个对称中心是C.此函数的最小正周期为,其图象的一个对称中心是D.此函数的最小正周期为,其图象的一个对称中心是【答案】C【解析】【详解】最小正周期为，当时，，图象的一个对称中心是故选3.若，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】将不等式变为，根据的单调性知，以此去判断各个选项中真数与的大小关系，进而得到结果.【详解】由得：，令，为上的增函数，为上的减函数，为上的增函数，，，，，则A正确，B错误；与的大小不确定，故CD无法确定.故选：A.【点睛】本题考查对数式的大小的判断问题，解题关键是能够通过构造函数的方式，利用函数的单调性得到的大小关系，考查了转化与化归的数学思想.4.若命题：“，使”是真命题，则实数m的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据“，”是真命题得到方程有解，然后根据根的判别式列方程求解即可.【详解】因为“，”是真命题，所以，解得.故选：C.5.已知定义域为R的函数在2,+∞单调递减，且，则使得不等式成立的实数x的取值范围是（）A. B.或 C.或 D.【答案】C【解析】【分析】由得到关于对称，再由在2,+∞单调递减得到在R上单调递减，利用单调性可得答案.【详解】，则关于对称，因为在2,+∞单调递减，所以在R上单调递减，所以，由得，所以，所以，解得或.故选：C．【点睛】思路点睛：利用函数的单调性和奇偶性比较函数值大小的思路：（1）先根据奇偶性将自变量转变至同一单调区间；（2）根据单调性比较同一单调区间内的函数值的大小关系；（3）再结合奇偶性即可判断非同一单调区间的函数值大小，由此得到结果.6.已知圆：与中心在原点、焦点在坐标轴上的双曲线的一条渐近线相切，则双曲线的离心率为（）A.或4 B.或2 C. D.2【答案】B【解析】【分析】分双曲线的焦点在x轴上和y轴上，由圆心到渐近线的距离等于半径求解.【详解】圆：的圆心为，半径为1，当双曲线的焦点在x轴上时，其渐近线方程为，由题意得，即，所以，所以，当双曲线的焦点在y轴上时，，则，故选：B7.已知点是直线上的动点，由点向圆引切线，切点分别为且，若满足以上条件的点有且只有一个，则（）A. B. C.2 D.【答案】D【解析】【分析】连接，结合圆的切线性质可推得点在以点为圆心，为半径的圆上，再由题意可知该圆与直线相切，利用点到直线的距离公式，即可求得答案.【详解】连接，则.又，所以四边形为正方形，，于是点在以点为圆心，为半径圆上.又由满足条件的点有且只有一个，则圆与直线相切，所以点到直线的距离，解得.故选：D.8.函数为偶函数的一个充分条件是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求得函数为偶函数充要条件，再去求函数为偶函数的充分条件即可解决.【详解】函数为偶函数，则有，解之得，令，则有则函数为偶函数的一个充分条件为故选：C二、选择题：本题共3小题，每小题5分，共15分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知AB，CD为圆O的直径，P为圆O内一点，，，则（）A.B.C.D.的最大值是1【答案】ABD【解析】【分析】根据平面向量数量积的运算性质，结合圆的几何性质、正弦定理进行逐一判断即可.【详解】因为AB，CD为圆O的直径，所以O是AB，CD是中点，所以，因此选项A正确；，因为O是AB的中点，AB，CD为圆O的直径，所以，于是所以选项B正确；由：，所以有，因此选项C不正确；设，，所以的最大值是1，因此选项D正确，故选：ABD【点睛】关键点睛：利用圆的几何性质，结合平面向量数量积的运算性质是解题的关键.10.已知定义在上的函数为奇函数，且对，都有，定义在上的函数为的导函数，则以下结论一定正确的是（）A.为奇函数 B.C. D.为偶函数【答案】ACD【解析】【分析】根据函数奇偶性判断AD；利用赋值法结合导数运算、函数性质判断BC．【详解】因为为奇函数，则，可得，所以为奇函数，故A正确；又因为，可得，则，可得，所以是以为周期的周期函数，可得，但没有足够条件推出，故B错误；因为，则，令，则，故C正确；因为，则，可得，又因为，则，所以为偶函数，故D正确，故选：ACD．11.若，，则（）．A. B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】由不等式的性质可判断A；利用特值法可判断B，C；利用作差法可判断D.【详解】对于A：由题意可得，因为，所以，故A正确；对于B：当，时，满足已知条件，但，故B错误；对于C：当，，时，满足已知条件，但，故C错误；对于D：，因为，可得，所以，故D正确．故选：AD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知向量，，，则向量与的余弦值为__________.【答案】【解析】【分析】计算的坐标，由模求得参数，由数量积的运算求得向量夹角的余弦值．【详解】由已知得BC=AC−AB=(1,t−3)，所以，解得．故答案为：．13.已知一块直角梯形状铁皮，其中，现欲截取一块以为一底的梯形铁皮，点分别在上，记梯形的面积为，剩余部分的面积为，则的最小值是__________.【答案】##【解析】【分析】利用直角梯形的几何性质，求出，从而可得的表达式，结合函数的单调性，即可得解.【详解】依题意，作于G，则，则，由题意知，则，而，；故，设，则，故，作于H，则，故，则，故，令，则，因为，故，则，而在上单调递减，故的最小值为，即的最小值为.故答案为：.【点睛】关键点睛：解答本题的关键是结合梯形的几何性质表示出相关线段长，求出梯形的面积表达式，即可求解答案.14.已知函数的零点在区间上，则的取值范围为______【答案】【解析】【分析】判断函数的单调性，结合零点所在的区间，根据零点存在性定理，列出不等式，求解即可.【详解】由题意，函数是定义域上的单调递增函数，又由函数在区间上存在零点，则满足，即，解得，即实数的取值范围为.故答案为：.【点睛】本题考查利用函数零点所在区间，求参数的范围，属基础题.四、解答题：本题共5小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知数列的前n项和为，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，（1）求数列的通项公式：（2）若数列满足，求数列的前100项和．条件①：，；条件②：，，，成等比数列；注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】条件选择见解析（1），；（2）.【解析】【分析】（1）选择条件①利用；选择条件②可得数列是等差数列，再根据等比中项性质，即可得到答案；（2）利用等差数列和等比数列前项和公式，即可得答案；【详解】选择条件①的解析：（1）因为所以，；当时，；当时，；因为当时，符合上式，所以，选择条件②的解析：（1）因为，所以数列是等差数列，且公差为1又因为成等比数列，所以，即，即，所以．（2）因为，时，时，，……时，，上述50个式子相加得【点睛】本题考查等差数列和等比数列基本量运算，数列求和时要先进行分组再求和.16.在四面体中，过棱的上一点作平行于，的平面分别交四面体的棱，，于点，，（1）求证：截面为平行四边形（2）若、在线段、上，，且、不重合，证明：截面【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）由平面，证得，再由平面，得到，利用平行公理，即可得到结论；（2）在上取点，连接，则，证得，利用面面平行的判定，得到平面平面，进而证得截面．【详解】（1）由题意，因为平面，平面平面，平面，可得，又由平面，平面平面，平面，可得，由平行公理可得，同理可得，所以四边形为平行四边形．（2）在上取点，使得，连接，则，由，则，又，可得平面平面，因为平面，所以截面．【点睛】本题主要考查了线面位置关系的判定与证明，熟练掌握空间中线面位置关系的定义、判定定理和性质定理，以及几何特征是解答的关键，其中垂直、平行关系证明中常见转化方法：(1)证明线面、面面平行，可转化为证明线线平行；(2)证明线面垂直，可转化为证明线线垂直．17.自2022北京冬奥会以来，花样滑冰项目引起了广泛关注.选手们在冰上起舞，做出步法、旋转、跳跃等技术动作.“技术动作分”由“基础分”和“执行分”相加得到.不同技术动作，其“基础分”也不同，其中四个跳跃动作4T，4S，4F，4Lz的“基础分”如表1所示.跳跃动作4T4S4F4Lz基础分9.59.711.011.5表1选手表演完，得到相应动作的“执行分”.把“执行分”为非负值的跳跃动作记为“成功”，否则记为“失败”.表2为某选手在上一赛季各跳跃动作的“技术动作分”.4T12.0411.224.759.069.9711.6310.984S10.9810.5711.324.859.5112.074F13.695.5014.0212.924Lz13.5414.2311.218.3811.87表2假设用频率估计概率，且选手每个跳跃动作是否“成功”相互独立.（1）从该选手上一赛季所有4T动作中任选一次，估计这次跳跃为“成功”的概率；（2）若该选手在本赛季中，计划完成4T，4S，4F这三个动作，且每个动作只完成一次.将这三个动作中成功的跳跃个数记为X，求X的分布列和数学期望E（X）；（3）在本赛季中，从四个跳跃动作4T，4S，4F，4Lz中选出三个，使得该选手这三个动作中“成功”的跳跃个数的期望最大，请直接写出这三个动作的名称.【答案】（1）（2）分布列见解析，数学期望为（3）4T,4S,4F【解析】【分析】（1）根据题意，结合表格的数据，结合古典概型的概率公式代入计算，即可得到结果；（2）根据题意，由条件可得X的所有可能取值为0,1,2,3，然后分别计算对应的概率，即可得到分布列，再由期望的计算公式即可得到结果.（3）根据题意，结合表格中的数据即可得到结果.【小问1详解】根据题中数据，该选手上一赛季7个4T动作中，有5个跳跃为“成功”，所以从该选手上一赛季所有4T动作中任选一次，这次跳跃“成功”的概率可以估计为【小问2详解】同（1），从该选手上一赛季所有4S，4F动作中分别任选一次，这次跳跃“成功”的概率分别可以估计为，X的所有可能取值为0,1,2,3.所以随机变量X的分布列为：所以【小问3详解】由表格可知，4T动作成功的概率为，失败的概率为，4S动作成功的概率为，失败的概率为，4F动作成功的概率为，失败的概率为，4Lz动作成功的概率为，失败的概率为，由可知，选4T,4S,4F.18.已知椭圆C：（）的离心率为，左顶点A到右焦点的距离为3.（1）求椭圆的方程；（2）设直线与椭圆交于不同两点，（不同于A），且直线和的斜率之积与椭圆的离心率互为相反数，求在上的射影的轨迹方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由题目条件列出方程组，求出参数的值，得椭圆的方程；（2）分直线l斜率是否存在两种情况讨论，与椭圆的方程联立，根据直线和的斜率之积建立参数的关系式，得直线l过定点，得点的轨迹是以为直径的圆（除去点），建立点H的轨迹方程.【小问1详解】由题意可得，解得，所以椭圆方程为.【小问2详解】当直线斜率存在时，可设l：，Mx1,y1，与椭圆方程联立，，得，，，，因为直线和的斜率之积与椭圆的离心率互为相反数，所以，得，即，所以或，当时，经过定点，与A重合，舍去，当时，，经过定点，当直线的斜率不存在时，l：，此时，，满足条件，因为，，所以点的轨迹是以为直径的圆（除去点），圆心坐标为，半径为，所以点轨迹方程为.【点睛】设直线l的方程，得到参数的关系式后，代回直线方程消去一个参数即可得直线过定点；求动点H的轨迹方程注意除去不合题意的点F.19.已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若函数恰有两个零点，求实数a的取值范围．【答案】（1）答案见解析（2）【解析】【分析】（1）讨论，时的正负确定单调区间；（2）当时，先增后减，只需时恰有两个零点，当时，判断两个极值均大于0，不可能有两个零点.【小问1详解】因为，定义域为，所以，当时，，则在上单调递减；当时，令，解得，当时，，单调递增；当时，，单调递减．综上可知，当时，函数在上单调递减；当时，函数在区间内单调递增，在上单调递减．【小问2详解】因为，，①当时，在上只有一个零点2，不符合题意；②当时，求导得，令，解得或，（ⅰ）当时，，当时，，单调递增；当时，，单调递减，则，要使函数有两个零点，必有，即，且，则函数在区间内存在一个零点；又因为，因为，则，又，则，，故，所以函数在区间内存在一个零点，故当时，