《初中同步测控全优设计》2013-2014学年华师大版七年级数学上册例题与讲解：第2章2.10　有理数的除法

2.10有理数的除法1．倒数(1)倒数的意义在有理数范围内，倒数的意义与小学里学习的倒数的意义是相同的，即乘积为1的两个有理数互为倒数．用字母表示为a×eq\f(1,a)＝1(a≠0)，也就是说，a(a≠0)的倒数是eq\f(1,a).例如(－5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,5)))＝1，因此－5是－eq\f(1,5)的倒数，－eq\f(1,5)是－5的倒数．(2)倒数的求法①求一个整数的倒数时，直接写成以这个数为分母、1为分子的分数即可．如－3的倒数是－eq\f(1,3)；②求一个分数的倒数时，就是把这个分数的分子和分母交换一下即可．如－eq\f(3,5)的倒数是－eq\f(5,3)；若求小数的倒数，先将小数化成分数再求，如求0.5的倒数，由0.5＝eq\f(1,2)，eq\f(1,2)的倒数是2，则0.5的倒数是2；③0没有倒数．谈重点与倒数相关的知识①正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，0没有倒数；②互为倒数的两个数一定是同号；③倒数等于它本身的数只有1和－1.【例1】(1)－|－2|的倒数是()．A．2 B．eq\f(1,2) C．－eq\f(1,2) D．－2(2)－0.5的倒数是()．A．－eq\f(1,2) B．eq\f(1,2) C．－2 D．2(3)若2与a互为倒数，则下列结论正确的是()．A．a＝eq\f(1,2) B．a＝－2 C．a＝－eq\f(1,2) D．a＝2解析：解决倒数问题首先要理解倒数的概念：如果两个数的乘积等于1，那么这两个数互为倒数．(1)要计算－|－2|的倒数，首先要计算出－|－2|＝－2，然后再确定其倒数；(2)通常把小数化为分数eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－0.5＝－\f(1,2)))，然后再将分数的分子、分母颠倒位置；(3)根据倒数的概念可以计算出a的值．答案：(1)C(2)C(3)A2．有理数的除法法则(1)有理数的除法法则．①除以一个不为零的有理数，等于乘以这个数的倒数．②两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除.0除以任何一个不等于0的数，都得0.(注意：0不能作除数)(2)要选择适当的方法进行有理数的除法．对于整数除以一个不为零的整数时，可以先确定商的符号(两数相除，同号得正，异号得负)，再把绝对值相除得商的绝对值．当除数是分数(带分数要化为假分数)时，应把除法转化为乘法(除以一个不为零的有理数，等于乘以这个数的倒数)，这样比较简单．当除法算式中有小数时，应把小数化为分数，再把除法转化为乘法．(3)0不能作除数．我们知道，“已知两个因数的积和其中一个因数，求另一个因数的运算”用除法，也就是说，除法是乘法的逆运算．因为0乘以任何数都得0，所以任何数除以0都没有意义，即0不能作除数．谈重点有理数除法运算的步骤先确定商的符号，再计算商的绝对值．如果两个有理数能够整除，一般直接根据有理数除法的法则确定符号后求商；如果两个有理数不能整除，一般把除法转化为乘法再运算．【例2】计算：(1)(－12)÷(－3)；(2)(－42)÷(－6)；(3)(－0.1)÷10；(4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－25\f(5,7)))÷(＋5)；(5)0÷(－5)÷100.分析：先确定商的符号，再计算绝对值．(1)(2)是同号两数相除，结果为正；(3)(4)是异号两数相除，结果为负；(5)0除以任何非0的数，都得0.解：(1)(－12)÷(－3)＝4；(2)(－42)÷(－6)＝7；(3)(－0.1)÷10＝－0.01；(4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－25\f(5,7)))÷(＋5)＝－5eq\f(1,7)；(5)0÷(－5)÷100＝0.3．有理数除法运算中的易错题有理数的除法运算中经常会出现这样的错误：(1)运算顺序出错有理数的乘除混合运算属于同级运算，应当按照运算顺序，从左向右依次进行计算，也可以直接把除法转化为乘法，一起约分即可；(2)误用“除法分配律”乘法分配律推广到除法运算，是有条件的：当被除数是和差形式时，可以把除数分配给“和”中的每一个数；当除数是和差形式时，就不能把被除数分配给“和”中的每一个数．【例3】计算：(1)(－29)÷3×eq\f(1,3)；(2)15÷eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－\f(1,5))).分析：(1)把除法运算转化为乘法运算，然后计算即可．本题易错解为：原式＝(－29)÷1＝－29，错解的原因是乘除混合运算出现运算顺序错误；(2)先算括号里面的，再算除法运算．本题易错解为：原式＝15÷eq\f(1,3)－15÷eq\f(1,5)＝15×3－15×5＝45－75＝－30，错解原因是因为把被除数分配给除数中的每一个数而造成的．解：(1)(－29)÷3×eq\f(1,3)＝(－29)×eq\f(1,3)×eq\f(1,3)＝－eq\f(29,3)×eq\f(1,3)＝－eq\f(29,9)＝－3eq\f(2,9)；(2)15÷eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－\f(1,5)))＝15÷eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,15)－\f(3,15)))＝15÷eq\f(2,15)＝15×eq\f(15,2)＝eq\f(225,2)＝112eq\f(1,2).4．有理数的本质我们知道，整数和分数统称有理数．整数和分数都可以化为两个整数之商．(1)任何整数都是它除以1所得的商，如5＝5÷1，－12＝(－12)÷1＝12÷(－1)．(2)任何正分数都是它的分子除以分母的商，如eq\f(2,3)＝2÷3,4eq\f(1,3)＝eq\f(13,3)＝13÷3，任何负分数的负号可以搬到分子或分母上，从而把它看成两个整数(其中一个是负整数)的商，如－eq\f(7,8)＝(－7)÷8＝7÷(－8)．由此可知，有理数是可以表示为两个整数之商的数．【例4】将下列有理数写成整数之商：(1)－5eq\f(3,4)；(2)3.6；(3)4.5.分析：(1)－5eq\f(3,4)是一个负的带分数，先将其化为假分数，再把负号搬到分子(或分母)上，即可知道它是哪两个整数之商；(2)3.6是一个小数，将其化为分数后，即可知道它是哪两个整数之商；(3)先将4.5化成分数，即可知道它是哪两个整数之商．解：(1)－5eq\f(3,4)＝－eq\f(23,4)＝eq\f(－23,4)＝(－23)÷4；(2)3.6＝3eq\f(3,5)＝eq\f(18,5)＝18÷5.(3)4.5＝4eq\f(1,2)＝eq\f(9,2)＝9÷2.5．求一个数的倒数的方法(1)用1除以这个数．例如求0.2的倒数，就用1除以0.2得5，所以0.2的倒数是5.(2)把数改写成分数，再把分子与分母颠倒位置．①求整数的倒数，直接把整数作分母，分子是1；②求真、假分数的倒数，直接把分子与分母颠倒位置；③求带分数的倒数，先把带分数化为假分数，再把分子分母颠倒位置，如求7eq\f(1,3)的倒数，先化为eq\f(22,3)，其倒数为eq\f(3,22)；④求小数的倒数，先把小数化为分数，再把分子分母颠倒位置．(3)特别地，分子是1的真分数的倒数是这个分数的分母，即正整数．谈重点有理数有倒数的条件一个有理数有倒数的条件是这个有理数不等于0.例如a的倒数是eq\f(1,a)的条件是a不为0.所以－a(a≠0)的倒数是－eq\f(1,a)，－eq\f(p,q)(p≠0，q≠0)的倒数是－eq\f(q,p).【例5】填空：(1)__________的倒数是－0.125；(2)－3eq\f(1,2)的倒数是__________；(3)0.2的倒数的相反数是__________；(4)－4eq\f(1,3)的负倒数是__________；(5)－2.5×eq\x()＝1，则“eq\x()”中应填的数是__________．解析：(1)求－0.125的倒数，就要先把－0.125化成分数，即－0.125＝－eq\f(1,8)，所以其倒数是－8；(2)求－3eq\f(1,2)的倒数，要把带分数化为假分数，即－3eq\f(1,2)＝－eq\f(7,2)，所以其倒数是－eq\f(2,7)；(3)求0.2的倒数的相反数，就要把0.2化为eq\f(1,5)，其倒数是5,5的相反数是－5；(4)求－4eq\f(1,3)的负倒数，就要把－4eq\f(1,3)化为－eq\f(13,3)，其倒数的相反数就是eq\f(3,13)；(5)实质是求－2.5的倒数，就是－eq\f(2,5).答案：(1)－8(2)－eq\f(2,7)(3)－5(4)eq\f(3,13)(5)－eq\f(2,5)6.有理数除法的应用有理数的除法在现实生活中有着广泛的应用，解题时可以忽略符号，只考虑数的实际意义，最后再去处理符号问题．解题时还要检验结果是否符合实际意义．【例6】一只青蛙在10米深的井底，它每小时往上爬1米后，在下一小时里要下滑0.6米，问这只青蛙几小时才能爬到地面上来？分析：由已知条件知，青蛙每两个小时爬上1－0.6＝0.4米，10米里面有25个0.4米，所以经过了50个小时青蛙爬上了地面，但是实际在经过了49小时，青蛙没有下滑时已经上来了．解：10÷(1－0.6)×2＝50(小时),50－1＝49(小时)．答：这只青蛙49小时才能爬到地面上来．7．有理数的除法转化为乘法的运算(1)除以一个非零有理数等于乘以这个数的倒数．用数学式子表示为a÷b＝a×eq\f(1,b)＝eq\f(a,b)(b≠0)．(2)有理数的除法转化为乘法的运算步骤：①确定商的符号；②把除法变为乘法；③把除数变为它的倒数．(3)几个非0的有理数相乘，积的符号由负因数的个数决定．类似地，几个非0的有理数相除，商的符号也由负数的个数决定：当负数的个数为奇数时，商为负；当负数的个数为偶数时，商为正．(4)如果两个有理数能够整除，就用除法法则运算；如果两个数不能整除，就把除法转化为乘法运算．(5)特别地，只要是乘除混合运算就把除法转化为乘法，确定符号后再应用乘法法则运算．(6)转化后利用乘法的运算律简化运算．除法运算转化为乘法运算后，运算律可以使运算简单，因此在解题中要细心观察．在混合运算中要严格按照运算顺序计算．【例7】计算：(1)(－81)÷3eq\f(1,4)÷(－2.25)÷eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－11\f(1,13)))；(2)－2eq\f(1,4)÷1.125×(－8)；(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1\f(3,4)－\f(7,8)－\f(7,12)))÷eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,24))).分析：(1)有理数的除法法则对有理数的连除运算仍然适应．运算时，要注意把每一个除数都转化为它的倒数，都与被除数相乘．同时要把小数化为分数，把带分数化为假分数，便于约分；(2)对于有理数的乘除法混合运算，应将它们统一为有理数的乘法运算．先由负因数的个数确定结果的符号，再把带分数化为假分数，同时把小数也化为分数，最后考虑约分；(3)若先算括号里面的，再算除法运算比较复杂，如果先将除法运算转化为乘法运算然后利用乘法分配律，会大大简化计算．注意带分数要化成假分数．解：(1)原式＝－81÷eq\f(13,4)÷eq\f(9,4)÷eq\f(144,13)＝－81×eq\f(4,13)×eq\f(4,9)×eq\f(13,144)＝－1；(2)原式＝eq\f(9,4)÷eq\f(9,8)×8＝eq\f(9,4)×eq\f(8,9)×8＝16；(3)原式＝eq\b