轴向拉伸和压缩课件1

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轴向拉伸和压缩

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*§2-1引言FFFF拉伸压缩

杆件在轴向载荷作用下，将发生轴向拉伸或压缩。

*一、轴力FFFFN拉压杆横截面的内力沿杆的轴线，故称为轴力。轴力以拉为正，以压为负。§2-2轴力与轴力图

*二、轴力图一般情况，拉压杆各截面的的轴力是不同的，表示拉压杆各截面的的轴力的图像称为轴力图。

轴力图的画法步骤如下：

1.画一条与杆的轴线平行且与杆等长的直线作基线；

2.将杆分段，凡集中力作用点处均应取作分段点；

3.用截面法，通过平衡方程求出每段杆的轴力；画受力图时，截面轴力应按正的假设。

4.按大小比例和正负号，将各段杆的轴力画在基线两侧，并在图上表出数值和正负号。*[例2-1]画图示杆的轴力图。⊕⊕○－轴力图ⅠⅠⅡⅡⅢⅢⅠⅠFN1ⅡⅡFN2ⅢⅢFN3第一段，第二段，第三段，

*[例1—2]长为l，重为P的均质杆，上端固定，下端受一轴向拉力F作用，画该杆的轴力图。lFxFFN⊕轴力图FF+P*[练习1]画图示杆的轴力图。ABCD⊕⊕⊕○－○－轴力图轴力图

*§2-3拉压杆的应力与圣维南原理一、拉压杆横截面的应力截面上一点分布内力的集度称为该点的应力。k将应力p分解为与截面垂直和平行的两个分量，与截面垂直的分量称为正应力，用

表示，与截面平行的分量称为切应力，用

表示。kp

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取一等直杆，在其侧面上画出许多与轴线平行的纵线和横向线在两端施加一对轴向拉力

*

FF

所有的纵向线伸长都相等，而横向线保持为直线且与纵向线垂直。

*

FF

结论：各纤维的伸长相同，所以它们所受的力也相同

*

平面假设：直杆在轴向拉压时横截面仍保持为平面。结论：由平面假设知，在横截面上作用着均匀分布的正应力

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*拉压杆横截面上只有正应力而无切应力，忽略应力集中的影响，横截面上的正应力可视作均匀分布的，于是有正应力正负的规定与轴力相同，以拉为正，以压为负。[例2-3]已知A1=2000mm2，A2=1000mm2，求图示杆各段横截面上的正应力。ABCDA1A2

*拉压杆横截面上只有正应力而无切应力，忽略应力集中的影响，横截面上的正应力可视作均匀分布的，于是有正应力正负的规定与轴力相同，以拉为正，以压为负。[例2-3]已知A1=2000mm2，A2=1000mm2，求图示杆各段横截面上的正应力。ABCDA1A2

*ABCDA2解：⊕－○轴力图A1

*二、斜截面的应力FFmmmmFFNmmFA

——斜截面面积k

*三、圣维南原理1797-1886Saint-Venantworkedmainlyonmechanics,elasticity,hydrostaticsandhydrodynamics.h/411h/222h33FFh

*§2-4

材料在拉伸与压缩时的力学性能工程中所用的材料多种多样，不同的材料受力后所表现的力学性能是不同的。只有掌握了材料的力学性能，才能根据构件的受力特征选择合适的材料。

根据材料的力学性质可分为两大类：拉断时只有很小的塑性变形称为脆性材料，如玻璃、陶瓷、砖石、铸铁等。拉断时有较大的塑性变形产生称为塑性材料，如钢材、铜等。

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*一、试件与试验仪器⒈标准试件拉伸试件dh压缩试件FF

*2、试验仪器：万能材料试验机；变形仪。*二、低碳钢拉伸时的力学性能*低碳钢拉伸的应力--应变曲线(

-

图)根据低碳钢拉伸时记录下来的拉力F与变形关系曲线可得应力-应变关系曲线(应力-应变图；

-

图)

*1.线性及弹性阶段(oe段)

p-比例极限pe-曲线阶段

Op-比例阶段

e-弹性极限

*2.屈服阶段(es

段)

滑移线塑性材料的失效应力:

s。

*B、卸载定律A、

ｂ-强度极限C、冷作硬化3.硬化阶段(sb

段)

*1、延伸率:

2、断面收缩率：

4.缩颈阶段(bf段)＜5﹪为脆性材料＞5﹪为塑性材料*不存在明显屈服阶段的塑性材料

屈服强度或名义屈服极限:

0.2

-卸载后产生0.2%残余应变的应力。三、其他材料的拉伸力学性能

0.2

0.2*--铸铁拉伸强度极限（失效应力）

铸铁的拉伸力学性能

铸铁拉伸时无线性阶段、屈服阶段、缩颈阶段。

*四、材料压缩时的力学性能1.低碳钢压缩时的力学性能低碳钢压缩时的

-

曲线，在屈服阶段之前与拉伸时基本相同，属拉压同性材料。只有在进入强化阶段之后，二者才逐渐分离。

*2.铸铁压缩时的力学性质压缩

bc

(3-4)

bt铸铁压缩时强度极限比拉伸时强度极限大得多，属拉压异性材料；脆性材料抗压不抗拉。*拉压杆横截面的应力并不完全是均匀分布的，当横截面上有孔或槽时，在截面曲率突变处的应力要比其它处的应力大得多，这种现象称为应力集中。FFFFF§2-5应力集中的概念

*一、许用应力有明显屈服阶段的塑性材料无明显屈服阶段的塑性材料脆性材料§2-6许用应力与强度条件：极限应力n：安全因数

*二、强度条件拉压杆在正常情况下不发生破坏的条件是：拉压杆的最大工作应力（横截面的最大正应力）不超过材料的许用应力。

*根据强度条件可进行下述三种工程计算。

1.强度校核⑴等截面杆（A=常数）：⑵等轴力杆（FN=常数）：⑶变截面变轴力杆：分别计算各危险截面的应力，取其最大者进行强度校核。

*

2.确定截面尺寸⒊确定许用载荷首先确定许用轴力再根据轴力与载荷的平衡关系计算许用载荷。

*[例2-4]已知A1=200mm2，A2=500mm2，A3=600mm2，[

]=12MPa，试校核该杆的强度。A1A2A32kN2kN9kN2kN4kN5kN⊕⊕－○∴此杆安全。

*[例2-5]图示结构中，拉杆AB由等边角钢制成，许用应力[

]=160MPa，试选择角钢的型号。ABC1.8m2.4mCAFNFCxFCy解：取杆AC。由型钢表查得∟45×45×5等边角钢

*[例2-6]图示支架中，AB为圆截面钢杆，直径d=16mm，许用应力[]1=150MPa；AC为方形截面木杆，边长a=100mm，许用应力[]2=4.5MPa。求许用载荷[F]。1.5m2.0mABCFAFFN,ABFN,AC解:取结点A。

*1.5m2.0mABCFAFFN,ABFN,AC单考虑AB杆：单考虑AC杆：∴[F]=36kN*[练习2]图示结构中，已知F=2kN，杆CD的截面面积A=80mm2，许用应力[]=160MPa，试校核杆CD的强度并计算许用载荷[F]。解：∴CD杆安全。aaABFCDABFCFNFAxFAy*aaABFCDABFCFNFAxFAy*§2-7胡克定律与拉压杆的变形FFFF拉伸压缩b1bbb1一、拉压杆的变形

*横向正变形：横向正应变：FFFF拉伸压缩b1bbb1轴向正变形：轴向正应变：*实验结果表明，在弹性范围内，横向正应变与轴向正应变大小的比值为常数，即

称为泊松比，泊松比是表征材料力学性质的重要材料常数之一。无论是拉伸，还是压缩，轴向线应变与横向正应变总是正负号相反。*SiméonDenisPoisson1781-1840泊松

法国数学家、力学家和物理学家。巴黎综合工科学校毕业，后任该校和巴黎大学教授。法兰西科学院院士。在有限差分理论、概率论、微分方程、电磁理论、理论力学及弹性力学等方面都有贡献。

*二、胡克定律实验结果还表明，在弹性范围内，杆件的正应变与正应力成正比，即或此关系称为胡克定律，其中比例系数E称为弹性模量。弹性模量是表征材料力学性质的重要材料常数之一。将与代入上式得*胡克RobertHooke1635-1703

英国物理学家、天文学家。就读于牛津大学。从事物理学和天文学的实验研究工作，并致力于仪器制造。根据弹簧实验的结果提出了胡克定律。用自制的显微镜发现了细胞。

*该式是胡克定律的另一表达形式。其中EA

表征杆件抵抗拉压变形的能力，称为杆截面拉压刚度，简称拉压刚度。三、胡克定律的应用⒈计算拉压杆的变形[例2-7]已知A1=1000mm2，A2

=500mm2，E=200GPa，试求杆的总伸长。30kN50kN20kN0.5m0.5m0.5mA1A2ABCD

*20kN30kN⊕－○30kN50kN20kN0.5m0.5m0.5mA1A2ABCD

*lxFN(x)[例2-8]长l=2m，重P=20kN

的均质杆，上端固定。杆的

横截面面积A=10cm2，E=200GPa，试求杆自重下的伸长。dxFN(x)+dFN(x)

*2.计算结点位移

aaABFCDABFCFNFAxFAy[例2-9]已知CD杆的拉压刚度为EA，

=30°，AB为刚性杆，求在载荷F作用下B点的位移

By。

C″C´

By

CyB´

l解：由变形的几何关系图得取杆AB，*[练习3]求图示结构中刚性杆AB中点C的垂直位移

C。

l①②ABCaaF

l1

l2

C解：由平衡方程得EA2EA*§2-5

简单拉压静不定问题FAxFAyFN1FABCFN2图示结构中，AB为刚性杆，求①、②杆的轴力。分析取刚性杆AB，受力如图所示。l①②ABCaaFEAEA静不定（Staticallyindeterminate

）静定（Staticallydeterminate

）*

问题：静不定问题如何来解决？

解决的方法：增加一个补充方程*

补充方程可根据变形的几何关系和物理关系来建立。

所谓几何关系（Geometryrelationship

）是杆件变形后不能发生分离和重迭，即满足变形的协调条件。aaFl①②ABCEAEA

l1

l2

*

所谓物理关系(Physicalrelationship)是杆件的轴力与变形之间的关系，即满足虎克定律。将方程(3)代入(2)得补充方程联立平衡方程和补充方程即可求出轴力(3)(4)

*解拉压静不定问题的方法和步骤

⑴画变形的几何图；

⑵根据变形图，建立变形的几何方程；

⑶画受力图，其中杆件的轴力应根据变形图来画，即变形为拉伸杆件的轴力按拉力画，变形为压缩杆件的轴力按压力画；

⑷根据受力图，建立平衡方程；

⑸根据虎克定律，建立物理方程；

⑹将物理方程代入几何方程得补充方程；

⑺联立平衡方程与补充方程求解未知量。*解题框图画变形图画受力图变形协调方程平衡方程物理方程代入补充方程联立求解*a①②a2alEAEAAOCB

l1

l2F解：画变形的几何图几何方程：(1)[例2-11]图示结构中，AB为刚性杆，求①、②杆的轴力。S2.11Rod(1)androd(2)areattachedtotherigidbarABasshown.Determinetheinternalforceineachrod.*OCBFFN1FN2FOyFOx取杆AB，画受力图平衡方程：(2)A*(3)物理方程：将式(3)代入(1)得(4)联立式(2)与(4)，解得(2)*aaFEA2EAACBFAyFBy解：几何方程：画受力图平衡方程：ⅠⅠⅡⅡFAyFN,ACFByFN,CB(1)(2)S2.12Structureasshown,determinetheinternalforceineachrod.*FACBFAyFBy物理方程：(3)(3)式代入(1)式得(4)(2)式与(4)式联立：⊕○*[例2-13]求图示结构中①、②、③杆的轴力。

解：画变形图，协调方程：l②ABCaa①③FEA2EA3EAl②ABC①③F

l1

l3

l2EA2EA3EA*画受力图，平衡方程：ABFCFN1FN2FN3*物理方程：将物理方程代入几何方程得补充方程：由平衡方程和补充方程解得：*[练习4]在图示结构中，1、2两杆的拉压刚度同为E1A1,3杆的拉压刚度为E3A3,长为L。在节点处受集中力F。试求杆1、2和3杆的内力。1BDC

32AFl*1BDC

⊿l3⊿l132

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*§2–9连接部分的强度计算一、

剪切与剪切强度条件FFnn（合力）（合力）FFFF铆接件*FnnFs剪切面nn（合力）（合力）FFFs为剪切面的内力，称为剪力。*F

FFs设剪切面的剪力沿截面是均匀分布的，则有

为剪切面的切应力，As为剪切面的面积。剪切强度条件为[

]为许用切应力，由材料破坏时的极限切应力除以安全系数得到。*FFs二、

挤压与挤压强度条件FFb=F实际挤压面计算挤压面*F实际挤压面计算挤压面挤压应力Fb为挤压力，Ab为计算挤压面的面积。挤压强度条件[

bs]为许用挤压应力，由材料破坏时的极限挤压应力除以安全系数得到。*[例2-13]图示铆接件，F=100kN，铆钉的直径d=16mm，许用切应力[

]=140MPa，许用挤压应力[bs]=200MPa；板的厚度t=10mm，b=100mm，许用正应力[

]=170MPa，试校核铆接件的强度。FFdttFFb铆钉（或螺栓）连接件要安全工作，铆钉既要满足剪切强度条件，又要满足挤压强度条件，同时板还要满足拉压强度条件。*FFdttFbF/4F/4F/4F/4F/43