不相交的轮换-

1前页

前后页

目前录页

返前页回§1.6置换群与对称群一、置换群的定义定理1.6.1定理1.6.2

例1---对称群的阶 例2例3例4例5例6定理1.6.5---置换~对换定理1.6.3---轮换的性质定理1.6.4--置换~不相交的轮换二、置换群的构成定义1.6.1---轮换定义1.6.2---不相交的轮换前后页

前目页录

返前页回定义1.6.4-1--交换群三、置换群的分类定理1.6.6---唯一性定义1.6.3---偶、奇置换定理1.6.7---奇、偶置换个数定理1.6.8---构成子群§1.6置换群与对称群例前8页例7前页

后前页

目前录页

前返页回一、置换群的定义在§1.4中,我们证明了非空集合的全体可逆变换关于映射的合成构成集合 的对称群 ,并且把 的任一子群叫做 的一个变换群.如果 是由个元素组成的有限集合,则通常把 的一个可逆变换叫做一个阶置换(permutation),把 叫做次对称群,的子群为置换群(permutation并把 记作 ,

同时称group).11前页

前后页

前目页录

返前回页定理1.6.1

每一个有限群都同构于一个置换群.定理1.6.2

次对称群 的阶是由于集合 的元素本身与我们所讨论的问题无关,

所以可不妨记以下,我们总假定 就代表这个集合.设 为 的任映成 ,

则一置换,

如果 把1映成 ,2映成

,

,可以把这个置换记作1前页

后前页

前目录页

返前回页其中第一行表示集合的个元素,第二行的元索表示第一行的元素 在映射 的作用下所对应的象.由于集合以我们也可把的元素的次序与映射是无关的,所表示成1前页

前后页

目前录页

前返回页等等,只要在下两行的元素上下对应就可以了.观察(1.6.1)式我们发现,如果固定第一行元素的次序,则第二行 就是的一个排列,且每一个置换都惟一对应了一个这样的排列.反之,每一个级排列也可按(1.6.1)式得到惟一的一个 阶置换.由于个数共有 个级排列,所以个元素的集合共有 个 阶置换.1前页

后前页

目前录页

返前页回例1

写出 的全部元素.解按（1.6.1）式,我们只要在每个置换的第一行按顺序写上1,2,3,再在第二行分别写上,1,2,3的全部6个排列即可.据此,我们得到 的六个元素为1前页

后前页

目前页录

前返页回例2

设置换将1变为3,2变为5,3变为2,4变为4,5变为1,则按(1.6.2)式,我们还可以把这个置换写成1前页

前后页

前目录页

返前回页由置换的定义容易知道,在阶置换中,恒等置换是群 的单位元,

置换的逆元为其逆置换1前页

后前页

前目录页

前返页回(F1)设置换,则对任一阶置换,证首先,由于置换是一一对应,所以恰好包含了集合中的个数.又对任意的1前页

前后页

前目页录

前返页回所以将 映到,即1前页

后前页

目前录页

前返页回二、置换群的结构.如果存在1到定义1.6.1

设是一个

阶置换中 的个不同的数

使.并且 保持其余的元素不变,则称

是一个长度为的轮换(cycle),

简称 轮换,

记作2-轮换称为对换(transposition).1前页

后前页

目前录页

返前回页定义1.6.2

设与是两个轮换,如果则称与为两个不相交的轮换.1前页

前后页

目前录页

返前回页定理1.6.3

任何两个不相交轮换的乘积是可以交换的.证

设与是两则个不相交的轮换,是(1)如果中的任意一个数.所以1前页

后前页

前目页录

返前回页(2)如果.从而,所以(3)同理可证,如果,也有这就证明了结论.则1前页

后前页

目前录页

返前页回定理1.6.4

每一个置换可表为一些不相交轮换的因此结论对的乘积.证

对

的元素个数

用数学归纳法.当 时,1阶置换只有 ,

已经是轮换,成立.假定结论对 成立,

考察 阶置换1前页

后前页

目前录页

返前页回(1)如果,即令则是一个阶置换.由归纳假设,可表为一些不相交轮换的乘积 将看作阶置换,即得1前页

后前页

前目录页

前返页回(2)如果,则有某个,使得令由(1)所证,可表为不相交轮换的乘积.设这里,为互不相交的轮换.则1前页

后前页

前目录页

返前回页考察其中包含

和 的轮换,

则仅有两种可能:(1)

;(2)

.在第一种情况下,我们有在第二种情况下,我们有因此可表为不相交轮换的乘积.从而由归纳法知结论1前页

后前页

目前录页

返前回页(F3)成立.此外,在上面的证明过程中,我们还得到等式.(F2)1前页

后前页

目前录页

返前回页例4

三次对称群的六个元素的轮换表示为:1前页

后前页

目前录页

返前回页例5

将下列轮换的乘积表示为不相交轮换的乘积:解设则有由此得证.1前页

后前页

目前录页

返前页回(F4)

如果 是一个 轮换,

则(F5)

如果

是一些不相交轮换的乘积其中,

是 轮换,

则

.例6

设 是一个7阶置换,

已知试求解

由已知,

是轮换,所以这样也是一个 轮换,从而的一个置换.因为 是一个.1前页

后前页

目前录页

前返页回定理1.6.5

每个置换都可表为对换的乘积.证

首先,

设 是一个 轮换,

则所以每个轮换可以表示为对换的乘积.由于每个置换可以表示为不相交轮换的乘积,所以每个置换也可以表示为对换的乘积.1前页

后前页

前目录页

返前回页三、置换群的分类定理1.6.6

将一个置换表为对换的乘积,

所用对换个数的奇偶性是惟一的.证

设 为任一

阶置换,

并设 已表为 个不相交轮换(包括轮换)之积.令显然,

由 惟一确定.设为任一对换,考察乘积如果 处于的同一个轮换1前页

后前页

目前录页

返前回页中,则由(F3)知从而如 分别处于的两个不同轮换中,则由(F2)知从而1设可分别表示为个对换和个对换的乘积:则同理因此所以,

与 有相同的奇偶性.前页

后前页

目前录页

返前回页1前页

后前页

目前录页

返前回页定义1.6.3

可表成偶数个对换的乘积的置换叫偶置换(even

permutation),可表成奇数个对换的乘积的置换叫奇置换(odd

permutation).定理1.6.7

当 时,

在全体 阶置换中,

奇置换与偶置换各有定理1.6.8

在个.中,

全体偶置换构成 的子群.定义1.6.4

由 的全体偶置换所构成的子群称为

次交错群(alternating

group),

记作

.1前页

后前页

目前录页

返前页回例7的交错群例8

设按顺序排列的13张红心纸牌A

2

3

4

5

6

7

8

9

10

J

Q

K经1次洗牌后牌的顺序变为3

8

K

A

4

10

Q

J

5

7

6

2

9问:再经两次同样方式的洗牌后牌的顺序是怎样的?1前页

后前页

目前录页

前返页回解 每洗一次牌,就相当于对牌的顺序进行一次新的置换.由题意知,第一次洗牌所对应的置换为则3次同样方式的洗牌所对应的置换为因此,再经两次同样方式的洗牌后牌的顺序是:9

6

5

K

3

8

10

1

2

7

J

41前页

后前页

目前录页

返前回页参考文献及阅读材料Boyer,C.~A.,AHistoryofMathematics,NewYorWiley,1968有关代数方程理论历史的更详尽的