大学物理-质点动力学学

第二章质点动力学※专题讲座牛顿运动定律质点动力学的任务:

研究物体之间的相互作用及这种相互作用引起的物体运动状态变化的规律。

以“力（F）——物体间的相互作用”为中心。1686年,牛顿在其《自然哲学的数学原理》一书中发表了牛顿运动三定律。一、牛顿第一定律

1.惯性物体保持其运动状态不变的特性。即:物体保持其原运动状态的能力。

惯性质量:物体惯性大小的量度。

引力质量:物体间相互作用的“能力”大小的量度。思考：什么情况下惯性质量与引力质量相等？3.力的数学描述:大小、方向、作用点—矢量二、牛顿第二定律1.动量定义:—运动的量单位:kg•m/s刘翔体重80kg,速度8.54m/s,P=mv=683.2kg•m/s2.牛顿第一定律任何物体都保持静止或匀速直线运动态,直至其它物体所作用的力迫使它改变这种状态为止。(惯性定律)

氧气分子5.3×10-26kg,常温下速度446m/s,P=2.36×10-23kg•m/s。2.牛顿第二定律的表述：

物体所受的合外力等于物体动量对时间的变化率。数学描述为:力和加速度是瞬时关系当物体的速度远远小于光速时,m看作常数。三、牛顿第三定律(作用力与反作用力定律)(1)作用力和反作用力成对出现,同时存在,同时消失。(2)分别作用于两个物体上,不能抵消。(3)属于同一种性质的力。(4)物体静止或运动均适用。两个物体间的相互作用力大小相等方向相反,在同一直线上。四、牛顿定律的应用解题步骤:(1)确定研究对象。隔离体法。(2)受力分析，画示力图。(3)建立坐标系。(4)对各隔离体建立牛顿运动方程(矢量式——分量式)。(5)解方程。进行文字运算，然后代入数据求解。例2-1.质量为m的物体被竖直上抛,初速度为v0,物体受到的空气阻力数值与其速率成正比,即f=kv,k为常数,求物体升到最高点所需的时间及上升的最大高度。解:建立如图所示的坐标系物体上升过程中受力分析如下:重力:阻力:(1)根据牛顿第二定律可得物体所受的合外力为积分得:由(2)根据牛顿第二定律可得得故四、惯性参考系和非惯性参考系甲所受合外力为零,以地为参考系,甲静止；以车为参考系,甲作匀速直线运动。—符合牛顿第一定律。1.惯性参考系(简称惯性系)

牛顿第一定律适用的参考系。

凡相对惯性系做匀速直线运动的参考系都是惯性系地球——近似的惯性参考系,地球有自转角速度。研究天体运动时,地球是一个非惯性参考系。如下图所示:甲相对地静止。甲所受合外力为零,以地为参考系,甲静止；以车为参考系,甲作加速直线运动。—不符合牛顿第一定律。2.非惯性系

相对于惯性系作加速运动的参考系是非惯性系。在非惯性系内牛顿第一、二定律不成立。五、伽利略相对性原理设:S系相对S系以v的速度沿x方向作匀速直线运动。时，两系重合。在t时刻，两原点相距vtxyzO

z

y

x

vvtOPP点在参照系中的描述分别为:S系S

系1.伽利略坐标变换正变换：逆变换：所以,牛顿第一定律不是在所有的参考系里都成立。2.伽利略速度变换正变换:逆变换:3.加速度变换式4.伽利略相对性原理

牛顿定律对不同的惯性参考系有相同的形式。质点相对于S系的速度为ux,相对于S系的速度为xyzO

z

y

x

vvtOP*物体A.B质量相同，两者用轻弹簧连接后，再用细绳悬挂，如图所示。当系统平衡后，将细绳突然剪断，则剪断的瞬间有：A）A.B的加速度均为g；B）A.B的加速度均为零；C）A的加速度均为零，B的加速度均为2g；D）A的加速度均为2g，B的加速度均为零。*摩托快艇以速率v0行驶，它受到的摩擦阻力与速度平方成正比，设比例系数为常数k，即可表示为F=-kv2，设快艇的质量为m，当快艇发动机关闭后，(1)求速度对时间的变化规律；(2)求路程对时间的变化规律；(3)证明速度与路程之间有如下关系:v=v0e-k'x式中的k'=k/m；(4)如果v0=20m/s，经15s后，速度降为vt=10m/s，求k'。质量为10千克的物体静止于地面上,受x轴方向水平拉力F的作用,沿x轴方向作直线运动,力F与时间的关系如图所示,设物体与地面的摩擦系数为0.2。在t=4秒时的速度大小___________,在t=7秒时的速度大小_______________。哪些量反映力的积累效应？对时间？牛顿运动定律反映力的瞬时效应对空间？物体在运动中:哪些量在一定条件下保持不变？具有更基本、更普遍意义的描述是什么？能量、动量、角动量守恒定律※专题讲座功和能一、功功是度量能量转换的物理量,描写力对空间的积累作用。定义：在力的作用下，物体发生了位移，则力在位移方向的分力与位移的乘积称为功。元功单位:焦耳(J)abO一、功元功单位:焦耳(J)直角坐标系中总功:示功图(功的图示法)假设物体沿x轴运动,外力在该方向的分力所做的功可用右图中曲线下面的面积表示。

力位移曲线下的面积表示力F所作的功的大小。例2-1、一质点做圆周运动，有一力作用于质点，在质点由原点至P(0，2R)点过程中，力做的功为多少？C

.xyOPRm解:一、功元功总功:注意:①功是标量(代数量)A>0力对物体做正功A<0力对物体做负功A=0力作用点无位移或者力与位移相互垂直②当质点受几个力作用时,其合力的功为③

功是过程量与力作用点的位移相关,与质点的运动路径有关。例2-2.设作用力的方向沿Ox轴，其大小与x的关系如图所示，物体在此作用力的作用下沿Ox轴运动。求物体从O运动到2m的过程中，此作用力作的功A。O21x/mF/NF解:方法1示功面积求解方法2由图写出作用力F与位移x的数值关系,积分求解A=1(J)

二、一对相互作用力的功问题：作用力和反作用力大小相等方向相反，二者做功的代数和是否为零呢？答案:一对作用力与反作用力做功的代数和不一定为零。设分别为作用力与反作用力。位移分别为合功:vmCsM什么条件下,一对内力做功为零?

作用点无相对位移。

相互作用力与相对位移垂直。三、质点的动能定理1.动能单位:焦耳(J)2.质点的动能定理

牛顿第二定律的积分形式之一。

质点因有速度而具有的作功本领。

合外力对质点所做的功等于质点动能的增量。2.质点的动能定理注意:（1）动能是标量，是状态量v的单值函数，也是状态量，与质点的运动路径无关；（2）功与动能的本质区别:功是过程量，动能是状态量。功是能量变化的量度；（3）动能定理由牛顿第二定律导出，只适用于惯性系，动能也与参考系有关。四、保守力、保守力作功1.重力的功水平基准面物体从a到b重力做的总功:结论:重力对小球做的功只与小球的始末位置有关，与小球的运动路径无关。四、保守力、保守力作功2.弹性力的功弹性力结论:弹性力对小球做的功只与小球的始末位置有关，与小球的运动路径无关。*重力、弹力的共同特点:①作功与路径无关，只与起、末点位置有关；②作功与相互作用物体的相对位置有关,等于某函数在始末位置的值之差。4.保守力和非保守力保守力:作功只与物体始末位置有关，与物体的运动路径无关的力ambL1L2物体沿任意路径,运动一周,保守力作功为零。即:物体沿闭合路径绕行一周，这些力所做的功恒为零，具有这种特性的力统称为保守力。没有这种特性的力，统称为非保守力或耗散力。保守力:重力、弹性力、万有引力、静电力。非保守力:摩擦力、爆炸力五、势能

保守力做功只与位置有关位置能量什么关系？凡保守力的功均可表示为与相互作用物体相对位置有关的某函数在始末位置的值之差,将该函数定义为此物体系的势能,是状态函数。注:势能是相对的重力势能弹性势能（地面（h

=

0）为势能零点）（弹簧自由端为势能零点）五、势能势能为状态量,是状态(位置)的单值函数。其数值还与零势能点的选取有关。只有保守力场才能引入势能的概念。物体在保守力场中a，b两点的势能之差等于质点自a点移到b点过程中保守力作的功:3.保守力的功与势能的关系保守力做的功等于势能增量的负值。选取一点作为势能零点,那么某点的势能等于质点从该点移到势能零点位置时保守力所作的功六、质点系的动能定理系统:由两个以上的物体组成的研究对象。内力和外力:内力—系统内质点间的相互作用力，质点系内质点间的内力总是成对出现，必有:

外力—系统外的物体对系统内任一质点的作用力。1.质点系的动能六、质点系的动能定理2.质点系的动能定理

考察第i个质点mi的运动。1.质点系的动能由n个质点组成的系统中,包括内力和外力xyzO所有外力、内力共同对其做功,动能定理为2.质点系的动能定理对于整个系统,其动能定理为七、系统的功能原理根据质点系的动能定理其中=动能+势能——机械能

质点系所受外力和非保守内力做功的总和等于质点系机械能的增量。八、机械能守恒定律当过程满足时系统初、末态机械能相等。机械能守恒定律:当作用于质点系的外力和非保守内力不作功时，质点系的总机械能守恒。2.质点系的动能定理可得例2-4.如图示，半径为a的半圆弧两端分别与直线连接构成一表面光滑的拱形轨道。质量为m的物体与一劲度系数为k的轻弹簧连接,弹簧的另一端固定在拱形轨道的底部。当该物体m位于半圆弧底部B点时，弹簧处于原长。在恒定外力(方向始终沿切向)的作用下，物体m沿此光滑表面从B点缓慢地运动到C点(其半径与水平线成角)。试分别用动能定理和功能原理求此过程中力做的功。Ok

原长BaθCm根据动能定理受力分析如图，依题意:m始末状态动能改变为零。方法一:动能定理mgNTF方法二:功能原理NFQEp=0取m初态位置B点为重力势能零点根据功能原理分析系统的机械能Ek2=0Ek1=0,EP1=0,受力分析如图只需分析系统所受外力与摩擦力θ※专题讲座冲量和动量一、冲量反映力在时间过程中的累积效应。单位:二、质点动量定理牛顿运动定律则质点动量定理—牛顿第二定律的积分形式之二质点在运动过程中,所受合外力的冲量等于质点动量的增量。二、质点动量定理讨论:冲量方向与动量增量方向一致。动量定理中的动量和冲量都是矢量,符合矢量叠加原理。计算时可采用平行四边形法则,或把动量和冲量投影在坐标轴上以分量形式进行计算。冲力当两个物体碰撞时,它们相互作用时间很短,相互作用力很大,而且变化非常迅速,这种力称为冲力。∵冲量（平均冲力）分量式:三、质点系动量定理

设n个质点构成一个系统对第i个质点写出动量定理:xyzO三、质点系动量定理对第i个质点写出动量定理:整个系统,等式两边求和根据牛顿第三定律合外力的冲量系统末动量系统初动量即:合外力的冲量等于系统总动量的增量四、动量守恒定律时,系统所受合外力为零时,系统的总动量保持不变。说明:1.动量的矢量性:系统的总动量不变是指系统内各物体动量的矢量和不变，而不是指其中某一个物体的动量不变。系统动量守恒，但每个质点的动量可能变化。2.系统动量守恒的条件:①系统不受外力；②合外力=0；③内力>>外力。在碰撞、打击、爆炸等相互作用时间极短的过程中，内力>>外力，可略去外力。3.若系统所受外力的矢量和不等于零,但合外力在某个坐标轴上的分矢量为零,动量守恒可在某一方向上成立。4.动量守恒定律在微观高速范围仍适用。5.动量守恒定律只适用于惯性系。三、质点系动量定理例2-5.一质量为m=4kg的物体在力(N)作用下由原点从静止开始运动，试求：①前2s内的冲量；②第2s末物体的速度。解:

①由冲量的定义可得

故②由质点的动量定理得例2-6.如图所示，质量分别为mA和mB两木块并排静止于光滑的水平面上，现有一子弹水平穿过两木块，所用时间分别为t1和t2，设每木块对子弹的阻力F相同，求子弹穿过后两木块的速度大小。解:子弹没进入木块B前，两木块以相同速度共同前进