2025年湖南省中考数学一轮复习 第二单元　第五讲　整式方程(组)的概念及解法（含答案）

10年湖南省中考数学一轮复习第五讲整式方程(组)的概念及解法学生版知识要点对点练习1.整式方程(组)的定义1.(1)下列是一元一次方程的是()A.3-2x B.6+2=8C.x2-49=0 D.5x-7=3(x+1)(2)下列是二元一次方程组的是()A.x2-y3=1C.3x-y3(3)(教材再开发·湘教九上P28练习T1改编)下列方程中,不是一元二次方程的是()A.x2-1=0B.x2+1xC.x2+2x+1=0D.3x2+2x2.方程(组)的解(1)方程的解:使方程两边的的值.只含一个未知数的方程的解,也叫方程的.

(2)方程组的解:使方程组中的各个方程都的未知数的值.

2.如果方程x-y=3与下面方程中的一个组成的方程组的解为x=4yA.3x-4y=16 B.14x+2yC.12x+3y=8 D.2(x-y)=63.等式的性质(1)等式两边同时(或)同一个整式,等式仍然成立.

(2)等式两边同时或同一个的整式,等式仍然成立.

3.下列变形不正确的是()A.若x=y,则x+5=y+5B.若x=y,则xa=yC.若x=y,则1-3x=1-3yD.若a=b,则ac=bc续表知识要点对点练习4.整式方程(组)的解法4.(1)研究下面解方程1+4(2x-3)=5x-(1-3x)的过程:去括号,得1+8x-12=5x-1-3x,①移项,得8x-5x+3x=-1-1+12,②合并同类项,得6x=10,③系数化为1,得x=53对于上面的解法,你认为()A.完全正确B.变形错误的是①C.变形错误的是②D.变形错误的是③(2)(教材再开发·湘教九上P33例3改编)一元二次方程x2-4x-8=0的解是()A.x1=-2+23,x2=-2-2B.x1=2+23,x2=2-2C.x1=2+22,x2=2-2D.x1=23,x2=-2(3)关于x的一元二次方程(m+1)x|m|+1+4x+2=0的解为()A.x1=1,x2=-1 B.x1=x2=1C.x1=x2=-1 D.无解(4)下列关于x的一元二次方程没有实数根的是()A.x2+2x-5=0 B.x2-6=xC.5x2+1=5 D.x2-2x+2=0(5)方程组2x+y=1x(6)已知x1,x2是一元二次方程2x2+3x-5=0的两个根,则x1+x2=32,x1x2=52(7)目前以5G为代表的新兴产业蓬勃发展,某市2021年底有5G用户20万户,计划到2023年底该市5G用户数累计达到33.8万户.设该市5G用户数年平均增长率为x,则x的值是.

考点1整式方程(组)的解【例1】(1)(2024·聊城模拟)已知方程组ax+by=0x+2by=-3cA.1 B.0 C.-2 D.-1(2)(2024·凉山州中考)若关于x的一元二次方程(a+2)x2+x+a2-4=0的一个根是x=0,则a的值为()A.2 B.-2 C.2或-2 D.1【方法技巧】“让根回家”来求值已知方程的根,一般将其代回原方程,得到关于未知系数(参数)的方程(组)求解,注意还要符合“二次项系数不为0”等隐含条件.【变式训练】1.(2024·聊城模拟)关于x的一元一次方程2x-3m=6-x的解是负数,则m的取值范围是()A.m<-1 B.m<-2 C.m>1 D.m>02.(2024·吉林模拟)若方程组2x+y=m2x-A.6和4 B.10和0C.2和-4 D.4和23.(2024·深圳中考)一元二次方程x2-3x+a=0的一个解为x=1,则a=.

考点2一次方程(组)的解法【例2】(1)解方程:x-12-(2)解方程组:2x【自主解答】(1)x-12去分母得,3(x-1)-(2x+3)=6,去括号得,3x-3-2x-3=6,移项得,3x-2x=6+3+3,合并同类项得,x=12.(2)2x①×2得4x+6y=16③,②×3得9x-6y=-42④,③+④得13x=-26,解得x=-2,把x=-2代入①得-2×2+3y=8,解得y=4,所以原方程组的解是x=【变式训练】1.(2024·西安模拟)已知关于x,y的方程组2x-y=5ax+by=2A.3 B.4 C.5 D.62.(2024·南阳模拟)解方程(组).(1)x2=2-(2)3x考点3一元二次方程的解法【例3】(1)(2024·阜阳模拟)4位同学以接龙的方式解一元二次方程,每人负责完成一个步骤,如图所示,其中有一位同学所负责的步骤是错误的,则这位同学是()A.小张 B.小王 C.小李 D.小赵(2)(2023·新疆中考)用配方法解一元二次方程x2-6x+8=0,配方后得到的方程是()A.(x+6)2=28 B.(x-6)2=28C.(x+3)2=1 D.(x-3)2=1【方法技巧】方程解法选择的“优胜劣汰”1.未指明用什么方法的前提下,优先考虑因式分解法.2.特殊形式,如a(x+b)2=b(b≥0),可用直接开平方法.3.判断不明时,当选公式法.提醒:配方法烦琐,但二次项系数为1,且一次项系数为偶数时,一般运用配方法.【变式训练】1.(2024·贵州中考)一元二次方程x2-2x=0的解是()A.x1=3,x2=1 B.x1=2,x2=0C.x1=3,x2=-2 D.x1=-2,x2=-12.(2024·滨州中考)解方程:x2-4x=0.3.(2024·齐齐哈尔中考)解方程:x2-5x+6=0.考点4根的判别式及根与系数的关系【例4】(2023·岳阳二模)已知m,n是关于x的一元二次方程x2-3x+a=0的两个解,若(m-1)(n-1)=-6,则a的值为()A.-10 B.4 C.-4 D.10【方法技巧】判别式的“双向应用”1.正向:系数已知,可以判断方程根的情况.2.逆向:已知方程根的情况,可以求未知系数或参数的值.提醒:要根据a≠0和Δ≥0这两个前提进行所求参数值的检验和取舍.【变式训练】1.(2024·自贡中考)关于x的方程x2+mx-2=0根的情况是()A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.只有一个实数根D.没有实数根2.(2024·乐山中考)若关于x的一元二次方程x2+2x+p=0两根为x1,x2,且1x1+1x2A.-23 B.23 C.-6 D1.(2022·株洲中考)对于二元一次方程组y=x-1①x+2yA.x+2x-1=7 B.x+2x-2=7C.x+x-1=7 D.x+2x+2=72.(2022·常德中考)关于x的一元二次方程x2-4x+k=0无实数解,则k的取值范围是()A.k>4 B.k<4 C.k<-4 D.k>13.(2023·怀化中考)已知关于x的一元二次方程x2+mx-2=0的一个根为-1,则m的值为,另一个根为.

4.(2024·湖南中考)若关于x的一元二次方程x2-4x+2k=0有两个相等的实数根,则k的值为.

5.(2024·长沙中考)为庆祝中国改革开放46周年,某中学举办了一场精彩纷呈的庆祝活动,现场参与者均为在校中学生,其中有一个活动项目是“选数字猜出生年份”,该活动项目主持人要求参与者从1,2,3,4,5,6,7,8,9这九个数字中任取一个数字,先乘10,再加上4.6,将此时的运算结果再乘10,然后加上1978,最后减去参与者的出生年份(注:出生年份是一个四位数,比如2010年对应的四位数是2010),得到最终的运算结果.只要参与者报出最终的运算结果,主持人立马就知道参与者的出生年份.若某位参与者报出的最终的运算结果是915,则这位参与者的出生年份是.

6.(2023·岳阳中考)已知关于x的一元二次方程x2+2mx+m2-m+2=0有两个不相等的实数根,且x1+x2+x1·x2=2,则实数m=.

7.(2023·常德中考)解方程组:x-2025年湖南省中考数学一轮复习第五讲整式方程(组)的概念及解法教师版知识要点对点练习1.整式方程(组)的定义1.(1)下列是一元一次方程的是(D)A.3-2x B.6+2=8C.x2-49=0 D.5x-7=3(x+1)(2)下列是二元一次方程组的是(D)A.x2-y3=1C.3x-y3(3)(教材再开发·湘教九上P28练习T1改编)下列方程中,不是一元二次方程的是(B)A.x2-1=0B.x2+1xC.x2+2x+1=0D.3x2+2x2.方程(组)的解(1)方程的解:使方程两边相等的未知数的值.只含一个未知数的方程的解,也叫方程的根.

(2)方程组的解:使方程组中的各个方程都成立的未知数的值.

2.如果方程x-y=3与下面方程中的一个组成的方程组的解为x=4A.3x-4y=16 B.14x+2yC.12x+3y=8 D.2(x-y)=63.等式的性质(1)等式两边同时加上(或减去)同一个整式,等式仍然成立.

(2)等式两边同时乘或除以同一个不为0的整式,等式仍然成立.

3.下列变形不正确的是(B)A.若x=y,则x+5=y+5B.若x=y,则xa=yC.若x=y,则1-3x=1-3yD.若a=b,则ac=bc续表知识要点对点练习4.整式方程(组)的解法4.(1)研究下面解方程1+4(2x-3)=5x-(1-3x)的过程:去括号,得1+8x-12=5x-1-3x,①移项,得8x-5x+3x=-1-1+12,②合并同类项,得6x=10,③系数化为1,得x=53对于上面的解法,你认为(B)A.完全正确B.变形错误的是①C.变形错误的是②D.变形错误的是③(2)(教材再开发·湘教九上P33例3改编)一元二次方程x2-4x-8=0的解是(B)A.x1=-2+23,x2=-2-2B.x1=2+23,x2=2-2C.x1=2+22,x2=2-2D.x1=23,x2=-2(3)关于x的一元二次方程(m+1)x|m|+1+4x+2=0的解为(C)A.x1=1,x2=-1 B.x1=x2=1C.x1=x2=-1 D.无解(4)下列关于x的一元二次方程没有实数根的是(D)A.x2+2x-5=0 B.x2-6=xC.5x2+1=5 D.x2-2x+2=0(5)方程组2x+y=1x(6)已知x1,x2是一元二次方程2x2+3x-5=0的两个根,则x1+x2=-32,x1x2=-52(7)目前以5G为代表的新兴产业蓬勃发展,某市2021年底有5G用户20万户,计划到2023年底该市5G用户数累计达到33.8万户.设该市5G用户数年平均增长率为x,则x的值是30%.

考点1整式方程(组)的解【例1】(1)(2024·聊城模拟)已知方程组ax+by=0x+2by=-3A.1 B.0 C.-2 D.-1(2)(2024·凉山州中考)若关于x的一元二次方程(a+2)x2+x+a2-4=0的一个根是x=0,则a的值为(A)A.2 B.-2 C.2或-2 D.1【方法技巧】“让根回家”来求值已知方程的根,一般将其代回原方程,得到关于未知系数(参数)的方程(组)求解,注意还要符合“二次项系数不为0”等隐含条件.【变式训练】1.(2024·聊城模拟)关于x的一元一次方程2x-3m=6-x的解是负数,则m的取值范围是(B)A.m<-1 B.m<-2 C.m>1 D.m>02.(2024·吉林模拟)若方程组2x+y=m2xA.6和4 B.10和0C.2和-4 D.4和23.(2024·深圳中考)一元二次方程x2-3x+a=0的一个解为x=1,则a=2.

考点2一次方程(组)的解法【例2】(1)解方程:x-12-(2)解方程组:2x【自主解答】(1)x-12去分母得,3(x-1)-(2x+3)=6,去括号得,3x-3-2x-3=6,移项得,3x-2x=6+3+3,合并同类项得,x=12.(2)2x①×2得4x+6y=16③,②×3得9x-6y=-42④,③+④得13x=-26,解得x=-2,把x=-2代入①得-2×2+3y=8,解得y=4,所以原方程组的解是x=【变式训练】1.(2024·西安模拟)已知关于x,y的方程组2x-y=5ax+byA.3 B.4 C.5 D.62.(2024·南阳模拟)解方程(组).(1)x2=2-(2)3x【解析】(1)x2=2去分母得,3x=2(2-x)+6,去括号得,3x=4-2x+6,移项,合并同类项得,5x=10,系数化为1得,x=2,∴原方程的解为x=2.(2)3x由①+②×2得,7x=14,解得x=2,将x=2代入②式得,2×2-y=1,解得y=3,∴原方程组的解为x=2考点3一元二次方程的解法【例3】(1)(2024·阜阳模拟)4位同学以接龙的方式解一元二次方程,每人负责完成一个步骤,如图所示,其中有一位同学所负责的步骤是错误的,则这位同学是(D)A.小张 B.小王 C.小李 D.小赵(2)(2023·新疆中考)用配方法解一元二次方程x2-6x+8=0,配方后得到的方程是(D)A.(x+6)2=28 B.(x-6)2=28C.(x+3)2=1 D.(x-3)2=1【方法技巧】方程解法选择的“优胜劣汰”1.未指明用什么方法的前提下,优先考虑因式分解法.2.特殊形式,如a(x+b)2=b(b≥0),可用直接开平方法.3.判断不明时,当选公式法.提醒:配方法烦琐,但二次项系数为1,且一次项系数为偶数时,一般运用配方法.【变式训练】1.(2024·贵州中考)一元二次方程x2-2x=0的解是(B)A.x1=3,x2=1 B.x1=2,x2=0C.x1=3,x2=-2 D.x1=-2,x2=-12.(2024·滨州中考)解方程:x2-4x=0.【解析】∵x2-4x=0,∴x(x-4)=0,∴x=0或x-4=0,解得x1=0,x2=4.3.(2024·齐齐哈尔中考)解方程:x2-5x+6=0.【解析】∵x2-5x+6=0,∴(x-2)(x-3)=0,则x-2=0或x-3=0,解得x1=2,x2=3.考点4根的判别式及根与系数的关系【例4】(2023·岳阳二模)已知m,n是关于x的一元二次方程x2-3x+a=0的两个解,若(m-1)(n-1)=-6,则a的值为(C)A.-10 B.4 C.-4 D.10【方法技巧】判别式的“双向应用”1.正向:系数已知,可以判断方程根的情况.2.逆向:已知方程根的情况,可以求未知系数或参数的值.提醒:要根据a≠0和Δ≥0这两个前提进行所求参数值的检验和取舍.【变式训练】1.(2024·自贡中考)关于x的方程x2+mx-2=0根的情况是(A)A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.只有一个实数根D.没有实数根2.(2024·乐山中考)若关于x的一元二次方程x2+2x+p=0两根为x1,x2,且1x1+1xA.