2023年河南某郑州外国语三模·数学

数学试卷第页（共页）2023年河南某郑州外国语三模·数学全卷总分:120分考试时间:100分钟一、选择题（每小题3分，共30分）1.数a的相反数为﹣2023，则a的值为（）A．2023 B．﹣2023C．-12023 D．1.A【解析】∵数a的相反数为﹣2023，∴a＝2023．2.随着我国经济的快速发展，我国交通工具的发展也越来越多元化，为人们的出行和生活都带来极大便利．河南即将迎来一条新建的城际铁路——郑登洛城际铁路，其长度约为175公里，沿途共设12个站点，项目总投资206.6亿元．将数据“206.6亿”用科学记数法可表示为（）A．206.6×108 B．20.66×1010C．2.066×1011 D．2.066×10102.D【解析】206.6亿＝20660000000＝2.066×1010．3.如图，这个几何体的左视图是（）A．B．C．D．3.B【解析】从左边看是个矩形，矩形中间有一条横向的虚线．4.如图，直线AB与CD相交于点O，射线OE在∠AOD内部，且OE⊥CD于点O，若∠AOC＝35°，则∠BOE的度数为（）A．125° B．135° C．65° D．55°4.A【解析】∵OE⊥CD，∴∠EOD＝90°，∵∠AOC＝35°，∴∠AOC＝∠BOD＝35°，∴∠BOE＝∠EOD+∠DOB＝125°.5.下列运算正确的是（）A．a2•a3＝a4B．（ab3）2＝a2b3C．（2a

−b）2＝4a2

−2ab+b2D．(−a)5.D【解析】A.a2•a3＝a5，故A不符合题意；B.（ab3）2＝a2b6，故B不符合题意；C.（2a

−b）2＝4a2

−4ab+b2，故C不符合题意；D.(−a)2=|6.《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中有一道方程的应用题：“五只雀、六只燕，共重16两，雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重．问每只雀、燕的重量各为多少？”解：设雀每只x两，燕每只y两，则可列出方程组为（）A．5x+6y=165C．6x+5y=166.B【解析】设雀每只x两，燕每只y两，则可列出方程组为：5x7.如图，随机闭合4个开关S1，S2，S3，S4中的两个开关，能使小灯泡L发光的概率是（）A．23

B．1C．13

D．7.A【解析】画树状图如下，由图可知，共有12种等可能的结果，其中能使小灯泡L发光的结果有8种，∴能使小灯泡L发光的概率为8128.如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AB、AO的中点，连接EF、BF．若AF＝1，AE

=3，则FB的长为A．32

B．22

C．7

D．38.D【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵点E、F分别是AB、AO的中点，∴EF∥OB，EF=12∴EF⊥AC，在Rt△AEF中，EF=AE2−AF2=3−1=2，∴OB＝2

2，在Rt△9.将抛物线y＝x2+4x+3向右平移n（n＞0）个单位得到一条新抛物线，若点A（2，y1），B（4，y2）

在新抛物线上，且y1＞y2，则n的值可以是（）A．3 B．4 C．5 D．69.D【解析】∵y＝x2+4x+3＝（x+2）2

−1，∴将抛物线y＝x2+4x+3向右平移n（n＞0）个单位得到一条新抛物线为y＝（x+2

−n）2

−1，∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝n

−2，∵点A（2，y1），B（4，y2）在新抛物线上，且y1＞y2，∴n

−2

＞2+42，∴n＞5，∴10.规定：在平面直角坐标系中，一个点作“0”变换表示将它向右平移一个单位，一个点作“1”变换表示将它绕原点顺时针旋转90°，由数字0和1组成的序列表示一个点按照上面描述依次连续变换．例如：如图，点O（0，0）按序列“011…”作变换，表示点O先向右平移一个单位得到O1（1，0），再将O1（1，0）绕原点顺时针旋转90°得到O2（0，﹣1），再将O2（0，﹣1）绕原点顺时针旋转90°得到O3（﹣1，0）…依次类推．点（0，1）经过“011011011”变换后得到点的坐标为（）A．（

−1，

−1） B．（

−1，0）C．（1，0） D．（1，1）10.A【解析】点（0，1）经过011变换得到点（

−1，

−1），点（

−1，﹣1）经过011变换得到点（0，1），点（0，1）经过011变换得到点（

−1，

−1）.二、填空题（共5小题，共15分）11.实数a，b在数轴上的位置如图所示，则a

b．（填“＞”“＝”或“＜”）11.＞【解析】由数轴得,a＞0，b＜0，∴a＞b.12.不等式组

x−1＜02x+1≥m的解集为-2≤x12.m＝-3【解析】解不等式x-1＜0，得x＜1，解不等式2x+1≥m，得x

≥m−12，∵不等式组的解集为﹣2≤∴

m−12=-213.已知正比例函数y＝ax（a为常数，a≠0）与反比例函数

y=−2x的图象的一个交点坐标为（1，m），则13.（﹣1，2）【解析】∵正比例函数y＝ax（a为常数，a≠0）与反比例函数

y=−2x的图象的一个交点坐标为（∴m＝﹣2，a＝﹣2，∴一个交点坐标为（1，﹣2），∴正比例函数的解析式为y＝﹣2x，联立解析式得y=−2xy=−2x，解得x=114.如图，扇形纸片AOB的半径为4，沿AB折叠扇形纸片，点O恰好落在

AB⏜上的点C处，图中阴影部分的面积为14.163π﹣8

【解析】如图，连接OC交AB于H，∵△OAB沿AB折叠落到△CAB，∴AB垂直平分OC，∴OH

=12OC

=12×4＝2，∵cos∠AOH

=OHOA=12，∴∠AOH＝60°，∵OA＝OB，OH⊥AB，∴∠AOB＝2∠AOH＝120°，AB＝2AH，∵AH

=3OH＝2

3，∴AB＝2×2

3=4

3，∴扇形OAB的面积

=120π×42360=163π，△AOB的面积

=12AB•OH

=12×4

3×2＝4

3，∵△CAB15.如图，直角△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4，点E是边AC上一点，将BE绕点B顺时针旋转60°到点F，则CF长的最小值是

．15.2【解析】取AB的中点D，连接DE，过点D作DH⊥AC于点H，则AD＝BD

=12AB，∠AHD＝∠ACB＝90°，∵∠A＝30°，BC＝4，∴AB＝2BC＝8，∠ABC＝90°﹣30°＝60°，由旋转得BF＝BE，∠EBF＝60°，∴∠EBC+∠CBF＝60°，∵∠EBC+∠DBE＝60°，∴∠CBF＝∠DBE，∵AD＝BD

=12AB＝4，∴BC＝BD，∴△BCF≌△BDE（SAS），∴CF＝DE，当且仅当DE⊥AC，即点E与点H重合时，DE＝DH

=12AD＝2为DE的最小值，三、解答题（共8小题）16.（1）计算：|－2|－(3－2)0+tan45°+9（2）计算x2x+16.解：（1）原式＝2－1+1+3

＝5；（2）原式

=

x2x+

=x

=x

=x

=117.某企业订餐，有A，B两家公司可选择．该企业先连续10个工作日选择A公司，接着连续10个工作日选择B公司，记录送餐用时（单位：min）如下表：序号12345678910A公司送餐用时26263025272924283025B公司送餐用时20182116343215143515根据上表数据绘制的折线统计图如图所示．（1）根据上述信息，请你帮该企业选择合适的公司订餐，并简述理由；（2）如果某工作日该企业希望送餐用时不超过20min，应选择哪家公司？请简述理由．17.解：（1）选择A公司订餐，理由如下：A公司送餐用时在24分钟和30分钟内波动，波动较小；B公司送餐用时在14分钟和35分钟内波动，波动较大（说法不唯一，合理即可）；（2）选择B公司订餐，理由如下：A公司10个工作日送餐用时都超过20分钟，故不符合题意；B公司10个工作日送餐用时有六个工作日不超过20分钟，且平均数为

110×（20+18+21+16+34+32+15+14+35+15）=22（min），接近20分18.如图，一次函数y＝k1x+b的图象与反比例函数y

=k2x的图象相交于A（1，2）、B（﹣2（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）根据图象，直接写出满足k1x+b

＞k2x的x的取值（3）若点P在线段AB上，且S△AOP：S△BOP＝1：4，求点P的坐标．18.解：（1）∵反比例函数y

=k2x经过A（1∴k2＝1×2＝2，∴反比例函数解析式为y

=2∵B（﹣2，n）在反比例函数y

=2x的∴n

=2−∴B（﹣2，﹣1），∵直线y＝k1x+b经过A（1，2），B（﹣2，﹣1），∴

k1+b=∴一次函数的解析式为y＝x+1；（2）观察图象，k1x+b

＞k2x的x的取值范围是

−2＜x＜0或x（3）设P（x，x+1），∵S△AOP：S△BOP＝1：4，∴AP：PB＝1：4，即PB＝4PA，∴（x+2）2+（x+1+1）2＝16[（x﹣1）2+（x+1﹣2）2]，解得x1

=25，x2＝∴P点坐标为（

25，

719.胜利黄河大桥犹如一架巨大的竖琴，凌驾于滔滔黄河之上，使黄河南北“天堑变通途”．已知主塔AB垂直于桥面BC于点B，其中两条斜拉索AD、AC与桥面BC的夹角分别为60°和45°，两固定点D、C之间的距离约为33m，求主塔AB的高度.（结果保留整数，参考数据：2≈1.41，3≈19.解：在Rt△ADB中，∠ADB＝60°，tan∠ADB=A∴BD=A在Rt△ABC中，∠C＝45°，tan∠C

=A∴BC=AB∵BC﹣BD＝CD＝33

m，∴AB−AB∴AB=99+333答：主塔AB的高约为78m．20.如图，在△ABC中，以AB为直径作⊙O交AC、BC于点D、E，且D是AC的中点，过点D作DG⊥BC于点G，交BA的延长线于点H．（1）求证：直线HG是⊙O的切线；（2）若HA＝3，cos

B

=25，求CG的20.（1）证明：如图，连接OD，∵AD＝DC，AO＝OB，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥BC，OD

=12∵DG⊥BC，∴HG⊥OD，∵OD是⊙O的半径，∴直线HG是⊙O的切线；（2）解：设⊙O的半径为x，则OH＝x+3，BC＝2x，∵OD∥BC，∴∠HOD＝∠B，∴cos∠HOD

=25，即

解得x＝2，∴BC＝4，BH＝7，∵cosB

=2∴

BGBH=解得BG

=14∴CG＝BC﹣BG＝4

−1421.合肥某超市在2022年6月3日（端午节）前，准备购进A型、B型两种粽子进行销售，若每个A型粽子比每个B型粽子的进价少2元，且用800元购进A型粽子的数量与用1000元购进B型粽子的数量相同．（1）每个A型、B型粽子的进价分别是多少元？（2）若该超市购进A型粽子的数量比B型粽子的数量的3倍还少50个，且购进A型、B型粽子的总数量不超过950个，则超市最多购进B型粽子多少个？（3）在（2）的条件下，如果A型、B型粽子的售价分别是12元/个和15元/个，且将购进的A型、B型粽子全部售出后，可使销售两种粽子的总利润超过3800元，那么该超市购进两种粽子有

种方案．21.解：（1）设A型粽子每个的进价为x元，则B型粽子每个的进价为（x+2）元，由题意得

800x解得x＝8，经检验，x＝8是原方程的解，且符合题意，则x+2＝10，答：A型粽子每个的进价为8元，则B型粽子每个的进价为10元；（2）设超市购进B型粽子a个，则购进A型粽子（3a﹣50）个，由题意得：a+3a﹣50≤950，解得a≤250，答：超市最多购进B型粽子250个；（3）设超市购进B型粽子a个，则购进A型粽子（3a﹣50）个，由题意得：（15﹣10）a+（12﹣8）（3a﹣50）＞3800，解得a＞235

517由（2）可知，a≤250，∴235

517＜a又∵a为正整数，∴a的值有250﹣235＝15（个），即该超市购进两种粽子有15种方案.22.如图①所示的某种发石车是古代一种远程攻击的武器．将发石车置于山坡底部O处，以点O为原点，水平方向为x轴方向，建立如图②所示的平面直角坐标系，将发射出去的石块当作一个点看，其飞行路线可以近似看作抛物线y＝a（x﹣20）2+k的一部分，山坡OA上有一堵防御墙，其竖直截面为ABCD，墙宽BC＝2米，BC与x轴平行，点B与点O的水平距离为28米、垂直距离为6米．（1）若发射石块在空中飞行的最大高度为10米，①求抛物线的解析式；②试通过计算说明石块能否飞越防御墙；（2）若要使石块恰好落在防御墙顶部BC上（包括端点B、C），求a的取值范围．

22.解：（1）①由题意得，设石块运行的函数关系式为y＝a（x﹣20）2+10，把（0，0）代入解析式，得400a+10＝0，解得a

=−∴抛物线的解析式为y

=−140（x﹣20）2+10，即y

=−140x2+②石块能飞越防御墙AB，理由如下：把x＝30代入y

=−140x2得y

=−140×∵7.5＞6，∴石块能飞越防御墙AB；（2）由题可知B（28，6），抛物线y＝a（x﹣20）2+k，∴把（0，0），（28，6）代入，得

0=解得a

=−把（0，0），C（30，6）代入，得

0=解得a

=−∴a的取值范围为

−150≤a≤

23.【问题发现】小明在一次利用三角板作图的过程中发现了一件有趣的事情：如图①，在Rt△ABC中，∠A＝30°，AB＝6，点M和点P分别是斜边AB上的动点，并且满足AM＝BP，分别过点M和点P作AC边的垂线，垂足分别为点N和点Q，那么MN+PQ的值是一个定值．问题：若AM＝BP＝2时，MN+PQ值为

；【操作探究】如图②，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝α，AB＝m；爱动脑筋的小明立即拿出另一个三角板进行了验证，发现果然和之前发现的结论一样，于是他猜想，对于任意一个直角三角形，当AM＝BP时，MN+PQ的值都是固定的，小明的猜想对吗？如果对，请利用图②进行证明，并用含α和m的式子表示MN+PQ的值；【解决问题】如图③，在菱形ABCD中，AB＝8，BD＝14．若M、N分别是边A