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文档简介
数学试卷第页(共页)2024年河南新乡一模·数学试卷总分:120分考试时长:100分钟一、选择题(每小题3分,共30分)1.下列各数中,最小的数是()A.3 B.0 C.﹣2 D.﹣π1.D2.光明中学新校区建成之际,施工方在墙角处留下一堆沙子(如图所示,两面墙互相垂直)这堆沙子的主视图是()2.B3.国家统计局发布的数据显示,2023年全年全国粮食总产量13908.2亿斤,比上年增加177.6亿斤,增长1.3%,连续9年稳定在1.3万亿斤以上.数据“1.3万亿”用科学记数法表示为()A.13×108 B.1.3×1011C.1.3×1012 D.0.13×10133.C4.如图,把等腰直角三角形ABC的直角顶点和另外一个顶点分别放在矩形纸片的两条对边上,已知∠1=20°,则∠2的度数为()A.55° B.60° C.65° D.75°4.C【解析】如图,设等腰直角三角形的斜边与矩形纸片的夹角为∠3,∵∠3=∠1+∠B,∠1=20°,∠B=45°,∴∠3=65°,∵a∥b,∴∠2=∠3=65°.5.化简a2a−A.a+2B.a﹣2C.1aD.15.A【解析】a2a6.如图,△ABC是⊙O的内接三角形,已知∠ABC=30°,AC=6,则⊙O的半径为()A.1 B.3C.32
D.6.D【解析】如图,连接OA,OC,∵∠ABC=30°,∴∠AOC=2∠ABC=60°,∵OA和OC是⊙O的半径,∴OA=OC,∴△AOC是等边三角形,∴AO=AC=6.7.定义新运算:m*n=m2﹣2m﹣3n,例如:3*4=32﹣2×3﹣3×4=﹣9,若关于x的一元二次方程x*a=3有两个不相等的实数根,则a的取值范围是()A.a>B.aC.a>−D.a7.C【解析】∵x*a=3,∴x2﹣2x﹣3a=3,方程化为一般式为x2﹣2x﹣3a﹣3=0,∵方程有两个不相等的实数根,∴b2﹣4ac=(﹣2)2﹣4×(﹣3a﹣3)>0,解得a
>−8.如图,A,B,C,D是电路图中的四个接线柱,闭合开关后,灯泡不发光,小明同学用一根完好导线的两端随机触连A,B,C,D中的两个接线柱,若电流表有示数或灯泡发光,说明两个接线柱之间的电路元件存在故障.已知灯泡存在断路故障,其他元件完好,则小明触连一次找到故障(用导线触连接线柱BC)的概率为()A.12
B.1C.14
D.8.D【解析】小明同学用一根完好导线的两端随机触连A,B,C,D中的两个接线柱可有:AB、AC、AD、BC、BD、CD共6种等可能的结果,则小明触连一次找到故障(用导线触连接线柱BC)的概率为169.点A(x1,y1),B(x2,y2)是抛物线y=12x2+1上的点,且|x1|<|x2|,则y1与yA.y1<y2 B.y1>y2C.y1=y2 D.无法确定9.A【解析】由|x1|<|x2|,得A(x1,y1)到y轴的距离小于B(x2,y2)到y轴的距离,由抛物线y=12x2+1的对称轴为y轴,开口向上,得10.如图①,在菱形ABCD中,E为AB的中点,点F沿AC从点A向点C运动,连接FE,FB.设FA=x,FE+FB=y,图②是点F运动时y随x变化的关系图象,则y的最小值是()A.23B.3
C.43D.210.B【解析】如答案图①,连接BD、DE、BF,DE、AC交于点F,BD、AC交于点O,∵四边形ABCD为菱形,∴AC⊥BD,OB=OD,∴点B、D关于直线AC对称,∴FB=FD,∴y最小=FB+FE=FD+FE=DE,观察函数图象可知,当点F与A重合时,FE+FB=3,即AE+AB=3.∵点E是AB的中点,∴AE=12AB,∴AB+12AB=3,解得AB=2,∴AE=EB=1,当点F在点C处时,FE+FB=2+7,∵BC=AB=2,∴FE=7,如答案图②,作CG⊥AB于点G.∴∠G=90°,设BG长x,在Rt△CBG中,CG2=CB2﹣BG2,在Rt△CEG中,CG2=CE2﹣EG2,∴22﹣x2=7﹣(1+x)2,解得x=1,∴BG=1,∴cos∠CBG
=12,∴∠CBG=60°,∵四边形ABCD为菱形,∴AD=BA=2,AD∥CB,∴∠DAB=60°,∴△BAD为等边三角形,∴DB=DA,∵点E是AB的中点,∴DE⊥AB,∴∠DEA=90°,∴DE=AD2−AE2=3.二、填空题11.若二次根式4x−1有意义,则x的取值范围11.x≥1【解析】由题意得,4x﹣1≥0,解得x≥1412.若一次函数的图象不经过第三象限,则其表达式可以为
.12.y=﹣x+1(答案不唯一)【解析】对于一次函数y=kx+b,当k<0,b≥0时,函数图象经过第一、二、四象限,所以k可以取﹣1,b可以取1,此时一次函数表达式为y=﹣x+1.(答案不唯一)13.某校为了监测学生的心理健康状况,对九年级学生进行了心理健康测试.小芳从中随机抽取50名学生,并把这些学生的测试成绩x(单位:分)制成了如图所示的扇形统计图,据此估计该校850名九年级学生中测试成绩在分数段80≤x<90分的共有
名.13.238【解析】由扇形统计图可知,c%=1﹣20%﹣20%﹣32%=28%,∴估计该校850名九年级学生中测试成绩在分数段80≤x<90分的共有850×28%=238(名).14.如图,Rt△ABC是⊙O的内接三角形,斜边AB=23,直角边BC=3,点P是⊙O外一点,∠BAP=90°,连接PC,若PC与⊙O14.3【解析】在Rt△ABC中,AC=AB2−BC2=(23)2−(3)2=3,∵sin∠BAC=BCAB=323=12,∴∠BAC=30°,∵∠ACB=90°,∴AB为⊙O的直径,∵∠BAP=90°,∴AB⊥PA,∠PAC=60°,∴PA15.如图,四边形OABC是正方形,顶点A(3,4)在直线l:y=kx+10上.将正方形OABC沿x轴正方向平移m(m>0)个单位长度,若正方形OABC在x轴上方的其他任一顶点恰好落在直线l上,则m的值为
.15.52或【解析】∵点A(3,4)在直线l:y=kx+10上,∴3k+10=4,解得k=﹣2,∴直线l的关系式为y=﹣2x+10,如图,过点A、C分别作AM⊥x轴,CN⊥x轴,垂足分别为M、N,过点C作x轴的平行线交y轴于点E,过点B作y轴的平行线交CE于点D,∵点A(3,4),∴OM=3,AM=4,∴OA=OM2+AM2=5,∵四边形OABC是正方形,∴OA=OC=BC=AB=5,∠AOC=90°,∴∠AOM+∠CON=180°﹣90°=90°,∵∠AOM+∠OAM=90°,∴∠OAM=∠CON,又∵∠OMA=∠CNO=90°,∴△AOM≅△OCN(AAS),∴ON=AM=4,CN=OM=4﹣3=3,由平移得△AOM≅△BCD(AAS),∴CD=OM=3,BD=AM=4,∴DE=ON﹣CD=1,点B的纵坐标为BD+CN=4+3=7,∴点C(﹣4,3),点B(﹣1,7),当y=3时,即﹣2x+10=3,解得x
=72,4
+72=152,∴点C沿着x轴的正方向平移152个单位,点C落在直线l上;当y=7时,即﹣2x+10=7,解得x=32,1+32=52,∴点B沿着
三、解答题16.(1)计算:20+|﹣2|+4−(13)(2)因式分解:(x+3y)2﹣2(x2﹣9y2)小刚的解题过程如下:(x+3y)2﹣2(x2﹣9y2)=(x+3y)2﹣2(x+3y)(x﹣3y)···第一步,=(x+3y)(x+3y﹣2x﹣6y)···第二步,=(x+3y)(﹣x﹣3y)···第三步.请问小刚同学第一步变形用到的乘法公式是
(写出用字母a,b表示的乘法公式);小颖说他的步骤中有错误,并指出第
步出现了错误;请用小刚的思路给出这道题的正确解法.16.解:(1)原式=1+2+2﹣3=2;(2)a2﹣b2=(a+b)(a﹣b);二;用小刚的思路给出这道题的正确解法如下,(x+3y)2﹣2(x2﹣9y2)=(x+3y)2﹣2(x+3y)(x﹣3y)=(x+3y)(x+3y﹣2x+6y)=(x+3y)(9y﹣x).17.某商家为了推广产品,决定在甲、乙两个直播间中选取一个开展直播带货,数据分析平台提供了某一星期内甲、乙两个直播间的日带货量和日观看人数的数据:甲、乙两个直播间日观看人数统计表星期直播间人数(万人)周一周二周三周四周五周六周日甲155.7455155.747.565.373.3227.6乙66.2284.1357.366.258.9122.3225.1该商家市场营销部对所给数据作了如表处理:名称直播间数据直播间日观看人数(万人)直播间日带货量(件)平均数众数平均数方差甲168.59155.797s甲乙168.59m97s乙根据以上信息,回答以下问题:(1)上表中m=
;
s甲2
s乙2(填“<”“>”或(2)假如你是该商家市场营销部经理,你会选择哪个直播间?请说明理由.17.解:(1)66.2,<;【解法提示】由日观看人数统计表得,乙直播间日观看人数中,出现次数最多的是66.2,∴m=66.2,由折线统计图知,甲带货量的波动幅度小于乙,∴s甲(2)选择甲直播间,理由如下,∵甲直播间观看人数及带货数量的平均数与乙相同,而甲直播间带货数量的方差小于乙,∴甲直播间带货数量比乙稳定,∴我会选择甲直播间.18.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°.(1)请用无刻度的直尺和圆规作出∠A的平分线,交BC于点D(保留作图痕迹,不写作法);(2)在(1)的条件下,过点D作DH⊥AB,垂足为H,若BD=AD=4,求△BDH的面积.18.解:(1)如图,AD即为所求;(2)∵BD=AD=4,DH⊥AB,∴∠B=∠BAD,由(1)作图可知,AD是∠BAC的平分线,∴∠CAD=∠BAD,∴∠B=∠BAD=∠CAD,∵∠ACB=90°.∴∠B+∠BAD+∠CAD=90°,∴∠B=∠BAD=∠CAD=30°,∴在Rt△BDH中,DH
=12BD=2,BH
=3DH=2∴S△BDH
=12BH•DH
=12×2
3×19.如图,在平面直角坐标系xOy中,点A为反比例函数y=kx图象上一点,AB⊥y轴于点B,且S△AOB=8.点M为反比例函数y=kx图象上第四象限内一动点,过点M作MC⊥x轴于点C,取x轴上一点D,使得OD=OC,连接DM交y轴于点E,点F是点E关于直线(1)求反比例函数的表达式;(2)试判断点F是否在反比例函数y=kx的图象上,并说明四边形19.解:(1)∵点A为反比例函数y=kx图象上一点,AB⊥y轴于点∴S△AOB=12∴|k|=16,∵k<0,∴k=−16,∴反比例函数的表达式为y=−(2)如图,连接EF交CM于G,∵点F是点E关于直线MC的对称点,∴CE=CF,EM=FM,∵CM⊥x轴于C,∴∠DCM=90°,∵OD=OC,OE⊥CD,∴DE=CE,∴∠EDC=∠ECD,∵∠CDE+∠DMC=∠DCE+∠ECM=90°,∴∠ECM=∠CME,∴CE=EM,∴CE=EM=FM=CF,∴四边形EMFC是菱形.∵点M为反比例函数y=kx图象上第四象限内一∴设M(m,−16∵MC⊥x轴,∴C(m,0),∵四边形EMFC是菱形,∴EG=FG,CG=MG,∴G(m,−8∴F(2m,−8∵2m•−8m∴点F在反比例函数y=kx的20.风能作为一种清洁的可再生能源,越来越受到世界各国的重视.图①是某规格风力发电机,其工作发电时,当风轮叶片末端旋转至最高点,如图②所示,测得∠CAB=60°;当风轮叶片末端旋转至最低点,如图③所示,测得∠DAB=33°,已知AB=100.2
m,OE=0.2m,则该规格的风力发电机的风轮叶片长为多少?(结果精确到1m,参考数据:3≈1.732,sin33°≈0.545,cos33°≈0.839,tan33°≈0.64920.解:如答案图①,延长CO交AB于点F;如答案图②,延长OD交AB于点G,
由题意得,CF⊥AB,OG⊥AB,OE=BF=BG=0.2
m,OF=BE=OG,OD=OC,∵AB=100.2
m,∴AF=AB−BF=100(m),AG=AB−BG=100(m),设OC=OD=x
m,OF=BE=OG=y
m,在Rt△ACF中,∠CAB=60°,∴tan60°
=CF∴x+y=173.2①,在Rt△ADG中,∠DAG=33°,∴tan33°
=DG∴y
−x=64.9②,∴①−②得,2x=108.3,解得x≈54,∴OD=OC=54
m,∴该规格的风力发电机的风轮叶片长约为54m.21.某市为了科学处理垃圾,新建了A,B两类垃圾处理场共20个,其中A类垃圾处理场处理不可回收垃圾,B类垃圾处理场处理可回收垃圾.已知一个A类垃圾处理场日处理量为30吨,每一个B类垃圾处理场日处理量为40吨,该市新建的20个垃圾处理场每天处理城市垃圾总量为720吨.(1)求该市A,B两类垃圾处理场各有多少个?(2)为了环保要求,不可回收垃圾再次细分为不可回收垃圾和有害垃圾,致使A类垃圾处理场日处理量减少了5吨,市政府拟将a(a≥3)个B类垃圾处理场改建成A类垃圾处理场,请给出改建后垃圾处理场日处理垃圾总量最多的改建方案,最多日处理垃圾为多少吨?21.解:(1)设该市A类垃圾处理场有x个,B类垃圾处理场有y个,由题意得
x+解得
x=答:该市A类垃圾处理场有8个,B类垃圾处理场有12个;(2)设改建后日处理垃圾y吨,由题意得y=(30﹣5)(8+a)+40(12﹣a)=﹣15a+680,即y=﹣15a+680,∵﹣15<0,∴y随a的增大而减小,∵a≥3,∴当a=3时,y有最大值,最大值为﹣15×3+680=635(吨),答:将3个B类垃圾处理场改建成A类垃圾处理场,垃圾处理场日处理垃圾最多,最多日处理垃圾量为635吨.22.数字农业正带领现代农业进入一个崭新的时代,而智能温室大棚(如图①)将成为现代农业发展进程中重要的参与者之一.某种植大户对自己的温室大棚进行改造时,先将大门进行了装修,如图②所示,该大门门头示意图由矩形ABCD和抛物线形AED组成,测得AB=2
m,BC=8
m,OE=4m.以水平线BC为x轴,BC的中点O为原点建立平面直角坐标系.(1)求此门头抛物线部分的表达式;(2)改造时,为了加固,要在棚内梁AD的四等分点M,N处焊接两排镀锌管支撑大棚,已知定制的每根镀锌管成品长2m,问是否需要截取,截取多少?22.解:(1)∵点O是BC的中点,∴OB=OC
=12BC=4(∵AB=CD=2
m,∴点D的坐标为(4,2),∵OE=4
m,∴抛物线的顶点E的坐标为(0,4),∴设此门头抛物线部分的表达式为y=ax2+4,将D(4,2)代入y=ax2+4中得2=16a+4,解得a=−∴此门头抛物线部分的表达式为y=−18x2+4(﹣4≤(2)如图,过点M作GM⊥AD,交抛物线于点G,由题意得:AD=BC=8
m,∵点M,N是AD的四等分点,∴AM=MF=FN=DN
=14AD=2(当x=﹣2时,y
=−18×(﹣2)2+4=−18∴点G的坐标为(﹣2,72∵AB=2
m,∴GM=72−2=∴2
−32=0.5∴需要截取,截取0.5m.23.创设情境(1)如图①,在正方形ABCD中,
AB=2+22,E为线段BC上一动点,将△ABE沿AE翻折,得到△AB′E.若AB'的延长线恰好经过点C(2)如图②,在矩形ABCD中,E为线段BC上一动点,设AE=mAB,将△ABE沿AE翻折,得到△AB'E,延长AB'交CD于点F,若AF=mAE,试说明点E是BC的中点;(3)如图③,在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=4,BC=8,E为直线BC上一动点,设AE=mAB,将△ABE沿AE翻折,得到△AB′E,在AB'的延长线上找一点F,使得AF=mAE,当△AEC是以AE为腰的等腰三角形时,直接写出点F到直线BC的距离.23.(1)2;【解法提示】∵四边形ABCD是正方形,∴AB=BC=2+22,∠B=90°,∠ACB=45°,∴AC=2AB=2
2+4,由折叠得AB=AB'=2+2
2,∠AB'E=∠B=90°,∴∠CB'E=90°,CB'=AC
−AB'=22+4
−(2+22)=2,∵∠ECB'=45°,∠CB'E=90°,∴△CEB'是等
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