（讲评用卷）2024年河南新乡一模·数学

数学试卷第页（共页）2024年河南新乡一模·数学试卷总分:120分考试时长:100分钟一、选择题（每小题3分，共30分）1.下列各数中，最小的数是（）A．3 B．0 C．﹣2 D．﹣π1.D2.光明中学新校区建成之际，施工方在墙角处留下一堆沙子（如图所示，两面墙互相垂直）这堆沙子的主视图是（）2.B3.国家统计局发布的数据显示，2023年全年全国粮食总产量13908.2亿斤，比上年增加177.6亿斤，增长1.3%，连续9年稳定在1.3万亿斤以上．数据“1.3万亿”用科学记数法表示为（）A．13×108 B．1.3×1011C．1.3×1012 D．0.13×10133.C4.如图，把等腰直角三角形ABC的直角顶点和另外一个顶点分别放在矩形纸片的两条对边上，已知∠1＝20°，则∠2的度数为（）A．55° B．60° C．65° D．75°4.C【解析】如图，设等腰直角三角形的斜边与矩形纸片的夹角为∠3，∵∠3＝∠1+∠B，∠1＝20°，∠B＝45°，∴∠3＝65°，∵a∥b，∴∠2＝∠3＝65°．5.化简a2a−A．a+2B．a﹣2C．1aD．15.A【解析】a2a6.如图，△ABC是⊙O的内接三角形，已知∠ABC＝30°，AC＝6，则⊙O的半径为（）A．1 B．3C．32

D．6.D【解析】如图，连接OA，OC，∵∠ABC＝30°，∴∠AOC＝2∠ABC＝60°，∵OA和OC是⊙O的半径，∴OA＝OC，∴△AOC是等边三角形，∴AO＝AC＝6.7.定义新运算：m*n＝m2﹣2m﹣3n，例如：3*4＝32﹣2×3﹣3×4＝﹣9，若关于x的一元二次方程x*a＝3有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（）A．a＞B．aC．a＞−D．a7.C【解析】∵x*a＝3，∴x2﹣2x﹣3a＝3，方程化为一般式为x2﹣2x﹣3a﹣3＝0，∵方程有两个不相等的实数根，∴b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×（﹣3a﹣3）＞0，解得a

＞−8.如图，A，B，C，D是电路图中的四个接线柱，闭合开关后，灯泡不发光，小明同学用一根完好导线的两端随机触连A，B，C，D中的两个接线柱，若电流表有示数或灯泡发光，说明两个接线柱之间的电路元件存在故障．已知灯泡存在断路故障，其他元件完好，则小明触连一次找到故障（用导线触连接线柱BC）的概率为（）A．12

B．1C．14

D．8.D【解析】小明同学用一根完好导线的两端随机触连A，B，C，D中的两个接线柱可有：AB、AC、AD、BC、BD、CD共6种等可能的结果，则小明触连一次找到故障（用导线触连接线柱BC）的概率为169.点A（x1，y1），B（x2，y2）是抛物线y=12x2+1上的点，且|x1|＜|x2|，则y1与yA．y1＜y2 B．y1＞y2C．y1＝y2 D．无法确定9.A【解析】由|x1|＜|x2|，得A（x1，y1）到y轴的距离小于B（x2，y2）到y轴的距离，由抛物线y=12x2+1的对称轴为y轴，开口向上，得10.如图①，在菱形ABCD中，E为AB的中点，点F沿AC从点A向点C运动，连接FE，FB．设FA＝x，FE+FB＝y，图②是点F运动时y随x变化的关系图象，则y的最小值是（）A．23B．3

C．43D．210.B【解析】如答案图①，连接BD、DE、BF，DE、AC交于点F，BD、AC交于点O，∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，OB＝OD，∴点B、D关于直线AC对称，∴FB＝FD，∴y最小＝FB+FE＝FD+FE＝DE，观察函数图象可知，当点F与A重合时，FE+FB＝3，即AE+AB＝3．∵点E是AB的中点，∴AE=12AB，∴AB+12AB＝3，解得AB＝2，∴AE＝EB＝1，当点F在点C处时，FE+FB＝2+7，∵BC＝AB＝2，∴FE=7，如答案图②，作CG⊥AB于点G．∴∠G＝90°，设BG长x，在Rt△CBG中，CG2＝CB2﹣BG2，在Rt△CEG中，CG2＝CE2﹣EG2，∴22﹣x2＝7﹣（1+x）2，解得x＝1，∴BG＝1，∴cos∠CBG

=12，∴∠CBG＝60°，∵四边形ABCD为菱形，∴AD＝BA＝2，AD∥CB，∴∠DAB＝60°，∴△BAD为等边三角形，∴DB＝DA，∵点E是AB的中点，∴DE⊥AB，∴∠DEA＝90°，∴DE=AD2−AE2=3．二、填空题11.若二次根式4x−1有意义，则x的取值范围11.x≥1【解析】由题意得，4x﹣1≥0，解得x≥1412.若一次函数的图象不经过第三象限，则其表达式可以为

．12.y＝﹣x+1(答案不唯一)【解析】对于一次函数y＝kx+b，当k＜0，b≥0时，函数图象经过第一、二、四象限，所以k可以取﹣1，b可以取1，此时一次函数表达式为y＝﹣x+1．（答案不唯一）13.某校为了监测学生的心理健康状况，对九年级学生进行了心理健康测试．小芳从中随机抽取50名学生，并把这些学生的测试成绩x（单位：分）制成了如图所示的扇形统计图，据此估计该校850名九年级学生中测试成绩在分数段80≤x＜90分的共有

名．13.238【解析】由扇形统计图可知，c%＝1﹣20%﹣20%﹣32%＝28%，∴估计该校850名九年级学生中测试成绩在分数段80≤x＜90分的共有850×28%＝238（名）．14.如图，Rt△ABC是⊙O的内接三角形，斜边AB=23，直角边BC=3，点P是⊙O外一点，∠BAP＝90°，连接PC，若PC与⊙O14.3【解析】在Rt△ABC中，AC=AB2−BC2=(23)2−(3)2=3，∵sin∠BAC=BCAB=323=12，∴∠BAC＝30°，∵∠ACB＝90°，∴AB为⊙O的直径，∵∠BAP＝90°，∴AB⊥PA，∠PAC＝60°，∴PA15.如图，四边形OABC是正方形，顶点A（3，4）在直线l：y＝kx+10上．将正方形OABC沿x轴正方向平移m（m＞0）个单位长度，若正方形OABC在x轴上方的其他任一顶点恰好落在直线l上，则m的值为

．15.52或【解析】∵点A（3，4）在直线l：y＝kx+10上，∴3k+10＝4，解得k＝﹣2，∴直线l的关系式为y＝﹣2x+10，如图，过点A、C分别作AM⊥x轴，CN⊥x轴，垂足分别为M、N，过点C作x轴的平行线交y轴于点E，过点B作y轴的平行线交CE于点D，∵点A（3，4），∴OM＝3，AM＝4，∴OA=OM2+AM2=5，∵四边形OABC是正方形，∴OA＝OC＝BC＝AB＝5，∠AOC＝90°，∴∠AOM+∠CON＝180°﹣90°＝90°，∵∠AOM+∠OAM＝90°，∴∠OAM＝∠CON，又∵∠OMA＝∠CNO＝90°，∴△AOM≅△OCN（AAS），∴ON＝AM＝4，CN＝OM＝4﹣3＝3，由平移得△AOM≅△BCD（AAS），∴CD＝OM＝3，BD＝AM＝4，∴DE＝ON﹣CD＝1，点B的纵坐标为BD+CN＝4+3＝7，∴点C（﹣4，3），点B（﹣1，7），当y＝3时，即﹣2x+10＝3，解得x

=72，4

+72=152，∴点C沿着x轴的正方向平移152个单位，点C落在直线l上；当y＝7时，即﹣2x+10＝7，解得x=32，1+32=52，∴点B沿着

三、解答题16.（1）计算：20+|﹣2|+4−（13）（2）因式分解：（x+3y）2﹣2（x2﹣9y2）小刚的解题过程如下：（x+3y）2﹣2（x2﹣9y2）＝（x+3y）2﹣2（x+3y）（x﹣3y）···第一步，＝（x+3y）（x+3y﹣2x﹣6y）···第二步，＝（x+3y）（﹣x﹣3y）···第三步．请问小刚同学第一步变形用到的乘法公式是

（写出用字母a，b表示的乘法公式）；小颖说他的步骤中有错误，并指出第

步出现了错误；请用小刚的思路给出这道题的正确解法．16.解：（1）原式＝1+2+2﹣3＝2；（2）a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；二；用小刚的思路给出这道题的正确解法如下，（x+3y）2﹣2（x2﹣9y2）＝（x+3y）2﹣2（x+3y）（x﹣3y）＝（x+3y）（x+3y﹣2x+6y）＝（x+3y）（9y﹣x）.17.某商家为了推广产品，决定在甲、乙两个直播间中选取一个开展直播带货，数据分析平台提供了某一星期内甲、乙两个直播间的日带货量和日观看人数的数据：甲、乙两个直播间日观看人数统计表星期直播间人数（万人）周一周二周三周四周五周六周日甲155.7455155.747.565.373.3227.6乙66.2284.1357.366.258.9122.3225.1该商家市场营销部对所给数据作了如表处理：名称直播间数据直播间日观看人数（万人）直播间日带货量（件）平均数众数平均数方差甲168.59155.797s甲乙168.59m97s乙根据以上信息，回答以下问题：（1）上表中m＝

；

s甲2

s乙2（填“＜”“＞”或（2）假如你是该商家市场营销部经理，你会选择哪个直播间？请说明理由．17.解：（1）66.2，＜；【解法提示】由日观看人数统计表得，乙直播间日观看人数中，出现次数最多的是66.2，∴m＝66.2，由折线统计图知，甲带货量的波动幅度小于乙，∴s甲（2）选择甲直播间，理由如下，∵甲直播间观看人数及带货数量的平均数与乙相同，而甲直播间带货数量的方差小于乙，∴甲直播间带货数量比乙稳定，∴我会选择甲直播间.18.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°．（1）请用无刻度的直尺和圆规作出∠A的平分线，交BC于点D（保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）的条件下，过点D作DH⊥AB，垂足为H，若BD＝AD＝4，求△BDH的面积．18.解：（1）如图，AD即为所求；（2）∵BD＝AD＝4，DH⊥AB，∴∠B＝∠BAD，由（1）作图可知，AD是∠BAC的平分线，∴∠CAD＝∠BAD，∴∠B＝∠BAD＝∠CAD，∵∠ACB＝90°．∴∠B+∠BAD+∠CAD＝90°，∴∠B＝∠BAD＝∠CAD＝30°，∴在Rt△BDH中，DH

=12BD＝2，BH

=3DH＝2∴S△BDH

=12BH•DH

=12×2

3×19.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A为反比例函数y=kx图象上一点，AB⊥y轴于点B，且S△AOB＝8．点M为反比例函数y=kx图象上第四象限内一动点，过点M作MC⊥x轴于点C，取x轴上一点D，使得OD＝OC，连接DM交y轴于点E，点F是点E关于直线（1）求反比例函数的表达式；（2）试判断点F是否在反比例函数y=kx的图象上，并说明四边形19.解：（1）∵点A为反比例函数y=kx图象上一点，AB⊥y轴于点∴S△AOB=12∴|k|＝16，∵k＜0，∴k＝−16，∴反比例函数的表达式为y=−（2）如图，连接EF交CM于G，∵点F是点E关于直线MC的对称点，∴CE＝CF，EM＝FM，∵CM⊥x轴于C，∴∠DCM＝90°，∵OD＝OC，OE⊥CD，∴DE＝CE，∴∠EDC＝∠ECD，∵∠CDE+∠DMC＝∠DCE+∠ECM＝90°，∴∠ECM＝∠CME，∴CE＝EM，∴CE＝EM＝FM＝CF，∴四边形EMFC是菱形．∵点M为反比例函数y=kx图象上第四象限内一∴设M（m，−16∵MC⊥x轴，∴C（m，0），∵四边形EMFC是菱形，∴EG＝FG，CG＝MG，∴G（m，−8∴F（2m，−8∵2m•−8m∴点F在反比例函数y=kx的20.风能作为一种清洁的可再生能源，越来越受到世界各国的重视．图①是某规格风力发电机，其工作发电时，当风轮叶片末端旋转至最高点，如图②所示，测得∠CAB＝60°；当风轮叶片末端旋转至最低点，如图③所示，测得∠DAB＝33°，已知AB＝100.2

m，OE＝0.2m，则该规格的风力发电机的风轮叶片长为多少？（结果精确到1m，参考数据：3≈1.732，sin33°≈0.545，cos33°≈0.839，tan33°≈0.64920.解：如答案图①，延长CO交AB于点F；如答案图②，延长OD交AB于点G，

由题意得，CF⊥AB，OG⊥AB，OE＝BF＝BG＝0.2

m，OF＝BE＝OG，OD＝OC，∵AB＝100.2

m，∴AF＝AB−BF＝100（m），AG＝AB−BG＝100（m），设OC＝OD＝x

m，OF＝BE＝OG＝y

m，在Rt△ACF中，∠CAB＝60°，∴tan60°

=CF∴x+y＝173.2①，在Rt△ADG中，∠DAG＝33°，∴tan33°

=DG∴y

−x＝64.9②，∴①−②得，2x＝108.3，解得x≈54，∴OD＝OC＝54

m，∴该规格的风力发电机的风轮叶片长约为54m．21.某市为了科学处理垃圾，新建了A，B两类垃圾处理场共20个，其中A类垃圾处理场处理不可回收垃圾，B类垃圾处理场处理可回收垃圾．已知一个A类垃圾处理场日处理量为30吨，每一个B类垃圾处理场日处理量为40吨，该市新建的20个垃圾处理场每天处理城市垃圾总量为720吨．（1）求该市A，B两类垃圾处理场各有多少个？（2）为了环保要求，不可回收垃圾再次细分为不可回收垃圾和有害垃圾，致使A类垃圾处理场日处理量减少了5吨，市政府拟将a（a≥3）个B类垃圾处理场改建成A类垃圾处理场，请给出改建后垃圾处理场日处理垃圾总量最多的改建方案，最多日处理垃圾为多少吨？21.解：（1）设该市A类垃圾处理场有x个，B类垃圾处理场有y个，由题意得

x+解得

x=答：该市A类垃圾处理场有8个，B类垃圾处理场有12个；（2）设改建后日处理垃圾y吨，由题意得y＝（30﹣5）（8+a）+40（12﹣a）＝﹣15a+680，即y＝﹣15a+680，∵﹣15＜0，∴y随a的增大而减小，∵a≥3，∴当a＝3时，y有最大值，最大值为﹣15×3+680＝635（吨），答：将3个B类垃圾处理场改建成A类垃圾处理场，垃圾处理场日处理垃圾最多，最多日处理垃圾量为635吨．22.数字农业正带领现代农业进入一个崭新的时代，而智能温室大棚（如图①）将成为现代农业发展进程中重要的参与者之一．某种植大户对自己的温室大棚进行改造时，先将大门进行了装修，如图②所示，该大门门头示意图由矩形ABCD和抛物线形AED组成，测得AB＝2

m，BC＝8

m，OE＝4m．以水平线BC为x轴，BC的中点O为原点建立平面直角坐标系．（1）求此门头抛物线部分的表达式；（2）改造时，为了加固，要在棚内梁AD的四等分点M，N处焊接两排镀锌管支撑大棚，已知定制的每根镀锌管成品长2m，问是否需要截取，截取多少？22.解：（1）∵点O是BC的中点，∴OB＝OC

=12BC＝4（∵AB＝CD＝2

m，∴点D的坐标为（4，2），∵OE＝4

m，∴抛物线的顶点E的坐标为（0，4），∴设此门头抛物线部分的表达式为y＝ax2+4，将D（4，2）代入y＝ax2+4中得2＝16a+4，解得a=−∴此门头抛物线部分的表达式为y=−18x2+4（﹣4≤（2）如图，过点M作GM⊥AD，交抛物线于点G，由题意得：AD＝BC＝8

m，∵点M，N是AD的四等分点，∴AM＝MF＝FN＝DN

=14AD＝2（当x＝﹣2时，y

=−18×（﹣2）2+4=−18∴点G的坐标为（﹣2，72∵AB＝2

m，∴GM=72−2=∴2

−32=0.5∴需要截取，截取0.5m．23.创设情境（1）如图①，在正方形ABCD中，

AB=2+22，E为线段BC上一动点，将△ABE沿AE翻折，得到△AB′E．若AB'的延长线恰好经过点C（2）如图②，在矩形ABCD中，E为线段BC上一动点，设AE＝mAB，将△ABE沿AE翻折，得到△AB'E，延长AB'交CD于点F，若AF＝mAE，试说明点E是BC的中点；（3）如图③，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝8，E为直线BC上一动点，设AE＝mAB，将△ABE沿AE翻折，得到△AB′E，在AB'的延长线上找一点F，使得AF＝mAE，当△AEC是以AE为腰的等腰三角形时，直接写出点F到直线BC的距离．23.（1）2；【解法提示】∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝2+22，∠B＝90°，∠ACB＝45°，∴AC=2AB＝2

2+4，由折叠得AB＝AB'＝2+2

2，∠AB'E＝∠B＝90°，∴∠CB'E＝90°，CB'＝AC

−AB'＝22+4

−（2+22）＝2，∵∠ECB'＝45°，∠CB'E＝90°，∴△CEB'是等