2024-2025学年初中八年级上学期期中数学试题及答案

2024-2025年八年级上学期期中摸底调研卷数学学科（总分：130分；考试时长：120分钟）第Ⅰ卷（选择题）一、单选题（共8小题，每小题3分，满分24分）（）A.B. C. D.列组中勾的是（ ）A.3，4，12 B.6，6，72 C.9，40，41 D.9，15，17ABC三同玩抢凳”戏们的位成个ABC在他间放个凳先到凳谁胜为证戏公，凳应的适当位是在ABC的（ ）A.三垂平线交点B.边线交点 C.个角平线点D.三高交点图在ABC中，ABAC，AC的垂分线l交BC于点D．若DAC34，则B的数是（ ）A.34 B.30 C.28 D.26图矩形ABCD中，AB3，AD1，AB数轴，以点A为心对角线AC的为径作弧，数的半于M，则点M所表的为（ ）510A.2 B. 1 C. 5 D. 15106ABCD内作BCEAF交CDFEF．若DF＝3，则BE的长为（）A.2 B.3 C.4 D.5MON＝90°，已知△ABCAC＝BC＝13，AB＝10，△ABCABOMONBONAOMABCO）A.5 B.7 C.12 D.6如图，在ABC中，已知A60BMACMCNABNPBCPMPNBC2PNPMPNPMNABC=45时，BN22PC2，其正的是( )A.①② B.①②③ C.①②④ D.①②③④第II卷（非选择题）二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）图镜中码际号是 ．

x1有意，则x的取范是 ．22若42

与最简二次根式3

是类二根，则a．32a图在△ABC，∠A＝75°，DE和DF别垂平边AB、AC，则∠DBC的数为32a图将根长12cm的筷置底半为3cm，为8cm的柱子中则子在子的度h的值围为 ．Rt△ABCAClACB90AC5BC6O到线l的距为9，Rt△ABC纸片沿线l左移，则OAOB的最值．如图，在ABC是ABCAPBPCP24 ，则BC2．2ABFEAJKCBCIH分别是以Rt△ABCCAB的垂线，交ABDFEG，连接HACF．则下列结论：①△ABHS正方CH2SH；③S长方形D2CF；④D2D2CD2F2．正确的 （填号）三、解答题(2)2（1）3(2)2

(3)0；（2）

2

3 ．6122x：6122（1）(x1)29；（2）2x3118．2ab2已知2a1的平方根为3a2b12ab2

的值．aa2b

ab04

的值．a24b1A、BCa24bABClA'B'C′；在线l找点P，使PB+PC最，最值为 ；513若点Q格上得△ABQ的边分为4， ，513

，图这的点Q共有 个．AD是△ABCDEDFABD和△ACDADEF；AB＝6，AC＝4，S△ABC＝15DEABCADCEG是CEDGCEGDCBE；请探究AEC与BCEa读我已学了平根立根概．例：果＝aa＞，么x做a的方即x＝ ，过理的，我了：理和理数称实，数有理扩到实范围．学过中们知道负没平根”，即实范内任一数x都法得x2＝﹣1a成立．现在，我们设想引入一个新数i，使得i2＝﹣1成立，且这个新数i与实数之间，仍满足实数范围内bibi，任abia+bia+bi（a，biab+b（，bb0a＝b＝00b≠0a＝0b≠0333+2i，1，﹣ 1i，3i都是数它们实分是3，1， ，0，虚分是2，332 2 2 2313，并且以上虚数中只有3i32 2 2阅读理解以上内容，解决下列问题：（1化：22＝ （﹣3＝ ．m2﹣1+（m+1）i（m①若复数是实，数m＝ ；②若复是虚，实数m＝ ．1（2

x﹣y+3）+（x+2y﹣1）i＝0，求实数x，y的值．在ABCAB20cmBC16cmDABP2cm/sBBC若B=60△BDP若B=60△BDPABAC，点QP同时出发，其中点Qacm/s（a2）的速度从C段CA上运动，当a为何值时，△BPD和CQP全等？如图①，等腰ABCABACDACEPBDABAE，CPEP．问题思考在图①中，求证：BPCBAC；问题再探若BAC60，如图②，探究线段AP、BP、EP之间的数量关系，并证明你的结论；EP问题拓展若BAC90且BD平分ABC，如图③，请直接写出

的值为 ．BD形”，当一个凸四边形的一条对角线把原四边形分成两个三角形．若其中一个三角形是等腰直角三角形，另一个三角形是等腰三角形，则把这条对角线叫做这个四边形的“真等腰直角线”，把这个四边形叫做“真等腰直角四边形”．巩新】图①，若AD=3，AD=DB=DC，BC=3√2，则边形ABCD （“”或“否”）真等腰直角四边形．深理】图中，果形ABCD真等直四形且∠BDC=90°，对线BD是四边的等直线当AD=4，AB=3，边BC长是 ．ABCDABDEBDC=90°，∠ADE=90°，BD＞AD＞AB，对角线BD、AD分别是这两个四边形的等腰直角线．求证：AC=BE．3ABCDBDBDAD=3，AB=4，∠BAD=45°AC2024-2025年八年级上学期期中摸底调研卷数学学科（总分：130分；考试时长：120分钟）第Ⅰ卷（选择题）一、单选题（共8小题，每小题3分，满分24分）（）A.B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据轴对称图形的概念求解．【详解】A、不是轴对称图形，故本选项错误；BC故选B．【点睛】本题考查了轴对称图形的知识，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．列组中勾的是（ ）A.3，4，12 B.6，6，72 C.9，40，41 D.9，15，17【答案】C【解析】【分析】本题考查勾股数定义，熟知满足a2b2c2的三个正整数a、b、c称为勾股数是解题的关键．根据勾股数的定义逐项验证即可得到答案．【详解】解：A、∵3242122，∴3，4，12不是勾股数，故此选项不符合题意；B、∵6262722，∴6，6，72不是勾股数，故此选项不符合题意；C、∵92402412，∴9，40，41是勾股数，故此选项符合题意；D、∵92152172，∴9，15，17不是勾股数，故此选项不符合题意；故选：C．ABCABC到凳谁胜为证戏公，凳应的适当位是在ABC的（ ）A.三垂平线交点B.边线交点 C.个角平线点D.三高交点【答案】A【解析】【详解】解：利用线段垂直平分线的性质得：要放在三边垂直平分线的交点上．故选：A．【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质的应用；利用所学的数学知识解决实际问题是一种能力，要注意培养．想到要使凳子到三个人的距离相等是正确解答本题的关键．如图，在ABCABACAClBCD．若DAC34，则B的度数是（ ）A.34 B.30 C.28 D.26【答案】A【解析】【分析】根据线段垂直平分线的性质得到ADDC，根据等腰三角形的性质可得答案．【详解】解：∵AC的垂直平分线l交BC于点D，∴ADDC，∴DACC34，∵ABAC，BC34故选：A．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．图矩形ABCD中，AB3，AD1，AB数轴，以点A为心对角线AC的为径作弧，数的半于M，则点M所表的为（ ）5510A.2 B. 1 C. D. 15510【答案】D【解析】ACACAMAC【详解】解：四边形ABCD是矩形，ABC90，AB2AB2BC

，10以点1010AMAC ，10A点表示1，10M点表示10

1，故选：D．6ABCD内作BCEAF交CDFEF．若DF＝3，则BE的长为（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】A【解析】△ADF旋转到ABGDFBGBAG，△EAG△EAFDF3，AB6BE的长，本题得以解决．【详解】解：如图，把△ADF绕A逆时针旋转90°得到ABG，∴△ADF△ABG，∴ADFABGABE90，∴ABGABE180，∴G、B、E三点共线，∴DFBG,DAFBAG，∵DAB90,EAF45，∴DAFEAB45，∴BAGEAB45，∴EAFEAG，在△EAG和△EAF中，AGAFEAGEAF，AEAE∴EAGEAF(SAS)，GEFEBEx，∵CD6,DF3，∴CF3，则GEBGBE3x,CE6x，∴EF3x，∵C90，(6x)2323x)2x2，∴BE的长为2．故选：A．【点睛】本题考查旋转的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答MON＝90°，已知△ABCAC＝BC＝13，AB＝10，△ABCABOMONBONAOMABCO）A.5 B.7 C.12 D.6【答案】B【解析】【分析】过点C作CH⊥AB于点H，连接OC，OH，根据等腰三角形的性质，可得AHBH

1AB5，再由勾股定理，可得CH=12，然后根据直角三角形的性质，可得OH=5，得到2当C、O、H三点共线时，OC最小，即可求解．【详解】解：如图，过点C作CH⊥AB于点H，连接OC，OH，∵AC＝BC＝13，AB＝10，∴AHBH

1AB5，即H为AB的中点，2RtBCHBC2BHBC2BH132

12，Rt

中，OH1AB5，2∵OCCHOH1257，COHOC7．故选：B【点睛】本题主要考查了等腰三角形和直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握等腰三角形和直角三角形的性质是解题的关键．如图，在ABC中，已知A60BMACMCNABNPBC连接PM，PN，则下列结论：①BC2PN；②PMPN；③PMN为等边三角形；④当ABC=45时，BN22PC2，其正的是( )A.①② B.①②③ C.①②④ D.①②③④【答案】D【解析】【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可判断①②正确；先根据直角三角形两锐角互余的性质求出ABMACN30，再根据三角形的内角和定理求出BCNCBM1806030260，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出BPNCPM2(BCNCBM)260120，从而得到MPN60，又由①得PMPN60°ABC=45时，BCN45PBCBN2BP2PN22BP22PC2【详解】①CNAB于点N，P为BC边的中点，PN1BC，2BC2PN正确，故①正确；②BMACMCNABNPBCPM1BC，PN1BC，2 2PMPN，故②正确；③A60BMACMCNABN，ABMACN30，在ABC中，BCNCBM1806030260，点P是BC的中点，BMAC，CNAB，PMPNPBPC，BPN2BCN，CPM2CBM，BPNCPM2(BCNCBM)260120，MPN60，PMN是等边三角形，故③正确；④当ABC=45时，CNAB于点N，BNC90，BCN45，BNCN，P为BC边的中点，PNBC，BPN为等腰直角三角形，BN2BP2PN22BP22PC2故选：D．【点睛】本题主要考查了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，等边三角形、等腰直角三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，仔细分析图形并熟练掌握性质是解题的关键．第II卷（非选择题）二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）图镜中码际号是 ．【答案】3265.【解析】【详解】试题解析：根据镜面对称的性质，在镜子中的真实数字应该是3265,故答案为3265.xx12

有意，则x的取范是 ．【答案】x1【解析】【分析】本题考查了二次根式被开方数的非负性、解不等式，根据二次根式的被开方数非负性求解x10是解题的关键．xx12∴x10，解得：x1．32a故答案为：32a

有意义，2若42

与最简二次根式3

同类次式则a．1【答案】2

##0.5【解析】332a242

与最简二次根式3

是同类二次根式，∴32a2，a1，21故答为： ．2图在△ABC，∠A＝75°，DE和DF别垂平边AB、AC，则∠DBC的数为 °．【答案】15【解析】【分析】连接DA、DC，根据三角形内角和定理得到∠ABC+∠ACB=100°，根据线段的垂直平分线的性质得到DA=DB，DA=DC，进而得到DB=DC，∠DBA=∠DAB，∠DAC=∠DCA，根据等腰三角形的性质计算，得到答案．【详解】解：连接DA、DC，∵∠BAC=75°，∴∠ABC+∠ACB=180°-80°=105°，∵DE和DF分别垂直平分边AB、AC，∴DA=DB，DA=DC，∴DB=DC，∠DBA=∠DAB，∠DAC=∠DCA，∴∠DBA+∠DCA=∠DAB+∠DAC=75°，∴∠DBC=∠DBC=1×（105°-75°）=15°，2故答案为：15．【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．12cm3cm8cm的度h的值围为 ．【答案】2cm≤h≤4cm【解析】ADh【详解】解：如图，当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长，∴h＝2﹣＝（当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短，在Rt△ABD中，AD＝6cm，BD＝8cm，∴2＝D＋D22＋8＝102（2B＝0，h12102（∴h的取值范围是：2cm≤h≤4cm．故本题答案为：2cm≤h≤4cm．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，能够读懂题意和求出h的值最大值与最小值是解题关键．Rt△ABCAClACB90AC5BC6O到线l的距为9，Rt△ABC纸片沿线l左移，则OAOB的最值．【答案】13【解析】OmBm的对称点B1AOB1OAOB最小，即可求得．【详解】过点O做直接m平行直线l，作点B关于直线m的对称点B1当A、O、B1共线时，OAOB最小CB1=9+9－6=1252122A52122∴OAOB的最小值是13故答案为：13【点睛】本题考查轴对称-最短路线问题，根据轴对称的性质作出对称点是解题的关键．如图，在ABC是ABCAPBPCP24 ，则BC2．23【答案】32163【解析】【分析】如图将ABP绕点A顺时针旋转60得到AMG．连接PG，CM．首先证明当M，G，P，C共线时，PAPBPC的值最小，最小值为线段CM的长，由等腰直角三角形求得AC的长，进而求得BN、CN，由勾股定理求得结果．【详解】解：如图将ABP绕点A顺时针旋转60得到AMG．连接PG，CM，则AB＝AC＝AM，MG＝PB，AG＝AP，GAP＝60，GAP是等边三角形，PA＝PG，PAPBPC＝CPPGGM，∴当M，G，P，C共线时，PAPBPC的值最小，最小值为线段CM的长，2APBPCP的最值为4 ，22CM＝4 ，2BAM＝60，BAC＝30，，，3作BNAC于N．则BN1AB2，AN23，CN42323C2N2CN222+4232321633故答案为：32163ABFEAJKCBCIH分别是以Rt△ABCCAB的垂线，交ABDFEG，连接HACF．则下列结论：①△ABHS正方CH2SH；③S长方形D2CF；④D2D2CD2F2．正确的 （填号）【答案】①②③【解析】SAS”可证△ABHS正方形BCIH2SABHS长方形BFGD2S△CBF，故③正确；由勾股定理可得BD2AD22CD2BF2，故④错误，即可求解．【详解】解：∵四边形BCIH和四边形ABFE都是正方形，∴ABHBC90，∴ABFCBAHBCCBA，∴HBACBF，∴FBCSAS，S HBBC，S 1HBBC，正方形BCIH ABH 2∴S正方形BCIH2SABH，故②正确；S BFBD，S 1BFBD，长方形BFGD∴S长方形BFGD2S△CBF，故③正确；

CBF 2BC2DC2DB2，AC2DC2AD2，BC2AC2AB2，∴DC2DB2DC2AD2AB2BF2，∴BD2AD22CD2BF2，故④错误，综上可知，正确的有①②③，故答案为：①②③．三、解答题(2)2（1）3(2)2

6122(3)0；6122（2）

2

3 ．3【答（1）3 （2）23【解析】【分析】本题考查实数混合运算，零指数幂，二次根式混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．【小问1详解】解：原式2213；【小问2详解】366解：式2 36632 ．3x：（1）(x1)29；（2）2x3118．（1）2x24（2）x2【解析】【分析】本题考查了平方根、立方根的应用，熟练掌握求一个数的平方根、立方根是解题的关键．1解：x29x13，2，x24；【小问2详解】解：2x3118，x319，x38，x2．2ab已知2a1的平方根为3a2b12ab【答案】3

的值．【解析】2a19a2b18【详解】解∶∵2a1的平方根为3，∴2a19，∴a5，∵a2b1的立方根为2，∴a2b18，∴b1，2a2aaa2b

3．259a2ab259a2

24b24b2【答案】22【解析】【分析】本题主要考查了算术平方根与平方的非负性、解二元一次方程组、代数式求值，根据算术平方根与a2b40a2b平方的非负性得出方程组aa2b【详解】解：∵a2b40∴ab50，

ab

0，a2解得：b3，∴4a24b4224382242 422 ∴4a24b422438221A、BCABClA'B'C′；在线l找点P，使PB+PC最，最值为 ；513若点Q格上得△ABQ的边分为4， ，513

，图这的点Q共有 个．10【答（1）解析 （2）210（3）4【解析】【分析】（1）利用轴对称的性质分别作出A，B，C的对应点A′，B′，C′即可；BC′lPCPPB+PCBC′【小问1详解】解：如图，△A'B'C′即为所求；【小问2详解】62解：如图，点P62

2 ，1010故答为：2 ；1010【小问3详解】2212522212522

13，513∴符三长为4， ， 的△ABQ△ABQ1△ABQ2△ABQ3、△ABQ4，513Q44．【点睛】本题考查作图-轴对称变换，最短问题，勾股定理等知识，解题的关键是掌握利用轴对称解决最短问题，学会利用数形结合的思想思考问题．AD是△ABCDEDFABD和△ACDADEF；AB＝6，AC＝4，S△ABC＝15DE【答案】（1）见解析（2）3【解析】【分析】（1）根据三角形的角平分线的性质定理和垂直平分线的性质定理解答．（2）根据SABCS△ADBS△ADC=15，可以求得DE的长度．（1）∵AD平分DEDF.DEAB，DFAC，AEDAFD90，在RtADE和RtADFADADDEEF，∴RtADE≌RtADFHL.AEAF.又EADFAD，AOAO∴△AEO≌AFOEOFO，AOEAOF90ADEF的（2）SABCSABDSACD15.1ABDE1ACDF2 2ABAC10,DEDF.1ABACDE2DEDF3.【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，解直角三角形，角平分线等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用面积法解决问题．ABCADCEG是CEDGCEGDCBE；请探究AEC与BCE【答案】（1）证明见解析（2）AEC3BCE.【解析】【分析】（1）由直角三角形斜边上的中线的性质与垂直平分线的性质得出AEBEDE,DCDE，则可得出结论；（2）由等腰三角形的性质及外角的性质可得出结论．【小问1详解】证明：∵AD是高，∴ADBD，CE∴E为AB的中点，∴AEBEDE，∵G为CE的中点，DGCE，∴DCDE，∴DCBE；2解：设BCE，∵DEDC，∴DECDCE，∴BDEDECDCE，∵BEDE，∴BBDE，∴AECBBCE，∴AEC3BCE.【点睛】本题考查了直角三角形的斜边上的中线的性质，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．a读我已学了平根立根概．例：果＝aa＞，么x做a的方即x＝ ，过理的，我了：理和理数称实，数有理扩到实围．学过中们知道负没平根”，即实范内任一数x都法得x2＝﹣1aii2＝﹣1ibibi，任abia+bia+bi（a，biab+b（，bb0数；当且仅当a＝b＝0时，它是实数0；当b≠0时，它叫做虚数；当a＝0且b≠0时，它是纯虚数．例如333+2i，1，﹣ 1i，3i都是数它们实分是3，1， ，0，虚分是2，332 2 2 2313，并且以上虚数中只有3i32 2 2阅读理解以上内容，解决下列问题：（1化：22＝ （﹣3＝ ．m2﹣1+（m+1）i（m①若复是数则数m＝ ；②若复是虚，实数m＝ ．1（2

x﹣y+3）+（x+2y﹣1）i＝0，求实数x，y的值．（），i（2①1；②1（）x5,y7．2 4【解析】【分析】（1）利用i21化简各式即可得；①根据题中定义可得m10②根据题中的新定义可得m210，m10，利用平方根解方程即可得；xy）i22()2，(i)3(i)2(i)1(i)i，故答案为：2，i；m10，解得m1，m210②若该复数是纯虚数，则m10，解得m1，故答案为：1；1xy30由意：2 ，x2y10x5 2解得 ．y7 4【点睛】本题考查了利用平方根解方程、解二元一次方程组，理解题中的新定义是解题关键．在ABCAB20cmBC16cmDABP2cm/sBBC若B=60△BDP为若B=60△BDPABAC，点QP同时出发，其中点Qacm/s（a2）的速度从C段CA上运动，当a为何值时，△BPD和CQP全等？【答（1）5秒 （2）2.5或10秒5（3）2

cm/s或2cm/s【解析】【分析】（1）根据等边三角形的判定求解即可；xBPD=90时，由B=60，得到BDP=30，求得2BPBD10cmx=2.5；②当BDP=90BPD=30，求出x=10；即可得到当P出发2.5秒或10秒后，△BPD为直角三角形；＝P运动的时间，再求得点Q【小问1详解】解：∵B=60，∴当BDBP时，△BDP为等边三角形，∵AB20cm，点D为线段AB的中点，∴BD10cm，∵BDBP，∴BP10cm，∵动点P以2cm/s的速度运动，∴动点P10=5（秒，25△BDP【小问2详解】解：设运动时间为x秒，①当BPD=90时，∵B=60，∴BDP=30，∵AB20cm，点D为线段AB的中点，∴BD10cm，∴2BPBD10cm，∴BP，∵动点P以2cm/s的速度运动，∴2x5，解得，x2.5；②当BDP=90时，∵B=60，∴BPD=30，∵AB20cm，点D为线段AB的中点，∴BD10cm，∴BP2BD20cm，∵动点P以2cm/s的速度运动，∴2x20，x10∴当P出发2.5秒或10秒后，△BPD为直角三角形；【小问3详解】解：设运动时间为t秒，∵ABAC，∴BC，∵AB20cm，D是AB的中点，∴BD10cm，BDQCBPCP△BDP≌△CQP，BPCP，∵BC16cm，∴BPCP，∵动点P以2cm/s的速度运动，∴BP2t，∴t4，∵点Q以acm/s的速度从C点出发在线段CA上运动，∴CQat4a．∵CQBD，∵AB20cm，D是AB的中点，∴BD10cm，∴CQBD10cm，∴4a10，解得，a5cm/s，2②当BDPC，BPCQ时，△BDP≌△CPQ，∵BC16cm，动点P以2cm/s的速度运动，∴BP2t，∴CPBCBP162t，∵AB20cm，D是AB的中点，∴BD10cm，∵BDPC，∴162t10t3，∴BP6，CQat3a6，∴a2cm/s，综上所述，当a5cm/s或a2cm/s时，△BPD和CQP全等．2【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定，三角形的内角和，直角三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定、等边三角形的判定、直角三角形的判定是解题的关键．如图①，等腰ABCABACDACEPBDABAE，CPEP．问题思考在图①中，求证：BPCBAC；问题再探若BAC60，如图②，探究线段AP、BP、EP之间的数量关系，并证明你的结论；EP问题拓展若BAC90且BD平分ABC，如图③，请直接写出

的值为 ．BDEP 1【答案】问题思考：见解析；问题再探：APEPBP，证明见解析；问题拓展：BD2【解析】，推出EACPEABP，即问题再探：在PB上截取PGPC，连接CG，证△GPC，ABC为等边三角形，再证明BGC≌APC，推出EPGP，即可得出答案；问题拓展：延长BA，CP交于点H，证HBP≌CBP，推出CPHP1CH，证ABD≌ACH，2推出BDCH2CP，即可得出答案．【详解】问题思考：证明：∵ABAC，ABAE，∴ACAE，又∵CPEP，且APAP，∴CPSS，∴EACP，又∵ABAE，∴EABE，∴ABEACP，ADBPDC∴BPCBAC；问题再探：APEPBP，理由如下：在BP上取点G，使PGPC，连接CG，如图2，∵BAC60，∴BPC60，∵PGPC，∴△GPC为等边三角形又∵ABAC，BAC60，∴ABC为等边三角形，∴ACBGCP60∴BCGACP，又∵BCAC，GCPC，∴CS，∴APBG，由（1）得EPCP，∵CPGP，∴EPGP，∵BPBGGP，∴BPAP+EP；问题拓展：延