第03讲 空间中的平行关系（线线平行、线面平行、面面平行）（学生版）-2025版高中数学一轮复习考点帮

Page第03讲空间中的平行关系（线线平行、线面平行、面面平行）（11类核心考点精讲精练）1.5年真题考点分布5年考情考题示例考点分析关联考点2024年新I卷，第17题,15分证明线面平行证明面面垂直由二面角大小求线段长度2023年全国乙卷（理），第19题,12分证明线面平行证明线面垂直证明面面垂直求二面角2022年新Ⅱ卷，第20题,12分证明线面平行面面角的向量求法2022年全国甲卷（文），第19题,12分证明线面平行求组合体的体积2020年全国乙卷（理），第20题,12分证明线面平行求线面角证明面面垂直2.命题规律及备考策略【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题稳定，难度中等，分值为5-15分【备考策略】1.理解、掌握空间中点线面的位置关系及相关的图形和符号语言2.熟练掌握线面平行的判定定理和性质定理及其应用3.熟练掌握面面平行的判定定理和性质定理及其应用【命题预测】本节内容是新高考卷的常考内容，一般在解答题中考查线面平行、面面平行的判定及其性质，需强化巩固复习.知识讲解常见立体几何的定义、性质及其关系棱柱：棱柱的上下底面是全等的平行图形，侧面是平行四边形（即侧棱平行且相等）斜棱柱：侧棱与底面不垂直的棱柱直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱正棱柱：底面是正多边形的直棱柱平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体，即：平行六面体的六个面都是平行四边形四个公理与一个定理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.空间中点线面的位置关系点与直线的位置关系点在直线上点不在直线上点与面的位置关系点在平面上点不在平面上线与线的位置关系平行，相交，，异面线与面的位置关系面与面的位置关系平行，相交，与重合空间中的平行关系线线平行①三角形、四边形的中位线与第三边平行，②平行四边形的性质（对边平行且相等）③内错角、同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行线面平行的判定定理：平面外一直线与平面内一直线平行，则线面平行图形语言符号语言线面平行的性质定理若线面平行，经过直线的平面与该平面相交，则直线与交线平行图形语言符号语言面面平行的判定定理判定定理1：一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，则面面平行图形语言符号语言判定定理2：一个平面内有两条相交直线分别于另一个平面内两条相交直线平行，则面面平行图形语言符号语言面面平行的性质定理性质定理1：两平面互相平行，一个平面内任意一条直线平行于另一个平面性质定理2：两平面互相平行，一平面与两平面相交，则交线互相平行考点一、空间中点线面的位置关系1．（2024·全国·高考真题）设α、β为两个平面，为两条直线，且.下述四个命题：①若，则或

②若，则或③若且，则

④若与,所成的角相等，则其中所有真命题的编号是（

）A．①③ B．②④ C．①②③ D．①③④2．（2024·天津·高考真题）若为两条不同的直线，为一个平面，则下列结论中正确的是（

）A．若，，则 B．若，则C．若，则 D．若，则与相交1．（2024·河北邢台·二模）已知两条不同的直线a、b和平面，下列命题中真命题的个数是（

）（1）若，，则

（2）若，，则（3）若，，则

（4）若，，则A．1 B．2 C．3 D．42．（2024·浙江绍兴·三模）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（

）A．若，，则m⊥βB．若m⊥β，，，则C．若，，，则D．若，，，则3．（2024·辽宁·二模）设，是两个平面，，，是三条直线，则下列命题为真命题的是（

）A．若，，l⊥m，则B．若l//α，，，则C．若，，，则D．若，，则考点二、空间中线面平行的判定（直接型）1．（2024·全国·高考真题）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形，，，，为的中点．(1)证明：平面；(2)求二面角的正弦值．1．（23-24高三上·辽宁朝阳·阶段练习）如图所示，在三棱锥中，，直线两两垂直，点分别为棱的中点.(1)证明：平面；(2)求平面与平面所成角的余弦值.2．（2024·宁夏石嘴山·模拟预测）如图，在正方体中，是的中点．(1)求证：平面；(2)若，求点到平面AEC的距离.考点三、空间中线面平行的判定（中位线型）1．（浙江·高考真题）如图，在四棱锥P—ABCD中，底面是边长为的菱形，且∠BAD＝120°，且PA⊥平面ABCD，PA＝，M，N分别为PB，PD的中点．(1)证明：MN∥平面ABCD；(2)过点A作AQ⊥PC，垂足为点Q，求二面角A—MN—Q的平面角的余弦值．1．（23-24高二上·广西·阶段练习）如图，在正四棱柱中，，是的中点.

(1)求证：平面；(2)若正四棱柱的外接球的表面积是24π，求三棱锥的体积.2．（2024·陕西渭南·三模）如图，在四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，平面ABCD，，，且M，N分别为PD，AC的中点．(1)求证：平面PBC；(2)求三棱锥的体积．3．（2024·河北·二模）如图，在四棱锥中，底面是菱形且，是边长为的等边三角形，，，分别为，，的中点，与交于点．(1)证明：平面；(2)若，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．考点四、空间中线面平行的判定（平行四边形型）1．（2024·北京·高考真题）如图，在四棱锥中，BC//AD，AB=BC=1，,点在上，且，．(1)若为线段中点，求证：平面．(2)若平面，求平面与平面夹角的余弦值．2．（2024·天津·高考真题）已知四棱柱中，底面为梯形，AB//CD，平面，，其中．是的中点，是的中点．(1)求证平面；(2)求平面与平面的夹角余弦值；(3)求点到平面的距离．1．（23-24高二上·广东深圳·期末）如图，在四棱锥中，平面，底面为直角梯形，，，.

(1)设点为棱的中点，证明：平面.(2)求平面与平面的夹角的大小.2．（2024·天津·二模）如图，在直三棱柱中，为的中点，点分别在棱和棱上，且．(1)求证：平面；(2)求平面与平面夹角的余弦值；(3)求点到平面的距离．3．（2024·西藏拉萨·二模）如图，在四棱台中，平面，两底面均为正方形，，点在线段上，且.(1)证明：//平面A1B(2)求点到平面A1B考点五、空间中线面平行的判定（相似型）1．（23-24高一下·广东茂名·期中）如图，在三棱柱中，侧面为矩形．(1)设为中点，点在线段上，且，求证：PM//平面；(2)若二面角的大小为，且，求直线和平面所成角的正弦值．2．（23-24高三上·江苏常州·期中）已知三棱柱，，，为线段上的点，且满足．

(1)求证：平面；(2)求证：；(3)设平面平面，已知二面角的正弦值为，求的值．3．（2023·山东潍坊·三模）如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，为底面圆的内接正三角形，且边长为，点在母线上，且，．

(1)求证：平面；(2)求证：平面BED⊥平面(3)若点为线段上的动点．当直线与平面所成角的正弦值最大时，求此时点到平面的距离．1．（22-23高二上·贵州六盘水·阶段练习）如图，点在以为直径的圆上不同于，，垂直于圆所在平面，为的重心，，在线段上，且.

(1)证明：∥平面；(2)在圆上是否存在点，使得二面角的余弦值为？若存在，指出点的位置；若不存在，说明理由.2．（2022高二下·浙江温州·学业考试）已知三棱锥中，平面，，，为中点，为中点，在上，.二面角的平面角大小为.

(1)求证：平面；(2)求点到平面的距离.考点六、空间中线面平行的判定（向量型）1．（2023·全国·高考真题）如图，在三棱锥中，，，，，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，，点F在AC上，.

(1)证明：平面；(2)证明：平面平面BEF；(3)求二面角的正弦值.1．（2023·全国·模拟预测）如图，已知垂直于梯形所在的平面，矩形的对角线交于点为的中点，.

(1)求证：平面；(2)在线段上是否存在一点，使得与平面SCD所成角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，说明理由.考点七、空间中线面平行的性质1．（2024·广西·模拟预测）在正四棱柱中，，，E为中点，直线与平面交于点F．(1)证明：F为的中点；(2)求直线AC与平面所成角的余弦值．

2．（2024·河北保定·三模）如图，在四棱锥中，四边形为正方形，平面，且.E，F分别是PA，PD的中点，平面与PB，PC分别交于M，N两点.(1)证明：；(2)若平面平面，求平面与平面所成锐二面角的正弦值.1．（2024·广东·三模）如图，边长为4的两个正三角形，所在平面互相垂直，，分别为，的中点，点在棱上，，直线与平面相交于点.(1)证明：；(2)求直线与平面的距离.2．（2024·内蒙古赤峰·二模）如图,在三棱台中,和都为等边三角形,且边长分别为2和4，G为线段AC的中点,H为线段BC上的点,平面.(1)求证:点H为线段BC的中点;(2)求二面角的余弦值.3．（2024·内蒙古赤峰·三模）如图，在三棱台中，和都为等边三角形，且边长分别为2和4，,为线段的中点，为线段上的点，平面.

(1)求证:点H为线段的中点;(2)求三棱锥的体积.考点八、空间中面面平行的判定1．（2024·重庆·二模）如图，直棱柱中，底面为梯形，AB//DC，且分别是棱，的中点.

(1)证明：平面平面；(2)已知，求直线与平面所成角的正弦值.2．（2024·江苏宿迁·三模）如图所示的几何体是由等高的直三棱柱和半个圆柱组合而成，为半个圆柱上底面的直径，，，点，分别为，的中点，点为的中点．(1)证明：平面平面；(2)若是线段上一个动点，当时，求直线与平面所成角的正弦值的最大值．1．（2024·黑龙江·模拟预测）已知正三棱柱中分别为的中点，.(1)证明:平面平面;(2)求与平面所成角的正弦值.2．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，在三棱柱中，侧面为矩形，M，N分别为AC，的中点．(1)求证：平面平面；(2)若二面角的余弦值为，，为正三角形，求直线和平面所成角的正弦值．3．（2024·陕西安康·模拟预测）如图，在圆锥中，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，四边形是底面的内接正方形，分别为的中点，过点的平面为.(1)证明：平面平面；(2)若圆锥的底面圆半径为2，高为，设点在线段上运动，求三棱锥的体积.考点九、空间中面面平行的性质1．（2020·山东·高考真题）已知点，分别是正方形的边，的中点.现将四边形沿折起，使二面角为直二面角，如图所示.（1）若点，分别是，的中点，求证：平面；（2）求直线与平面ABFE所成角的正弦值.2．（2024·福建福州·模拟预测）如图，以正方形的边所在直线为旋转轴，其余三边旋转120°形成的面围成一个几何体．设是上的一点，，分别为线段，的中点．(1)证明：平面；(2)若，求平面与平面夹角的余弦值．1．（23-24高三上·北京东城·期末）如图，在直三棱柱中，分别为的中点.(1)求证：平面；(2)若点是棱上一点，且直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长.2．（2024·河北衡水·模拟预测）如图，在六棱锥中，平面是边长为的正六边形，平面为棱上一点，且.(1)证明：平面PAC；(2)若，求平面与平面夹角的余弦值.3．（2024·山东潍坊·三模）如图，在直三棱柱中，，是棱的中点．(1)求证：平面；(2)求二面角的大小．考点十、补全条件证空间中的平行关系1．（2023·贵州毕节·模拟预测）三棱柱中，四边形是菱形，，平面平面，是等腰三角形，∠ACB=120°，，与交于点M，，的中点分别为N，O，如图所示.(1)在平面内找一点D，使平面，并加以证明；(2)求二面角的正弦值.2．（2024·江西·模拟预测）如图所示，四边形为直角梯形，且，，，，．为等边三角形，平面ABE⊥平面．

(1)线段上是否存在一点，使得平面，若存在，请说明点的位置；若不存在，请说明理由；(2)空间中有一动点，满足，且．求点的轨迹长度．3．（2023·浙江·三模）如图，三棱台中，，，为线段上靠近的三等分点.(1)线段上是否存在点，使得平面，若不存在，请说明理由；若存在，请求出的值；(2)若，，点到平面的距离为，且点在底面的射影落在内部，求直线与平面所成角的正弦值.1．（2023·河南·模拟预测）如图，在矩形中，点在边上，且满足，将沿向上翻折，使点到点的位置，构成四棱锥.(1)若点在线段上，且平面，试确定点的位置；(2)若，求锐二面角的大小.2．（23-24高一下·陕西咸阳·期中）如图，在直四棱柱中，底面为正方形，为棱的中点，．(1)求三棱锥的体积．(2)在上是否存在一点，使得平面平面.如果存在，请说明点位置并证明.如果不存在，请说明理由.3．（2022·辽宁大连·模拟预测）如图，多面体中，平面，(1)在线段上是否存在一点，使得平面AFC？如果存在，请指出点位置并证明；如果不存在，请说明理由；(2)当三棱锥的体积为8时，求平面与平面AFC夹角的余弦值.考点十一、补全图形证空间中的平行关系1．（2024·山东临沂·一模）如图，在直三棱柱中，，点分别在棱上，为的中点.

(1)在平面内，过作一条直线与平面平行，并说明理由；(2)当三棱柱的体积最大时，求平面与平面夹角的余弦值.1．（2024·福建龙岩·一模）如图，在四棱锥中，是边长为2的正三角形，，，设平面平面.(1)作出（不要求写作法）；(2)线段上是否存在一点，使平面？请说明理由；(3)若，求平面与平面的夹角的余弦值.2．（2024·贵州遵义·三模）如图，在多面体中，四边形为正方形，，且，M为中点．(1)过M作平面，使得平面与平面的平行（只需作图，无需证明）(2)试确定（1）中的平面与线段的交点所在的位置；(3)若平面，在线段是否存在点P，使得二面角的平面角为余弦值为，若存在求出的值，若不存在，请说明理由．1．（2024·四川遂宁·模拟预测）如图，在多面体中，四边形为菱形，，，⊥，且平面⊥平面.(1)在DE上确定一点M，使得平面；(2)若，且，求多面体的体积.2．（2024·四川成都·模拟预测）已知球内接正四棱锥的高为，、相交于，球的表面积为，若为中点.

(1)求证：平面；(2)求三棱锥的体积.3．（2024·上海普陀·二模）如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，，、分别是、的中点.(1)求证：平面SAB；(2)若二面角的大小为，求直线与平面所成角的大小.4．（2024·全国·模拟预测）如图，在三棱台中，平面，为等腰直角三角形，，分别为的中点．(1)证明：平面；(2)求点到平面的距离．5．（2024·全国·模拟预测）如图，平行六面体中，底面是边长为2的正方形，平面平面，，分别为的中点．(1)判断与平面的位置关系，并给予证明；(2)求平面与平面所成二面角的正弦值．6．（2024·天津红桥·二模）在如图所示的几何体中，平面，，四边形为平行四边形，，，，．(1)求证：直线PB//平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值；(3)求平面与平面夹角的正弦值．7．（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知等腰梯形，，，取的中点，将等腰梯形沿线段翻折，使得二面角为，连接、得到如图所示的四棱锥A−BCDE，为的中点．(1)证明：平面；(2)求四棱锥A−BCDE的体积．8．（2024·江西景德镇·三模）已知在正三棱柱中，，.(1)已知，分别为棱，的中点，求证：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值.9．（2024·北京海淀·模拟预测）如图，矩形，，平面，AB//CD，，，，平面与棱交于点.再从条件①、条件②、条件③，这三个条件中选择一个作为已知.(1)求证：；(2)求直线与平面夹角的正弦值；(3)求的值.条件①：；条件②：；条件③：.10．（2024高三·全国·专题练习）在正四棱柱中，是底面的中心，底面边长为2，正四棱柱的体积为16(1)求证：直线平行于平面(2)求与平面所成的角的正弦值.1．（2024·福建泉州·模拟预测）如图，棱柱中，侧棱底面，，E，F分别为和的中点.(1)求证：平面；(2)设，在平面上是否存在点P，使？若存在，指出P点的位置：若不存，请说明理由.2．（2024·河北·模拟预测）如图所示，三棱柱中，分别为棱的中点，分别是棱上的点，.(1)求证：直线平面；(2)若三棱柱为正三棱柱，求平面和平面的夹角的大小.3．（2024·陕西铜川·模拟预测）如图，已知四棱锥中，平面平面，，分别为的中点．(1)求证：平面；(2)若侧面为等边三角形，求四面体的体积．4．（2024·江苏扬州·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面是等腰梯形，，点在上，点在上，平面平面．

(1)求证：是的中点；(2)若，求直线与平面所成角的正弦值．5．（2024·贵州六盘水·三模）已知四棱台的上、下底面分别是边长为和的正方形，平面平面，，，，点为的中点，点在棱上，且．(1)证明：平面；(2)求二面角的正弦值．6．（2024·江西宜春·模拟预测）如图1，在五边形中，，，且，将沿折成图2，使得，为的中点．(1)证明：平面；(2)若与平面所成的角为，求二面角的正弦值．7．（2024·山东日照·三模）在五面体中，，.

(1)求证：；(2)若，，，点到平面ABFE的距离为，求二面角的余弦值.8．（2024·湖南长沙·三模）如图，在四棱锥中，平面，，底面为直角梯形，，，，是的中点，点，分别在线段与上，且，.(1)若平面平面，求、的值；(2)若平面，求的最小值.9．（2024·河南·模拟预测）如图，在三棱锥中，，，的中点分别为，点在上，.(1)证明：平面；(2)证明：平面平面；(3)求二面角的大小.10．（2024·贵州·模拟预测）在三棱锥中，平面，是上一点，