高斯算法（专题一）（专项练习）六年级下册数学人教版

专题一高斯算法卡尔·弗里德里希·高斯(1777-1855)是世界著名的数学家。高斯出生在德国的一个农民家庭，由于家境贫寒，他没有受过什么早期教育，但他很小的时候聪颖过人，特别爱动脑筋，有很高的数学天赋。高斯在多村小学读书的时候,那时他还很小，有一天，老师布特纳出了一道难题：1+2+3+···+99+100=?老师出完题目没过一会儿，小高斯就脱口说出了正确答案：5050.并说出自己的巧妙算法：原来他通过细心的观察，发现1~100这一列数从两头往中间逐“对”相加，每一“对”的和都是101，1+100=2+99=3+98=···=49+52=50+51=101.一共有50(100÷2)个数对，它们总和当然是5050.注:在数学上,人们把每相邻两个数的差都相等的一串数称作等差数列。归纳出一个等差数列的求和公式，就是总和=（首项+末项）×项数÷2这就是大名鼎鼎的“高斯算法”公式，你一定要记住啊。1.简单的数列例1100以内所有奇数的和是多少?例21+2+3-4+5+6+7-8+9+···+77+78+79-80=解法1：变加为减，整体推算减数当加数，最后减去减数的2倍解法2:分组累计解法3：加数减数分开统计例3有A、B、C、D、E、F六位多年不见的老朋友在一起聚会,他们每两人之间握一次手，请问，他们一共握多少次手?解析：问题中的人数不多,统计起来不会太复杂,但不管怎样统计都要严格地按一定的顺序去数。如果方法不当，东找一个，西找一个，可能漏数或重数，往往会出差错，我们不妨画图来看看吧(只标出A、B与其后边的人握手的图示)例4小逗逗外婆家有一个古老的“三五牌”时钟，时钟几点钟就敲几下，而且每半点也都敲一下.这个时钟一昼夜共敲响多少下？评注：利用“高斯算法”求和非常巧妙,但必须知道整个等差数列的首项、未项以及项数各是多少，如果缺少了其中的某一个数，必须通过对原数列的观察、分析,抓住它们相邻两个数之间的差(即公差)便可以找到推算末项、首项或项数的方法。例5有一列数:19，22，25，28，···，这列数的前99个数(从19开始算起)的总和是多少？例6从“99开始每隔三个数写出一个数:99,103,107,111.请问词：“2019”是这列数中的第几个数?例7一把钥匙开一把锁，现在有12把锁，但它们各自的钥匙全部放乱了，我们最少试开多少次就确保把它们重新配好对?2.巧数图形我们常常会遇到一些“数线段”“数图形”问题，可别小看这些问题，如果数的方法不当，不仅非常吃力，而且容易“漏掉”或“重复”，“数线段”或“数图形”有一个非常重要的小窍门—有序思考,就是严格按照一定的顺序(即思考路线)去分析，千万不能东边找一个，西边抓一把。例1如图1,在线段AF上随意加了B、C、D、E四个点，图上可以数出多少个不同的线段?例2图2中能数出多少个不同的三角形?如果在AB上随意取一点H,并将它与点C连结，这时图3中又能数出多少个不不同的三角形？例3下图是一个边长7厘米的正方形,若把它分割成面积为1平方厘米的小正方形，则能数出多少个不同的正方形?解析：图中最小的正方形有49(7X7)个；再看由4个小正方形组成的(即边长2厘米)正方形,以两排为一组,看最上面的两排,按数线段的方法,横向可以数出6个,竖着向下可以数出6组规律:数正方形边长的小格子,第一个加数就是格子数的平方，然后依次“降级”，一直加到1的平方.例4下图是一个长8厘米，宽5厘米的长方形，被分割成40个小正方形，图中能数出多少个不同的正方形?解析:图中最小的正方形，是40(8×5)个;再看由4个小正方形组成(即边长2厘米)的正方形,先看最上两排,可以数出7个,再竖着向下可以数出4排,可见像这样的正方形一共有28(7×4)个；再看边长3厘米的正方形，一共有18(6X3)……最后看边长5厘米的正方形，只需横着数，一共有4（4×1)个.规律:抓住长和宽的格子数,第一个加数就是这两个格子数的乘积，然后连续加上长和宽都逐次递减“1”的乘积，一直到宽边(短边)为“1”.例5下图是由23个小正方形组成的图形，在这幅图中可以数出多少个不同的正方形.巧抓中心数随意写出七个连续自然数，如:5,6,7,8,9,10,11，就会发现它们正中间的那个数(称之为“中心数")恰好是这七个数的平均数,这可以推广到等差教列，掌握了等差数列的这个重要性质，可以非常巧妙地解答很多看似很难解的题目.例1小芳从一列连续自然数中每一个选取一个数，她一共选13个数，又知她选的这13个数的总和是2015,那么，被夹在这13个数之中的另几个数的总和是多少？例2若N个不同质数的平均数为15，则N的最大值是例3“巴比伦人巧分银”:10个兄弟分100两银，从老二开始每一个人都比他前一个人少分，而且少分的数量相等.已知第八个兄弟分到6两银，问:第二个兄弟分到几两银?练习1.计算下列各题:(1)1+2+3+…+35+36=(2)80+79+76+…+2+1=(3)2+4+6+…+98+100=（一共有50个数）(4)1+3+5+…+197+199=（一共有100个数）(5)51+52+53+…+89+90=(6)500+499+498+…+102+101=2.有10名小朋友在一起聚会，他们每两人都相互握一次手，他们一共握手多少次？3.班主任方老师要从15名同学中挑选出2人参加学校的讲故事比赛，一共有多少种挑选方法?4.由“1110”开始从小到大每隔八个数写出一个数来:1110,1119，1128,…,2010，2019.这些数一共有多少个?它们的总和是多少?5.从“218”开始从小到大每隔两个数写出一个数，便可得218,221,224,227…(第一个数是218,第二个数是221,第三个数是224……)，第601个数是多少?6.下图中可以数出多少个不同的角?7.用1，2，3，…，9这九个数字卡片各一张，一共可以组成多少个不同的两位数?(注意:数字的位置可以交换，如25和52.但不能把6当作9或把9当作6.)8.长沙至某地的列车中途设立五个停车站，铁道部门为此要设置多少种不同的车票?9.下面各图中各能