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文档简介

湖北鄂州市2023-2024学年高三5月单元检测试题数学试题请考生注意:1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上,请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2.答题前,认真阅读答题纸上的《注意事项》,按规定答题。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.相传黄帝时代,在制定乐律时,用“三分损益”的方法得到不同的竹管,吹出不同的音调.如图的程序是与“三分损益”结合的计算过程,若输入的的值为1,输出的的值为()A. B. C. D.2.已知数列满足,(),则数列的通项公式()A. B. C. D.3.已知函数,为的零点,为图象的对称轴,且在区间上单调,则的最大值是()A. B. C. D.4.已知集合M={x|﹣1<x<2},N={x|x(x+3)≤0},则M∩N=()A.[﹣3,2) B.(﹣3,2) C.(﹣1,0] D.(﹣1,0)5.已知若在定义域上恒成立,则的取值范围是()A. B. C. D.6.展开式中x2的系数为()A.-1280 B.4864 C.-4864 D.12807.已知的内角、、的对边分别为、、,且,,为边上的中线,若,则的面积为()A. B. C. D.8.已知函数,若曲线上始终存在两点,,使得,且的中点在轴上,则正实数的取值范围为()A. B. C. D.9.设函数若关于的方程有四个实数解,其中,则的取值范围是()A. B. C. D.10.如图,平面与平面相交于,,,点,点,则下列叙述错误的是()A.直线与异面B.过只有唯一平面与平行C.过点只能作唯一平面与垂直D.过一定能作一平面与垂直11.已知为虚数单位,实数满足,则()A.1 B. C. D.12.如图,这是某校高三年级甲、乙两班在上学期的5次数学测试的班级平均分的茎叶图,则下列说法不正确的是()A.甲班的数学成绩平均分的平均水平高于乙班B.甲班的数学成绩的平均分比乙班稳定C.甲班的数学成绩平均分的中位数高于乙班D.甲、乙两班这5次数学测试的总平均分是103二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.若,则的展开式中含的项的系数为_______.14.曲线在点(1,1)处的切线与轴及直线=所围成的三角形面积为,则实数=____。15.在正奇数非减数列中,每个正奇数出现次.已知存在整数、、,对所有的整数满足,其中表示不超过的最大整数.则等于______.16.已知关于的不等式对于任意恒成立,则实数的取值范围为_________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)[选修45:不等式选讲]已知都是正实数,且,求证:.18.(12分)在中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,并且.(1)已知_______________,计算的面积;请①,②,③这三个条件中任选两个,将问题(1)补充完整,并作答.注意,只需选择其中的一种情况作答即可,如果选择多种情况作答,以第一种情况的解答计分.(2)求的最大值.19.(12分)如图,在四棱锥中,,,.(1)证明:平面;(2)若,,为线段上一点,且,求直线与平面所成角的正弦值.20.(12分)如图,已知四边形的直角梯形,∥BC,,,,为线段的中点,平面,,为线段上一点(不与端点重合).(1)若,(ⅰ)求证:PC∥平面;(ⅱ)求平面与平面所成的锐二面角的余弦值;(2)否存在实数满足,使得直线与平面所成的角的正弦值为,若存在,确定的值,若不存在,请说明理由.21.(12分)某公司为了鼓励运动提高所有用户的身体素质,特推出一款运动计步数的软件,所有用户都可以通过每天累计的步数瓜分红包,大大增加了用户走步的积极性,所以该软件深受广大用户的欢迎.该公司为了研究“日平均走步数和性别是否有关”,统计了2019年1月份所有用户的日平均步数,规定日平均步数不少于8000的为“运动达人”,步数在8000以下的为“非运动达人”,采用按性别分层抽样的方式抽取了100个用户,得到如下列联表:运动达人非运动达人总计男3560女26总计100(1)(i)将列联表补充完整;(ii)据此列联表判断,能否有的把握认为“日平均走步数和性别是否有关”?(2)将频率视作概率,从该公司的所有人“运动达人”中任意抽取3个用户,求抽取的用户中女用户人数的分布列及期望.附:22.(10分)这次新冠肺炎疫情,是新中国成立以来在我国发生的传播速度最快、感染范围最广、防控难度最大的一次重大突发公共卫生事件.中华民族历史上经历过很多磨难,但从来没有被压垮过,而是愈挫愈勇,不断在磨难中成长,从磨难中奋起.在这次疫情中,全国人民展现出既有责任担当之勇、又有科学防控之智.某校高三学生也展开了对这次疫情的研究,一名同学在数据统计中发现,从2020年2月1日至2月7日期间,日期和全国累计报告确诊病例数量(单位:万人)之间的关系如下表:日期1234567全国累计报告确诊病例数量(万人)1.41.72.02.42.83.13.5(1)根据表中的数据,运用相关系数进行分析说明,是否可以用线性回归模型拟合与的关系?(2)求出关于的线性回归方程(系数精确到0.01).并预测2月10日全国累计报告确诊病例数.参考数据:,,,.参考公式:相关系数回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:,.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】

根据循环语句,输入,执行循环语句即可计算出结果.【详解】输入,由题意执行循环结构程序框图,可得:第次循环:,,不满足判断条件;第次循环:,,不满足判断条件;第次循环:,,满足判断条件;输出结果.故选:【点睛】本题考查了循环语句的程序框图,求输出的结果,解答此类题目时结合循环的条件进行计算,需要注意跳出循环的判定语句,本题较为基础.2、A【解析】

利用数列的递推关系式,通过累加法求解即可.【详解】数列满足:,,可得以上各式相加可得:,故选:.【点睛】本题考查数列的递推关系式的应用,数列累加法以及通项公式的求法,考查计算能力.3、B【解析】

由题意可得,且,故有①,再根据,求得②,由①②可得的最大值,检验的这个值满足条件.【详解】解:函数,,为的零点,为图象的对称轴,,且,、,,即为奇数①.在,单调,,②.由①②可得的最大值为1.当时,由为图象的对称轴,可得,,故有,,满足为的零点,同时也满足满足在上单调,故为的最大值,故选:B.【点睛】本题主要考查正弦函数的图象的特征,正弦函数的周期性以及它的图象的对称性,属于中档题.4、C【解析】

先化简N={x|x(x+3)≤0}={x|-3≤x≤0},再根据M={x|﹣1<x<2},求两集合的交集.【详解】因为N={x|x(x+3)≤0}={x|-3≤x≤0},又因为M={x|﹣1<x<2},所以M∩N={x|﹣1<x≤0}.故选:C【点睛】本题主要考查集合的基本运算,还考查了运算求解的能力,属于基础题.5、C【解析】

先解不等式,可得出,求出函数的值域,由题意可知,不等式在定义域上恒成立,可得出关于的不等式,即可解得实数的取值范围.【详解】,先解不等式.①当时,由,得,解得,此时;②当时,由,得.所以,不等式的解集为.下面来求函数的值域.当时,,则,此时;当时,,此时.综上所述,函数的值域为,由于在定义域上恒成立,则不等式在定义域上恒成立,所以,,解得.因此,实数的取值范围是.故选:C.【点睛】本题考查利用函数不等式恒成立求参数,同时也考查了分段函数基本性质的应用,考查分类讨论思想的应用,属于中等题.6、A【解析】

根据二项式展开式的公式得到具体为:化简求值即可.【详解】根据二项式的展开式得到可以第一个括号里出项,第二个括号里出项,或者第一个括号里出,第二个括号里出,具体为:化简得到-1280x2故得到答案为:A.【点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略:(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项,再由特定项的特点求出值即可.(2)已知展开式的某项,求特定项的系数.可由某项得出参数项,再由通项写出第项,由特定项得出值,最后求出其参数.7、B【解析】

延长到,使,连接,则四边形为平行四边形,根据余弦定理可求出,进而可得的面积.【详解】解:延长到,使,连接,则四边形为平行四边形,则,,,在中,则,得,.故选:B.【点睛】本题考查余弦定理的应用,考查三角形面积公式的应用,其中根据中线作出平行四边形是关键,是中档题.8、D【解析】

根据中点在轴上,设出两点的坐标,,().对分成三类,利用则,列方程,化简后求得,利用导数求得的值域,由此求得的取值范围.【详解】根据条件可知,两点的横坐标互为相反数,不妨设,,(),若,则,由,所以,即,方程无解;若,显然不满足;若,则,由,即,即,因为,所以函数在上递减,在上递增,故在处取得极小值也即是最小值,所以函数在上的值域为,故.故选D.【点睛】本小题主要考查平面平面向量数量积为零的坐标表示,考查化归与转化的数学思想方法,考查利用导数研究函数的最小值,考查分析与运算能力,属于较难的题目.9、B【解析】

画出函数图像,根据图像知:,,,计算得到答案.【详解】,画出函数图像,如图所示:根据图像知:,,故,且.故.故选:.【点睛】本题考查了函数零点问题,意在考查学生的计算能力和应用能力,画出图像是解题的关键.10、D【解析】

根据异面直线的判定定理、定义和性质,结合线面垂直的关系,对选项中的命题判断.【详解】A.假设直线与共面,则A,D,B,C共面,则AB,CD共面,与,矛盾,故正确.B.根据异面直线的性质知,过只有唯一平面与平行,故正确.C.根据过一点有且只有一个平面与已知直线垂直知,故正确.D.根据异面直线的性质知,过不一定能作一平面与垂直,故错误.故选:D【点睛】本题主要考查异面直线的定义,性质以及线面关系,还考查了理解辨析的能力,属于中档题.11、D【解析】,则故选D.12、D【解析】

计算两班的平均值,中位数,方差得到正确,两班人数不知道,所以两班的总平均分无法计算,错误,得到答案.【详解】由题意可得甲班的平均分是104,中位数是103,方差是26.4;乙班的平均分是102,中位数是101,方差是37.6,则A,B,C正确.因为甲、乙两班的人数不知道,所以两班的总平均分无法计算,故D错误.故选:.【点睛】本题考查了茎叶图,平均值,中位数,方差,意在考查学生的计算能力和应用能力.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】

首先根据定积分的应用求出的值,进一步利用二项式的展开式的应用求出结果.【详解】,根据二项式展开式通项:,令,解得,所以含的项的系数.故答案为:【点睛】本题考查定积分,二项式的展开式的应用,主要考查学生的运算求解能力,属于基础题.14、或1【解析】

利用导数的几何意义,可得切线的斜率,以及切线方程,求得切线与轴和的交点,由三角形的面积公式可得所求值.【详解】的导数为,可得切线的斜率为3,切线方程为,可得,可得切线与轴的交点为,,切线与的交点为,可得,解得或。【点睛】本题主要考查利用导数求切线方程,以及直线方程的运用,三角形的面积求法。15、2【解析】

将已知数列分组为(1),,共个组.设在第组,,则有,即.注意到,解得.所以,.因此,.故.16、【解析】

先将不等式对于任意恒成立,转化为任意恒成立,设,求出在内的最小值,即可求出的取值范围.【详解】解:由题可知,不等式对于任意恒成立,即,又因为,,对任意恒成立,设,其中,由不等式,可得:,则,当时等号成立,又因为在内有解,,则,即:,所以实数的取值范围:.故答案为:.【点睛】本题考查不等式恒成立问题,利用分离参数法和构造函数,通过求新函数的最值求出参数范围,考查转化思想和计算能力.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、见解析【解析】试题分析:把不等式的左边写成形式,利用柯西不等式即证.试题解析:证明:∵,又,∴考点:柯西不等式18、(1)见解析(2)1【解析】

(1)选②,③.可得,结合,求得.即可;若选①,②.由可得由,求得.即可;若选①,③,可得,又,可得,即可;(2)化简,根据角的范围求最值即可.【详解】(1)若选②,③.,,,,又,.的面积.若选①,②.由可得,,,又,.的面积.若选①,③,,又,,可得,的面积.(2),当时,有最大值1.【点睛】本题考查了正余弦定理,三角三角恒等变形,考查了计算能力,属于中档题.19、(1)证明见解析(2)【解析】

(1)利用线段长度得到与间的垂直关系,再根据线面垂直的判定定理完成证明;(2)以、、为轴、轴、轴建立空间直角坐标系,利用直线的方向向量与平面的法向量夹角的余弦值的绝对值等于线面角的正弦值,计算出结果.【详解】(1)∵,,∴,∴,∵,平面,∴平面(2)由(1)知,,又为坐标原点,分别以、、为轴、轴、轴建立空间直角坐标系,则,,,,,,,∵,∴,设是平面的一个法向量则,即,取得∴∴直线与平面所成的正弦值为【点睛】本题考查线面垂直的证明以及用向量法求解线面角的正弦,难度一般.用向量方法求解线面角的正弦值时,注意直线方向向量与平面法向量夹角的余弦值的绝对值等于线面角的正弦值.20、(1)(ⅰ)证明见解析(ⅱ)(2)存在,【解析】

(1)(i)连接交于点,连接,,依题意易证四边形为平行四边形,从而有,,由此能证明PC∥平面(ii)推导出,以为原点建立空间直角坐标系,利用向量法求解;(2)设,求出平面的法向量,利用向量法求解.【详解】(1)(ⅰ)证明:连接交于点,连接,,因为为线段的中点,所以,因为,所以因为∥所以四边形为平行四边形.所以又因为,所以又因为平面,平面,所以平面.(ⅱ)解:如图,在平行四边形中因为,,所以以为原点建立空间直角坐标系则,,,所以,,,平面的法向量为设平面的法向量为,则,即,取,得,设平面和平面所成的锐二面角为,则所以锐二面角的余弦值为(2)设所以,,设平面的法向量为,则,取,得,因为直线与平面所成的角的正弦值为,所以解得所以存在满足,使得直线与平面所成的角的正弦值为.【点睛】此题二查线面平行的证明,考查锐二面角的余弦值的求法,考查满足线面角的正弦值的点是否存在的判断与求法,考查空间中线线,

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