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文档简介
定积分的换元积分法和分部积分法定积分的换元积分法定积分的换元积分法
例题1解法一：
先利用不定积分的换元积分法求出原函数，再用微积分基本公式来计算定积分。设
，则
，
，于是：求因此
定积分的换元积分法
解法二：
设
，则
，
。当
从0连续地增加到4时，
相应地从0增加到2；即当
时，
；
时，
，于是：例题2求定积分的换元积分法
两种方法得到同样的结果，并且第二种比第一种简便。因为积分变量换成
的同时，积分上下限也随着一起变了，在完成关于变量
的积分后，直接用
的上下限代入计算定积分的值，因而省掉了第一种方法中的变量回代这一步。将方法二推广即可得到定积分的换元积分法。定积分的换元积分法
设函数
在
上连续，作变换
，它满足以下条件：定理（1）
在区间
上具有连续的导数
；（2）
，
；（3）当
时，
；
则:习题讲解
解：设
，即
，
，当
时，
，当
时，
，于是：求例题3习题讲解
例题4解：令
，则
，当
时，
；当
时，
．计算故习题讲解
例题5设函数
在对称区间
上连续，试证明：（1）若
是奇函数，则（2）若
是偶函数，则解法一：由定积分的几何意义，此结论是显然的，如图所示习题讲解
解法二：证明：因为
令
，则当
时，
；当
时，
，（1）如果
是奇函数，
，则
因此
。
（2）若
是偶函数
，
，则
．
定积分的换元积分法
例5的结论，常可以简化奇函数、偶函数在对称区间的定积分
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