专项17-勾股定理与最短路径问题-专题培优

勾股定理与最短路径问题-专题培优一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（禅城区期末）如图，圆柱的底面周长是24，高是5，一只在A点的蚂蚁想吃到B点的食物，需要爬行的最短路径是（）A．9 B．13 C．14 D．252．（太原期末）如图，透明的圆柱形玻璃容器（容器厚度忽略不计）的高为16cm，在容器内壁离容器底部4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，位于离容器上沿4cm的点A处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为20cm，则该圆柱底面周长为（）A．12cm B．14cm C．20cm D．24cm3．（东坡区期末）如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部2cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿2cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（）A．13cm B．261cm C．23cm D．4．（江岸区校级月考）如图所示，一个圆柱体高4cm，底面直径6πcm．一只蚂蚁在圆柱侧面爬行，从点A爬到点BA．5cm B．10cm C．12cm D．（6π+5．（金牛区校级月考）如图所示的圆柱体中底面圆的半径是4π，高为3，若一只小虫从A点出发沿着圆柱体的侧面爬行到CA．5 B．5 C．73 D．46．（成都期中）有一圆柱体如图，高4cm，底面周长6cm，A处有一蚂蚁，若蚂蚁欲爬行到C处，求蚂蚁爬行的最短距离（）cm．A．3 B．213 C．8 D．57．（太原期中）今年9月22日是第三个中国农民丰收节，小彬用3D打印机制作了一个底面周长为20cm，高为10cm的圆柱粮仓模型，如图BC是底面直径，AB是高．现要在此模型的侧面贴一圈彩色装饰带，使装饰带经过A，C两点（接头不计），则装饰带的长度最短为（）A．20πcm B．40πcm C．102cm D．202cm8．（峄城区期中）已如长方体的长2cm、宽为1cm、高为4cm，一只蚂蚁如果沿长方体的表面从A点爬到B′点，那么沿哪条路最近，最短的路程是（）A．29cm B．5cm C．37cm D．4.5cm9．（市南区校级期中）某校“光学节”的纪念品是一个底面为等边三角形的三棱镜（如图）．在三棱镜的侧面上，从顶点A到顶点A′镶有一圈金属丝，已知此三棱镜的高为9cm，底面边长为4cm，则这圈金属丝的长度至少为（）A．8cm B．10cm C．12cm D．15cm10．（沙坪坝区校级期中）小南同学报名参加了南开中学的攀岩选修课，攀岩墙近似一个长方体的两个侧面，如图所示，他根据学过的数学知识准确地判断出：从点A攀爬到点B的最短路径为（）米．A．16 B．82 C．146 D．178二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（长春期末）如图，小冰想用一条彩带缠绕圆柱4圈，正好从A点绕到正上方的B点，已知圆柱底面周长是3m，高为5m，则所需彩带最短是m．12．（重庆期末）如图，三级台阶，每一级的长、宽、高分别为8dm、3dm、2dm．A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为dm．13．（武侯区校级月考）如图，一个长方体盒子的长、宽、高分别为5cm、4cm、3cm，有一只甲虫从顶点A沿盒的表面爬到顶点B处，那么它所爬行的最短路线的长是cm．14．（南海区期中）如图所示，一圆柱高AB为2cm，底面直径BC为4cm，一只蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到点C，则蚂蚁爬行的最短路程是cm（π取3）．15．（中牟县期中）如图所示是一个长方体纸盒，纸盒的长为12cm，宽为9cm，高为5cm，一只蚂蚁想从盒底的点A沿盒的表面爬到盒顶的点G，蚂蚁爬行的最短路程是cm．16．（青羊区校级期中）如图，圆柱形容器高为16cm，底面周长为24cm，在杯内壁离杯底的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯子的上沿蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁A处到达B处的最短距离为．17．（莱州市期中）如图，长方体盒子的长、宽、高分别是9cm，9cm，24cm，一只蚂蚁想从盒底的A点爬到盒顶的B点，它至少要爬行cm．18．（罗湖区校级期中）如图，一个圆柱形工艺品高为18厘米，底面周长12厘米．现在需要从下底的A处绕侧面两周，到上底B（A的正上方）处镶嵌一条金丝，则金丝至少厘米．三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（淅川县期末）如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中AB＝18cm，BC＝12cm，BF＝10cm，点M在棱AB上，且AM＝6cm，点N是FG的中点，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程是多少？20．（南关区校级期末）如图1，一只蚂蚁要从边长为1cm正方体的一个顶点A沿表面爬行到顶点B，怎样爬行路线最短？如果要爬行到顶点C呢？请完成下列问题：（1）图2是将立方体表面展开的一部分，请将正方体的表面展开图补充完整；（画一种即可）（2）在图2中画出点A到点B的最短爬行路线，最短路径为：；（3）在图2中标出点C，并画出A、C两点的最短爬行路线（画一种即可），最短路径为．21．（长春期末）如图所示，有一个圆柱，底面圆的直径AB=16π，高BC＝12cm，在BC的中点P处有一块蜂蜜，聪明的蚂蚁总能找到距离食物的最短路径，求蚂蚁从A点爬到22．（郫都区期中）如图，长方体的长为20cm，宽为10cm，高为15cm，点B与点C之间的距离为5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B去吃一滴蜜糖．（1）求出点A到点B的距离；（2）求蚂蚁从点A爬到点B的最短路程是多少？23．（碑林区校级月考）如图，透明的圆柱形玻璃容器（容器厚度忽略不计）的高为16cm，在容器内壁离容器底部4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，位于离容器上底面距离为4cm的点A处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为20cm，则该圆柱底面周长为多少？24．（唐河县期末）如图a，圆柱的底面半径为4cm，圆柱高AB为2cm，BC是底面直径，求一只蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到点C的最短路线，小明设计了两条路线：路线1：高线AB+底面直径BC，如图a所示，设长度为l1．路线2：侧面展开图中的线段AC，如图b所示，设长度为l2．请按照小明的思路补充下面解题过程：（1）解：l1＝AB+BC＝2+8＝10l2=A∵l12﹣l22＝（2）小明对上述结论有些疑惑，于是他把条件改成：“圆柱底面半径为2cm，高AB为4cm”继续按前面的路线进行计算．（结果保留π）①此时，路线1：．路线2：．②所以选择哪条路线较短？试说明理由．

勾股定理与最短路径问题-专题培优（解析版）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（禅城区期末）如图，圆柱的底面周长是24，高是5，一只在A点的蚂蚁想吃到B点的食物，需要爬行的最短路径是（）A．9 B．13 C．14 D．25【分析】要想求得最短路程，首先要把A和B展开到一个平面内．根据两点之间，线段最短求出蚂蚁爬行的最短路程．【解析】展开圆柱的半个侧面是矩形，矩形的长是圆柱的底面周长的一半，即为12，矩形的宽是圆柱的高5．根据两点之间线段最短，知最短路程是矩形的对角线的长，即52故选：B．2．（太原期末）如图，透明的圆柱形玻璃容器（容器厚度忽略不计）的高为16cm，在容器内壁离容器底部4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，位于离容器上沿4cm的点A处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为20cm，则该圆柱底面周长为（）A．12cm B．14cm C．20cm D．24cm【分析】将容器侧面展开，建立A关于EG的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求．【解析】如图：将圆柱展开，EG为上底面圆周长的一半，作A关于E的对称点A'，连接A'B交EG于F，则蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为AF+BF的长，即AF+BF＝A'B＝20cm，延长BG，过A'作A'D⊥BG于D，∵AE＝A'E＝DG＝4cm，∴BD＝16cm，Rt△A'DB中，由勾股定理得：A'D=202∴则该圆柱底面周长为24cm．故选：D．3．（东坡区期末）如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部2cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿2cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（）A．13cm B．261cm C．23cm D．【分析】将容器侧面展开，建立A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求．【解析】如图：∵高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部2cm的点B处有一饭粒，此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿2cm与饭粒相对的点A处，∴A′D＝5cm，BD＝12﹣2+AE＝12cm，∴将容器侧面展开，作A关于EF的对称点A′，连接A′B，则A′B即为最短距离，A′B=A'D2故选：A．4．（江岸区校级月考）如图所示，一个圆柱体高4cm，底面直径6πcm．一只蚂蚁在圆柱侧面爬行，从点A爬到点BA．5cm B．10cm C．12cm D．（6π+【分析】此题最直接的解法就是将圆柱侧面进行展开，然后利用两点之间线段最短解答．【解析】在侧面展开图中，AC的长等于底面圆周长的一半，即12×π×6∵BC＝4cm，AC＝3cm，根据勾股定理得：AB=32+∴要爬行的最短路程是5m．故选：A．5．（金牛区校级月考）如图所示的圆柱体中底面圆的半径是4π，高为3，若一只小虫从A点出发沿着圆柱体的侧面爬行到CA．5 B．5 C．73 D．4【分析】先将圆柱体展开，再根据两点之间线段最短，由勾股定理即可求出结果．【解析】圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，C是边的中点，矩形的宽即高等于圆柱的母线长．∵AB＝π×4π=∴AC=A故选：A．6．（成都期中）有一圆柱体如图，高4cm，底面周长6cm，A处有一蚂蚁，若蚂蚁欲爬行到C处，求蚂蚁爬行的最短距离（）cm．A．3 B．213 C．8 D．5【分析】圆柱展开就是一个长方形，根据两点之间线段最短可求出结果．【解析】AC的长就是蚂蚁爬行的最短距离．C，D分别是BE，AF的中点．∴AF＝6cm．AD＝3cm．∴AC=AD2故选：D．7．（太原期中）今年9月22日是第三个中国农民丰收节，小彬用3D打印机制作了一个底面周长为20cm，高为10cm的圆柱粮仓模型，如图BC是底面直径，AB是高．现要在此模型的侧面贴一圈彩色装饰带，使装饰带经过A，C两点（接头不计），则装饰带的长度最短为（）A．20πcm B．40πcm C．102cm D．202cm【分析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题．【解析】如图，圆柱的侧面展开图为长方形，AC＝A'C，且点C为BB'的中点，∵AB＝10，BC=1∴装饰带的长度＝2AC＝2AB2+BC2故选：D．8．（峄城区期中）已如长方体的长2cm、宽为1cm、高为4cm，一只蚂蚁如果沿长方体的表面从A点爬到B′点，那么沿哪条路最近，最短的路程是（）A．29cm B．5cm C．37cm D．4.5cm【分析】要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将正方体展开，然后利用两点之间线段最短解答．【解析】根据题意，如图所示，最短路径有以下三种情况：（1）沿AA′，A′C′，C′B′，B′B剪开，得图1：AB′2＝AB2+BB′2＝（2+1）2+42＝25；（2）沿AC，CC′，C′B′，B′D′，D′A′，A′A剪开，得图2：AB′2＝AC2+B′C2＝22+（4+1）2＝4+25＝29；（3）沿AD，DD′，B′D′，C′B′，C′A′，AA′剪开，得图3：AB′2＝AD2+B′D2＝12+（4+2）2＝1+36＝37；综上所述，最短路径应为（1）所示，所以AB′2＝25，即AB′＝5cm，故选：B．9．（市南区校级期中）某校“光学节”的纪念品是一个底面为等边三角形的三棱镜（如图）．在三棱镜的侧面上，从顶点A到顶点A′镶有一圈金属丝，已知此三棱镜的高为9cm，底面边长为4cm，则这圈金属丝的长度至少为（）A．8cm B．10cm C．12cm D．15cm【分析】画出三棱柱的侧面展开图，利用勾股定理求解即可．【解析】将三棱柱沿AA′展开，其展开图如图，则AA′=92+1故选：D．10．（沙坪坝区校级期中）小南同学报名参加了南开中学的攀岩选修课，攀岩墙近似一个长方体的两个侧面，如图所示，他根据学过的数学知识准确地判断出：从点A攀爬到点B的最短路径为（）米．A．16 B．82 C．146 D．178【分析】将长方体展开，根据两点之间线段最短，构造出直角三角形，进而根据勾股定理求出AB的长．【解析】如图：AC＝5+3＝8，BC＝8，在Rt△ABC中，AB=AC2即从点A攀爬到点B的最短路径为82米．故选：B．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（长春期末）如图，小冰想用一条彩带缠绕圆柱4圈，正好从A点绕到正上方的B点，已知圆柱底面周长是3m，高为5m，则所需彩带最短是13m．【分析】化“曲”为“平”，在平面内，利用两点之间线段最短，根据勾股定理求解即可．【解析】如图，将这个圆柱体侧面展开得，由勾股定理得，AB=5故答案为：13．12．（重庆期末）如图，三级台阶，每一级的长、宽、高分别为8dm、3dm、2dm．A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为17dm．【分析】先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．【解析】三级台阶平面展开图为长方形，长为8dm，宽为（2+3）×3dm，则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．可设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为xdm，由勾股定理得：x2＝82+[（2+3）×3]2＝172，解得x＝17．故答案为：17．13．（武侯区校级月考）如图，一个长方体盒子的长、宽、高分别为5cm、4cm、3cm，有一只甲虫从顶点A沿盒的表面爬到顶点B处，那么它所爬行的最短路线的长是74cm．【分析】把此长方体的一面展开，在平面内，两点之间线段最短．利用勾股定理求点A和B点间的线段长，即可得到蚂蚁爬行的最短距离．在直角三角形中，一条直角边长等于长方体的高，另一条直角边长等于长方体的长宽之和，利用勾股定理可求得．【解析】因为平面展开图不唯一，故分情况分别计算，进行大、小比较，再从各个路线中确定最短的路线．（1）展开前面、右面，由勾股定理得AB2＝（5+4）2+32＝90；（2）展开前面、上面，由勾股定理得AB2＝（3+4）2+52＝74；（3）展开左面、上面，由勾股定理得AB2＝（3+5）2+42＝80；∵74＜80＜90，所以最短路径长为74cm．故答案为：74．14．（南海区期中）如图所示，一圆柱高AB为2cm，底面直径BC为4cm，一只蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到点C，则蚂蚁爬行的最短路程是6cm（π取3）．【分析】首先画出示意图，连接AC，根据圆的周长公式算出底面圆的周长，BC=12×底面圆的周长，再在Rt△ACB中利用勾股定理算出AC的长即可，再计算AB【解析】将圆柱体的侧面展开并连接AC．∵圆柱的直径为4cm，∴BC=12×4•π在Rt△ACB中，AC2＝AB2+CB2＝22+62＝40，∴AC＝210（cm）．∵高AB为2cm，底面直径BC为4cm，∴走高AB再走直径BC，其距离为6cm，∵6＜210，∴蚂蚁爬行的最短的路线长是6cm．故答案为：6．15．（中牟县期中）如图所示是一个长方体纸盒，纸盒的长为12cm，宽为9cm，高为5cm，一只蚂蚁想从盒底的点A沿盒的表面爬到盒顶的点G，蚂蚁爬行的最短路程是285cm．【分析】分为三种情况展开，根据勾股定理求出线段AB的长度，再进行比较即可．【解析】①如图1，展开后连接AG，则AG就是在表面上A到G的最短距离，∵∠ACG＝90°，AC＝12+9＝21，CG＝5，在Rt△ACG中，由勾股定理得：AG=212②如图2，展开后连接AG，则AG就是在表面上A到G的最短距离，∵∠ABG＝90°，AB＝12，BG＝9+5＝14，在Rt△ACBG中，由勾股定理得：AG=122+14③如图3，展开后连接AG，则AG就是在表面上A到G的最短距离，∵∠AFG＝90°，AF＝5+12＝17，FG＝9，在Rt△AFG中，由勾股定理得：AG=172∴蚂蚁爬行的最短路程是285cm，故答案为：285．16．（青羊区校级期中）如图，圆柱形容器高为16cm，底面周长为24cm，在杯内壁离杯底的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯子的上沿蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁A处到达B处的最短距离为20cm．【分析】先将圆柱的侧面展开，再根据勾股定理求解即可．【解析】如图所示，∵圆柱形玻容器，高16cm，底面周长为24cm，∴BD＝12cm，∴AB=AD2∴蚂蚁A处到达B处的最短距离为20cm，故答案为：20cm．17．（莱州市期中）如图，长方体盒子的长、宽、高分别是9cm，9cm，24cm，一只蚂蚁想从盒底的A点爬到盒顶的B点，它至少要爬行30cm．【分析】将长方形的盒子按不同方式展开，得到不同的矩形，求出不同矩形的对角线，最短者即为正确答案．【解析】如图1所示，AB=(9+9)2如图2所示：AB=(9+24)2∵30＜1090∴蚂蚁爬行的最短路程是30cm．故答案为：30．18．（罗湖区校级期中）如图，一个圆柱形工艺品高为18厘米，底面周长12厘米．现在需要从下底的A处绕侧面两周，到上底B（A的正上方）处镶嵌一条金丝，则金丝至少30厘米．【分析】将圆柱的侧面展开，根据题意金丝从下底的A处绕侧面两周，到上底B的最短长度是：两直角边分别为12厘米，9厘米的斜边长的2倍．【解析】如图，设AB的中点为M，侧面展开图是ABCD，CD的中点是N，则金丝的最小值为侧面展开图中的AN+MC，∵AN＝MC=1∴金丝至少15×2＝30厘米．故答案为：30．三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（淅川县期末）如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中AB＝18cm，BC＝12cm，BF＝10cm，点M在棱AB上，且AM＝6cm，点N是FG的中点，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程是多少？【分析】利用平面展开图有两种情况，画出图形利用勾股定理求出MN的长即可．【解析】如图1，∵AB＝18cm，BC＝GF＝12cm，BF＝10cm，∴BM＝18﹣6＝12，BN＝10+6＝16，∴MN=122如图2，∵AB＝18cm，BC＝GF＝12cm，BF＝10cm，∴PM＝18﹣6+6＝18，NP＝10，∴MN=182+10∵20＜2106，∴蚂蚁沿长方体表面爬到米粒处的最短距离为20cm．20．（南关区校级期末）如图1，一只蚂蚁要从边长为1cm正方体的一个顶点A沿表面爬行到顶点B，怎样爬行路线最短？如果要爬行到顶点C呢？请完成下列问题：（1）图2是将立方体表面展开的一部分，请将正方体的表面展开图补充完整；（画一种即可）（2）在图2中画出点A到点B的最短爬行路线，最短路径为：线段AB；（3）在图2中标出点C，并画出A、C两点的最短爬行路线（画一种即可），最短路径为线段AC．【分析】（1）根据题意画出正方体的展开图即可；（2）根据线段的性质画出图形即可；（3）根据线段的性质画出图形即可．【解析】（1）如图所示，（2）如图所示，连接AB，线段AB的即为点A到点B的最短爬行路线，故答案为：线段AB；（3）如图所示，线段AC即为A、C两点的最短爬行路线，故答案为：线段AC．21．（长春期末）如图所示，有一个圆柱，底面圆的直径AB=16π，高BC＝12cm，在BC的中点P处有一块蜂蜜，聪明的蚂蚁总能找到距离食物的最短路径，求蚂蚁从A点爬到【分析】化“曲”为“平”，在平面内，得到两点的位置，再根据两点之间线段最短和勾股定理求解即可．【解析】将圆柱体的侧面展开，如图所示：AB=12底面周长=12×π×16π=8（所以AP=82+故蚂蚁从A点爬到P点的最短距离为10cm．22．（郫都区期中）如图，长方体的长为20cm，宽为10cm，高为15cm，点B与点C之间的距离为5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B去吃一滴蜜糖．（1）求出点A到点B的距离；（2）求蚂蚁从点A爬到点B的最短路程是多少？【分析】（1）分三种情况讨论：把左侧面展开到水平面上，连结AB，如图1；把右侧面展开到正面上，连结AB，如图2；把向上的面展开到正面上，连结AB，如图3，然后利用勾股定理分别计算各情况下的AB即可；（2）根据（1）的结果进行大小比较即可得到结论．【解析】（1）将长方体沿CF、FG、GH剪开，向右翻折，使面FCHG和面ADCH在同一个平面内，连接AB，如图1，由题意可得：BD＝BC+CD＝5+10＝15cm，AD＝CH＝15cm，在Rt△ABD中，根据勾股定理得：AB=BD2+A将长方体沿DE、EF、FC剪开，向上翻折，使面DEFC和面ADCH在同一个平面内，连接AB，如图2，由题意得：BH＝BC+CH＝5+15＝20cm，AH＝10cm，在Rt△ABH中，根据勾股定理得：AB=BH2+A则需要爬行的最短距离是152cm．连接AB，如图3，由题意可得：BB′＝B′E+BE＝15+10＝25cm，AB′＝BC＝