专项17-勾股定理的逆定理-专题训练

勾股定理的逆定理-专项训练一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（昌图县期末）下列几组数中，不能作为直角三角形的三边长的是（）A．4，9，11 B．6，8，10 C．7，24，25 D．8，15，172．（白银期末）下面的每组数分别是一个三角形的三边长，其中能构成直角三角形的是（）A．3，4，5 B．2，2，5 C．32，42，52 D．3，4，53．（上海期末）在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对应边分别是a、b、c，下列条件中不能说明△ABC是直角三角形的是（）A．b2＝a2﹣c2 B．∠C＝∠A+∠B C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D．a：b：c＝5：12：134．（法库县期末）在下列长度的各组线段中，能组成直角三角形的是（）A．5，6，8 B．5，4，9 C．5，12，13 D．5，11，125．（上海期末）在△ABC中，AC＝6，BC＝8，AB＝10，AD平分∠BAC交BC于点D，那么点D到AB的距离是（）A．4.8 B．4 C．3 D．76．（太原期末）△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（）A．∠A+∠B＝∠C B．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 C．a2＝c2﹣b2 D．a：b：c＝3：4：57．（禅城区期末）以下列各组线段为边作三角形，不能构成直角三角形的是（）A．3，4，5 B．2，3，4 C．5，12，13 D．1，2，38．（滦南县期末）如图，要使宽为2米的矩形平板车ABCD通过宽为22米的等宽的直角通道，则平板车的长最多为（）A．22 B．23 C．4 D．429．（巴中）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个“折竹抵地”问题：“今有竹高丈，末折抵地，问折者高几何？“意思是：一根竹子，原来高一丈（一丈为十尺），虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子根部三尺远，问：原处还有多高的竹子？（）A．4尺 B．4.55尺 C．5尺 D．5.55尺10．（大冶市期末）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，下列结论中不正确的是（）A．如果∠A﹣∠B＝∠C，那么△ABC是直角三角形 B．如果a2＝b2﹣c2，那么△ABC是直角三角形且∠C＝90° C．如果∠A：∠B：∠C＝1：3：2，那么△ABC是直角三角形 D．如果a2：b2：c2＝9：16：25，那么△ABC是直角三角形二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（南关区校级期末）如图，每个小正方形的边长为1，则∠ABC的度数为°．12．（朝阳区期末）如图，在5×3的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，则∠ABC+∠ACB＝．13．（和平区校级期末）如图，有一四边形空地ABCD，AB⊥AD，AB＝3，AD＝4，BC＝12，CD＝13，则四边形ABCD的面积为．14．（盐池县期末）如图，要为一段高5米，长13米的楼梯铺上红地毯，至少需要红地毯米．15．（荔湾区月考）若一个三角形的三边长为1、2、x，则使此三角形是直角三角形的x的值是．16．（滨城区期末）若△ABC的三边长分别为5，26，1，比较三边长的大小，并用“＜”连接起来，，最长边上的中线长为．17．（市南区期末）如图，有两条公路OM、ON相交成30°角，沿公路OM方向离O点160m处有一所医院A，当卡车P沿道路ON方向行驶时，在以P为圆心，100米为半径的圆形区域内都会受到噪声的影响．若已知卡车的速度为250米/分钟，则卡车P沿道路ON方向行驶一次时，给医院A带来噪声影响的持续时间是分钟．18．（五华区期末）如图是油路管道的一部分，延伸外围的支路恰好构成一个直角三角形，两直角边AC、BC的长分别为6m和8m，斜边AB的长为10m．按照输油中心O到三条支路的距离相等来连接管道，则O到三条支路的管道总长（计算时视管道为线段）是m．三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（兰州期末）为了绿化环境，我县某中学有一块四边形的空地ABCD，如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量，∠ADC＝90°，CD＝3米，AD＝4米，AB＝13米，BC＝12米．（1）求出空地ABCD的面积．（2）若每种植1平方米草皮需要200元，问总共需投入多少元？20．（兰州期末）如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，请证明△ABC为直角三角形，并求出其面积．21．（定西期末）如图所示，等边△ABC表示一块地，DE，EF为这块地中的两条路，且点D为AB的中点，DE⊥AC，EF∥AB，已知AE＝6m，求地块△EFC的周长．22．（二道区期末）如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地，已知AD＝12m，CD＝9m，∠ADC＝90°，AB＝39m，BC＝36m，小区为美化环境，欲在空地上铺草坪，求这块空地铺满草坪的面积．23．（九龙县期末）如图，在Rt△ABD中，∠ABD＝90°，AD＝10，AB＝8．在其右侧的同一个平面内作△BCD，使BC＝8，CD＝27．求证：AB∥DC．24．（绿园区期末）如图，一块铁皮（图中阴影部分），测得AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，∠B＝90°．求阴影部分的面积．

勾股定理的逆定理-专项训练（解析版）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（昌图县期末）下列几组数中，不能作为直角三角形的三边长的是（）A．4，9，11 B．6，8，10 C．7，24，25 D．8，15，17【分析】先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，看看是否相等即可．【解析】A．∵42+92≠112，∴以4，9，11为边不能组成直角三角形，故本选项符合题意；B．∵62+82＝102，∴以6，8，10为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意；C．∵72+242＝252，∴以7，24，25为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意；D．∵82+152＝172，∴以8，15，17为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意；故选：A．2．（白银期末）下面的每组数分别是一个三角形的三边长，其中能构成直角三角形的是（）A．3，4，5 B．2，2，5 C．32，42，52 D．3，4，5【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．【解析】A、（3）2+（4）2≠（5）2，故不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；B、22+22≠52，故不能构成直角三角形，故此选项不符合题意C、因为32＝9，42＝16，52＝25，92+162≠252，故不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；D、32+42＝52，故能构成直角三角形，故此选项符合题意．故选：D．3．（上海期末）在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对应边分别是a、b、c，下列条件中不能说明△ABC是直角三角形的是（）A．b2＝a2﹣c2 B．∠C＝∠A+∠B C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D．a：b：c＝5：12：13【分析】利用直角三角形的定义和勾股定理的逆定理逐项判断即可．【解析】A、b2＝a2﹣c2，即a2＝b2+c2，符合勾股定理的逆定理，能够判定△ABC为直角三角形，不符合题意；B、∠C＝∠A+∠B，此时∠C是直角，能够判定△ABC是直角三角形，不符合题意；C、∠A：∠B：∠C＝3：4：5，那么∠A＝45°、∠B＝60°、∠C＝75°，△ABC不是直角三角形，符合题意；D、132＝52+122，符合勾股定理的逆定理，能够判定△ABC为直角三角形，不符合题意．故选：C．4．（法库县期末）在下列长度的各组线段中，能组成直角三角形的是（）A．5，6，8 B．5，4，9 C．5，12，13 D．5，11，12【分析】利用勾股定理的逆定理可排除A、D选项，利用三角形的两边之和大于第三边可排除B选项，此题得解．【解析】A、∵52＝25，62＝36，82＝64，25+36＝61≠64，∴52+62≠82，∴长度为5，6，8的三边不能组成直角三角形；B、∵5+4＝9，∴长度为5，4，9的三边不能组成三角形；C、∵52＝25，122＝144，132＝169，25+144＝169，∴52+122＝132，∴长度为5，12，13的三边能组成直角三角形；D、∵52＝25，112＝121，122＝144，25+121＝146≠144，∴52+112≠122，∴长度为5，11，12的三边不能组成直角三角形．故选：C．5．（上海期末）在△ABC中，AC＝6，BC＝8，AB＝10，AD平分∠BAC交BC于点D，那么点D到AB的距离是（）A．4.8 B．4 C．3 D．7【分析】过点D作DE⊥AB于E，根据勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得CD＝DE，再利用“HL”证明Rt△ACD和Rt△AED全等，根据全等三角形对应边相等可得AE＝AC，再利用勾股定理列式求出AB，然后求出BE，设CD＝DE＝x，表示出BD，然后利用勾股定理列出方程求解即可．【解析】如图，过点D作DE⊥AB于E，在△ABC中，AC＝6，BC＝8，AB＝10，∴62+82＝102，∴△ABC是直角三角形，∠C＝90°，∵AD平分∠BAC，∴CD＝ED，在Rt△ACD和Rt△AED中，AD=ADCD=ED∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴AE＝AC＝6，∴BE＝AB﹣AE＝10﹣6＝4，设CD＝DE＝x，则BD＝8﹣x，在Rt△BDE中，DE2+BE2＝BD2，x2+42＝（8﹣x）2，解得x＝3．故DE的长为3．故选：C．6．（太原期末）△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（）A．∠A+∠B＝∠C B．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 C．a2＝c2﹣b2 D．a：b：c＝3：4：5【分析】根据三角形内角和定理可分析出A、B的正误；根据勾股定理逆定理可分析出C、D的正误．【解析】A、∵∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠C＝90°，∴△ABC为直角三角形，故此选项不合题意；B、设∠A＝3x°，∠B＝4x°，∠C＝5x°，3x+4x+5x＝180，解得：x＝15，则5x°＝75°，所以△ABC不是直角三角形，故此选项符合题意；C、∵a2＝c2﹣b2，∴a2+b2＝c2，∴△ABC为直角三角形，故此选项不合题意；D、∵a：b：c＝3：4：5，设a＝3x，b＝4x，c＝5x，∵（3x）2+（4x）2＝（5x）2，∴能构成直角三角形，故此选项不合题意；故选：B．7．（禅城区期末）以下列各组线段为边作三角形，不能构成直角三角形的是（）A．3，4，5 B．2，3，4 C．5，12，13 D．1，2，3【分析】先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，看看是否相等即可．【解析】A．∵32+42＝52，∴以3，4，5为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意；B．∵22+32≠42，∴以2，3，4为边不能组成直角三角形，故本选项符合题意；C．∵52+122＝132，∴以5，12，173为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意；D．∵12+（2）2＝（3）2，∴以1，2，3为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意；故选：B．8．（滦南县期末）如图，要使宽为2米的矩形平板车ABCD通过宽为22米的等宽的直角通道，则平板车的长最多为（）A．22 B．23 C．4 D．42【分析】如图，先设平板手推车的长度为x米，则得出x为最大值时，平板手推车所形成的△CBP为等腰直角三角形．连接PO，与BC交于点N，利用△CBP为等腰直角三角形即可求得平板手推车的长度不能超过多少米．【解析】设平板手推车的长度为x米，当x为最大值，且此时平板手推车所形成的△CBP为等腰直角三角形．连接PO，与BC交于点N．∵直角通道的宽为22m，∴PO＝4m，∴NP＝PO﹣ON＝4﹣2＝2（m）．又∵△CBP为等腰直角三角形，∴AD＝BC＝2CN＝2NP＝4（m）．故选：C．9．（巴中）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个“折竹抵地”问题：“今有竹高丈，末折抵地，问折者高几何？“意思是：一根竹子，原来高一丈（一丈为十尺），虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子根部三尺远，问：原处还有多高的竹子？（）A．4尺 B．4.55尺 C．5尺 D．5.55尺【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10﹣x）尺．利用勾股定理解题即可．【解析】设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10﹣x）尺，根据勾股定理得：x2+32＝（10﹣x）2解得：x＝4.55．答：原处还有4.55尺高的竹子．故选：B．10．（大冶市期末）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，下列结论中不正确的是（）A．如果∠A﹣∠B＝∠C，那么△ABC是直角三角形 B．如果a2＝b2﹣c2，那么△ABC是直角三角形且∠C＝90° C．如果∠A：∠B：∠C＝1：3：2，那么△ABC是直角三角形 D．如果a2：b2：c2＝9：16：25，那么△ABC是直角三角形【分析】根据勾股定理的逆定理、三角形内角和定理、直角三角形的判定定理解得即可．【解析】如果∠A﹣∠B＝∠C，那么△ABC是直角三角形，A正确；如果a2＝b2﹣c2，那么△ABC是直角三角形且∠B＝90°，B错误；如果∠A：∠B：∠C＝1：3：2，设∠A＝x，则∠B＝2x，∠C＝3x，则x+3x+2x＝180°，解得，x＝30°，则3x＝90°，那么△ABC是直角三角形，C正确；如果a2：b2：c2＝9：16：25，则如果a2+b2＝c2，那么△ABC是直角三角形，D正确；故选：B．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（南关区校级期末）如图，每个小正方形的边长为1，则∠ABC的度数为45°．【分析】连接AC，利用勾股定理计算出AC2、BC2、AB2，然后利用勾股定理逆定理可判断出△ABC是直角三角形，进而可得答案．【解析】连接AC，由勾股定理得：AC2＝22+12＝5，BC2＝22+12＝5，AB2＝12+32＝10，∴AC2+BC2＝5+5＝10＝BA2，∴△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，∴∠ABC＝45°，故答案为：45．12．（朝阳区期末）如图，在5×3的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，则∠ABC+∠ACB＝45°．【分析】方法一：根据网格和勾股定理可得三角形ADC是等腰直角三角形，再根据三角形外角定义即可求出∠ABC+∠ACB．方法二可以利用相似三角形的判定和性质可得结论．【解析】方法一：如图，取格点D，连接AD、CD，根据网格和勾股定理，得AD＝DC=12+2∴AD2+DC2＝AC2，∴∠ADC＝90°，∴∠DAC＝45°．∴∠DAC＝∠ABC+∠ACB＝45°．故答案为：45°．方法二：如图，取格点D，连接BD，根据网格和勾股定理，得AB=12+22=在△ABD中，AD＝1，BD=12+1∵ABAD=51，∴ABAD∴△ABC∽△DAB，∴∠BAC＝∠ADB＝180°﹣45°＝135°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣135°＝45°．故答案为：45°．13．（和平区校级期末）如图，有一四边形空地ABCD，AB⊥AD，AB＝3，AD＝4，BC＝12，CD＝13，则四边形ABCD的面积为36．【分析】连接BD，先根据勾股定理求出BD，进而判断出△BCD是直角三角形，最后用面积的和即可求出四边形ABCD的面积．【解析】如图，连接BD，∵在Rt△ABD中，AB⊥AD，AB＝3，AD＝4，根据勾股定理得，BD＝5，在△BCD中，BC＝12，CD＝13，BD＝5，∴BC2+BD2＝122+52＝132＝CD2，∴△BCD为直角三角形，∴S四边形ABCD＝S△ABD+S△BCD=12AB•AD+1=12×＝36．故答案为：36．14．（盐池县期末）如图，要为一段高5米，长13米的楼梯铺上红地毯，至少需要红地毯17米．【分析】地毯的长度实际是所有台阶的宽加上台阶的高，因此利用勾股定理求出水平距离即可．【解析】根据勾股定理，楼梯水平长度为13则红地毯至少要12+5＝17米长，故答案为：17．15．（荔湾区月考）若一个三角形的三边长为1、2、x，则使此三角形是直角三角形的x的值是5或3．【分析】本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，因此两条边中的较长边2既可以是直角边，也可以是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即2是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解即可得到结果．【解析】设第三边为x，（1）若2是直角边，则第三边x是斜边，由勾股定理，得：12+22＝x2，所以x=5（2）若2是斜边，则第三边x为直角边，由勾股定理，得：12+x2＝22，所以x=3综上所述：x的值为5或3，故答案为：5或3．16．（滨城区期末）若△ABC的三边长分别为5，26，1，比较三边长的大小，并用“＜”连接起来，1＜26＜5，最长边上的中线长为2.5【分析】根据题目中的数据，可以比较出它们的大小，然后利用勾股定理的逆定理，即可判断△ABC的形状，然后即可得到最长边上的中线长．【解析】∵5=25，26=24∴1＜26＜∵（26）2+12＝52，∴以5，26，1为边的三角形是直角三角形，∴最长边上的中线长为2.5，故答案为：1＜26＜17．（市南区期末）如图，有两条公路OM、ON相交成30°角，沿公路OM方向离O点160m处有一所医院A，当卡车P沿道路ON方向行驶时，在以P为圆心，100米为半径的圆形区域内都会受到噪声的影响．若已知卡车的速度为250米/分钟，则卡车P沿道路ON方向行驶一次时，给医院A带来噪声影响的持续时间是0.48分钟．【分析】（1）作AD⊥ON于D，以A为圆心50m为半径画圆，交ON于B、C两点，求出BC的长，利用时间=路程【解析】作AD⊥ON于D，∵∠MON＝30°，AO＝160m，∴AD=12OA＝80以A为圆心100m为半径画圆，交ON于B、C两点，∵AD⊥BC，∴BD＝CD=12在Rt△ABD中，BD=AB2∴BC＝120m，∵卡车的速度为250米/分钟，∴卡车经过BC的时间＝120÷250＝0.48分钟，故答案为：0.48．18．（五华区期末）如图是油路管道的一部分，延伸外围的支路恰好构成一个直角三角形，两直角边AC、BC的长分别为6m和8m，斜边AB的长为10m．按照输油中心O到三条支路的距离相等来连接管道，则O到三条支路的管道总长（计算时视管道为线段）是6m．【分析】根据三角形的面积公式，Rt△ABC的面积等于△AOB、△AOC、△BOC三个三角形面积的和列式求出点O到三边的距离，然后乘以3即可．【解析】由题意AB＝10（m），设点O到三边的距离为h，则S△ABC=12×8×6=解得h＝2，∴O到三条支路的管道总长为：3×2＝6（m）．故答案为：6．三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（兰州期末）为了绿化环境，我县某中学有一块四边形的空地ABCD，如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量，∠ADC＝90°，CD＝3米，AD＝4米，AB＝13米，BC＝12米．（1）求出空地ABCD的面积．（2）若每种植1平方米草皮需要200元，问总共需投入多少元？【分析】（1）连接AC，在直角三角形ACD中可求得AC的长，由AC、AB、BC的长度关系可得三角形ABC为一直角三角形，AB为斜边；由此看，四边形ABCD的面积等于Rt△ABC面积减Rt△ACD的面积解答即可；（2）根据题意列式计算即可．【解析】（1）连接AC，在Rt△ACD中，AC2＝CD2+AD2＝32+42＝52，在△ABC中，AB2＝132，BC2＝122，而52+122＝132，即AC2+BC2＝AB2，∴∠ACB＝90°，S四边形ABCD＝S△ACB﹣S△ACD=12AC•BC−1=12×5×12−1（2）需费用24×200＝4800（元），答：总共需投入4800元．20．（兰州期末）如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，请证明△ABC为直角三角形，并求出其面积．【分析】根据勾股定理的逆定理解答即可．【解析】∵AB2＝12+22＝5，AC2＝22+42＝20，BC2＝32+42＝25，∴AB2+AC2＝BC2，∴△ABC是直角三角形，∴△ABC的面积=121．（定西期末）如图所示，等边△ABC表示一块地，DE，EF为这块地中的两条路，且点D为AB的中点，DE⊥AC，EF∥AB，已知AE＝6m，求地块△EFC的周长．【分析】根据等边三角形的性质、直角三角形的