专项18-正方形-专题训练

正方形-专题训练一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（大东区期末）如图，正方形ABCD中，点E是对角线AC上的一点，且AE＝AB，连接BE，DE，则∠CDE的度数为（）A．20° B．22.5° C．25° D．30°2．（淮滨县期末）如图，将一个正方形剪去一个角后，∠1+∠2等于（）A．120° B．170° C．220° D．270°3．（陇县期末）下列说法正确的是（）A．矩形的对角线相等垂直 B．菱形的对角线相等 C．正方形的对角线相等 D．菱形的四个角都是直角4．（铁力市二模）如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E；PF⊥CD于点F，连接EF，给出下列五个结论：①AP＝EF；②AP⊥EF；③∠PFE＝∠BAP；④PD＝EC；⑤PB2+PD2＝2PA2，正确的有（）个．A．5 B．4 C．3 D．25．（西湖区校级月考）如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F在对角线BD上，四边形AECF是菱形，且∠DAE＝67.5°，则BE的长为（）A．2 B．2 C．42−4 D．6﹣46．（武功县期末）如图，在正方形ABCD中，AB＝2，P是AD边上的动点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，则PE+PF的值为（）A．4 B．22 C．2 D．27．（梁溪区期中）如图，有一个平行四边形ABCD和一个正方形CEFG，其中点E在边AD上．若∠ECD＝43°，∠AEF＝28°，则∠B的度数为（）A．55° B．75° C．65° D．60°8．（宝安区期中）如图，已知在正方形ABCD中，AD＝4，E，F分别是CD，BC上的一点，且∠EAF＝45°，EC＝1，点G在CB延长线上且GB＝DE，连接EF，则以下结论：①DE+BF＝EF，②BF=47，③AF=307，④SA．1 B．2 C．3 D．49．（邗江区期末）如图，以边长为4的正方形ABCD的中心O为端点，引两条相互垂直的射线，分别与正方形的边交于E、F两点，则线段EF的最小值为（）A．2 B．4 C．2 D．2210．（润州区期末）如图1，某款桌布的中间图案由若干个正方形组成，小明买的桌布刚好有两个正方形图案，如图2，若AB＝CE＝EF＝4，且点A、C、E、G在同一条直线上，则桌布的长AG为（）A．22+8 B．82+4 C．42+4 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（海门市一模）如图，正方形ABCD的边长为6，点M在CB延长线上，BM＝2，作∠MAN＝45°交DC延长线于点N，则MN的长为．12．（包头）如图，在正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，AE的延长线交CD于点F，连接CE．若∠BAE＝56°，则∠CEF＝°．13．（聊城期中）如图，正方形AFCE中，D是边CE上一点，B是CF延长线上一点，且AB＝AD，若四边形ABCD的面积是18cm2，则AC长是cm．14．（仪征市期末）正方形ABCD中，AB＝4，点E、F分别在BC、CD上，且BE＝CF，线段BF、AE相交于点O，若图中阴影部分的面积为14，则△ABO的周长为．15．（海陵区校级期中）如图，正方形ABCD．延长BC到E，连接AE，若CE=2BC，则∠AEB＝16．（高新区期中）如图，在正方形ABCD中，顶点A（﹣2，0），B（2，0），将以BC为斜边的等腰直角△BCE与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第10次旋转结束时，点E的坐标为．17．（溧阳市期中）如图，点E是正方形ABCD中的一点，连接EB、EC、EA、ED，若△EBC为等边三角形时，则∠EAD＝．18．（徐州模拟）如图，在正方形ABCD的各边上顺次截取AE＝BF＝CG＝DH＝3，若四边形EFGH面积是10，则正方形ABCD的面积为．三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（海陵区期末）如图，正方形ABCD中，点E，F分别在边AD，AB上，且AE＝BF，连接CE，DF相交于点M．（1）当∠ADF＝36°时，∠DCE＝°；（2）判断CE，DF的位置关系，并证明．20．（常州期末）如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，将BD向两个方向延长，分别至点E和点F，且使BE＝DF．（1）判断四边形AECF的形状，并证明你的猜想；（2）若AB＝32，BE＝3，求四边形AECF的周长．21．（大观区校级期末）如图，∠MON＝90°，正方形ABCD的顶点A、B分别在OM、ON上，AB＝13，OB＝5，E为AC上一点，且∠EBC＝∠CBN，直线DE与ON交于点F．（1）求证：BE＝DE；（2）判断DF与ON的位置关系，并说明理由；（3）△BEF的周长为．22．（崇川区校级一模）如图，边长为1的正方形ABCD中，点E、F分别在边CD、AD上，连接BE、BF、EF，且有AF+CE＝EF．（1）求（AF+1）（CE+1）的值；（2）探究∠EBF的度数是否为定值，并说明理由．23．（成华区模拟）如图，在正方形ABCD中，AB＝6，点E在对角线BD上，DE＝22，连接CE，过点E作EF⊥CE，交线段AB于点F（1）求证：CE＝EF；（2）求FB的长；24．（高淳区期末）如图，正方形ABCD中，E是CD边的中点，F是BC边上一点，∠FAE＝∠DAE．（1）求证：AF＝AD+CF；（2）已知正方形ABCD的边长为4．①求AF之长；②若P是AE上一点，且△DEP是等腰三角形，则线段EP的长为．

正方形-专题训练（解析版）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（大东区期末）如图，正方形ABCD中，点E是对角线AC上的一点，且AE＝AB，连接BE，DE，则∠CDE的度数为（）A．20° B．22.5° C．25° D．30°【分析】根据∠CDE＝90°﹣∠ADE，求出∠ADE即可解决问题．【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠ADC＝90°，∠DAC＝45°，∵AE＝AB，∴AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED＝67.5°，∴∠CDE＝90°﹣67.5°＝22.5°，故选：B．2．（淮滨县期末）如图，将一个正方形剪去一个角后，∠1+∠2等于（）A．120° B．170° C．220° D．270°【分析】根据三角形外角的性质可得∠1+∠2的度数＝三角形三个内角的和+∠A的度数，再根据三角形内角和定理和正方形的性质即可求解．【解析】∵∠1＝∠A+∠3，∠2＝∠A+∠4，∴∠1+∠2＝∠A+∠3+∠4+∠A＝180°+90°＝270°．故选：D．3．（陇县期末）下列说法正确的是（）A．矩形的对角线相等垂直 B．菱形的对角线相等 C．正方形的对角线相等 D．菱形的四个角都是直角【分析】根据矩形、菱形的性质和正方形的性质判断即可．【解析】A、矩形的对角线相等且平分，选项错误，不符合题意；B、菱形的对角线垂直且平分，选项错误，不符合题意；C、正方形的对角线相等，选项正确，符合题意；D、矩形的四个角都是直角，而菱形的四个角不是直角，选项错误，不符合题意；故选：C．4．（铁力市二模）如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E；PF⊥CD于点F，连接EF，给出下列五个结论：①AP＝EF；②AP⊥EF；③∠PFE＝∠BAP；④PD＝EC；⑤PB2+PD2＝2PA2，正确的有（）个．A．5 B．4 C．3 D．2【分析】根据正方形的性质与正方形关于对角线对称可得所给选项的正误．【解析】①正确，连接PC，可得PC＝EF，PC＝PA，∴AP＝EF；②正确；延长AP，交EF于点N，则∠EPN＝∠BAP＝∠PCE＝∠PFE，可得AP⊥EF；③正确；∠PFE＝∠PCE＝∠BAP；④错误，PD=2PF=2CE；⑤正确，PB2+PD2＝2PA故选：B．5．（西湖区校级月考）如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F在对角线BD上，四边形AECF是菱形，且∠DAE＝67.5°，则BE的长为（）A．2 B．2 C．42−4 D．6﹣4【分析】根据正方形的对角线平分一组对角可得∠ABD＝∠ADB＝45°，根据三角形的内角和定理求∠AED，从而得到∠DAE＝∠AED，再根据等角对等边的性质得到AD＝DE，然后求出正方形的对角线BD，再求出BE．【解析】在正方形ABCD中，∠ABD＝∠ADB＝45°，∵∠DAE＝67.5°，∴在△ADE中，∠AED＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°，∴∠DAE＝∠AED，∴AD＝DE＝4，∵正方形的边长为4，∴BD＝42，∴BE＝BD﹣DE＝42−故选：C．6．（武功县期末）如图，在正方形ABCD中，AB＝2，P是AD边上的动点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，则PE+PF的值为（）A．4 B．22 C．2 D．2【分析】根据正方形的对角线互相垂直可得OA⊥OD，对角线平分一组对角可得∠OAD＝45°，然后求出四边形OEPF为矩形，△AEP是等腰直角三角形，再根据矩形的对边相等可得PF＝OE，根据等腰直角三角形的性质可得PE＝OE，从而得到PE+PF＝OA，然后根据正方形的性质解答即可．【解析】在正方形ABCD中，OA⊥OB，∠OAD＝45°，∵PE⊥AC，PF⊥BD，∴四边形OEPF为矩形，△AEP是等腰直角三角形，∴PF＝OE，PE＝AE，∴PE+PF＝AE+OE＝OA，∵正方形ABCD的边长为2，∴OA=12AC故选：C．7．（梁溪区期中）如图，有一个平行四边形ABCD和一个正方形CEFG，其中点E在边AD上．若∠ECD＝43°，∠AEF＝28°，则∠B的度数为（）A．55° B．75° C．65° D．60°【分析】由平角的定义求出∠CED的度数，由三角形内角和定理求出∠D的度数，再由平行四边形的对角相等即可得出结果．【解析】∵四边形CEFG是正方形，∴∠CEF＝90°，∵∠CED＝180°﹣∠AEF﹣∠CEF＝180°﹣28°﹣90°＝62°，∴∠D＝180°﹣∠CED﹣∠ECD＝180°﹣62°﹣43°＝75°，∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠B＝∠D＝75°（平行四边形对角相等）．故选：B．8．（宝安区期中）如图，已知在正方形ABCD中，AD＝4，E，F分别是CD，BC上的一点，且∠EAF＝45°，EC＝1，点G在CB延长线上且GB＝DE，连接EF，则以下结论：①DE+BF＝EF，②BF=47，③AF=307，④SA．1 B．2 C．3 D．4【分析】利用全等三角形的性质条件勾股定理求出BF的长，再利用勾股定理求出DE的长，即可求解．【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD＝4，∠D＝∠ABG＝90°，∵EC＝1，∴GB＝DE＝1，∴AE＝AG＝5，即△ADE绕点A沿顺时针方向旋转90°后与△ABG重合，∴∠DAE＝∠BAG，∵∠EAF＝45°，∴∠DAE+∠BAF＝45°＝∠GAB+∠BAF＝∠GAF＝45°，∵AG＝AE，∠FAE＝∠FAG＝45°，AF＝AF，在△AFE和△AFG中，AG=AE∠FAE=∠FAG∴△AFE≌△AFG（SAS），∴EF＝FG，∵DE＝BG，∴EF＝FG＝BG+FB＝DE+BF，故①正确；∵BC＝CD＝AD＝4，EC＝1，∴DE＝3，设BF＝x，则EF＝x+3，CF＝4﹣x，在Rt△ECF中，（x+3）2＝（4﹣x）2+12，解得x=4∴BF=47，故∴AF=AB2∴GF＝3+4∴S△AEF＝S△AGF=12AB×GF=12×所以正确的有①②④，共3个．故选：C．9．（邗江区期末）如图，以边长为4的正方形ABCD的中心O为端点，引两条相互垂直的射线，分别与正方形的边交于E、F两点，则线段EF的最小值为（）A．2 B．4 C．2 D．22【分析】如图，作辅助线；证明△AOE≌△DOF，进而得到OE＝OF，此为解决该题的关键性结论；求出OE的范围，借助勾股定理即可解决问题．【解析】如图，连接EF，∵四边形ABCD为正方形，∴∠EAO＝∠FDO＝45°，AO＝DO；∵∠EOF＝90°，∠AOD＝90°，∴∠AOE＝∠DOF；在△AOE与△DOF中，∠EAO=∠FDOAO=DO∴△AOE≌△DOF（ASA），∴OE＝OF（设为λ）；∴△EOF是等腰直角三角形，由勾股定理得：EF2＝OE2+OF2＝2λ2；∴EF=2OE=2∵正方形ABCD的边长是4，∴OA＝22，O到AB的距离等于2（O到AB的垂线段的长度），由题意可得：2≤λ≤22，∴22≤EF所以线段EF的最小值为22．故选：D．10．（润州区期末）如图1，某款桌布的中间图案由若干个正方形组成，小明买的桌布刚好有两个正方形图案，如图2，若AB＝CE＝EF＝4，且点A、C、E、G在同一条直线上，则桌布的长AG为（）A．22+8 B．82+4 C．42+4 【分析】连接AC，EG，由正方形的性质可求AC=2AB＝42，EG=2EF＝4【解析】如图，连接AC，EG，∵四边形ABCD，四边形EFGH是正方形，AB＝EF＝4，∴AC=2AB＝42，EG=2EF＝4∵点A、C、E、G在同一条直线上，∴AG＝AC+CE+EG＝42+4+42=8故选：B．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（海门市一模）如图，正方形ABCD的边长为6，点M在CB延长线上，BM＝2，作∠MAN＝45°交DC延长线于点N，则MN的长为10．【分析】在DC上截取DF＝BM，得△ABM与△ADF全等；再证明△MAN与△FAN全等，得MN＝NF，设MN＝x，用x表示CN，在Rt△CMN中由勾股定理列出x的方程便可求解．【解析】如图，在DC上截取DF＝BM，连接AF．∵AB＝AD，∠ABM＝∠ADF＝90°，∴△ABM≌△ADF（SAS）∴AM＝AF，∠MAB＝∠FAD．∴∠MAB+∠BAF＝∠FAD+∠BAF＝90°，即∠MAF＝∠BAD＝90°．又∠MAN＝45°，∴∠NAF＝∠MAN＝45°．∵AN＝AN，∴△MAN≌△FAN（SAS）．∴MN＝FN，设MN＝FN＝x，∵BM＝DF＝2，BC＝CD＝6，∴DN＝DF+FN＝x+2，CM＝6+2＝8，∴CN＝DN﹣CD＝x﹣4，∵MC2+CN2＝MN2，∴82+（x﹣4）2＝x2，解得，x＝10，∴MN＝10，故答案为：10．12．（包头）如图，在正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，AE的延长线交CD于点F，连接CE．若∠BAE＝56°，则∠CEF＝22°．【分析】根据正方形的性质，即可得到∠DAF＝34°，∠DFE＝56°，依据全等三角形的对应角相等，即可得到∠DCE＝∠DAF＝34°，再根据三角形外角性质，即可得到∠CEF的度数．【解析】∵正方形ABCD中，∠BAD＝∠ADF＝90°，∠BAE＝56°，∴∠DAF＝34°，∠DFE＝56°，∵AD＝CD，∠ADE＝∠CDE，DE＝DE，∴△ADE≌△CDE（SAS），∴∠DCE＝∠DAF＝34°，∵∠DFE是△CEF的外角，∴∠CEF＝∠DFE﹣∠DCE＝56°﹣34°＝22°，故答案为：22．13．（聊城期中）如图，正方形AFCE中，D是边CE上一点，B是CF延长线上一点，且AB＝AD，若四边形ABCD的面积是18cm2，则AC长是6cm．【分析】证Rt△AED≌Rt△AFB，推出S△AED＝S△AFB，根据四边形ABCD的面积是18cm2得出正方形AFCE的面积是18cm2，求出AE、EC的长，根据勾股定理求出AC即可．【解析】∵四边形AFCE是正方形，∴AF＝AE，∠E＝∠AFC＝∠AFB＝90°，∵在Rt△AED和Rt△AFB中AD=ABAE=AF∴Rt△AED≌Rt△AFB（HL），∴S△AED＝S△AFB，∵四边形ABCD的面积是18cm2，∴正方形AFCE的面积是18cm2，∴AE＝EC=18=32（根据勾股定理得：AC=(3故答案为：6；14．（仪征市期末）正方形ABCD中，AB＝4，点E、F分别在BC、CD上，且BE＝CF，线段BF、AE相交于点O，若图中阴影部分的面积为14，则△ABO的周长为25+4【分析】由“SAS”可证△ABE≌△BCF，可得S△ABE＝S△BCF，∠BAE＝∠CBF，可求S△ABO=12×（4×4﹣14）＝1，可得2AO•BO＝4，由勾股定理可求AO【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝∠BCD＝90°，又∵BE＝CF，∴△ABE≌△BCF（SAS），∴S△ABE＝S△BCF，∠BAE＝∠CBF，∴S△ABO＝S四边形ECFO，∠BAE+∠AEB＝90°＝∠CBF+∠AEB＝∠AOB，∵图中阴影部分的面积为14，∴S△ABO=1∴12×AO×∴2AO•BO＝4，∵AB2＝AO2+BO2＝16，∴（AO+BO）2＝20，∴AO+BO＝25，∴△ABO的周长＝AB+AO+BO＝25+故答案为：25+15．（海陵区校级期中）如图，正方形ABCD．延长BC到E，连接AE，若CE=2BC，则∠AEB＝22.5°【分析】连接AC，由正方形的性质可得AC=2BC，∠ACB＝45°，进而可得2∠AEB＝∠ACB＝45°，即可求解∠AEB【解析】如图，连接AC，∵四边形ABCD是正方形，∴AC=2BC，∠ACB∵CE=2BC∴AC＝CE，∴∠AEB＝∠CAE，∵∠ACB＝∠CAE+∠E＝2∠AEB＝45°，∴∠AEB＝22.5°．故答案为22.5°．16．（高新区期中）如图，在正方形ABCD中，顶点A（﹣2，0），B（2，0），将以BC为斜边的等腰直角△BCE与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第10次旋转结束时，点E的坐标为（﹣4，﹣2）．【分析】过点E作EF⊥x轴于点F，根据A（﹣2，0），B（2，0），四边形ABCD是正方形，可得AB＝BC＝4，∠CBA＝∠CBF＝90，根据△BCE是等腰直角三角形，可得△EBF是等腰直角三角形，可得E（4，2），再根据旋转的性质可得每4次一个循环，进而可得第10次旋转结束时，点E的坐标．【解析】如图，过点E作EF⊥x轴于点F，∵A（﹣2，0），B（2，0），四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝4，∠CBA＝∠CBF＝90，∵△BCE是等腰直角三角形，∴∠CBE＝∠EBF＝45°，∴△EBF是等腰直角三角形，∴BE=22BC＝2∴EF＝BF=22∴OF＝4，∴E（4，2），∵将以BC为斜边的等腰直角△BCE与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，∴第1次旋转结束时，点E的坐标为（2，﹣4）；第2次旋转结束时，点E的坐标为（﹣4，﹣2）；第3次旋转结束时，点E的坐标为（﹣2，4）；第4次旋转结束时，点E的坐标为（4，2）；…∴每4次一个循环，∵10÷4＝2…2，∴第10次旋转结束时，点E的坐标为（﹣4，﹣2）．故答案为：（﹣4，﹣2）．17．（溧阳市期中）如图，点E是正方形ABCD中的一点，连接EB、EC、EA、ED，若△EBC为等边三角形时，则∠EAD＝15°．【分析】根据正方形的性质和等边三角形的性质证明∠DAE＝∠DEA＝∠CBE＝∠CEB＝75°即可解决问题．【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝DC，∠ADC＝∠BCD＝∠DAB＝∠ABC＝90°，∵△EBC是等边三角形，∴AB＝BE＝DC＝EC，∠EBC＝∠ECB＝60°，∴∠ABE＝∠DCE＝30°，∵AB＝BE＝CE＝CD，∴∠BAE＝∠BEA＝∠CDE＝∠CED＝75°，∴∠EAD＝90°﹣75°＝15°．故答案为：15°．18．（徐州模拟）如图，在正方形ABCD的各边上顺次截取AE＝BF＝CG＝DH＝3，若四边形EFGH面积是10，则正方形ABCD的面积为．【分析】根据题意和图形，可知四边形EFGH的面积等于正方形ABCD的面积减去四个直角三角形的面积，本题得以解决．【解析】∵AB＝BC＝CD＝AD，AE＝BF＝CG＝DH＝3，∴BE＝CF＝DG＝AH，∵四边形EFGH面积＝（AH+3）2−12×3×AH−12×3×DG−∴AH＝BE＝CF＝DG＝1，∴AD＝AH+DH＝4，∴正方形ABCD的面积＝4×4＝16，故答案为：16．三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（海陵区期末）如图，正方形ABCD中，点E，F分别在边AD，AB上，且AE＝BF，连接CE，DF相交于点M．（1）当∠ADF＝36°时，∠DCE＝36°；（2）判断CE，DF的位置关系，并证明．【分析】（1）根据正方形的性质和全等三角形的判定与性质，可以求得∠DCE的度数；（2）根据（1）中的结论和正方形的性质，可以得到CE，DF的位置关系．【解析】（1）∵四边形ABCD是正方形，∴CD＝AD＝AB，∠CDE＝∠DAF＝90°，又∵AE＝BF，∴DE＝AF，在△CDE和△DAF中，CD=DA∠CDE=∠DAF∴△CDE≌△DAF（SAS），∴∠DCE＝∠ADF，∵∠ADF＝36°，∴∠DCE＝36°，故答案为：36；（2）CE，DF的位置关系互相垂直，证明：由（1）知∠DCE＝∠ADF，∵∠ADF+∠MDC＝∠CDE＝90°，∴∠DCE+∠MDC＝90°，∴∠DMC＝90°，∴CE⊥DF，即CE，DF的位置关系互相垂直．20．（常州期末）如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，将BD向两个方向延长，分别至点E和点F，且使BE＝DF．（1）判断四边形AECF的形状，并证明你的猜想；（2）若AB＝32，BE＝3，求四边形AECF的周长．【分析】（1）根据正方形的性质和菱形的判定解答即可；（2）根据正方形和菱形的性质以及勾股定理解答即可．【解析】（1）证明：∵正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD．∵BE＝DF，∴OB+BE＝OD+DF，即OE＝OF．∴四边形AECF是平行四边形．∵AC⊥EF，∴四边形AECF是菱形．（2）∵四边形ABCD是正方形，∴AO=12AC，BO=12BD，AC＝BD，∴AO＝BO，∠AOB＝90°．在直角△AOB中，由勾股定理知：AB=AO2∴AO＝BO＝3．∴EO＝OB+BE＝6．在△AOE中，∠AOE＝90°，AE=AO2∵四边形AECF是菱形，∴AE＝EC＝CF＝AF．∴四边形AECF的周长＝4AE＝125．∴四边形AECF的周长是125．21．（大观区校级期末）如图，∠MON＝90°，正方形ABCD的顶点A、B分别在OM、ON上，AB＝13，OB＝5，E为AC上一点，且∠EBC＝∠CBN，直线DE与ON交于点F．（1）求证：BE＝DE；（2）判断DF与ON的位置关系，并说明理由；（3）△BEF的周长为24．【分析】（1）利用正方形的性质，即可得到△BCE≌△DCE（SAS），根据全等三角形的性质即可得到BE＝DE．（2）依据∠EDC＝∠CBN，∠EDC+∠1＝90°，∠1＝∠2，即可得出∠2+∠CBN＝90°，进而得到DF⊥ON；（3）过C作CG⊥ON于G，过D作DH⊥CG于H，则∠CGB＝∠AOB＝90°，四边形DFGH是矩形，利用全等三角形的对应边相等，即可得到DF＝HG＝12，GF＝DH＝5，BF＝BG﹣GF＝7，进而得出△BEF的周长．【解析】（1）∵四边形ABCD正方形，∴CA平分∠BCD，BC＝DC，∴∠BCE＝∠DCE＝45°，∵CE＝CE，∴△BCE≌△DCE（SAS），∴BE＝DE．（2）DF⊥ON，理由如下：∵△BCE≌△DCE，∴∠EBC＝∠EDC，∵∠EBC＝∠CBN，∴∠EDC＝∠CBN，∵∠EDC+∠1＝90°，∠1＝∠2，∴∠2+∠CBN＝90°，∴∠EFB＝90°，即DF⊥ON；（3）如图所示，过C作CG⊥ON于G，过D作DH⊥CG于H，则∠CGB＝∠AOB＝90°，四边形DFGH是矩形，又∵∠ABC＝90°，∴∠ABO+∠BAO＝90°＝∠ABO+∠CBG，∴∠BAO＝∠CBG，又∵AB＝BC，∴△ABO≌△BCG（AAS），∴BG＝AO=132−5同理可得△CDH≌△BCG，∴DH＝CG＝5，CH＝BG＝12，∴HG＝5+12＝17，∴DF＝HG＝12，GF＝DH＝5，∴BF＝BG﹣GF＝12﹣5＝7，∴△BEF的周长＝BF+EF+BE＝BF+EF+DE＝BF+DF＝7+17＝24，故答案为：24．22．（崇川区校级一模）如图，边长为1的正方形ABCD中，点E、F分别在边CD、AD上，连接BE、BF、EF，且有AF+CE＝EF．（1）求（AF+1）（CE+1）的值；（2）探究∠EBF的度数是否为定值，并说明理由．【分析】（1）设CE＝x，AF＝y，则DE＝1﹣x，DF＝1﹣y，EF＝x+y，由四边形ABCD是正方形可得出∠D＝90°，利用勾股定理可得出xy+x+y＝1，再将其代入（AF+1）（CE+1）＝xy+x+y+1中即可求出结论；（2）将△ABF绕点B顺时针旋转90°得到△BCM，此时AB与CB重合，由旋转的性质结合AF+CE＝EF可得出BF＝BM，EF＝EM，结合BE＝BE可得出△BEF≌△BEM（SSS），利用全等三角形的性质可得出∠EBF＝∠EBM＝∠CBM+∠CBE＝∠ABF+∠CBE，再结合∠ABC＝∠EBF+∠ABF+∠CBE＝90°可得出∠EBF=12∠【解析】（1）设CE＝x，AF＝y，则DE＝1﹣x，DF＝1﹣y，∵AF+CE＝EF，∴EF＝x+y．∵四边形ABCD是正方形，∴∠D＝90°，∴EF2＝DE2+DF2，即（x+y）2＝（1﹣x）2+（1﹣y）2，∴xy+x+y＝1，∴（AF+1）（CE+1）＝（y+1）（x+1）＝xy+x+y+1＝1+1＝2；（2）∠EBF的度数为定值，理由如下：如图，将△ABF绕点B顺时针旋转90°得到△BCM，此时AB与CB重合．由旋转，可得：AB＝CB，BF＝BM，AF＝CM，∠ABF＝∠CBM，∠BCM＝∠A＝90°，∴∠BCM+∠BCD＝90°+90°＝180°，∴点M、C、E在同一条直线上．∵AF+CE＝EF，CM+CE＝EM，∴EF＝EM．在△BEF和△BEM中，BF=BMBE=BE∴△BEF≌△BEM（SSS），∴∠EBF＝∠EBM＝∠CBM+∠CBE＝∠ABF+∠CBE，又∵∠ABC＝90°，∠ABC＝∠EBF+∠ABF+∠CBE，∴∠EBF=12∠23．（成华区模拟）如图，在正方形ABCD中，AB＝6，点E在对角线BD上，DE＝22，连接CE，过点E作EF⊥CE，交线段AB于点F（1）求证：CE＝EF；（2）求FB的长；【分析】（1）过E