专题12 圆压轴（测试）

专题12圆压轴目录TOC\o"1-3"\n\h\z\u真题演练题型01与圆有关的多结论问题（选/填）题型02与圆有关的平移问题题型03与圆有关的翻折问题题型04与圆有关的旋转问题题型05与圆有关的最值问题题型06与圆有关的动点问题题型07与圆有关的新定义问题题型08阿氏圆题型09圆、几何图形、锐角三角函数综合题型10与圆有关的阅读理解问题题型11与圆有关的存在性问题题型12与圆有关的定值问题.模拟集训

真题演练题型01与圆有关的多结论问题（选/填）1．（2023·河北保定·模拟预测）如图，在△ABC中，BC=10，点O为AB上一点，以5为半径作⊙O分别与BC，AC相切于D，E两点，OB与⊙O交于点M，连接OC交⊙O于点F，连接ME，FE，若点D为BC的中点，给出下列结论：①CO平分∠ACB；②点E为AC的中点；③∠AME=22.5°；④MF的长度为52A．1 B．2 C．3 D．42．（2024·山东济宁·一模）如图，在扇形OAB中，∠AOB=90°，半径OA=2．将扇形OAB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在AB上点D处，折痕交OA于点C，点E为OB的中点，点P为线段CB上一个动点，连接OP，PE，DP，过点D作DF⊥BC于点F，下列说法：①当点P运动到CB的中点时，四边形COPD为菱形，②S△CDFS△OCB=13，③OP+PE的最小值为3，3．（2023·广东广州·二模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，∠ACD+∠BCD=180°，连接OD，过点D作DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为点E、点F，则下列结论正确的是．①∠AOD=2∠BAD；②∠DAC=∠BAC；③DF与⊙O相切；④若AE=4，EC=1，则BC=3．题型02与圆有关的平移问题4．（2023·广东深圳·一模）如图1，平行四边形ABCD中，AD=23，DC=43，∠D=60°，点M在BC延长线上且CM=CD，EF为半圆O的直径且FE⊥BM，FE=6，如图2，点E从点M处沿MB方向运动，带动半圆O向左平移，每秒3个单位长度，当点F与点D重合时停止平移，如图3，停止平移后半圆O立即绕点E逆时针旋转，每秒转动5°，点F落在直线(1)如图1，BF=；(2)如图2，当半圆O与DC边相切于点P，求EM的长；(3)如图3，当半圆O过点C，EF与DC边交于点Q，①求EF平移和旋转过程中扫过的面积；②求CQ的长；(4)直接写出半圆O与平行四边形ABCD的边相切时t的值．（参考数据：sin35°=335．（2023·江苏南京·二模）在平面内，将小棒AB经过适当的运动，使它调转方向(调转前后的小棒不一定在同一条直线上)，那么小棒扫过区域的面积如何尽可能地小呢？已知小棒长度为4，宽度不计．方案1：将小棒绕AB中点O旋转180°到B'A'方案2：将小棒先绕A逆时针旋转60°到AC，再绕C逆时针旋转60°到CB，最后绕B逆时针旋转60°到B'A'(1)①S1=______，S2②比较S1与S2的大小．(参考数据：π≈3.14，(2)方案2可优化为方案3：首次旋转后，将小棒先沿着小棒所在的直线平移再分别进行第2、3次旋转，三次旋转扫过的面积会重叠更多，最终小棒扫过的区域是一个等边三角形．①补全方案3的示意图；②设方案3中小棒扫过区域的面积为S3，求S(3)设计方案4，使小棒扫过区域的面积S4小于S6．（2023·福建厦门·一模）点O是直线MN上的定点，等边△ABC的边长为3，顶点A在直线MN上，△ABC从O点出发沿着射线OM方向平移，BC的延长线与射线ON交于点D，且在平移过程中始终有∠BDO=30°，连接OB，OC，OB交AC于点P，如图所示．(1)以O为圆心，OD为半径作圆，交射线OM于点E．①当点B在⊙O上时，求BE的长；②⊙O的半径为r，当△ABC平移距离为2r时，判断点C与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)在平移过程中，是否存在OC=OP的情形？若存在，请求出此时点O到直线BC的距离；若不存在，请说明理由．题型03与圆有关的翻折问题7．（2023·安徽淮南·一模）如图，已知，AB是⊙O的直径，点C为圆上一点．(1)如图①，将AC沿弦AC翻折，交AB于D，若点D与圆心O重合，AC=23，则⊙O的半径为(2)如图②，将BC沿弦BC翻折，交AB于D，把BD沿直径AB翻折，交BC于点E．（Ⅰ）若点E恰好是翻折后的BD的中点，则∠B的度数为；（Ⅱ）如图③，连接DE，若AB=10，OD=1，求线段DE的长．8．（2022·河北保定·一模）Rt△ABC，∠C=90°，BC=6，tanB=43，E，F分别在AC，BC边上，且EF=5，将△EFC沿EF翻折至△EF(1)CF=3时，CC'=(2)若以F，C，E为顶点的三角形与△ABC相似，求CF的长；(3)在（2）的条件下，求点O到AB的距离；(4)△EFC的面积最大是_______．(5)直接写出半圆O过△ABC的外心时，CF的值．9．（2021·贵州黔西·模拟预测）如图，已知AB为⊙O的直径，CD为弦．CD=43，AB与CD交于点E，将CD沿CD翻折后，点A与圆心O重合，延长BA至P，使AP=OA，连接PC(1)求⊙O的半径；(2)求证：PC是⊙O的切线；(3)点N为ADB的中点，在PC延长线上有一动点M，连接MN交AB于点G．交BC于点F（F与B、C不重合）．求NG⋅NF的值．题型04与圆有关的旋转问题10．（2023·江苏常州·一模）如图1，将一个三角形纸板△ABC绕点A逆时针旋转θ到达△AB'C'的位置，那么可以得到：AB=AB'，(1)上述问题情境中“（________）”处应填理由：______________________________________；(2)如图2，将一个半径为4cm，圆心角为60°的扇形纸板ABC绕点O逆时针旋转90°到达扇形纸板A'①请在图中作出点O；②如果BB'=6cm，则在旋转过程中，点B(3)如果将与（2）中完全相同的两个扇形纸板重叠，一个固定在墙上，使得一边位于水平位置．另一个在弧的中点处固定，然后放开纸板，使其摆动到竖直位置时静止．此时，两个纸板重叠部分的面积是多少(如图3)？11．（2023·广东云浮·二模）如图，A，B，C是⊙O上的三点，且AB=AC，BC=8，点D为优弧BDC上的动点，且cos∠ABC=4(1)如图1，若∠BCD=∠ACB，延长DC到F，使得CF=CA，连接AF，求证：AF是⊙O的切线；(2)如图2，若∠BCD的角平分线与AD相交于E，求⊙O的半径与AE的长；(3)如图3，将△ABC的BC边所在的直线l1绕点A旋转得到l2，直线l2与⊙O相交于M，N，连接AM，AN12．如图1，已知∠ABC=60°，点O在射线BC上，且OB=4．以点O为圆心，rr>0为半径作⊙O，交直线BC(1)当⊙O与∠ABC只有两个交点时，r的取值范围是________．(2)当r=22时，将射线BA绕点B按顺时针方向旋转α①若BA与⊙O相切，求α的度数为多少；②如图2，射线BA与⊙O交于M，N两点，若MN=OB，求阴影部分的面积．题型05与圆有关的最值问题13．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）如图1，E点为x轴正半轴上一点，⊙E交x轴于A、B两点，P点为劣弧BC上一个动点，且A(−1,0)、E(1,0)．(1)BC的度数为°；(2)如图2，连结PC，取PC中点G，则OG的最大值为；(3)如图3，连接AC、AP、CP、CB．若CQ平分∠PCD交PA于Q点，求AQ的长；(4)如图4，连接PA、PD，当P点运动时（不与B、C两点重合），求证：PC+PDPA14．（2024·湖南怀化·一模）已知正方形ABCD和正方形EFGH按图1所示叠放在一起，其中AB=4，EF=2，点O为AB和EF的中点．(1)图2中正方形EFUV为图1中正方形EFGH关于直线AB的轴对称图形，求点D和点U的连结线段DU的长度；(2)将图1中的正方形EFGH绕点O旋转，如图3所示，求运动过程中点D和点G之间距离的最大值和最小值．15．（2023·云南昭通·二模）如图1，在四边形ABCD中，AD=CD=63，∠B=60°，以AB为直径所作的⊙O经过点C，且与AD相切于A点，连接(1)求证：CD是⊙O的切线．(2)⊙E是△ACD的外接圆，不与A、D重合的点F在⊙E的劣弧AD上运动（如图2所示）．若点P、Q分别为线段AC、CD上的动点（不与端点重合），当点F运动到每一个确定的位置时，△FPQ的周长有最小值m，随着点F的运动，m的值也随之变化，求m的最大值．16．（2024·陕西西安·二模）（1）如图1，在△AOB中，OA=OB，∠AOB=120°，AB=12，若⊙O的半径为2，点P在⊙O上，M是线段AB上一动点，连接PM，求线段PM的最小值，并说明理由．新定义：在平面直角坐标系中，已知点M为定点，对点A给出如下定义，在射线AM上，若MN=k⋅MA（k>0，且k为整数），则称N是点A是关于点M的“k倍点”．（2）如图2，点A是半径为1的⊙O上一点，且M3,1，N是点A关于点M的“二倍点”，P为直线y=3x上一点，是否存在点P，使得线段PN题型06与圆有关的动点问题17．（2024·辽宁大连·一模）如图1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D为BC边中点，点E为线段DC上一动点，过点A，D，E作⊙O分别交AB，AC于点F，G，连接FG，DG(1)求证：∠B=∠DGF；(2)已知：BC=24，∠B=30°，当四边形BDGF为平行四边形时，请补全图2，并求出DE的长．18．（2024·云南昭通·模拟预测）如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，点M是直径AB上的一个动点，过点M的弦CD⊥AB，交⊙O于点C、D，连接BC，点F为BC的中点，连接DF并延长，交AB于点E，交⊙O于点G．(1)如图1，连接CG，过点G的直线交DC的延长线于点P．当点M与圆心O重合时，若∠PGC=∠MDE，求证：PG是⊙O的切线；(2)在点M运动的过程中，DE=kDF（k为常数），求k的值；(3)如图2，连接BG、OF、MF，当△MOF是等腰三角形时，求∠BGD的正切值．19．（2023·山东烟台·模拟预测）直角三角板ABC的斜边AB的两个端点在⊙O上，已知∠BAC=30°，直角边AC与⊙O相交于点D，且点D是劣弧AB的中点．(1)如图1，判断直角边BC所在直线与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)如图2，点P是斜边AB上的一个动点（与A、B不重合），DP的延长线交⊙O于点Q，连接QA、QB．①AD=3,PD=1，则AB=______；PQ=______；②当点P在斜边AB上运动时，求证：QA+QB=3题型07与圆有关的新定义问题20．（2024·上海杨浦·一模）定义：我们把平面内经过已知直线外一点并且与这条直线相切的圆叫做这个点与已知直线的点切圆．如图1，已知直线l外有一点H，圆Q经过点H且与直线l相切，则称圆Q是点H与直线l的点切圆．阅读以上材料，解决问题：已知直线OA外有一点P，PA⊥OA，OA=4，AP=2，圆M是点P与直线OA的点切圆．(1)如果圆心M在线段OP上，那么圆M的半径长是__________（直接写出答案）．(2)如图2，以O为坐标原点、OA为x轴的正半轴建立平面直角坐标系xOy，点P在第一象限，设圆心M的坐标是x,y．①求y关于x的函数解析式；②点B是①中所求函数图象上的一点，连接BP并延长交此函数图象于另一点C．如果CP:BP=1:4，求点B的坐标．21．（2024·湖南长沙·一模）定义：对角线互相垂直的圆内接四边形叫做圆的“奇妙四边形”．(1)若▱ABCD是圆的“奇妙四边形”，则▱ABCD是_________（填序号）：①矩形；②菱形；③正方形(2)如图1，已知⊙O的半径为R，四边形ABCD是⊙O的“奇妙四边形”．求证：AB(3)如图2，四边形ABCD是“奇妙四边形”，P为圆内一点，∠APD=∠BPC=90°，∠ADP=∠PBC，BD=4，且AB=3DC．当DC的长度最小时，求22．（2024·江苏淮安·一模）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1．对于⊙O的弦AB和点C给出如下定义：若直线CA，CB都是⊙O的切线，则称点C是弦AB的“关联点”．(1)如图，点A−1,0，B1、B2分别为过A①在点C1−1，1，C2−1，2②若点C是弦AB2的“关联点”，则AC的长为(2)已知点M在y正半轴上，N在x正半轴上，若对于线段MN上任一点S，都存在⊙O的弦PQ，使得点S是弦PQ的“关联点”．记PQ的长为t，当点S在线段MN上运动时，t的取值范围为3≤t≤4223．（2024·北京·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，对于直线l和线段AB，给出如下定义：若将线段AB关于直线l对称，可以得到⊙O的弦A'B'（A'，B'分别为A，B的对应点），则称线段AB是⊙O(1)如图2，点A1，B1，A2，B2，①在线段A1B1，A2B2，②若线段A1B1，A2B2，A3(2)已知y=−3x+bb>0交x轴于点C，在△ABC中，AC=3，AB=2．若线段AB是⊙O的关于直线题型08阿氏圆24．（2023·山东济南·一模）抛物线y=−12x2+a−1x+2a与x轴交于Ab,0，(1)求a，b，c的值；(2)如图1，连接BC、AP，交点为M，连接PB，若S△PMBS△AMB(3)如图2，在（2）的条件下，过点P作x轴的垂线交x轴于点E，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE'，旋转角为α(0°<α<90°)，连接E'B，E'C，求25．（2024·浙江·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=14x2−(1)求点A、B、C的坐标；(2)如图2，若点P在以点O为圆心，OA长为半径作的圆上，连接BP、CP，请你直接写出26．（2024·广东珠海·一模）如图，抛物线y=54x2−52x−25分别交x轴于点A(1)求点A和点B的坐标；(2)以B为圆心，3为半径作圆．①如图1，连接AC，P是线段AC上的动点，过点P作⊙B的一条切线PM（点M为切点），求线段②如图2，点D为抛物线的顶点，点Q在圆B上，连接CQ，DQ，求27．（2023·浙江·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=−14x2+bx+3的对称轴是直线x=2，与x轴相交于A，B两点（点A在点B(1)求抛物线的解析式及顶点坐标；(2)M为第一象限内抛物线上的一个点，过点M作MN⊥x轴于点N，交BC于点D，连接CM，当线段CM=CD时，求点M的坐标；(3)以原点O为圆心，AO长为半径作⊙O，点P为⊙O上的一点，连接BP，CP，求2PC+3PB的最小值．题型09圆、几何图形、锐角三角函数综合28．（2024·湖南长沙·一模）如图1，点A,B,C在圆O上运动，满足AB2=BC2+AC(1)求证：∠DAC=∠CBA；(2)记△ABC,△ACD,△ABD的面积为S1,S2,S(3)如图2，点Q是线段BC上一动点（Q不与B,C重合），QP⊥AD于P，交AC于点M．若tanD=2，设CQBC=x，且y=PD⋅1DQ⋅DC+29．（2023·浙江杭州·模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=9，点E是边AD上一点，且AE=3，点F在边AB上，过点B、F、E作圆O，交边BC或其延长线于G，连接BE，GE，(1)求tan∠FGE的值；(2)若BG=EG，求x的值；(3)若x=2，求弧EF的长；(4)若圆O经过矩形的两个顶点时，直接写出x的值．（注：sin19°=13，cos30．（2023·广东深圳·模拟预测）（1）如图1，已知点A（2，4），B是y轴上的动点，过点A作AB⊥AC交x轴于点C,M是BC中点，求证AM=OM （2）在（1）的条件下，可知M在线段AB的垂直平分线上，若点P（1,0），则PM（3）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,AC=6,BC=8,D为AB中点，圆O过C、D，两点且分别交AC,BC于点E,F，连接CO,EF，当圆O从过点A变化到过B时，O题型10与圆有关的阅读理解问题31．（2023·江苏徐州·模拟预测）阅读下列材料，并完成相应的任务．我们学习过利用尺规作图平分一个任意角，而“利用尺规作图三等分任意一个角”曾是数学史上一大难题，之后被数学家证明是不可能完成的，在“三等分角”整个充满艰辛的探索道路上，许多人获得了意外的发现，如：用其他辅助工具三等分角和尺规作图三等分90°和45°角．任务：(1)如图①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，在图中作出∠ACB的三等分线CD，（要求：尺规作图，保留痕迹，不写作法）(2)由（1）知，我们可以用尺规作出直角的三等分线，但是仅仅使用尺规却不能把任意一个角分成三等分，为此，人们发明了许多等分角的机械器具，如图②是用三张硬纸片自制的一个最简单的三分角器，与半圆O相接的AB带的长度与半圆的半径相等；BD带的长度任意，它的一边与直线AC形成一个直角，且与半圆相切于点B；假设需要将∠KSM三等分，如图③，首先将角的顶点S置于BD上，角的一边SK经过点A，另一边SM与半圆相切，连接SO，则SB，SO为∠KSM的三等分线，请你证明．32．（2024·山西晋中·一模）阅读与思考在学习《直线与圆的位置关系》时，老师布置了一道课后探究题：已知⊙O外一点P（图1），你能用尺规过点P作⊙O的切线吗？你有几种方法？小聪同学积极探索作图方法，并且进行了原理说明和总结反思，以下是他的探索过程，请你仔细阅读，并完成相应的任务：【题目分析】先画草图，发现若PE是⊙O的切线，则∠PEO=90°，所以解决此问题的关键是构造一个直角，即在⊙O上找一点E使∠PEO=90°．【作法展示】①连接PO并延长，交⊙O于A，B两点，（如图2）②以点P为圆心，PO长为半径画弧，再以点O为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点C．③连接OC，交⊙O于点E．④作直线PE．直线PE就是所求作的⊙O的切线．【原理说明】证明：如图2，连接PC，由作法可得，PO=PC，CO=AB，∴△OPC为等腰三角形，又∵OE=OA=1∴OE=1∴PE⊥CO（）（填写依据）又∵点E在⊙O上，．直线PE是⊙O的切线．【总结反思】对于较复杂的尺规作图可以按照如下步骤解决：①先画草图；②借助草图，从结论出发，逆向探究，联想相关知识，思考作法；③利用尺规，按照作法，画出正确图形；④写出结论．我们不仅要会作图还要知道为什么要这样作图，即实施这些步骤的理由是什么．并且从不同的知识出发可以得到不同的作法，例如本题还可以利用“直径所对的圆周角是直角”得到另一种作法．任务：(1)上述材料【原理说明】中的依据是________；(2)如图3，在图2的基础上，在⊙O上取一点M（不与点A，E重合），连接AM，EM，若∠CPE=35°，求∠AME的度数；(3)请同学们根据小聪的【总结反思】尝试在图1中用尺规过点P作出⊙O的一条切线．（要求：不写作法，保留作图痕迹）33．（2023·山西吕梁·模拟预测）请阅读下面材料，并完成相应的任务．阿基米德（Arehimedes，公元前287-公元前212年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子．阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BC>AB．M是ABC的中点，则从点M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD=AB+BD．这个定理有很多证明方法，下面是运用“垂线法”证明CD=AB+BD的部分证明过程．证明：如图2，过点M作MH⊥射线AB，垂足为点H，连接MA，∵M是ABC的中点，∴MA=MC．任务：(1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；(2)如图3，已知等边三角形ABC内接于⊙O，D为AC上一点，∠ABD=15°．CE⊥BD于点E，CE=3，连接AD，求△DAB的周长．34．（2023·河南新乡·三模）阅读下列材料，并完成相应学习任务：我们知道，圆内接四边形的对角互补，那么过对角互补的四边形的四个顶点能作一个圆吗？学习小组经过探究发现：过对角互补的四边形的四个顶点能作一个圆．下面是学习小组的证明过程：已知：在四边形ABCD中，∠A+∠C=180°求证：过点A、B、C、D可作一个圆．证明：假设过点A、B、C、D四点不能作一个圆，设过点A、B、D三点作出的圆为⊙O．分两种情况讨论．①如图（1），若点C在⊙O内．延长DC交⊙O于点E，连接BE．∵∠BCD是△BCE的外角，∴∠BCD>∠E．∵∠A+∠E=180°，∠A+∠BCD=180°，∴∠E=∠BCD，与∠BCD>∠E矛盾，②如图（2），若点C在⊙O外．设CD交⊙O于点E，连接BE．∵∠BED是△BCE的外角，∴∠BED>∠C．∵∠A+∠C=180°，∠A+∠BED=180°，∴∠BED=∠C，与∠BED>∠C矛盾．综上可知，假设不成立，故过点A、B、C、D可作一个圆．学习任务：(1)在以上应用反证法的证明过程中主要体现的数学思想是______．(2)应用上述结论，解决以下问题：如图（3），在四边形ABCD中，∠ADC+∠ABC=180°，对角线AC，BD交于点E．①若∠ACB=25°，求∠ADB的度数；②若BE=5，AD=CD=6，求DE的长．题型11与圆有关的存在性问题35．（2024·山东淄博·一模）如图1，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点O在边BC上，以O为圆心BO为半径作⊙O，⊙O与射线BD的另一个交点为E，直线CE与射线AD交于点F．(1)设BO=x，BE=y，求y与x之间的函数关系式，并直接写出x的取值范围；(2)如图2，连接AO，当AO∥CE时，请求出(3)如果射线EC与⊙O的另一个交点为Q，连接OQ，问是否存在△COQ为直角三角形，若存在，请直接写出Rt△COQ36．（2023·四川达州·模拟预测）如图，抛物线y=x+1x−a（其中a>1）与x轴交于A，B两点，交y轴于点(1)直接写出线段AB的长（用a表示）；(2)若⊙D为△ABC的外接圆，且△BCD与△ACO的面积之比为5:8，求此抛物线的解析式，并求出点D的坐标；(3)在（2）的前提下，试探究抛物线y=x+1x−a上是否存在一点P，使得∠CAP=∠DBA？若存在，求出点37．（2023·浙江绍兴·模拟预测）已知平面上有两个定点A、B，则平面上满足PAPB=k（k是不为1的常数）的动点P形成一个圆，我们把这样的圆叫做定比圆，如图点A−2,0、B(1)求圆M的圆心坐标和半径；(2)圆M上是否存在P，使△PAB为直角三角形，若存在求出点P坐标；(3)若点Q的坐标为2,3，求3PQ+PB的最小值．38．（2024·陕西西安·二模）（1）如图1，在△AOB中，OA=OB，∠AOB=120°，AB=12，若⊙O的半径为2，点P在⊙O上，M是线段AB上一动点，连接PM，求线段PM的最小值，并说明理由．新定义：在平面直角坐标系中，已知点M为定点，对点A给出如下定义，在射线AM上，若MN=k⋅MA（k>0，且k为整数），则称N是点A的“k倍点”．（2）如图2，点A是半径为1的⊙O上一点，且M3,1，N是点A的“二倍点”，点P为直线y=3x上一点，是否存在点P，使得线段PN最小；若存在，请求出PN题型12与圆有关的定值问题.39．（2023·浙江杭州·二模）如图，AB，CD是⊙O的两条直径，AB⊥CD，点E是BD上一动点（点E不与B，D重合），CE，分别交OD，G，连接AC．设⊙O的半径为r，∠OAF=α．​(1)∠OCG=（用含α的代数式表示）；(2)当α=30°时，求证：AF=2FE；(3)判断AG⋅CF是否为定值．若是，求出该定值；若不是，请说明理由．40．（2023·四川达州·模拟预测）在平面直角坐标系，抛物线y=ax2+bx+c与x轴分别交于A，B两点（A在B左侧），与y轴交于点C(1)求抛物线的解析式并求出点A，B的坐标；(2)如图1，P，Q是抛物线对称轴上两点（点P在点Q上方），且PQ=1，当AQ+QP+PC取最小值时，求点P的坐标；(3)如图2，点D是第四象限内抛物线上一动点，过点D作DF⊥x轴于F，△ABD的外接圆与DF相交于点E．问：线段EF的长是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，说明理由．41．（2023·江苏盐城·三模）已知⊙C的圆心C(0,3)，半径为2，一次函数y=kx+b经过点A(−1,0)且与⊙C交于P、Q两点，M是PQ的中点，且直线PQ与直线m:y=−13x−2(1)当直线PQ经过点C时，求点N的坐标；(2)当PQ=23(3)AM⋅AN是定值吗，若为定值，求出该值；若不为定值，请说明理由．模拟集训（时间：60分钟）一、单选题1．（2023·江苏镇江·模拟预测）如图，⊙O的半径为1，AB是⊙O的直径，CD是弦，E是劣弧CD上一点，将⊙O沿CD折叠，使得点E的对应点是点E'，且弧CE'D与AB相切于点E'，设线段BE'的长度为xA．(x−1)2+yC．x−12+y−2．（2023·广东深圳·二模）如图，直线l：y=−12x+4分别与x轴、y轴交于点A、B．点P为直线l在第一象限的点．作△POB的外接圆⊙C，延长OC交⊙C于点D，当△POD的面积最小时，则⊙CA．5 B．2 C．3 D．33．（2023·河北保定·二模）嘉嘉与淇淇在讨论下面的问题：如图，Rt△ABC中，AB=60，AC=45，∠BAC=90°．D，E分别是AC，AB边上的动点，DE=52，以DE为直径的⊙O交BC于点P，Q两点，求线段PQ嘉嘉：当点D，E分别在AC，AB上移动时，点О到点A的距离为定值；淇淇：当PQ为圆О的直径时，线段PQ的长最大．关于上述问题及两人的讨论，下列说法正确的是（

）A．两人的说法都正确，线段PQ的最大值为52B．嘉嘉的说法正确，淇淇的说法有问题，线段PQ长度的最大值为48C．淇淇的说法有问题，当DE∥BC时，线段D．这道题目有问题，PQ的长度只有最小值，没有最大值4．（2023·河北衡水·二模）如图1，某校学生礼堂的平面示意图为矩形ABCD，其宽AB=20米，长BC=24米，为了能够监控到礼堂内部情况，现需要在礼堂最尾端墙面CD上安装一台摄像头M进行观测，并且要求能观测到礼堂前端墙面AB区域，同时为了观测效果达到最佳，还需要从点M出发的观测角∠AMB=45°．甲、乙二人给出了找点M的思路，以及MC的值，下面判断正确的是(

)甲：如图2，在矩形ABCD中取一点O，使得OA=OB=OM，M即为所求，此时CM=10米；乙：如图3，在矩形ABCD中取一点O，使得OA=OB，且∠AOB=90°，以O为圆心，OA长为半径画弧，交CD于点M1，M2，则M1，M2均满足题意，此时A．甲的思路不对，但是MC的值对 B．乙的思路对，MC的值都对且完整C．甲、乙求出的MC的值合在一起才完整 D．甲的思路对，但是MC的值不对二、填空题5．（2023·浙江温州·三模）杭州奥体网球中心以极度对称的“莲花”造型惊艳众人．该建筑底部是由24片全等“花瓣”组成的“固定花环”，上方穹顶由8片全等“旋转花瓣”均匀连接，可根据天气变化合拢或旋转展开．小明借助圆的内接正多边形的知识，模拟“小莲花”变化状态．穹顶合拢时，如图①，正二十四边形顶点A1，正八边形顶点B1与圆心O共线，正二十四边形顶点A1，A10与正八边形顶点M1，M3共线，则A1A10M1M3的值为；穹顶开启时，如图②，所有“旋转花瓣”同时绕着固定点M1，M2，…，M8逆时针同速旋转．圆心O绕6．（2023·河北保定·二模）定义：P,Q分别为两个图形G1,G2上任意一点，当线段PQ的长度存在最小值时，就称该最小值为图形G1和G2的“近距离”；当线段如图，在平面直角坐标系xOy中，点A−2,3（1）线段AB与线段CD的“近距离”为．（2）⊙M的圆心在x轴正半轴上，半径为1，若⊙M与CD相切于点E，则⊙M与线段AB的“近距离”为，此时⊙M与四边形ABCD的“远距离”为．7．（2023·福建厦门·模拟预测）早在10世纪，阿拉伯著名数学家阿尔·库希（al－Kuhi）设计出一种方案，通过两个观测者异地同时观测同一颗流星来测定其发射点的高度．如图，假设有两名观测者在A，B两地观察同一颗流星S（流星与地球中心O，A，B在同一个平面内），AC，BC均为当地地平线（与圆O相切），两人观测的仰角分别为15°，30°．若地球半径为R，lAB=π3R，则8．（2023·江苏无锡·三模）如图，在直角坐标系中，A−4,0，D是OA上一点，B是y正半轴上一点，且OB=AD，DE⊥AB（1）当D是OA的中点时，DE=；（2）求OE的最小值；9．（2023·福建三明·二模）如图，AB为⊙O的直径，点M为⊙O内一个定点，∠MAB=30°，OM=12OA，经过点M的弦PQ交AB①△AOM为直角三角形；②△MOC与△BPC相似；③若AM平分∠PAB，则四边形APBQ为矩形；④若∠BPQ=2∠APQ，则AQ=2OM．其中正确的是（填写所有正确结论的序号）．三、解答题10．（2023·云南昆明·模拟预测）【问题引入】如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，过点B作直线MN，过点A作AE⊥MN于点E，判断：点E一定________Rt△ABC外接圆【问题探索】如图2，以线段AB上一点O为圆心，OB为半径画圆，交AB于点C，点D是异于点B，C的⊙O上一点，E为BD的延长线上一点.当AE有最小值f时，此时DE=f2，且（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若f=8；以A为圆心，AD为半径画弧交射线BD于点F（与D不重合），G为BD的中点，判断点A，O，G，F是否在一个圆上？如果在，请求出这个圆的面积；如果不在，请说明理由．11．（2023·江苏淮安·二模）某数学兴趣小组同学遇到这样一个问题：如图1，点A是一只探照灯，距离地面高度AB=m，照射角度∠MAN=α，在地平线l上的照射范围是线段MN，此灯的光照区域△AMN的面积最小值是多少？(1)小明同学利用特殊化方法进行分析，请你完成填空：如图2，设α=90°，m=4，构造△AMN的外接圆⊙O，可得OA≥AB，即OA的最小值为4，又MN=2OA，故得MN的最小值为__________，通过计算可得△AMN的面积最小值为__________．(2)当α=45°，解：作△AMN的外接圆⊙O，作OH⊥MN于H，设MN=2x(3)请你写出原题中的结论：光照区域△AMN的面积最小值是___________________．（用含m，(4)如图3，探照灯A到地平线1距离AB=4米，到垂直于地面的墙壁n的距离AD=6米，探照灯的照射角度∠MAN，且sin∠MAN=45，光照区域为四边形AMCN，点M、N分别在射线CD、CB上，设△ACM的面积为S1，△ACN的面积为S12．（2023·河南平顶山·二模）提出问题：古希腊数学家欧几里得（约公元前325——公元前265），被称为“几何学之父”．在其所著的《几何原本》中，包含了5条公理、5条公设、23个定义和467个命题，即先提出公理、公设和定义，再由简到繁予以证明，并在此基础上形成了欧式几何学体系．《几何原本》第3卷给出其中一个命题：如果圆外的一点向圆引两条直线，一条与圆相切，一条穿过圆，那么被圆截得的线段与该点到凸圆之间的线段为边构成的矩形的面积等于以该点向圆引的切线所构成的正方形的面积．如图1，上述结论可表示为AB探索问题：小明在探究的过程中发现，线段AD的位置有两种情况，即AD过圆心O和AD不过圆心O．如图2，当AD经过圆心O时，小明同学进行了如下推理：连接OB，易得∠ABC=∠ADB，又∠A=∠A，所以△ABC∽△ADB，可得对应边成比例，进而可知，当AD经过圆心O时，得AB2=AC⋅AD(1)已知：如图3，AB为⊙O的切线，B为切点，AD与⊙O相交于C，D两点，连接BC，BD．求证：AB证明：．(2)解决问题：如图4，已知AB为⊙O的直径，C为BA延长线上一点，CD切⊙O于点D，连接AD，若CD=32，CA=3，请直接写出AD13．（2023·广东深圳·模拟预测）【模型由来】“阿氏圆”又称“阿波罗尼斯圆”，已知平面上两点A、B，则所有满足PAPB=k（k>0且【模型建立】如图1所示，圆O的半径为r，点A、B都在圆O外，P为圆O上一动点，已知r=kOB，连接PA、PB，则当“PA+kPB”的值最小时，P点的位置如何确定？第1步：一般将含有k的线段PB两端点分别与圆心O相连，即连接OB、OP；第2步：在OB上取点C，使得OP2=OC⋅OB，即OCOP=第3步：连接AC，与圆O的交点即为点P（图3）．【问题解决】如图，⊙O与y轴、x轴的正半轴分别相交于点M、点N，⊙O半径为3，点A0,2，点B(1)PA+2PB的最小值是多少？(2)请求出（1）条件下，点P的坐标．

专题12圆压轴（解析版）目录TOC\o"1-3"\n\h\z\u真题演练题型01与圆有关的多结论问题（选/填）题型02与圆有关的平移问题题型03与圆有关的翻折问题题型04与圆有关的旋转问题题型05与圆有关的最值问题题型06与圆有关的动点问题题型07与圆有关的新定义问题题型08阿氏圆题型09圆、几何图形、锐角三角函数综合题型10与圆有关的阅读理解问题题型11与圆有关的存在性问题题型12与圆有关的定值问题.模拟集训

真题演练题型01与圆有关的多结论问题（选/填）1．（2023·河北保定·模拟预测）如图，在△ABC中，BC=10，点O为AB上一点，以5为半径作⊙O分别与BC，AC相切于D，E两点，OB与⊙O交于点M，连接OC交⊙O于点F，连接ME，FE，若点D为BC的中点，给出下列结论：①CO平分∠ACB；②点E为AC的中点；③∠AME=22.5°；④MF的长度为52A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】连接OD，OE，⊙O分别与AC和BC相切，证明CO平分∠ACB，根据平行线分线段成比例定理证明E为AC的中点，再利用弧长公式求出弧长．【详解】如图，连接OD，OE．

∵⊙O分别与AC和BC相切，∴OE=OD=5，且OE⊥AC，OD⊥BC，∴CO平分∠ACB，故①正确；∵点D为BC的中点，BC=10，∴DC=OD=5，∵∠ODC=90°，∴∠OCD=45°，∴∠ACB=90°，∴OD∥∴点O为AB的中点，

∵OE⊥AC，∴OE∥故点E为AC的中点，故②正确；

由①知，∠OCE=∠COE=45°，∴∠AOE=45°，∴∠AME=1故③正确；由③可知：OD垂直平分BC，∴OC=OB，∴∠OBC=∠OCB=45°∴∠BOC=90°，∴MF的长度为90×π故④正确，故选D．【点睛】此题考查了圆周角定理、切线的基本性质，平行线分线段成比例，解题的关键是熟悉圆的性质并构造辅助线．2．（2024·山东济宁·一模）如图，在扇形OAB中，∠AOB=90°，半径OA=2．将扇形OAB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在AB上点D处，折痕交OA于点C，点E为OB的中点，点P为线段CB上一个动点，连接OP，PE，DP，过点D作DF⊥BC于点F，下列说法：①当点P运动到CB的中点时，四边形COPD为菱形，②S△CDFS△OCB=13，③OP+PE的最小值为3，【答案】①③④【分析】本题考查了折叠的性质，等边三角形的判定与性质，30°角所对直角边是斜边的一半，三角形中线性质，扇形面积和勾股定理，连接OD，由折叠性质可知，OB=BD，OC=CD，由30°角所对直角边是斜边的一半，三角形中线性质可判断①②，当D、P、E三点共线时，OP+PE有最小值，即DE的值，可判断③，再用求面积的方法可判断④，熟练掌握以上知识点的应用是解题的关键．【详解】解：连接OD，由折叠性质可知，OB=BD，OC=CD，∴OB=BD=OD，∴△OBD是等边三角形，∴∠OBD=60°，∴∠OBC=∠DBC=30°，∴OC=CD=1∵当点P运动到CB的中点时，∴OC=CD=DP=OP=1∴四边形COPD为菱形，故①正确；∵DF⊥BC，∴∠CFD=90°，由∠OBC=∠DBC=30°，∠AOB=∠CDB=90°，∴∠CDF=30°，∴CF=1∴CF=1∴S△CDFS△OCB∵O与D是关于BC对称，∴当D、P、E三点共线时，OP+PE有最小值，即DE的值，∴DE⊥OB，∴∠DEB=90°，∵∠OBD=60°，∴∠BDE=30°，∴BE=1在RtDEB中，由勾股定理得DE=BD同理：OC=2∴阴影部分面积为90×π×22360故答案为：①③④．3．（2023·广东广州·二模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，∠ACD+∠BCD=180°，连接OD，过点D作DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为点E、点F，则下列结论正确的是．①∠AOD=2∠BAD；②∠DAC=∠BAC；③DF与⊙O相切；④若AE=4，EC=1，则BC=3．【答案】①③④【分析】本题考查了圆周角定理，全等三角形的性质与判定，切线的判定，根据已知条件得出∠ACD=∠FCD，根据圆内接四边形得出∠FCD=∠DAB，进而得出∠ACD=∠DAB，根据圆周角定理即可判断①，不能确定DC=BC，即可判断②，证明△AOB≌△BOD得出∠ADO=∠BDO，根据三线合一得出DO⊥AB，进而根据AC是直径，得出AB⊥BC，结合已知条件即可判断③，证明△DEC≌△DFC，Rt△ADE≌Rt△BDF【详解】如图，连接DB，∵∠ACD+∠BCD=180°，∠ACD+∠ACB+∠DCF=180°，∴∠BCD=∠ACB+∠DCF，∵∠BCD=∠ACB+∠ACD，∴∠ACD=∠FCD，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠FCD=∠DAB，∴∠ACD=∠DAB，∴AD=∴∠ABD=∠BAD，∠AOD=2∠ABD，∴∠AOD=2∠BAD，故①正确，∵不能确定DC=∴∠DAC=∠BAC不一定成立，故②错误，如图，连接BO，∵AD=∴AD=DB，在△AOD和△BOD中，AO=BODO=DO∴△AOD≌△BOD(SSS∴∠ADO=∠BDO，∴DO⊥AB，∵AC是直径，∴∠ABC=90°，即AB⊥BC，∵DF⊥BC，∴DF∥∴DF⊥OD，∴DF与⊙O相切，故③正确，∵∠DCE=∠DCF，∠DEC=∠DFC，DC=DC，∴△DEC≌△DFC(SAS∴DE=DF，CF=CE，∵AD=DB，DE=DF，∴Rt△ADE≌∴BF=AE，∵AE=4，EC=1，∴BC=BF−CF=4−1=3，故④正确．故答案为：①③④．题型02与圆有关的平移问题4．（2023·广东深圳·一模）如图1，平行四边形ABCD中，AD=23，DC=43，∠D=60°，点M在BC延长线上且CM=CD，EF为半圆O的直径且FE⊥BM，FE=6，如图2，点E从点M处沿MB方向运动，带动半圆O向左平移，每秒3个单位长度，当点F与点D重合时停止平移，如图3，停止平移后半圆O立即绕点E逆时针旋转，每秒转动5°，点F落在直线BC上时，停止运动，运动时间为(1)如图1，BF=；(2)如图2，当半圆O与DC边相切于点P，求EM的长；(3)如图3，当半圆O过点C，EF与DC边交于点Q，①求EF平移和旋转过程中扫过的面积；②求CQ的长；(4)直接写出半圆O与平行四边形ABCD的边相切时t的值．（参考数据：sin35°=33【答案】(1)12(2)6−3(3)①EF平移过程中扫过的面积为123，旋转过程中扫过的面积为7π2(4)23【分析】（1）连接BF，在Rt△BMF中，利用勾股定理求出BF（2）连接OC，OP，由半圆O与DC边相切于点P，FE⊥BM得到∠OPC=∠OEC=90°，OP=OE，则OC是∠DCM的角平分线，AD∥BM得到∠D=∠DCM=60°，则∠OCM=12∠DCM=30°，则OE=12（3）①在平移中：ME=MC−CE=23，S平移=ME×EF=123．连接OC，DE，过点O作ON⊥CE于点N，由题意可知，DE⊥BM，∠DCM=60°，CD=43，CE=12CD=23，在Rt△CED中，②过点Q作QK⊥CE于点K，由①可得∠DEF=35°，∠DCE=60°，则∠KQE=35°，∠CQK=30°，得到QK=KEtan35°=2（4）分三种情况讨论求解即可．【详解】（1）如图，连接BF，

在Rt△BMF中，BF=∵AD=BC=23，CM=CD=43，∴BF=2故答案为：12．（2）如图，连接OC，

∵半圆O与DC边相切于点P，FE⊥BM，∴∠OPC=∠OEC=90°，∴OC是∠DCM的角平分线，∵AD∥BM，∴∠D=∠DCM=60°，∴∠OCM=1∵OE=1∴CO=2OE=6，在Rt△CEO中，CE=∴EM=MC−CE=6−33∴EM的长为6−33（3）①平移中：ME=MC−CE=43S平移如图，连接OC,DE，过点O作ON⊥CE于点N，

由题意可知，DE⊥BM，∠DCM=60°，CD=43∴CE=1在Rt△CED中，DE=∵OC=OE=1∴∠OCN=∠OEN，△OCE是等腰三角形，∵ON⊥CE，∴NE=12CE=∴sin∠NOE=∴∠NOE=35°，∴∠DEF=∠NOE=35°，在旋转中：∠DEF=35°，EFS旋转∴EF平移过程中扫过的面积为123，旋转过程中扫过的面积为7π2．EF平移和旋转过程中扫过的面积为②如图，过点Q作QK⊥CE于点K，

由①可得∠DEF=35°，∴∠KQE=35°，∴QK=KEtan35°∵CK+KE=CE=23即2KE=解得KE=63∴CK=62∴CQ=2CK=122答：CQ的长为122（4）当半圆O与DC边相切于点P时，t=ME当半圆O与AD边相切时，即点F与点D重合，此时ME=MC−CE=43∴t=2当半圆O与AB边相切于点G时，如图，

∵∠B=60°，BE=BC+CE=63∴点E到直线AB的距离为sin60°×BE=即此时点F与点G重合，EF⊥AB，∴∠BEF=30°，∴∠DEF=60°，∴t=60综上，t的值为23【点睛】此题考查了旋转的性质、勾股定理、解直角三角形、等腰三角形的判定和性质等知识，读懂题意，数形结合和分类讨论是解题的关键．5．（2023·江苏南京·二模）在平面内，将小棒AB经过适当的运动，使它调转方向(调转前后的小棒不一定在同一条直线上)，那么小棒扫过区域的面积如何尽可能地小呢？已知小棒长度为4，宽度不计．方案1：将小棒绕AB中点O旋转180°到B'A'方案2：将小棒先绕A逆时针旋转60°到AC，再绕C逆时针旋转60°到CB，最后绕B逆时针旋转60°到B'A'(1)①S1=______，S2②比较S1与S2的大小．(参考数据：π≈3.14，(2)方案2可优化为方案3：首次旋转后，将小棒先沿着小棒所在的直线平移再分别进行第2、3次旋转，三次旋转扫过的面积会重叠更多，最终小棒扫过的区域是一个等边三角形．①补全方案3的示意图；②设方案3中小棒扫过区域的面积为S3，求S(3)设计方案4，使小棒扫过区域的面积S4小于S【答案】(1)①4π，8π−83；②(2)①见解析；②S(3)见解析【分析】（1）①利用圆的面积公式计算S1，利用方案2扫过区域为三个圆心角为60°且半径为4的扇形面积减去两倍△ABC的面积计算S②利用参考数据计算近似值再比较即可；（2）①依题意补全方案3的示意图即可；②利用等边三角形的高是4，计算出底边，再利用面积公式计算即可；（3）作等边△ABC，首先让点B在BC上运动，点A在CB的延长线上，运动，使得AB的长度保持不变，当点B运动到点C时，由此AB边调转到ACA'B'边，接着两次同样的方式旋转到BCA【详解】（1）解：①由依题意得：AB=2r=4，∴r=2，∴S又依题意得：方案2扫过区域为三个圆心角为60°且半径为4的扇形面积减去两倍△ABC的面积．等边三角形的面积公式：S=34a∴S故答案是：4π，8π−83②∵S1=4π≈4×3.14=12.56，S2∴S1（2）①依题意补全方案3的示意图如下：

②连接EM，M为切点，则AA'

设AM=x，则AE=2x，由勾股定理得：AM2+E解得：x=4∴AA∴S3（3）设计方案4：如下图，△ABC是等边三角形，首先让点B在BC上运动，点A在CB的延长线上运动，使得AB的长度保持不变，当点B运动到点C时，由此AB边调转到ACA'B'边，接着两次同样的方式旋转到

对于第一次旋转，当旋转AB旋转到DH时，此时DH⊥BC，又作DE平行AB依题意得：阴影部分比等边三角形ABC多三块全等的图形，记每块面积为a，则有a<S△ADF，F为∵S△ADF∴S△ADF∴a<S∴S46．（2023·福建厦门·一模）点O是直线MN上的定点，等边△ABC的边长为3，顶点A在直线MN上，△ABC从O点出发沿着射线OM方向平移，BC的延长线与射线ON交于点D，且在平移过程中始终有∠BDO=30°，连接OB，OC，OB交AC于点P，如图所示．(1)以O为圆心，OD为半径作圆，交射线OM于点E．①当点B在⊙O上时，求BE的长；②⊙O的半径为r，当△ABC平移距离为2r时，判断点C与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)在平移过程中，是否存在OC=OP的情形？若存在，请求出此时点O到直线BC的距离；若不存在，请说明理由．【答案】(1)①23π；②点C在⊙(2)存在，3−【分析】（1）①根据圆的基本性质和等边三角形性质求出∠BAD=90°，再根据锐角三角函数求出半径BO的长，最后根据弧长公式求解即可；②过点O作OH⊥BC于H，根据锐角三角函数求出AD的长，进而求出半径OD的长，再根据三角函数求出HD的长，最后根据垂直平分线的性质与判定证出OC=OD即可得解；（2）解法一：过点O作OH⊥BC于H，过点A作AG⊥BC于G，交BO于点E，连接EC，先根据ASA证出△ABE≌△DCO，得到BE=CO，进而得到CE=CO，设∠EBG=α，在△OPC中，根据三角形内角和定理求出α的度数，进而得出∠1=45°=∠2，再根据三角函数得到CH和HD关于r的代数式，最后根据CH+HD=CD，列方程求解出r，即可得出OH的长；解法二：过点O作OH⊥BC于H，先证出△BAO∽△CHO，得到OAAB=OHCH，根据含30°的直角三角形的性质求出OH的代数式，进而得出CH的代数式，根据OAAB【详解】（1）①∵点B在⊙O上，∴OB=OD，∴∠OBD=∠ODB=30°，∴∠AOB=60°，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=60°，∵∠OBD=30°，∴在△ABD中，∠BAD=90°，∵在Rt△AOB中，sin∴BO=AB∴BE=②点C在⊙O上，理由如下：过点O作OH⊥BC于H，∠BDO=30°，∠ABC=60°，∴在Rt△BAD中，tan∴AD=ABtan∠BDO∴CD=BD−BC=3∴AD=OA+OD=3，∵OA=2r，OD=r，∴3r=3，r=1，即OD=1，∵在Rt△ODH中，∠BDO=30°，cos∴HD=OD⋅cos∵CD=3∴HD=CH=1∵OH⊥BC，∴OC=OD，∴点C在⊙O上；（2）解法一：存在OC=OP的情形，理由如下：过点O作OH⊥BC于H，过点A作AG⊥BC于G，交BO于点E，连接EC，若存在OC=OP，则∠OPC=∠OCP，∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=∠ACB=60°，∴∠OPC=∠APB=180°−∠BAC−∠1=120°−∠1，∴∠OCP=180°−∠ACB−∠2=120°−∠2，∴∠1=∠2，∵AG⊥BC，∴∠3=12∠BAC=30°∴BE=CE，∵∠1=∠2，AB=CD=3，∠3=∠ODC=30°∴△ABE≌△DCOASA∴BE=CO，又∵BE=CE，∴CE=CO，设∠EBG=α，则∠ECB=∠EBG=α，∴∠OEC=∠COP=2α，∵∠1=∠ABC−∠EBG=60°−α，∴∠OPC=∠OCP=120°−∠1=60°+α，∴在△OPC中，260°+α∴α=15°，∴∠1=45°=∠2，∴在Rt△OHC中，∠OCH=45°∴CH=OH，∵在Rt△ODH中，∠ODH=30°∴OH=1∴HD=3∵CH+HD=CD，∴12解得r=3−3此时AO=AD−r=3，OH=∴当平移距离AO为3时，OC=OP，此时点O到直线BC的距离为3−3解法二：存在OC=OP的情形，理由如下：过点O作OH⊥BC于H，若存在OC=OP，则∠OPC=∠OCP，∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=∠ACB=60°，∴∠OPC=∠APB=180°−∠BAC−∠1=120°−∠1，∴∠OCP=180°−∠ACB−∠2=120°−∠2，∴∠1=∠2，∵∠BAO=∠CHO=90°，∴△BAO∽△CHO，∴OAAB∵在Rt△ODH中，∠ODH=30°∴OH=1∴HD=3∴CH=CD−HD=3又∵OA=AD−r=3−r，∴3−r3化简得3−r=r解得r1=3+3经检验，r1，r∵OA=3−r≥0，∴r≤3，∴r=3−3此时AO=AD−r=3，OH=∴当平移距离AO为3时，OC=OP，此时点O到直线BC的距离为3−3【点睛】本题考查了等边三角形和圆的综合题，运用到了圆的性质，等边三角形的性质，解直角三角函数，弧长公式，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，垂直平分线的性质与判定，三角形内角和定理，含30°的直角三角形的性质等众多知识点，复杂程度高，综合性强．题型03与圆有关的翻折问题7．（2023·安徽淮南·一模）如图，已知，AB是⊙O的直径，点C为圆上一点．(1)如图①，将AC沿弦AC翻折，交AB于D，若点D与圆心O重合，AC=23，则⊙O的半径为(2)如图②，将BC沿弦BC翻折，交AB于D，把BD沿直径AB翻折，交BC于点E．（Ⅰ）若点E恰好是翻折后的BD的中点，则∠B的度数为；（Ⅱ）如图③，连接DE，若AB=10，OD=1，求线段DE的长．【答案】(1)2(2)（Ⅰ）22.5°；（Ⅱ）DE=2【分析】（1）过点O作OM⊥AC，垂足为M，结合垂径定理，在Rt△AOM中求得∠OAM=30°，再由OA=（2）（Ⅰ）连接CA、CD、DE，可以得到AC=CD=DE=EB，进而得到（Ⅱ）连接连接CA、CD、OC，由（Ⅰ）知，AC=CD=DE，则∠A=∠ADC，由OA=OC，则∠A=∠ACO，进而可证得△CAD∽△OAC，利用其性质求得AC，即为DE．【详解】（1）解：如图①，过点O作OM⊥AC，垂足为M，交圆于点N，则AM=MC=1∵将AC沿弦AC翻折，交AB于D，点D与圆心O重合，∴OM=MN=1在Rt△AOM中，sin∴∠OAM=30°，∴OA=AM∴⊙O的半径为2，故答案为：2；（2）（Ⅰ）如图②，连接CA、CD、DE，∵点E恰好是翻折后的BD的中点，∴DE=∵∠ABC=∠DBC=∠DBE，∴AC=∴AC=CD=DE=EB，∴∠EDB=∠B，∴∠DCE=∠DEC=∠EDB+∠B=2∠B，∴∠CAD=∠CDA=∠DCE+∠B=3∠B，∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∴∠CAD+∠B=90°，∴4∠B=90°，∴∠B=22.5°，故答案为：22.5°；（Ⅱ）如图③，连接连接CA、CD、OC，∵AB=10，OD=1，∴OA=12AB=5由（Ⅰ）知，AC=CD=DE，则∠A=∠ADC，又∵OA=OC，则∠A=∠ACO，∴∠ADC=∠ACO，∠A=∠A，∴△CAD∽△OAC，∴ADAC=AC∴AC=25∴DE=25【点睛】本题考查了圆的性质，解直角三角形，三角形相似等知识点，（2）（Ⅰ）的关键是找到∠B所对的三段弧都相等，进而得到几个等腰三角形；（Ⅱ）的关键是把求DE转化成求AC，再考虑相似．8．（2022·河北保定·一模）Rt△ABC，∠C=90°，BC=6，tanB=43，E，F分别在AC，BC边上，且EF=5，将△EFC沿EF翻折至(1)CF=3时，CC'=_________，O(2)若以F，C，E为顶点的三角形与△ABC相似，求CF的长；(3)在（2）的条件下，求点O到AB的距离；(4)△EFC的面积最大是_______．(5)直接写出半圆O过△ABC的外心时，CF的值．【答案】(1)245，(2)CF=3或4(3)OD=2310(4)25(5)CF=3【分析】（1）先利用正切的定义求出AC=8，由勾股定理求出AB=10，CE=4，得到EF是△ABC的中位线，则EF∥AB，证明CC'⊥AB，点C'在AB上，由等积法即可得到CC'=245，由点O到AB（2）分△EFC∽△ABC和△FEC∽△ABC两种情况分别进行求解即可；（3）连接OA，OB，OC，过O分别作OD⊥AB于D，OM⊥BC于M，（4）在△EFC中，hEF≤OC=1（5）建立直角坐标系，由点A8,0，B0,6得到AB的中点D为4,3，设F0,y，Ex,0，则【详解】（1）解：如图，Rt△ABC，∠C=90°，BC=6，tan∴AC=BC⋅tan∴AB=A∵∠C=90°，CF=3，EF=5，∴CE=E∴CE=1∴EF是△ABC的中位线，∴EF∥∵CC'⊥EF，且EF∴CC'⊥AB，点C∵12∴hAB∴CC∵点O到AB的距离是点C到AB的距离的一半，∴点O到AB的距离是125故答案为：245，（2）∵∠C=90°，BC=6，∴43∴AC=8，由勾股定理，得AB=10．①当CFBC=CE即CF6解得CF=3，CE=4；②当CFAC=CE即CF8解得CF=4，CE=8．∴CF=3或4；（3）由（2）和（1）可知，CF=3时，O到AB的距离为125连接OA，OB，OC，过O分别作OD⊥AB于D，OM⊥BC于M，

∵O为EF中点，∠ACB=90°，∴OM∥EC，ON∥FC．∵OM=12CE当CF=4时，CE=3．∴OM=32，∴S△AOC+S∴12×3同理当CF=3时，CE=4．∴ON=32，∴12∴OD=12故OD=2310或（4）∵在△EFC中，hEF∴S△EFC故答案为：25（5）如图，建立如图所示的直角坐标系，

∵点A8,0，B∴AB的中点D为4,3，设F0,y，E则O'由题意得，x2解得x=4y=3∴CF=y=3．【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、解直角三角形、勾股定理、三角形中位线定理、三角形的外心的性质等知识，数形结合和分类讨论是解题的关键．9．（2021·贵州黔西·模拟预测）如图，已知AB为⊙O的直径，CD为弦．CD=43，AB与CD交于点E，将CD沿CD翻折后，点A与圆心O重合，延长BA至P，使AP=OA，连接PC(1)求⊙O的半径；(2)求证：PC是⊙O的切线；(3)点N为ADB的中点，在PC延长线上有一动点M，连接MN交AB于点G．交BC于点F（F与B、C不重合）．求NG⋅NF的值．【答案】(1)4；(2)见解析；(3)32．【分析】（1）连接OC，根据翻折的性质求出CD⊥OA，再利用解直角三角形求解即可；（2）利用勾股定理列式求出PC，然后利用勾股定理逆定理求出∠PCO=90°，再根据圆的切线的定义证明即可；（3）连接NA、AF、NB，根据等弧所对的圆周角相等可得∠BAN=∠AFN，然后根据两组角对应相等两三角相似求出△ANG和△FNA相似，根据相似三角形对应边成比例可得ONNF=NGNH，从而得到NG•NF【详解】（1）如图，连接OC，∵CD沿CD翻折后，点A与圆心O重合，∴OE=AE=12OA∵AB为⊙O的直径，CD为弦．∴CD⊥OA，CE=1∴∠CEO=90°，∵OC=OA，OE=AE=12OA∴sin∠OCE=∴∠ECO=30°，又cos∠ECO=∴OC=CE（2）∵PA=OA=4，AE=OE=2，CE=12CD=23，∠∴PC=EC∵OC=4，PO=4+4=8，∴PC2+OC2=（43）2+42=64=PO2∴∠PCO=90°，∴PC是⊙O的切线；（3）NG•NF是定值，证明如下，连接NO并延长，交⊙O于点H，连接HF，∵点N为ADB的中点，∴∠NOG=90°，∵∠HFN=90°，且∠ONG=∠FNH，∴△ONG∽△FNH，∴ONNF∴NG•NF=ON•NH=4×8=32．【点睛】本题是圆的综合题型，主要利用了翻折变换的性质，垂径定理，勾股定理，勾股定理逆定理，圆的切线的定义以及解直角三角形，相似三角形的判定与性质，解题的关键是作辅助线构造出相似三角形．题型04与圆有关的旋转问题10．（2023·江苏常州·一模）如图1，将一个三角形纸板△ABC绕点A逆时针旋转θ到达△AB'C'的位置，那么可以得到：AB=AB'，(1)上述问题情境中“（________）”处应填理由：______________________________________；(2)如图2，将一个半径为4cm，圆心角为60°的扇形纸板ABC绕点O逆时针旋转90°到达扇形纸板A①请在图中作出点O；②如果BB'=6cm，则在旋转过程中，点(3)如果将与（2）中完全相同的两个扇形纸板重叠，一个固定在墙上，使得一边位于水平位置．另一个在弧的中点处固定，然后放开纸板，使其摆动到竖直位置时静止．此时，两个纸板重叠部分的面积是多少(如图3)？【答案】(1)旋转前后对应边相等，对应角相等(2)①作图见详解；②3(3)8π−8【分析】（1）根据旋转的性质即可求解；（2）①根据旋转中心在对应点连线的垂直平分线的交点处即可求解；②根据弧长公式的计算方法即可求解；（3）如图所示，连接PA'交AC于点M，连接PA交A'B'于点N，连接PD，AA'，PB'，PC【详解】（1）解：根据旋转的性质可得，旋转前后对应边相等，对应角相等，∴应填理由为：旋转前后对应边相等，对应角相等，故答案为：旋转前后对应边相等，对应角相等；（2）解：①根据旋转中心为对应点连线的垂直平分线的交点，作图如下：②如图所示，点B绕点0逆时针旋转90°得到B'∴∠BOB'=90°，OB=O∴在Rt△BOB'∴BB故答案为：32（3）解：如图所示，连接PA'交AC于点M，连接PA交A'B'于点N∵点P为BC中点，∴∠PAC=∠PAB=1根据旋转的性质得，∠PA'B'=∠P在Rt△PAM中，∠PAM=30°，PA=4∴sin∠PAM=sin30°=PMPA在Rt△A'DM中，∴cos∠PA'∴DM=1∴S△A'∴阴影部分S阴影根据旋转的性质，同理，S△ADP=S∴阴影部分S阴影∴阴影部分的面积为S阴影【点睛】本题主要考查旋转的性质，旋转中心的确定，弧长公式的计算，全等三角形的判定和性质，含30°的直角三角形的性质，特殊角的三角函数的计算方法，掌握旋转的性质，弧长的计算方法，不规则图形面积的计算方法是解题的关键．11．（2023·广东云浮·二模）如图，A，B，C是⊙O上的三点，且AB=AC，BC=8，点D为优弧BDC上的动点，且cos∠ABC=(1)如图1，若∠BCD=∠ACB，延长DC到F，使得CF=CA，连接AF，求证：AF是⊙O的切线；(2)如图2，若∠BCD的角平分线与AD相交于E，求⊙O的半径与AE的长；(3)如图3，将△ABC的BC边所在的直线l1绕点A旋转得到l2，直线l2与⊙O相交于M，N，连接AM，AN【答案】(1)见解析(2)⊙O的半径为256，(3)l2在运动的过程中，AM⋅AN【分析】（1）连接AO，先证∠BCD=∠ABC，推出AB∥DF，得到四边形ABCF是平行四边形，AF∥BC，再得到（2）连接AO交BC于H，连接OB，由垂径定理得BH=CH=12BC=4，根据cos∠ABC=BHAB=45，求出AB=5，设⊙O的半径为x，则OA=OB=x，OH=x−3，在Rt△BOH中，由勾股定理求出（3）连接AO，并延长AO交⊙O于Q，连接NQ，过点A作AP⊥l2于P，证明△AQM∽△ANP，得到AM⋅AN=AP⋅AQ，由（2）可知，点A到直线l1的距离为3，直线l1绕点A旋转得到l2，A【详解】（1）证明：连接AO，如图1所示：图1∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵∠BCD=∠ACB，∴∠BCD=∠ABC，∴AB∥DF，∵CF=CA，∴CF=AB，∴四边形ABCF是平行四边形，∴AF∥∵AB=AC，∴AB=∴OA⊥BC，∴OA⊥AF，∵OA是⊙O的半径，∴AF是⊙O的切线；（2）解：连接AO交BC于H，连接OB，如图2所示：

图2∵OA⊥BC，∴BH=CH=1∵cos∠ABC=∴AB=5在Rt△AHB中，由勾股定理得：AH=A设⊙O的半径为x，则OA=OB=x，OH=x−3，在Rt△BOH中，由勾股定理得：x解得：x=25∴⊙O的半径为256∵CE平分∠BCD，∴∠BCE=∠DCE，∵∠ABC=∠ADC，∴∠AEC=∠ADC+∠DCE=∠ABC+∠DCE=∠ACB+∠BCE=∠ACE，∴AE=AC=AB=5；（3）解：连接AO，并延长AO交⊙O于Q，连接NQ，过点A作AP⊥l2于则AQ是⊙O的直径，图3∴∠AMQ=90°，∵AP⊥l2，∴∴∠AMQ=∠APN，∵∠AQM=∠ANP，∴△AQM∽△ANP，∴AMAP∴AM⋅AN=AP⋅AQ，由（2）可知，点A到直线l1的距离为3，直线l1绕点A旋转得到∴点A到直线l2∴AP=3，∵AQ=2OA=2×25∴AM⋅AN=AP⋅AQ=3×25∴l2在运动的过程中，AM⋅AN【点睛】此题考查锐角三角函数，证明直线是圆的切线，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，垂径定理，等知识，熟练掌握各知识点并综合应用是解题的关键．12．如图1，已知∠ABC=60°，点O在射线BC上，且OB=4．以点O为圆心，rr>0为半径作⊙O，交直线BC于点D，E(1)当⊙O与∠ABC只有两个交点时，r的取值范围是________．(2)当r=22时，将射线BA绕点B按顺时针方向旋转α①若BA与⊙O相切，求α的度数为多少；②如图2，射线BA与⊙O交于M，N两点，若MN=OB，求阴影部分的面积．【答案】(1)0<r≤23或(2)①15°或105°；②2π−4【分析】（1）根据题意，需要分两种情况：①在点D未到达点B前，⊙O与射线BC有两个交点；②当半径大于OB时，，圆O分别与射线BA，BC有一个交点，求出临界状态的r即可得出结论；（2）①需要分成两种情况：当射线BA在射线BC的上方与⊙O相切时，当射线BA在射线BC的下方与⊙O相切时，分别求出对应的α即可；②连接OM，ON，过点O作OQ⊥MN于点Q，由垂径定理可知，MQ=NQ=12MN=2【详解】（1）解：（1）根据题意，需要分两种情况：①在点D未到达点B前，⊙O与射线BC有两个交点．如图1，当⊙O与AB相切于点G，连接OG，则OG⊥AB，比相切之前

∵∠ABC=60°，∴∠BOG=30°，∴BG=12OB=2即此时r=23只要半径0<r<23②当半径大于OB时，⊙O分别与射线BA，BC有一个交点，如图2，当点D刚好与点B重合，此时r=4，

结合图形可知，r的取值范围为0<r<23或r（2）解：①如图3，当射线BA在射线BC的上方与⊙O相切时，设切点为P，连接OP，∵OB=4，OP=22∴sin∠ABC=∴∠ABC=45∴α=60°−45°=15°，

如图4，当射线BA在射线BC的下方与⊙O相切时，设切点为P，连接OP，同理∠ABC=45∴α=60°+45°=105°，

综上所述，当α为15°或105°时，射线BA与⊙O相切；②如图5，连接OM，ON，过点O作OQ⊥MN于点Q，

∴MQ=NQ=1∵OM=22∴sin∠MOQ∴∠MOQ=45°，∴∠MON=2∠MOQ=90°，∴S阴影【点睛】本题主要考查了切线的判定、垂径定理、解直角三角形以及扇形面积的计算方法，关键是求出∠MON的度数．题型05与圆有关的最值问题13．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）如图1，E点为x轴正半轴上一点，⊙E交x轴于A、B两点，P点为劣弧BC上一个动点，且A(−1,0)、E(1,0)．(1)BC的度数为°；(2)如图2，连结PC，取PC中点G，则OG的最大值为；(3)如图3，连接AC、AP、CP、CB．若CQ平分∠PCD交PA于Q点，求AQ的长；(4)如图4，连接PA、PD，当P点运动时（不与B、C两点重合），求证：PC+PDPA【答案】(1)120(2)2(3)AQ=2(4)PC+PDPA【分析】（1）由已知条件可以得到CD垂直平分AE，所以CA=CE，由于CE=AE，所以可以证得三角形ACE为等边三角形，得到∠CEB=120°；（2）由于直径AB⊥CD，根据垂径定理，可以得到O是CD的中点，又G是CP的中点，连接PD，则OG∥PD，OG=12PD，要求OG最大值，只需要求PD最大值，由于P是