专题13 二次函数性质压轴（测试）

专题13二次函数性质压轴目录TOC\o"1-3"\n\h\z\u真题演练题型01待定系数法求二次函数解析式题型02二次函数的图象与性质题型03二次函数图象与各项系数的关系题型04根据二次函数的对称性求解题型05利用二次函数的性质求最值题型06二次函数与坐标轴交点问题题型07二次函数与不等式题型08二次函数中的平移、翻折、旋转问题题型09函数图象判断综合题型10二次函数与实际问题模拟集训

真题演练题型01待定系数法求二次函数解析式1．（2024·广东佛山·一模）二次函数y=x(1)若A，B两点坐标分别是(−1,0)，(6,0)，求该二次函数的表达式及其图象的对称轴；(2)若该二次函数的最小值为−4，求b−c的最大值．2．（2023·浙江宁波·模拟预测）如图所示，已知拋物线，y=x2+bx+c经过原点O，且与x(1)求抛物线的解析式和顶点坐标；(2)若抛物线向上平移m（m>0）个单位长度后，平移后的顶点到x轴距离小于3，请根据图象直接写出m的取值范围．3．（2024·河南周口·一模）如图，抛物线y=−12x2+bx+c经过A(−1,0)、B(3,0)两点，与y(1)求抛物线的解析式及点G的坐标；(2)连接AC，将线段AC向右水平移动m个单位长度，若它与抛物线只有一个交点，求出m的取值范围．题型02二次函数的图象与性质4．（2024·江苏淮安·一模）在平面直角坐标系xOy中，点Ax1,y1(1)求该抛物线的对称轴（用含t的式子表示）；(2)①当x=−1，x2=2时，②若对于−1<x1<0，1<x2<25．（2023·云南保山·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，直线y=2x+2与x轴，y轴分别交于点A，B，抛物线y=ax2+bx−5a经过点A，将点B(1)求抛物线的对称轴；(2)若抛物线与线段BC恰有一个公共点，结合函数图象，求出a的取值范围．6．（2024·浙江·一模）在二次函数y=−x2+ax+1(1)当a=2时，①求该二次函数图象的顶点坐标；②当0≤x≤3时，求y的取值范围；(2)若Aa−2,b，Ba,c两点都在这个二次函数的图象上，且b<c，求7．（2024·浙江杭州·模拟预测）顶点为D的二次函数y=ax①其与y轴的交点为0，1；②其与x轴的交点为−1，0和3，0；③该函数其最大值为12(1)从以上条件任选两个，求出函数的表达式；(2)若存在直线y=−1，二次函数上的存在一个点A，使得AD等于A到直线的距离，求出A点的坐标．题型03二次函数图象与各项系数的关系8．（2023·山东青岛·二模）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A−1，0，顶点坐标1，n，与y轴的交点在0，2，0，3之间（包含端点），则下列结论：①3a+b>0；②−1≤a≤−23；③对于任意实数m其中正确结论为（只填序号）9．（2023·山东青岛·三模）二次函数y=ax2+bx+ca≠0的图象如图，给出下列四个结论：①3a+2b+c<0；②3a+c<b2−4ac10．（23-24九年级上·四川泸州·阶段练习）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，有下列5个结论：①abc>0；②a+c<b；③b2−4ac<0；④2c<3b；⑤Mx1,11．（2023·山东青岛·二模）如图是抛物线y1=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分，抛物线的顶点坐标A(1,3)，与x轴的一个交点B(4,0)，直线y2=mx+n(m≠0)与抛物线交于A、B两点，下列结论：①2a+b=0；②abc>0；③抛物线与x轴的另一个交点是(−1,0)；④方程（填序号）题型04根据二次函数的对称性求解12．（2024·河南周口·一模）在平面直角坐标系xOy中，Ax1,y1，B(1)若对于x1=−1，x2=−2，有(2)若对于−1≤x1<0，x2=013．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知二次函数y=−14x2+bx+c的图象经过原点O(1)当t=0时．①求y关于x的函数解析式；求出当x为何值时，y有最大值？最大值为多少？②当x=a和x=b时a≠b，函数值相等，求a的值．(2)当t>0时，在0≤x≤8范围内，y有最大值18，求相应的t和x的值．14．（2023·浙江杭州·三模）在平面直角坐标系中，二次函数图象的表达式为y=ax2+(1)若此函数图象过点1,3，求这个二次函数的表达式．(2)若x1,y1、x2(3)若点−1,t在此二次函数图象上，且当x≥−1时y随x的增大而增大，求t的范围．15．（2023·陕西西安·模拟预测）已知抛物线，L:y=ax2+bx−3与x轴交于A−1,0、B两点，与y轴交于点C，且抛物线(1)抛物线的表达式；(2)若抛物线L'与抛物线L关于直线x=m对称，抛物线L'与x轴交于点E，F两点（点E在点F左侧），要使S△ABC题型05利用二次函数的性质求最值16．（2024·安徽芜湖·一模）已知抛物线y=x2+bx+c经过点A(1)求该抛物线的解析式；(2)若该抛物线与y轴交于点C，求△ABC的面积；(3)当自变量x满足m≤x≤m+1m≥1217．（2024·江苏南京·一模）已知函数y=mx(1)求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴总有公共点．(2)不论m为何值，该函数的图象经过的定点坐标是．(3)在−2≤x≤2的范围中，y的最大值是2，直接写出m的值．18．（2023·贵州遵义·一模）已知二次函数y=x(1)若二次函数的图象经过点1,−5，求a的值；(2)在（1）的条件下，当−1≤x≤4时，请求出二次函数的最大值和最小值；(3)当0≤x≤1时，二次函数y=x2+2ax−4图象上的点到x轴距离的最大值为519．（2024·河南漯河·一模）在平面直角坐标系中，点2,y1在抛物线(1)当b<−1时，试说明y1(2)若点1,m和−2,n在该抛物线上，且mn>0，求b的取值范围．(3)当−1≤x≤4时该抛物线的最小值是−2，求b值．20．（2023·河南驻马店·二模）已知函数y=−x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点0,−3(1)求b，c的值；(2)当0≤x≤4时，求y1(3)当0≤x≤m时，若y的最大值与最小值之和为1，请直接写出m的值．题型06二次函数与坐标轴交点问题21．（2023·江苏南京·模拟预测）已知二次函数y=ax2−2ax+3(1)若a<0，求证：该函数的图像与x轴有两个公共点．(2)若a=−1，求证：当−1<x<0时，y>0．(3)若该函数的图像与x轴有两个公共点x1,0，x2,0，且−1<22．（2023·河南郑州·三模）如图，已知抛物线y=ax2+bx+3a≠0经过(1)求抛物线的解析式；(2)求证：直线y=−3x+5与该抛物线没有交点，(3)若Cm,y1，Dn,y2为抛物线y=ax2+bx+3a≠0上两点m<n，M为抛物线上点C和点D之间的动点（含点23．（2024·湖北武汉·一模）已知，抛物线C1:y=14x2−32x−4与x轴交于A，(1)直接写出点A，B，C的坐标；(2)如图1，M为抛物线C1上一点，过点M作MN∥AC，交直线BC于点N，若MN=12(3)如图2，平移抛物线C1得到抛物线C2，使其顶点Q落在y轴的负半轴上，P为OQ的中点，直线y=k1x+t经过点P，交抛物线C2于E，F两点，延长FO，EO分别交抛物线C2于C，D两点，设直线CD题型07二次函数与不等式24．（2023·浙江杭州·模拟预测）已知二次函数y=x(1)若二次函数经过点(2,−1)，求m的值；(2)若二次函数经过点(1,y1)和点(2m,(3)将抛物线y=x25．（2024·河南商丘·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=−x2+2x+c(1)求抛物线的表达式及点A的坐标．(2)设直线AC的函数表达式为y=kx+b，请结合图象直接写出不等式kx+b>−x(3)平行于x轴的直线l交抛物线于点Px1,y1，Qx2,y26．（2022·湖北荆州·三模）探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．结合已有的学习经验，探究函数y=−12x…−4−3−2−101234…y…−−−2−4a−4−2−−…(1)列表，写出表中a的值：a=______．描点、连线，在所给的平面直角坐标系中补全该函数的图象．(2)观察函数图象，回答下列问题：①函数有最______值，是______；②当自变量x的取值范围是______时，函数y的值随自变量x的增大而增大．(3)已知函数y=−23x−题型08二次函数中的平移、翻折、旋转问题27．（2024·重庆南岸·模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=14x2+bx+c交x轴于点A−2,0，(1)求抛物线的函数表达式；(2)如图，若点M是第四象限内抛物线上一点，MN∥y轴交BC于点N,MQ∥BC交x轴于点Q，求MN+3(3)如图，在y轴上取一点G0,7，抛物线沿BG方向平移22个单位得新抛物线，新抛物线与x轴交于点E,F，交y轴于点D，点P在线段FD上运动，线段OF关于线段OP的对称线段OF'所在直线交新抛物线于点H，直线F'P与直线28．（2023·重庆沙坪坝·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A−1,0，点B3,0(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，连接AC，BC，过点C作射线CM交x轴的正半轴于点M，点M与点A关于原点对称，点P是第四象限抛物线上一动点，过点P作BC的垂线交CM于点G，求线段PG长度的最大值及此时点(3)如图2，把点C向上平移1个单位得到点Q，连接AQ，把△AOQ绕点O顺时针旋转一定的角度α(0°<α<360°)，得到△A'OQ'，其中边A'Q'交坐标轴于点29．（2024·浙江·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+4交y轴于点A，交x轴于点B−6,0和点C2,0，连接AB、AQ、BQ，BQ(1)求抛物线表达式；(2)点Q1，73，点M在x轴上，点E①求点E的坐标；②设射线AM与BN相交于点P，交BE于点H，将△BPH绕点B旋转一周，旋转后的三角形记为△BP1H30．（2024·江西南昌·一模）如图、在平面直角坐标系xOy中，抛物线C1:y=−x2+2x+3与x轴交于点A，点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，P为抛物线C1的顶点，连接PB，将抛物线C1(1)求抛物线C2(2)连接AC，BC，求sin∠ACB的值．(3)连接CP，Q是抛物线C2上的点，若满足∠QCO=∠PBC，求点Q31．（2024·山东济南·模拟预测）如图1，二次函数y=ax2+bx−3(a≠0)的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接AC、BC，点A的坐标为−3,0(1)求该二次函数的表达式；(2)若点M，N同时从点B出发，均以每秒一个单位长度的速度分别沿线段BA、BC运动，其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，当运动时间为t秒时，连接MN，将△BMN沿MN翻折，点B恰好落在AC边上的点P处，求t的值及点P的坐标；(3)如图2，在（2）的条件下，二次函数图象的对称轴上是否存在点Q，使得以B，N，Q为顶点的三角形与△ABC相似？如果存在，请直接写出点Q的坐标：如果不存在，请说明理由．题型09函数图象判断综合32．（2024·安徽芜湖·一模）已知反比例函数y=kxk≠0在第二象限内的图像与一次函数y=ax+b的图像如图所示，则函数y=aA B． C． D．33．（2024·安徽·一模）已知反比例函数y=kxk≠0在第二象限内的图象与一次函数y=x+b的图象如图所示，则函数y=A． B． C． D．34．（2024·河南安阳·模拟预测）二次函数y=ax2−aa≠0与反比例函数A． B． C．

D．

35．（2024·安徽·一模）如图是抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c是常数且a≠0）的图象，则双曲线y=4a−2b+cxA． B． C． D．题型10二次函数与实际问题36．（2024·陕西渭南·一模）王老师在一次数学实践课上请同学们设计公园装饰景观灯，提供了两个素材．素材1：某公园计划修建一个如图所示的景观灯，灯柱OA高为4m，抛物线形灯杆的最高点距离地面4.5m，且到灯柱OA的水平距离为1m，灯泡到地面的距离为2.5m．（灯泡大小忽略不计）素材2：为使景观灯更加美观牢固，灯柱两边对称安装此抛物线形灯杆，灯泡C、D关于OA对称（C、D分别在这两个抛物线上），并在两个灯泡之间修建一个支架CD．小张同学建立了如图所示的平面直角坐标系，请你帮他完成以下两个任务：(1)求该抛物线在第一象限的函数表达式：（不要求写自变量x的取值范围）(2)小张同学设计的支架CD长为6m，请你结合已学知识，判断他设计的景观灯支架CD的长度是否符合要求，并说明理由．37．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）如图所示，一场篮球比赛中，某篮球队员甲的一次投篮命中，篮球运行轨迹为抛物线的一部分．已知篮球出手位置点A与篮筐的水平距离为5m，篮筐距地面的高度为3m，当篮球行进的水平距离为3m时，篮球距地面的高度达到最大为3.6m．(1)求篮球出手位置点A的高度．(2)此时，若对方队员乙在甲前面1m处跳起拦截，已知乙的拦截高度为3.12m，那么他能否获得成功？并说明理由．(3)若甲在乙拦截时，突然向后后退0.2m，再投篮命中（此时乙没有反应过来，置没有移动），篮球运行轨迹的形状没有变化，且篮球越过乙时，超过其拦截高度0.08m，求篮球出手位置的高度变化．38．（2024·山东济南·模拟预测）某商场购进了A，B两种商品，若销售10件A商品和20件B商品，则可获利280元；若销售20件A商品和30件B商品，则可获利480元．(1)求A，B两种商品每件的利润；(2)已知A商品的进价为24元/件，目前每星期可卖出200件A商品，市场调查反映：如调整A商品价格，每降价1元，每星期可多卖出20件，如何定价才能使A商品的利润最大？最大利润是多少？39．（2024·浙江宁波·模拟预测）为了给学校的柯尔鸭过冬提供舒适的环境，饲养小组决定用长为k米的篱笆，和一面长为6米的墙围成如图所示的长方形的鸭圈．整个鸭圈的正中间被篱笆隔断成活动区和生活区，活动区和两区中间的篱笆上分别开了一个门，两个门的尺寸均为0.5米，鸭圈垂直于墙的一边的长为a米．（其中篱笆全部用完，不考虑高度，篱笆占地面积忽略，门的材料另备）设计方案小成小韩小林a（米)1.52.53.5CD的长（米）（

）（

）（

）(1)用含k，a的代数式表示鸭圈另一边长CD=米．(2)若k=10固定不变．①若要求鸭圈面积为10平方米，求a的值．②小成、小韩和小林根据a的长度分别给出了3种不同的设计方案见上表，请验算并分析谁的方案比较靠谱．③请通过上述探究，直接写出a的取值范围，并计算鸭圈面积的最大值．(3)若篱笆最多有16米，问：鸭圈面积能否达到24平方米？40．（2024·广西·一模）某科技公司用160万元作为新产品研发费用，成功研制出成本价为4元/件的新产品，在销售中发现销售单价x（单位：元），年销售量y（单位：万件）之间的关系如下图所示，其中AB为反比例函数图像的一部分，BC为一次函数图像的一部分．(1)直接写出y与x之间的函数关系式．(2)设销售产品年利润为w（万元），求出第一年年利润w与x之间的函数关系式，并求出第一年年利润最大值；(3)在（2）的条件下，假设第一年恰好按年利润w取得最大值进行销售，现根据第一年的盈亏情况（若上一年盈利，则盈利不计入下一年的年利润；若上一年亏损，则亏损计作下一年的成本），决定第二年将这种新产品每件的销售价格x定在8元以上（x>8），当第二年年利润不低于103万元时，请你根据题意，简单画出w与x之间函数关系的草图，直接写出x的取值范围．模拟集训（时间：60分钟）一、单选题1．（2024·内蒙古呼和浩特·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，经过A(0,6)的一次函数y1的图象与经过B(0,2)的一次函数y2的图象相交于点C．若点C的纵坐标为3，则函数y=yA． B． C． D．

2．（2023·浙江杭州·模拟预测）已知关于x的二次函数y=ax+1x−a−1的图象与x轴的一个交点坐标为n,0．若1<n<2，则a的取值范围为（A．0<a<1或−1<a<−12 B．0<a<1C．1<a<2或−1<a<−12 D．1<a<23．（2024·陕西榆林·二模）已知二次函数y=ax2−2ax+3a<0，当A．抛物线与x轴的两个交点在y轴同侧 B．当x>0时，y随x的增大而减小C．抛物线与y轴交点的坐标是0,4 D．该抛物线的顶点坐标是1,54．（2024·浙江·模拟预测）关于二次函数y=a(x−1)(x−3)+2(a<0)的下列说法中，正确的是（

）A．无论a取范围内的何值，该二次函数的图象都经过(1,0)和(3,0)这两个定点B．当x=2时，该二次函数取到最小值C．将该二次函数的图象向左平移1个单位，则当x<0或x>2时，y<2D．设该二次函数与x轴的两个交点的横坐标分别为m,n(m<n)，则1<m<n<35．（2024·内蒙古呼和浩特·模拟预测）已知代数式x2−x+1，下列说法正确的有（①无论x取何值，x2−x+1的值总是正数；②x2−x+1的值可正可负也可以是0；③当x=12时，x2−x+1取得最大值，最大值为A．② B．①③ C．②④ D．①④6．（2024·陕西·二模）抛物线L：y=ax2＋bx＋c经过A4,3，BA．2,1 B．−2,−1 C．−2,3 D．−1,17．（2024·陕西西安·二模）把抛物线y=ax2−2ax+3a>0沿直线y=12x+1A．2 B．15 C．14 二、填空题8．（2024·山东济南·二模）如图，抛物线C1的解析式为y=−x2+4，将抛物线绕点O顺时针旋转45°得到图形G，图形G分别与y轴、x轴正半轴交于点A、B，连接AB，则9．（2023·福建福州·三模）在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c过点m+1,m，3−m,m，直线y=x+3与抛物线交于A，B两点，取AB中点C，则C10．（2023·湖北武汉·二模）函数y=x2+2x+b（b为常数）有下列结论：①图像具有对称性，对称轴是直线x=−1；②当x=−1时，函数有最小值b−1；③若b=−3，点P1x1,y1，P三、解答题11．（2024·贵州·一模）如图，篮圈中心到地面的距离为3.05米，一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，篮球运行的路线是抛物线，当运行的水平距离为2.5米时，篮球达到最大高度3.5米，沿此抛物线可准确落入篮圈．(1)在如图所示的直角坐标系中，求抛物线的表达式；(2)该运动员身高1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？(3)篮球准备投出时，小强发现前方距离他1米处对方的防守运动员准备跳起拦截，为了躲避拦截，小强临时调整抛球路线，其表达式为y=−0.2x2+0.4bx−2bb<0，当对方的防守运动员在一个跨步（约0.5米）的范围内起跳，即12．（2024·辽宁辽阳·一模）【问题提出】如图1，在矩形ABCD中，点E在BC上，且BE=4，动点F以每秒1个单位的速度从点B出发，在折线段BA−AD上运动，连接EF，当EF⊥BC时停止运动，过点E作EG⊥EF，交矩形ABCD的边于点G，连接FG．设动点F的运动路程为x，线段FG与矩形ABCD的边围成的三角形的面积为S．【初步感知】如图2，动点F由点B向点A运动的过程中，经探究发现S是关于x的二次函数，如图2所示，抛物线顶点P的坐标为(3,t)，与y轴的交点N的坐标为(0,16)，与x轴的交点为点M．（1）求矩形ABCD的边AB和AD的长；【深入探究】（2）点F由点A向终点运动的过程中，求S关于x的函数表达式；【拓展延伸】（3）是否存在3个路程x1，x2，x3x113．（2024·浙江温州·一模）已知二次函数y=−x(1)若它的图像经过点1,3，求该函数的对称轴．(2)若0≤x≤4时，y的最小值为1，求出t的值．(3)如果Am−2,n，Cm,n两点都在这个二次函数的图象上，直线y=2mx+a与该二次函数交于Mx1,14．（2024·江苏淮安·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+6a≠0与x轴交A−23(1)求二次函数解析式；(2)如图，抛物线对称轴与x轴交于点K，与线段BC交于点M，点R在对称轴上，其纵坐标为12，连接BR，已知点N为线段BR上一动点，连接MN，将△BMN沿MN翻折到△B①当MB②当△B'MN与△BMR重叠部分（如图中的△MNQ

专题13二次函数性质压轴（解析版）目录TOC\o"1-3"\n\h\z\u真题演练题型01待定系数法求二次函数解析式题型02二次函数的图象与性质题型03二次函数图象与各项系数的关系题型04根据二次函数的对称性求解题型05利用二次函数的性质求最值题型06二次函数与坐标轴交点问题题型07二次函数与不等式题型08二次函数中的平移、翻折、旋转问题题型09函数图象判断综合题型10二次函数与实际问题模拟集训

真题演练题型01待定系数法求二次函数解析式1．（2024·广东佛山·一模）二次函数y=x2+bx+c（b，c为常数）的图象与x轴交于A(1)若A，B两点坐标分别是(−1,0)，(6,0)，求该二次函数的表达式及其图象的对称轴；(2)若该二次函数的最小值为−4，求b−c的最大值．【答案】(1)y=x2−5x−6(2)b−c的最大值是5．【分析】本题考查了利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的性质，熟练的构建二次函数，再利用二次函数的性质解决问题即可．（1）根据A、B两点的坐标特征，可设函数y1的表达式为y=(x−x1)(x−x2)（2）由二次函数的性质可得c=14b2−4【详解】（1）解：∵二次函数y=x2+bx+c过点(−1,0)∴y=(x+1)(x−6)=x2−5x−6∴抛物线的对称轴为直线x=−b（2）∵y=x当x=−b2时，函数取最小值．最小值为∴c=1∴b−c=b−1当b=−12×−最大值为−1∴b−c的最大值是5．2．（2023·浙江宁波·模拟预测）如图所示，已知拋物线，y=x2+bx+c经过原点O，且与x(1)求抛物线的解析式和顶点坐标；(2)若抛物线向上平移m（m>0）个单位长度后，平移后的顶点到x轴距离小于3，请根据图象直接写出m的取值范围．【答案】(1)y=x2(2)1<m<7【分析】考查了二次函数综合题，涉及到的知识点比较多：待定系数法确定函数解析式，二次函数图象与几何变换，二次函数的性质等．（1）该抛物线的解析式中只有两个待定系数，只需将A、O两点坐标代入即可得解．（2）首先根据平移条件表示出移动后的函数解析式，进而用m表示出该函数的顶点坐标，再列出不等式求出m的取值范围．【详解】（1）∵拋物线y=x2+bx+c经过原点O，且与x∴将A4,0、O(0,0)代入抛物线y=c=016+4b+c=0解得：b=−4c=0故抛物线的解析式：y=x∴顶点坐标为2,−4；（2）抛物线向上平移m（m>0）个单位长度后，抛物线的解析式为y=x−2可得新抛物线的顶点坐标为2,−4+m，∴新抛物线的顶点到x轴距离为−4+m，∵平移后的顶点到x轴距离小于3，∴−4+m<3解得：1<m<73．（2024·河南周口·一模）如图，抛物线y=−12x2+bx+c经过A(−1,0)、B(3,0)两点，与y(1)求抛物线的解析式及点G的坐标；(2)连接AC，将线段AC向右水平移动m个单位长度，若它与抛物线只有一个交点，求出m的取值范围．【答案】(1)抛物线的解析式为y=−12x2+x+(2)2≤m≤4．【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，图象的交点问题，关键是让线段AC运动起来，找到临界值．（1）由A、B点坐标−1，0和（2）找到与抛物线有交点时的临界值，一个是平移后C的纵坐标为32，一个是A与B【详解】（1）解：∵抛物线y=−12x∴−∴∴抛物线的解析式为y=−∴y=−∴抛物线顶点G的坐标为(1,2).（2）解：把y=32整理得x²−2x=0,解得x1∴点C关于抛物线对称轴的对应点D的坐标为2如图所示,过点D作DE∥AC交AB于点E,过点B作BF∥AC交当线段AC向右平移到DE与FB之间时，AC与抛物线只有一个交点，此时CD=2,CF=AB=3−−1∴当线段AC向右水平移动m个单位长度，与抛物线只有一个交点时，m的取值范围是2≤m≤4题型02二次函数的图象与性质4．（2024·江苏淮安·一模）在平面直角坐标系xOy中，点Ax1,y1(1)求该抛物线的对称轴（用含t的式子表示）；(2)①当x=−1，x2=2时，y1②若对于−1<x1<0，1<x2<2，都有【答案】(1)t(2)①t≥12【分析】本题主要考查了二次函数的性质以及二次函数图像与系数的关系.（1）直接利用对称轴x=−b（2）①先分别求出y1，y2，然后根据y1②先分别求出y1，y2，然后作差得出关于x1和x2的关系式，再根据已知条件得出，x1【详解】（1）解：对称轴为：直线x=−b（2）①当x1=−1时，当x2=2时，∵y1∴2+2t≥5−4t，解得：t≥1②∵点Ax1,y1∴y1=xy=x==∵−1<x1<0∴x1−x∴0<x∵y1∴y1即x1∴x1即x1∵0<x∴2t≤0，∴t≤0，故答案为：t≤0．5．（2023·云南保山·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，直线y=2x+2与x轴，y轴分别交于点A，B，抛物线y=ax2+bx−5a经过点A，将点B(1)求抛物线的对称轴；(2)若抛物线与线段BC恰有一个公共点，结合函数图象，求出a的取值范围．【答案】(1)x=2(2)a≥27或a<−【分析】（1）求得点A的坐标，将A代入抛物线解析式，求解即可；（2）根据点A以及对称轴，可以求得抛物线与x轴的另一交点，分两种情况，a>0或a<0画出函数图象，结合位置关系，列式求解即可．【详解】（1）解：将y=0代入y=2x+2可得2x+2=0，解得x=−将A−1,0代入y=ax2+bx−5a即抛物线解析式为：y=ax此时对称轴为：x=2；（2）解：由（2）可得抛物线经过点A−1,0，且对称轴为则抛物线与x轴的另一交点为：5,0，将x=0代入y=2x+2可得，y=2，即B0,2将点B向右平移6个单位长度，得到点C，则C点坐标为6,2，∵抛物线与线段BC恰有一个公共点，当a>0时，如下，图象开口向上，x=0时，y=−5a，x=6时，y=36a−24a−5a=7a，∴−5a<2解得：a≥2∴a≥27时，抛物线与线段当a<0时，如下图，图象开口向下，x=0时，y=−5a，x=6时，y=36a−24a−5a=7a，∴−5a>2∴a<−2∴a<−25时，抛物线与线段当抛物线的顶点在线段BC上时，如图，则抛物线顶点为2,2，将点2,2代入y=ax2−4ax−5a解得：a=−2综上，当a≥27或a<−25或【点睛】此题考查了二次函数的综合应用，涉及了一次函数与坐标轴交点，点的平移，二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握相关基础性质，学会利用分类讨论的思想求解问题．6．（2024·浙江·一模）在二次函数y=−x2+ax+1(1)当a=2时，①求该二次函数图象的顶点坐标；②当0≤x≤3时，求y的取值范围；(2)若Aa−2,b，Ba,c两点都在这个二次函数的图象上，且b<c，求【答案】(1)①1,2；②−2≤y≤2(2)0<a<2【分析】本题考查了二次函数图像的知识点．（1）将a代入即可求出顶点，再根据二次函数的特点即可求解；（2）求出二次函数的对称轴，再分情况讨论即可．【详解】（1）解：①把a=2代入得y=−x∴抛物线的顶点坐标为1,2；②∵当0≤x≤1时，y随x的增大而增大，当1≤x≤3时，y随x的增大而减小，∴当x=1时，y有最大值2，∵当x=0时，y=1；当x=3时，y=−2∴当0≤x≤3时，−2≤y≤2；（2）抛物线的对称轴为直线x=1①当a−2≤12a≤a，即0≤a≤4时，点B∴a−12a<∴0≤a<2，②当12a>a，即a<0时，点B到对称轴的距离小于点∴1∴a<0③对称轴在点A左侧不合题意，舍去综上所述，0<a<2．7．（2024·浙江杭州·模拟预测）顶点为D的二次函数y=ax①其与y轴的交点为0，②其与x轴的交点为−1，0和③该函数其最大值为12(1)从以上条件任选两个，求出函数的表达式；(2)若存在直线y=−1，二次函数上的存在一个点A，使得AD等于A到直线的距离，求出A点的坐标．【答案】(1)y=−(2)1+72323【分析】本题考查的重点是利用待定系数法求函数的解析式，熟练掌握点和直线，两点间距离公式．（1）选择任意两个条件用待定系数法，就可以求出函数的表达式；（2）根据函数的表达式，计算出点D的坐标，利用点和直线，两点间距离公式就可以计算出点A的坐标．【详解】（1）解：选择条件①和②，∵二次函数y=ax2+bx+c与∴c=1，∵二次函数与x轴的交点为−1，0和∴将点−1，0和a−b+1=0∴a=−1∴函数的表达式y=−答：函数的表达式为：y=−1（2）解：设点A的坐标为t，∵点D为函数y=−1则对称轴x=−2把x=1代入y=−13x∴点D的坐标为1，∵直线y=−1，∴点A到直线的距离=−∴AD设t−1∵A到直线的距离等于AD，∴m+∴m=49∴t=1+72323把t=1±72323代入∴点A1+7答：点A的坐标为：1+72323题型03二次函数图象与各项系数的关系8．（2023·山东青岛·二模）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A−1，0，顶点坐标1，n，与y轴的交点在0，2，0，3之间（包含端点），则下列结论：①3a+b>0；②其中正确结论为（只填序号）【答案】②③④【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系等知识点，利用抛物线开口方向得到a<0，再由抛物线的对称轴方程得到b=−2a，则3a+b=a，于是可对①进行判断；利用2≤c≤3和c=−3a可对②进行判断；利用二次函数的性质可对③进行判断；根据抛物线y=ax2+bx+c与直线【详解】∵抛物线开口向下，∴a<而抛物线的对称轴为直线x=−b2a=1∴3a+b=3a−2a=a<0，所以①错误；把点A−1，∴c=−3a，∵2≤c≤3，∴2≤−3a≤3，∴−1≤a≤−23，所以∵抛物线的顶点坐标1，∴x=1时，二次函数值有最大值n=a+b+c，∴a+b+c≥am即a+b≥am2+bm∵抛物线的顶点坐标1，∴抛物线y=ax2+bx+c∴关于x的方程ax2+bx+c=n−1故答案为②③④．9．（2023·山东青岛·三模）二次函数y=ax2+bx+ca≠0的图象如图，给出下列四个结论：①3a+2b+c<0；②3a+c<b2−4ac【答案】①②④【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，根据二次函数的图象获得有关信息，对要求的式子进行判断，以及二次函数与方程之间的转换．解题的关键是要明确：①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab>0)，对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab<0)，对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于0,c．由二次函数的开口方向，对称轴x=2，以及二次函数与y的交点在x轴的上方，与x轴有两个交点等条件来判断各结论的正误即可．【详解】解：①由图象可知，当x=1时，y<0，即a+b+c<0，∵对称轴x=−1，a<0，∴b=2a<0，∴a+2a+c<0，即3a+c<0，∴3a+2b+c<0，故①正确，符合题意；②∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2∴3a+c<0<b③∵2ax∴ax结合图象可知，抛物线y=ax2+bx+c④∵当x=m（m≠−1）时，y=am2∴a−b+c>am∴mam+b故答案为：①②④．10．（23-24九年级上·四川泸州·阶段练习）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，有下列5个结论：①abc>0；②a+c<b；③b2−4ac<0；④2c<3b；⑤Mx【答案】②④⑤【详解】题目主要考查二次函数的图象和性质及与一元二次方程的关系，结合图象及性质依次进行判断即可，熟练掌握二次函数的基本性质是解题关键．解：①由图象可知a<0，c>0，对称轴x=−∴b=−2a且b>0，∴abc<0，故②由图可知当x=−1∴a−b+c<0，∴a+c<b，故②正确；③∵抛物线与x∴b2−4ac>0④∵b=−2a，a+c<b∴b>−1∴2c<3b，故④正确．⑤∵Mx1,y∴x∵函数对称轴是直线x=1，∴Mx1,∴y1>故答案为：②④⑤．11．（2023·山东青岛·二模）如图是抛物线y1=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分，抛物线的顶点坐标A(1,3)，与x轴的一个交点B(4,0)，直线y2=mx+n(m≠0)与抛物线交于A、B两点，下列结论：①2a+b=0；②abc>0；③抛物线与x轴的另一个交点是(−1,0)；④方程（填序号）【答案】①④⑤【分析】本题考查二次函数的性质、方程与二次函数的关系、函数与不等式的关系等知识，解答关键是数形结合．根据二次函数的性质、方程与二次函数的关系、函数与不等式的关系一一判断即可．【详解】解：①∵抛物线对称轴为直线x=−b∴b=−2a，∴2a+b=0，故①正确；②∵抛物线开口向下，与y轴相交于正半轴，∴a<0，c>0，∴b=−2a>0，∴abc<0，故②错误；③∵抛物线的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点B(4,0)，∴另一个交点坐标为(−2,0)，故③错误；④从图象可以知道，抛物线顶点为(1,3)，∴抛物线y1=ax∴方程ax⑤由图象可知，当1<x<4时，y1故答案为：①④⑤题型04根据二次函数的对称性求解12．（2024·河南周口·一模）在平面直角坐标系xOy中，Ax1,y1，B(1)若对于x1=−1，x2=−2，有(2)若对于−1≤x1<0，x2=0【答案】(1)m=−(2)m≤−【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的增减性和对称性是解题的关键．（1）根据二次函数的性质求得对称轴即可求解；（2）根据对称性得到点0,y2关于对称轴对称的点为2m,y2，y1≥y【详解】（1）解：∵x1=−1，x∴m=x（2）解：∵抛物线的对称轴为直线x=m，∴点0,y2关于对称轴对称的点为∵y1≥∴2m≤x∴2m≤−1，∴m≤−113．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知二次函数y=−14x2+bx+c的图象经过原点O(1)当t=0时．①求y关于x的函数解析式；求出当x为何值时，y有最大值？最大值为多少？②当x=a和x=b时a≠b，函数值相等，求a的值．(2)当t>0时，在0≤x≤8范围内，y有最大值18，求相应的t和x的值．【答案】(1)①y=−14x2+2x；当x=4时，y有最大值为4(2)t=9，x=8．【分析】（1）①当t=0时，求出点A坐标，利用待定系数法即可求出函数解析式，根据函数解析式即可求出二次函数的顶点坐标，进而解答问题；②根据x=a和x=b时a≠b，函数值相等，列得方程−1（2）求出二次函数y=−14x2+bx的对称轴x=2b，由二次函数图象经过原点O和点A8+t,0，可得本题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的对称性，二次函数的最值，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．【详解】（1）解：①当t=0时，A8,0把A8,0、O0,0代入−16+8b+c=0c=0∴b=2c=0∴二次函数为y=−1∵y=−1∴当x=4时，y有最大值，最大值为4；②∵x=a和x=b时a≠b，函数值相等，∴−1整理得，a2解得a=2（不合，舍去）或a=6，∴a的值为6；（2）解：∵二次函数y=−14x∴c=0，∴二次函数y=−1∴对称轴为直线x=2b，∵二次函数y=−14x2+bx+c∴2b=8+t当t≤8时，对称轴x=2b≤8，∵0≤x≤8，∴x=2b时，y有最大值18，即−1整理得，b2∴b=−32或b=3∵4<2b≤8∴2<b≤4，∴b=−32或b=3当t>8时，对称轴x=2b>8，∵−1∴在对称轴的左侧，y的值随x的增大而增大，∵0≤x≤8，∴当x=8时，y有最大值18，即−1解得b=17∴4+1∴t=9；综上，t=9，x=8．14．（2023·浙江杭州·三模）在平面直角坐标系中，二次函数图象的表达式为y=ax2+(1)若此函数图象过点1,3，求这个二次函数的表达式．(2)若x1,y1、x2,y(3)若点−1,t在此二次函数图象上，且当x≥−1时y随x的增大而增大，求t的范围．【答案】(1)y=2(2)a=−(3)−5<t≤−4【分析】（1）将1,3，a−b=4代入y=ax（2）由y1（3）由题意可得t=a−5，分a>0和a<0分别求解即可．【详解】（1）解：将1,3，a−b=4代入y=ax2+解得：a=2，∴b=a−4=−2,∴这个二次函数的表达式为：y=2x（2）∵y1∴这两个点关于抛物线的对称轴对称，∴−b∴−a+1∴a=−1（3）解：点−1,t在二次函数图象上，∴t=a−a−1+a−4=a−5，∵当x≥−1时y随x的增大而增大，当a>0时，有−a+1∴0<a≤1，∴−5<t≤−4，当a<0时，不符合题意舍去，∴−5<t≤−4．【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数表达式，函数图象上点的坐标的特征，二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的各知识点是解决本题的关键．15．（2023·陕西西安·模拟预测）已知抛物线，L:y=ax2+bx−3与x轴交于A−1,0、B两点，与y轴交于点C，且抛物线(1)抛物线的表达式；(2)若抛物线L'与抛物线L关于直线x=m对称，抛物线L'与x轴交于点E，F两点（点E在点F左侧），要使S△ABC【答案】(1)y=(2)y=x−32【分析】（1）抛物线L：y=ax2+bx−3与x轴交于A−1,0、B两点，对称轴为直线（2）S△ABC=2S△EBC，则点E为1,0或5,0，对应抛物线的对称轴为：x=2或x=7，即可求解．【详解】（1）抛物线L：y=ax2+bx−3与x轴交于A−1,0、∴点B∴抛物线的表达式为：y=ax+1即−3a=−3，解得：a=1故抛物线的表达式为：y=（2）S△ABC=2S△EBC，则点E为1,0或5,0，对应抛物线的对称轴为：x=2或x=7故抛物线L'的表达式为：y=x−32【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点，掌握函数与坐标轴的交点、顶点等点所代表的意义、图像上点的坐标特征是解题的关键．题型05利用二次函数的性质求最值16．（2024·安徽芜湖·一模）已知抛物线y=x2+bx+c经过点A(1)求该抛物线的解析式；(2)若该抛物线与y轴交于点C，求△ABC的面积；(3)当自变量x满足m≤x≤m+1m≥12时，此函数的最大值为p，最小值为q，求w=p+q【答案】(1)y=(2)6(3)m=12时，w=p+q【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，（1）根据待定系数法求抛物线的解析式；（2）求出点C的坐标，再求△ABC的面积即可；（3）分两种情况当12≤m<1时，当【详解】（1）解：已知抛物线y=x2+bx+c经过点A1−b+c=09+3b+c=0解得：b=−2c=−3该抛物线的解析式为y=x（2）解：x=0时y=−3，∴C(0,−3)，∵AB=4，∴S（3）解：当12x=m+1时，此函数的最大值为p=(m+1)x=1时，此函数的最小值为q=1−2−3=−4，∴w=p+q=mm=12时，w=p+q的最小值为当m≥1时，x=m+1时，此函数的最大值为p=(m+1)x=m时，此函数的最小值为q=m∴w=p+q=mm=1时，w=p+q的最小值为−7，综上所述：∵−31m=12时，w=p+q有最小值为17．（2024·江苏南京·一模）已知函数y=mx2−(1)求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴总有公共点．(2)不论m为何值，该函数的图象经过的定点坐标是．(3)在−2≤x≤2的范围中，y的最大值是2，直接写出m的值．【答案】(1)见解析(2)0,−2和1,0(3)0或−4【分析】本题考查的是函数与x轴的交点，函数的性质，解题的关键是分类讨论．（1）当m=0时，函数变形为y=2x−2，函数为一次函数，图象与x轴总有公共点；当m≠0时，函数为二次函数，Δ=（2）由y=mx2−（3）当m=0时，函数化简为y=2x−2，根据题意即可求解；当m≠0时，函数为二次函数，分m＞0或【详解】（1）证明：当m=0时，函数变形为y=2x−2，函数为一次函数，图象与x轴总有公共点；当m≠0时，函数为二次函数，令y=0，即mx2−∴方程总有实数根，∴该函数的图象与x轴总有公共点；（2）由y=mx2−m−2x−2=x2−xm+2x−2，当x2−x=0故答案为：0,−2和1,0；（3）当m=0时，函数化简为y=2x−2，k=2＞0，y随由∵−2≤x≤2，∴当x=2时，y=2×2−2=2，符合题意；当m≠0时，函数为二次函数，当m＞0时，对称轴为∴当x=2时，y的最大值是2，即4m−2m−2解得：m=0，不符合题意；当m＜此时最高点为顶点，即4ac−b解得：m=±42当m=42−6时，此时对称轴为∴m的值为0或−4218．（2023·贵州遵义·一模）已知二次函数y=x2+2ax−4(1)若二次函数的图象经过点1,−5，求a的值；(2)在（1）的条件下，当−1≤x≤4时，请求出二次函数的最大值和最小值；(3)当0≤x≤1时，二次函数y=x2+2ax−4图象上的点到x轴距离的最大值为5【答案】(1)−1(2)最大值为4，最小值为−5(3)4或−1【分析】本题是二次函数综合题，考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象、数形结合，分类讨论思想是解题的关键．（1）将点（1,−5）代入y=x（2）根据抛物线y=x2−2x−4=（x−1）2−5可得抛物线的对称轴为直线x=1，抛物线的开口向上，顶点坐标为（1,−5（3）根据题意可得抛物线的对称轴为直线x=−a，抛物线经过点（0,−4），分三种情况：①当−a<0时，②当0≤−a≤1时，③当【详解】（1）解：将点（1,−5）代入得−5=1+2a−4，解得a=−1；（2）解：∵a=−1，∴二次函数的解析式为y=x∴抛物线的对称轴为直线x=1，抛物线的开口向上，顶点坐标为（1,−5∴当−1≤x≤4时，二次函数的最小值为−5；当x=4时，二次函数的最大值为y=（∴当−1≤x≤4时，二次函数的最大值为4，最小值为−5；（3）解：∵y=x∴抛物线的对称轴为直线x=−a，抛物线经过点（0,−4①当−a<0时，a>0，∵抛物线的开口向上，当0≤x≤1时，二次函数y=x2+2ax−4图象上的点到x∴当x=1时，1+2a−4=5，∴a=4；②当0≤−a≤1时，−1≤a≤0，当x=−a时，a2∴a=−1或1（舍去）③当−a>1时，a<−1，当x=1时，1+2a−4=−5，∴a=−1（舍去）综上所述，a=4或−1．19．（2024·河南漯河·一模）在平面直角坐标系中，点2,y1在抛物线(1)当b<−1时，试说明y1(2)若点1,m和−2,n在该抛物线上，且mn>0，求b的取值范围．(3)当−1≤x≤4时该抛物线的最小值是−2，求b值．【答案】(1)见解析(2)−1<x<2(3)−22或3【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，数形结合和分类讨论是解题的关键．（1）由题意可得，y1=22+2b=4+2b（2）由题意得mn=−2b+1b−2，由mn>0得到−2b+1b−2>0，令w=−2（3）由y=x2+bx=x+b【详解】（1）解：∵点2,y1在抛物线∴y1∵b<−1，∴4+2b<2，∴y1（2）∵点1,m和−2,n在抛物线y=x∴m=1+b,n=4−2b，∴mn=1+b∵mn>0，∴−2b+1令w=−2b+1b−2，即w是当w=−2b+1b−2=0由图象可知，当−1<b<2时，w>0，∴b的取值范围是−1<x<2．（3）∵y=x∴抛物线开口向上，抛物线的顶点为−b2,−当−1≤−b2≤4，x=−b2则−b解得b1当b1=22时，−当b2=−22时，−当−b2>4时，x=4时，y则42解得b=−9∵−b∴b=−92不满足当−b2<−1时，x=−1时，y则−12解得b=3，∵−b∴b=3满足题意，综上可知，b的值为−22或320．（2023·河南驻马店·二模）已知函数y=−x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点0,−3(1)求b，c的值；(2)当0≤x≤4时，求y1(3)当0≤x≤m时，若y的最大值与最小值之和为1，请直接写出m的值．【答案】(1)b=6，c=−3；(2)6；(3)3−2或3+【分析】（1）本题考查了待定系数法求二次函数系数，把点0,−3，6,−3代入y=−x（2）本题考查了二次函数的图象和性质，以及二次函数的最值问题，根据y=−x（3）本题考查了二次函数的最值问题，以及二次函数的图象和性质，根据题意对m分情况进行讨论，①当0≤m<3时，②当3≤m≤6时，③当m>6时，用m表示出对应的最大最小值，根据y的最大值与最小值之和为1，建立等式，即可求解．【详解】（1）解：把点0,−3，6,−3代入y=−xc=−3−36+6b−3=−3，解得c=−3∴b=6，c=−3．（2）解：由（1）可知y=−x∴对称轴为直线x=3，∵a=−1＜∴开口向下，∴当x=3时，函数值有最大值，∴当0≤x≤4时，y1的最大值y=−9+18−3=6．（3）解：m的取值为3−2①当0≤m<3时，x=0时，y=−3，x=m时，y=−m根据题意得−m解得m=3−2或3+②当3≤m≤6时，y的最大值为6，最小值为−3，−3+6=3不合题意，③当m>6时，x=3，y=6，x=m，y=−m根据题意得−m解得m1=3−11综上，m的取值为3−2或3+题型06二次函数与坐标轴交点问题21．（2023·江苏南京·模拟预测）已知二次函数y=ax2−2ax+3（a(1)若a<0，求证：该函数的图像与x轴有两个公共点．(2)若a=−1，求证：当−1<x<0时，y>0．(3)若该函数的图像与x轴有两个公共点x1,0，x2,0，且−1<x1【答案】(1)见解析(2)见解析(3)a>3或a<−1【分析】本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题、二次函数的性质、解不等式组，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键．（1）计算出Δ=−2a2−4×a×3=4a2+−12a，由（2）当a=−1时，y=−x2+2x+3，由抛物线开口方向和对称轴可得当x<1时，y随x增大而增大，当x>1时，y随x增大而减小，计算出当x=−1时，（3）求出抛物线的顶点为1,3−a，再分两种情况：当a>0时，则有3−a<0a+2a+3>016a−8a+3>0；当a<0时，则有【详解】（1）证明：令y=0，则a∵a<0，∴b∴该方程有2个不等实根，即二次函数与x轴有两个交点；（2）证明：方法一：当a=−1时，二次函数为：y=−抛物线开口向下，与x轴交于−1,0，3,0；∴当−1<x<0时，y>0方法二：当a=−1时，二次函数为：y=−∵−1<x<0，∴−2<x−1<−1；∴0<−x−12+4<3∴y>0；（3）解：y=ax2−2ax+3=ax−12①当a>0时，抛物线开口向上，要保证二次函数与x轴两个交点在−1,0与4,0之间（不包含这两点），则只需保证顶点在x轴下方，x=−1时y>0，则有3−a<0a+2a+3>0解得：a>3；②当a<0时，抛物线开口向下，要保证二次函数与x轴两个交点在−1,0与4,0之间（不包含这两点），则只需保证顶点在x轴上方，x=−1时y<0，则有3−a>0a+2a+3<0解得：a<−1；综上，当a>3或a<−1时，二次函数与x轴两个交点在−1,0与4,0之间（不包含这两点），故答案为：a>3或a<−1．22．（2023·河南郑州·三模）如图，已知抛物线y=ax2+bx+3a≠0经过(1)求抛物线的解析式；(2)求证：直线y=−3x+5与该抛物线没有交点，(3)若Cm,y1，Dn,y2为抛物线y=ax2+bx+3a≠0上两点m<n，M为抛物线上点C和点D之间的动点（含点【答案】(1)y=−(2)见解析(3)32或【分析】本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数解析式和性质，根的判别式．在解题时要注意二次函数的增减性，“开口向下，对称轴左侧，y随x的增大而增大，对称轴右侧，y随x的增大而减小．（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）联立直线与抛物线解析式可得x2（3）利用M点纵坐标的取值范围，反推出x的值，进而得到m+n的值．【详解】（1）解：由题意可知：9a−3b+3=0a+b+3=0解得：a=−1b=−2∴抛物线的解析式为：y=−x（2）证明：联立直线与抛物线解析式可得：y=−3x+5y=−∴x∵Δ∴方程无实根，即直线y=−3x+5与该抛物线没有交点；（3）解：∵点M纵坐标的取值范围为−9∴当y=−94时，解得：x1=−7得点−72,−当y=3时，−x解得：x3=−2，得点−2,3，0,3，如图1，∵m<n，∴m=0，n=3∴m+n=0+3如图2，∵m<n，∴m=−72，∴m+n=−7综上所述：m+n=32或23．（2024·湖北武汉·一模）已知，抛物线C1:y=14x2−32x−4与x轴交于A，(1)直接写出点A，B，C的坐标；(2)如图1，M为抛物线C1上一点，过点M作MN∥AC，交直线BC于点N，若MN=12(3)如图2，平移抛物线C1得到抛物线C2，使其顶点Q落在y轴的负半轴上，P为OQ的中点，直线y=k1x+t经过点P，交抛物线C2于E，F两点，延长FO，EO分别交抛物线C2于C，D两点，设直线CD【答案】(1)A(2)点M的横坐标为4±6，(3)k【分析】（1）分别令x,y=0，即可求解；（2）先证明∠ACB=90°得出cosACO=COAC=425=255，设点M的横坐标为m，则Mm,14m2−32m−4，则Tm,（3）设抛物线顶点坐标为0,2t，则抛物线C2的解析式为y=14x2−2n，设E，F两点的坐标分别为e,14e2−2n,f,14f2−2n，得出直线EF的解析式为【详解】（1）解：当y=0时，14解得：x1∴A−2,0当x=0时，y=−4，∴C（2）解：∵A−2,0设直线AC的解析式为y=kx−4，代入A∴−2k−4=0解得：k=−2，∴直线AC的解析式为y=−2x−4∵B8,0设直线BC的解析式为y=k1∴8k−4=0解得：k=直线BC的解析式为y=1∵A∴AC=2∴A∴∠ACB=90°，cos∠ACO=∵MN∥∴MN⊥BC，当M在直线BC下方时，如图所示，过点M作MT∥y轴，交BC于点∴∠MNT=∠ACO∴cos∵MN=12∴TM=5设点M的横坐标为m，则Mm,1∴1解得：m=4±6当M在BC上方时，如图所示，同理可得14解得：m=4±26综上所述，点M的横坐标为4±6，4±（3）解：∵平移抛物线C1得到抛物线C2，使其顶点Q落在y轴的负半轴上，P为OQ的中点，直线y=k设抛物线顶点坐标为0,2t，∴抛物线C2的解析式为y=设E，F两点的坐标分别为e,1∵直线EF的解析式为y=∴ek∴k=1∴直线EF的解析式为y=1又∵P在EF上∴−n=−2n−1∴ef=−4n，设直线EO的解析式为y=k∴1∴k3∴y=−联立y=∴−1∴x2∴xD∴xD∴y∴D−同理可得C−设直线CD的解析式为y2∴−8n解得：k2∵EF解析式为y=1∴k1又∵ef=−4n，∴k2∴k2【点睛】本题考查了二次函数综合应用，一次函数与二次函数综合，二次函数线段周长问题，二次函数与坐标轴交点问题，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握以上知识是解题的关键．题型07二次函数与不等式24．（2023·浙江杭州·模拟预测）已知二次函数y=x2−2(m−1)x−2m+(1)若二次函数经过点(2,−1)，求m的值；(2)若二次函数经过点(1,y1)和点(2m,y2(3)将抛物线y=x2−2(m−1)x−2m+m2向下平移k【答案】(1)m=3；(2)m>1(3)k=3；【分析】本题考查待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数的平移：（1）将点代入求解即可得到答案；（2）将点代入解析式，结合y1（3）根据平移得到新函数，先根据一元二次方程根与系数的关系得到两根和与积的式子，再结合与x轴的两个交点的距离为4列式求解即可得到答案；【详解】（1）解：∵二次函数经过点(2,−1)，∴−1=2解得：m=3；（2）解：∵二次函数经过点(1,y1)∴y1=1∵y1∴m2解得：m>1（3）解：∵抛物线y=x2−2(m−1)x−2m+∴y=x当y=0时，x2∴x1+x∵新抛物线与x轴的两个交点的距离为4，∴(x解得：k=3．25．（2024·河南商丘·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=−x2+2x+c与x轴交于A，B两点（点A在点B(1)求抛物线的表达式及点A的坐标．(2)设直线AC的函数表达式为y=kx+b，请结合图象直接写出不等式kx+b>−x(3)平行于x轴的直线l交抛物线于点Px1,y1，Qx2,y【答案】(1)y=−x2+2x+8，点(2)x<−(3)5<【分析】本题考查了求出抛物线的解析式和x轴的交点，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．（1）把C3,5代入抛物线，求出抛物线的解析式，再求出点A（2）根据图象求出不等式kx+b>−x（3）求出抛物线的顶点坐标为1,9，对称轴是直线x=1，根据二次函数性质求出x1+x2=2，由x1<x2<x3，结合图象，可知直线【详解】（1）解：∵点C3,5∴−3解得c=8，∴抛物线的表达式为y=−x令−x解得x1=−2，∴点A的坐标为−2,0．（2）解：根据函数图象可知，当x<−2∴不等式kx+b>−x2+2x+c的解集为x（3）解：∵直线l平行于x轴，∴y1=y∵y=−x∴抛物线的顶点坐标为1,9，对称轴是直线x=1，∴x1+x2=2，由x设直线AC的解析式为：y=kx+b，把A−2,0，C−2k+b=03k+b=5解得：k=1b=2∴直线AC的函数表达式为y=x+2，令x+2=9，解得x=7，∴3<x∴5<x26．（2022·湖北荆州·三模）探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．结合已有的学习经验，探究函数y=−12x…−4−3−2−101234…y…−−−2−4a−4−2−−…(1)列表，写出表中a的值：a=______．描点、连线，在所给的平面直角坐标系中补全该函数的图象．(2)观察函数图象，回答下列问题：①函数有最______值，是______；②当自变量x的取值范围是______时，函数y的值随自变量x的增大而增大．(3)已知函数y=−23x−【答案】(1)−6，补全函数图象见解析(2)①小，−6；②x>0(3)x<−4或−2<x<1【分析】本题主要考查一次函数和二次函数的图象和性质，函数与不等式，会用描点法画出函数图象，利用数形结合的思想得到函数的性质是解题的关键．（1）把对应的x的值代入即可求出a值，通过描点，用平滑的曲线连接，即可作出图象；（2）观察图象即可判断；（3）找出函数y=−12x2+2的图象比函数【详解】（1）解：当x=0时，a=−12∴a=−6，补全函数图象，如图所示．

故答案为：−6．（2）①观察图象可知，当x=0时，函数y=−12x2故答案为：小，−6；②观察图象可知，当x<0时，y随x的增大而减小，当x>0时，y随x的增大而增大；故答案为：x>0；（3）不等式−12x2+2<−23x−103表现在图象上面即函数故答案为：x<−4或−2<x<1．题型08二次函数中的平移、翻折、旋转问题27．（2024·重庆南岸·模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=14x2+bx+c交x轴于点A−2,0，(1)求抛物线的函数表达式；(2)如图，若点M是第四象限内抛物线上一点，MN∥y轴交BC于点N,MQ∥BC交x轴于点Q，求MN+3(3)如图，在y轴上取一点G0,7，抛物线沿BG方向平移22个单位得新抛物线，新抛物线与x轴交于点E,F，交y轴于点D，点P在线段FD上运动，线段OF关于线段OP的对称线段OF'所在直线交新抛物线于点H，直线F'P与直线【答案】(1)y=(2)49(3)−2或−13+【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式即可；（2）过点B作BE∥MN交MQ于点E，证明四边形MNBE为平行四边形，得出BE=MN，根据MQ∥BC，得出tan∠BQE=tan∠OBC=12，证明BQ=2BE=2MN，求出直线BC的解析式为：y=12x−7（3）连接F'P并延长交x轴于点K，交BG于点L，求出新的抛物线解析式为y=14x2−14x−3，求出【详解】（1）解：把A−2,0，B7,0代入1−2b+c=049解得：b=−5∴抛物线的函数表达式为y=1（2）解：过点B作BE∥MN交MQ于点E，如图所示：∵MQ∥BC，∴四边形MNBE为平行四边形，∴BE=MN，∵MN∥y轴，∴BE∥y轴，∴∠EBQ=∠COB=90°，∴△EBQ为直角三角形，把x=0代入y=14x∴C0,−∴OC=7∵OB=7，∴tan∠OBC=∵MQ∥BC，∴tan∠BQE=∴BQ=2BE=2MN，设直线BC的解析式为：y=kx−7把B7,0代入得：0=7k−解得：k=1∴直线BC的解析式为：y=1设Mm,14∴MN=1∴MN+=4MN=4×=−=−m−∵−1<0，∴当m=72时，MN+3（3）解：∵B7,0，G∴OB=OG，∵∠BOG=90°，∴∠OBG=∠OGB=1∴抛物线沿BG方向平移22个单位时，沿x轴、y轴移动的距离为：2∵抛物线y=1∴抛物线沿BG方向平移22y===1把x=0代入y=14x把y=0代入y=14x解得：x1=−3，∴D0,−3，F∴OD=3，OF=4，∴tan∠OFD=当P'F⊥x轴时，连接F'P并延长交x轴于点K，交∴∠LKB=180°−45°−45°=90°，∴F'∴∠LKB=90°，∵∠OBG=45°，∴∠KLB=45°，∴此时直线F'P与直线BG所成夹角为根据折叠可知，∠OF∴tan∠O∴设OK=3aa>0，则F∴F'设直线OF'的解析式为：把F'3a,−4a代入y=k解得：k'∴直线OF'的解析式为：令−4解得：x1=−13+∴点H的横坐标为−13+601当F'P⊥y轴时，连接F'P并延长交y轴于点K，交∵∠GKL=90°，∠BGO=45°，∴∠F∴此时直线F'P与直线BG所成夹角为根据折叠可知，∠OF∴tan∠O∴设OK=3aa<0，则F∴F'设直线OF'的解析式为：把F'4a,3a代入y=k解得：k″∴此时直线OF'的解析式为：令34解得：x1=−2，∴此时点H的横坐标为−2；综上分析可知，点H的横坐标为−2或−13+601【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数的最值，二次函数解析式，求一次函数解析式，折叠问题，解直角三角形，平行四边形的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，数形结合，注意分类讨论，准确计算．28．（2023·重庆沙坪坝·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A−1,0，点B3,0(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，连接AC，BC，过点C作射线CM交x轴的正半轴于点M，点M与点A关于原点对称，点P是第四象限抛物线上一动点，过点P作BC的垂线交CM于点G，求线段PG长度的最大值及此时点(3)如图2，把点C向上平移1个单位得到点Q，连接AQ，把△AOQ绕点O顺时针旋转一定的角度α(0°<α<360°)，得到△A'OQ'，其中边A'Q'交坐标轴于点【答案】(1)抛物线的解析式为y=(2)GPmax=(3)−455,−25【分析】(1)利用待定系数法求解即可；(2)延长PG交y轴于点D，过GGE⊥y轴于点E，过P作PF⊥y轴于点F，求出MC解析式为y=3x−3，证明△DEG和△DFP是等腰直角三角形，推导GP=DP−DG=2DF−DE=2EF，点P为t，t2−2t−3，则(3)由旋转性质可知，Rt△AOQ≌△Rt△A'本题考查了二次函数的图象与性质，旋转的性质和解直角三角形，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．【详解】（1）把点A−1,0，点B3,0得1−b+c=09+3b+c=0解得b=−2c=−3∴抛物线的解析式为y=（2）延长PG交y轴于点D，过G作GE⊥y轴于点E，过P作PF⊥y轴于点F，∵点M与点A关于原点对称，A∴点M1,0由y=x2−∴OB=OC=3，∴设MC解析式为y=mx+n，则m+n=0n=−3，解得：m=3∴MC解析式为y=3x−3，同理直线BC解析式为y=x−3，∴∠OBC=∠OCB=45°，∵PG⊥BC，∴△DEG和△DFP是等腰直角三角形，FP=DF，∴DP=2∴GP=DP−DG=2设点P为t，t2∴F0,t2则同理用待定系数法可知直线DP的解析式为：y=−x+t将直线DP的解析式与MC解析式联立得：y=−x+解得：x=t即G∴GP=2∴当t=52时，GPmax=252（3）存在，①过点Q'作Q'T⊥y轴交y由旋转性质可知，Rt△AOQ≌△∴sin∠A'∵AO=1，OQ=2，∴AQ=5∴1∴Q'T=2∴Q②如图，同①理：Q'③如图，同理：Q'④如图，同①理：Q'综上，满足条件的点Q的坐标为：−455,−2529．（2024·浙江·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+4交y轴于点A，交x轴于点B−6,0和点C2,0，连接AB、AQ、BQ，BQ(1)求抛物线表达式；(2)点Q1，73，点M在x轴上，点①求点E的坐标；②设射线AM与BN相交于点P，交BE于点H，将△BPH绕点B旋转一周，旋转后的三角形记为△BP1H【答案】(1)y=−(2)①E−2,−2；②【分析】（1）将点B、C的坐标代入抛物线，利用待定系数法求得解析式；（2）①由Q坐标求出BQ解析式，然后根据四边形ANEM是平行四边形和△BME≌△AOM得出BM=OA=4，再分类讨论求得M和E的坐标；②求出AM解析式，交点为P，再求出H坐标，然后由两点间距离公式求出BP和BH长度，因为旋转不改变长度，所以BP1长度不变，当H旋转到x轴上时，此时OH1最短，所以此时【详解】（1）解：①抛物线y=ax2+bx+4交y轴于点A，交x轴于点B∴36a−6b+4=04a+2b+4=0解得：a=−∴y=−1（2）解：∵y=−∴OA=4，设直线BQ的解析式为y=kx+b1，∵B−6,0，∴k+b解得k=1∴直线BQ的解析式为y=1∵N为BQ与y轴交点，∴N0,2∴AN=2，∵四边形ANEM是平行四边形，∴AN∥EM且EM=AN=2，且点E在点∵点M在x轴上，点E在平面内，△BME≌△AOM，∴BM=OA=4，∵B−6,0∴M−2,0或−10,0若M为−2,0，∵∠BME=∠AOM=90°，故E−2,−2若M为−10,0，∵OM=ME=2，此时OM=10，(矛盾，舍去)，综上，点E的坐标为−2,−2；②如图，设AM的解析式为y=kx+b,∵抛物线y=ax2+bx+4交y∴点A的坐标为(0，4)，将点A0,4、M−2,0的坐标代入b=4−2k+b=0解得k=2b=4∴AM的解析式为y=2x+4，AM与BQ相交于点P，∴y=2x+4y=解得x=−6所以点P的坐标为−6设直线BE的解析式为y=mx+n，将点B、E的坐标代入直线BE的解析式得：−2m+n=−2−6m+n=0解得m=−1所以直线BE的解析式为y=−1BE与AM相交于点H，∴y=2x+4y=−解得x=−14∴点H的坐标为−14∴BP=BH=∴B当H旋转到x轴上时，此时OH∴O∴B∴BP1+30．（2024·江西南昌·一模）如图、在平面直角坐标系xOy中，抛物线C1:y=−x2+2x+3与x轴交于点A，点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，P为抛物线C1的顶点，连接PB，将抛物线C1(1)求抛物线C2(2)连接AC，BC，求sin∠ACB(3)连接CP，Q是抛物线C2上的点，若满足∠QCO=∠PBC，求点Q【答案】(1)y=(2)sin(3)点Q的坐标为−2,−3或1,0【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，中心对称的性质以及与解直角三角形相关的计算：（1）由C1:y=−x2+2x+3求出与x轴的交点A−1,0，B3,0，顶点坐标P1,4，设C2的解析式为y=a（2）过点B作BE⊥AC于点E，由两点间距离公式求出B